1 курс. Теория, лекции
На этой странице размещен теоретический материал по пройденным темам.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
1. Решение линейного уравнения Алгоритм решения линейного уравнения 1. Раскрыть скобки (при их наличии), используя правила раскрытия скобок. 2. Выполнить перенос слагаемых их одной части в другую (слагаемые с переменной собираем в одной части, слагаемые без переменной – в другой). 3. Привести подобные слагаемые. 4. Найти корень уравнения.
Пример 2∙( x+3)-3∙(5-4x)=6-(9-4x) Решение: 1. Раскрываем скобки: 2 x + 6 – 15 + 12x = 6 – 9 + 4x 2 . Переносим с х влево, без х переносим вправо: 2 x + 12x - 4х = 6 – 9 – 6 + 15 3. Приводим подобные слагаемые: 10х = 6 4. Выражаем х: Х = 6/10 Ответ: х=0,6
2. Решение квадратных уравнений 1) х 2 =А , где число А≥0 (если А < 0, то уравнение решений не имеет) Формула корней: 2) Неполное квадратное уравнение a х 2 + bx=0 Метод решения: вынести х за скобки. 3) Полное квадратное уравнение: a х 2 + bx +с =0 Метод решения: 1. Найти дискриминант D = b 2 - 4ac 2 . Вычислить корни по формуле:
3. Решение дробно-рациональных уравнений Алгоритм решения Найти область допустимых значений переменной (ОДЗ). 2. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение. 3. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель. 4. Решить получившееся целое уравнение. 5. Исключить из его корней те, которые не принадлежат ОДЗ. Замечание: можно использовать правило «крест на крест»
4. Решение уравнений с модулем Алгоритм решения 1. Записать совокупность двух систем: 2. Решаем каждое уравнение в системе. 3. Делаем проверку, т.е. подставляем каждый корень в исходное уравнение и проверяем будет ли полученное равенство верным. 4. Записываем ответ.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
1. Решение линейных неравенств Алгоритм решения линейных неравенств с одной переменной 1. Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. 2. Сгруппировать слагаемые с переменной в левой части неравенства, а без переменной - в правой части. 3. Привести подобные слагаемые. 4. Разделить обе части неравенства на коэффициент при переменной, если он не равен нулю (если коэффициент отрицательный, то поменять знак неравенства на противоположный). 5. Изобразить множество решений неравенства на координатной прямой. 6. Записать ответ в виде числового промежутка.
Виды числовых промежутков, получаемые при решении линейного неравенства
Пример 8-4х+3∙(6-2 x)≤16x+2∙(5x+1) Решение: Раскрываем скобки: 8-4х+18-6 x≤16x+ 10 x+ 2 Приводим подобные слагаемые: -8х+26 ≤ 2 6x+ 2 Переносим слагаемые с х влево, без х- вправо: -8х-26х ≤ 2-26 -34х ≤ -24 Делим обе части неравенства на (-34). Так как делим на отрицательное число, то знак неравенства меняем: х≥-24/(-34) х≥12/17 12/17 х Ответ: х ϵ [12/17; +∞) .
2. Решение квадратных неравенств Алгоритм решения квадратного неравенства 1. Рассмотреть функцию y=a∙x 2 + b∙x +c. 2. Найти нули функции (решить уравнение a∙x 2 + b∙x +c=0) 3. Определить направление ветвей параболы. 4. Схематично построить график функции (если а >0 , ветви параболы направлены вверх, при а <0 – вниз ) . 5. Учитывая знак неравенства, определить на каких промежутках оси Ох ординаты графика положительны (отрицательны) и записать ответ.
3. Решение дробно-рациональных неравенств Алгоритм решения методом интервалов 1 . Привести данное неравенство к виду: 2. Разложить числитель и знаменатель на линейные множители. 3. Нанести на числовую ось числа, при которых каждый множитель равен нулю и разделить числовую ось на промежутки. 4. Выколоть те точки, которые не являются решением неравенства. 5. Выяснить знаки промежутков. 6. Выбрать ответ.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
х -10 -5 0 5 7 8 9 15 21 у 18 13 11 5 0 4 12 16 43
Свойства функций 1.Область определения. 2. Множество значений. 3. Чётность, нечётность. 4. Периодичность. 5. Возрастание, убывание.
Область определения Областью определения функции y=f(x) называют множество всех значений, которые может принимать ее аргумент. Обозначение: D(f) или D(y)
Задание 2
Задание 3
МНОЖЕСТВО ЗНАЧЕНИЙ Множеством значений функции y=f(x) называют множество всех значений, которые может принимать её зависимая переменная. Обозначение: E(f) или Е(у).
Задание 5
Задание 6
Четность и нечетность функции Четная функция Нечетная функция
Задание 7
Задание 8
Задание 9
Задание 10
Задание 11
Периодичность функции Периодическая функция — это функция , которая при изменении аргумента на определенную величину имеет ту же самую значение. Эта величина называется периодом функции . Если функция f( x ) является периодической , то f( x ) = f( x + T), где T — период функции .
Примеры периодических функций
Монотонность функции Функция у (х) называется возрастающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции . а b F(a) F(b) b>a, f(b)>f(a) 1. Возрастание функции
2. Убывание функции Функция у (х) называется убывающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. a b F(a) F(b) b>a, f(b) Задание 1 2 Задание 1 3
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
1% = 1 = 0,01 100 Определение. Процент — одна сотая часть величины или числа. Обозначается символом "%". Для преобразования процентов в десятичную дробь необходимо число процентов разделить на 100. Соотношения между десятичными дробями и процентами Для преобразования десятичной дроби в проценты, ее необходимо умножить на 100. Например : 4 = 400%; 0,4 = 40%; 0,04 = 4%; 0,004 = 0,4%. Например : 500% = 5; 50% = 0,5; 5% = 0,05; 0,5% = 0,005.
Виды процентов Простые проценты – это метод расчета процентов, при котором начисления происходят на первоначальную сумму вклада (долга) Сложные проценты — эффект часто встречающийся в экономике и финансах, когда проценты прибыли в конце каждого периода прибавляются к основной сумме и полученная величина в дальнейшем становится исходной для начисления новых процентов.
Наиболее распространенные типы задач на проценты Найти указанный процент от заданного числа. Найти число по заданному другому числу и его величине в процентах от искомого числа. Найти процентное выражение одного числа от другого. Найти число на заданный процент большее (меньшее) исходного числа. Найти число, зная значение числа большего (меньшего) от исходного на заданный процент. Найти сложные проценты.
Метод решения задач с процентами Все соотношения и формулы, полученные для решения задач с процентами, выводятся из пропорции. Данные задачи на проценты можно записать в виде следующих соотношений: всё - 100% часть - часть (в %)
B = A · P 100% 1. Нахождение процента от заданного числа Составляем соотношение: А – 100% В – Р% Отсюда получаем формулу для нахождения В:
Задача 1 Дмитрий, Антон, Игорь и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200 000 рублей. Дмитрий внес 14% уставного капитала, Антон – 42 000 рублей, Игорь – 12% уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис. Сколько денег внес Борис? Задача 2 Флакон шампуня стоит 160 рублей. Какое наибольшее количество флаконов можно купить на 1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 25%?
A = B · 100% P 2. Нахождение числа по его проценту Составляем соотношение: А – 100% В – Р% Отсюда получаем формулу для нахождения А:
Задача 3 Повару школьной столовой нужно приготовить блюда из картофеля. Для этого ему потребуется 180 кг очищенного картофеля. Сколько картофеля следует закупить школе, если известно, что очистки составляют 20% от веса картофеля? Задача 4 При ликвидации АО акционер, владеющий 5% акций получил сумму в размере 28 тысяч рублей. Какова была стоимость предприятия на момент ликвидации?
Р = B · 100% А 3. Нахождение процентного выражение одного числа от другого. Составляем соотношение: А – 100% В – Р% Отсюда получаем формулу для нахождения А:
Задача 6 За год в области совершено 6720 преступлений. Из них тяжких — 33; в состоянии алкогольного опьянения — 3262; связанных с дорожно-транспортными происшествиями — 1310. После завершения следствия переданы в суд 4520 дел; по 3816 из них уже вынесены приговоры, причем половина из последних — обвинительные; из всех обвинительных приведены в исполнение 40%. Заполните до конца следующую таблицу: Задача 5 Городской бюджет составляет 68 млн. рублей, а расходы на одну из его статей составили 15,3 млн. рублей. Сколько процентов составляют эти расходы от всего бюджета?
В первом столбце проставьте соответствующие абсолютные значения, а во втором укажите, какой процент они составляют от общего числа преступлений. Всего 6720 из них: - тяжких 33 - в состоянии алкогольного опьянения 3262 - транспортных 1310 Переданы в суд 4520 из них вынесено приговоров 3262 из них обвинительных Исполнено
4. Нахождение числа, которое больше исходного числа на заданный процент Составляем соотношение: А – 100% В – (100+Р%) Отсюда получаем формулу для нахождения В:
Задача 7 По плану магазин в июне должен был выполнить продажу продукции на 3 млн. рублей. По отчетам, сданным бухгалтеру товарооборот оказался перевыполнен на 6,5 процентов. Какая выручка была у магазина в июне?
5. Нахождение числа, которое меньше исходного числа на заданный процент Составляем соотношение: А – 100% В – (100-Р%) Отсюда получаем формулу для нахождения В:
Задача 8 Число преступлений в сфере кибермошенничества в 2023 году составило 800 тыс. случаев. В виду усиления мер безопасности банками планируется снижение числа преступлений в среднем на 25%? Какое число киберпреступлений можно ожидать в 2024 году?
6. Нахождение исходного числа по значению числа, которое больше исходного на заданный процент Составляем соотношение: А – 100% В – (100+Р%) Отсюда получаем формулу для нахождения В:
7. Нахождение исходного числа по значению числа, которое меньше исходного на заданный процент Составляем соотношение: А – 100% В – (100-Р%) Отсюда получаем формулу для нахождения В:
Задача 9 Определить стоимость 1 кг огурцов в июле, если в августе они подешевели на 25%, а в сентябре подорожали на 40 и их стоимость в сентябре составила 84 рубля.
8. Сложный процент Расчетная формула:
Задача 10 Какая сумма будет на срочном вкладе вкладчика через 4 года, если банк предлагает 10% годовых, а первоначальная сумма вклада 5000 рублей? Задача 11 Предположим сегодня абонентская плата за интернет составляет 300 руб. По оценкам экспертов ежегодный уровень инфляции составляет 10%. В связи с этим ежегодно стоимость абонентской платы будет увеличиваться на 10%. Какова будет абонентская плата через 3 года?
Пусть в течение n лет происходили следующие изменения процентной ставки: - в 1-й год она именилась на k1 % - во 2-й год она именилась на k 2 % и т.д. Определить на сколько процентов изменилась исходная величина за все n лет. 8. Сложный процент при разных процентных ставках Расчетная формула: Обозначим через K величину процентов, на которую изменилась исходная величина. ! Внимание! Если k i это процент снижения, то берем знак «-», если k i показывает процент увеличения, выбираем знак «+»то
Задача 1 2 Цену товара уменьшили на 50%, потом на 30%, потом на 20%. На сколько % уменьшилась цена товара? Задача 1 3 До снижения цен книга в киоске стоила 120 рублей. Вычислите цену книги после двух последовательных снижений, если первое снижение было на 10%, а второе на 5%. Задача 1 4 Цену на холодильник снизили сначала на 20%, а затем ещё на 15%. При этом он стал стоить 22032 рубля. Какова была первоначальная цена хододильника? Задача 1 5 Пачка чая стоила 100 рублей. Сначала цену повысили на 10%, а затем снизили на 10% (от новой цены). Сколько теперь стоит пачка чая?