Применение математики: интересные факты, примеры, задачи
На этой станичке представлены работы моих студентов, с которыми они выступали на различных конференциях.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 Парадоксы измерения площадей и объемов | 328.94 КБ |
 Эволюция принципов нахождения объема шара | 1.05 МБ |
| Применение формулы Байеса в юриспруденции | 951.47 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Парадокс 1. Поверхность бесконечной площади и конечного объема Рассмотрим часть ветви гиперболы при Представим, что она вращается вокруг горизонтальной оси Ох. Эта поверхность известна как рог Гавриила (рог Габриэля), или труба Торричелли – в честь Эванджелисты Торричелли, который изучал ее в первой половине XVII века. Рис. 1 Рис. 2 Это тело вращения имеет бесконечную площадь и конечный объем. Докажем это используя средства математического анализа. Объем тела, полученного вращением графика функции f(x) вокруг оси абсцисс, вычисляется по формуле: 1
Площадь поверхности вращения: В силу признака сравнения из расходимости интеграла от «меньшей функции» следует расходимость интеграла от «большей функции». Вывод: так как интеграл от меньшей функции расходится, то и интеграл, выражающий площадь поверхности вращения, так же расходится (то есть равна бесконечности). 2
Обратного парадокса не существует Т. к. имеет математиками доказана следующая теорема: пусть f : [1, ∞) → [0, ∞) - непрерывно дифференцируемая функция. Если рассмотреть поверхность, полученную вращением кривой вокруг оси Ох, то е сли площадь S поверхности конечна, то и объем тоже конечен. Можно подвести следующие итоги для неотрицательной при функции если при : 3
Парадокс 2. Парадокс маляра. Парадокс маляра в математике гласит о том, что плоскую фигуру с бесконечной площадью поверхности можно окрасить определенным количеством краски. Данный парадокс несложно проиллюстрировать, если мы рассмотрим кривую и вычислим площадь этой фигуры при Можно показать, что площадь данной фигуры бесконечна. В тоже время, вращая эту кривую вокруг оси Ох мы получим трубу Торричелли, которая имеет конечный объем. При этом плоская фигура, изображенная на рис. 3, полностью помещается в данное тело вращения. Таким образом, налив краску конечного объема в трубу Торричелли и поместив туда пластинку мы окрасим ее даже с двух сторон. Этот парадокс имеет исключительно математический смысл, т.к. при значительном увеличении х рог Гавриила сужается настолько сильно, что его ширина становится меньше атома и чисто физически дальше мы пластинку продвинуть не сможем. Рис. 3 4