МУ «Комитет по образованию г.Улан-Удэ»

МАОУ «Средняя общеобразовательная школа № 42 г.Улан-Удэ»

II Республиканская научно-практическая конференция

для учащихся 8-9 классов

«ПУТЕВОДНАЯ НИТЬ»

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

«Банковские задачи на вклады и кредиты.»

                                    Выполнила - Мандрусова Екатерина

                                    ученица  9В класса

                                    МАОУ СОШ № 42

                                    Научный руководитель- Береговая Татьяна Михайловна,

                                    учитель математики  высшей категории

МАОУ СОШ № 42

Улан-Удэ

2017 год

Содержание работы:

1.        Введение …………………………………………………………..2

2.        Гипотеза исследования…………………………………………...3

3.        Исследовательская часть

3.1.        Вклады …………………………….4

3.2.        Кредиты…………………………………….5

4.        Применение…………………………………………………….8

5.        Заключение…………………………………………………….14

6.        Библиографический список…………………………………..16

1.Введение.

В современном мире богатым и успешным может стать только финансово грамотный человек. Финансовая грамотность – это набор неких знаний и умений, которые позволяют людям повысить уровень контроля над своими финансами , управлять своими рисками и возможностями. Все банки предоставляют услуги по вкладам и кредитам. Но  чтобы не оказаться в проигрыше, надо грамотно пользоваться этими услугами.  Уметь рассчитывать проценты по вкладам и кредитам. Помимо этого, сейчас финансовой грамотности населения уделяется особое внимание, поэтому важно научиться решать финансовые задачи, так как они встречаются в ЕГЭ.   Все это и определило актуальность этой работы. Я решила выяснить, какие вклады  существуют  и какую прибыль можно получить. А также какие бывают кредиты и что нужно знать человеку, прежде чем взять в банке кредит.Поставлены цели  учебно-исследовательской работы:изучить основные виды вкладов;способы и схемы выплаты кредита;повысить  уровень математической культуры, прививая навыки  самостоятельной исследовательской работы в математике.

2. Гипотезы исследования :

1.Как рассчитать прибыль по вкладам?

2. Одного  способа расчета кредита быть не может, существуют различные  алгоритмы при расчетах. Какие существуют виды платежей?

3.Существует переплата по кредитам. Но при каких схемах выплаты кредита она меньше?

Предмет исследования: Вклады и кредиты в банке.

Объект исследования:Простые и сложные проценты в банковском деле.

3.Исследовательская часть.

3.1.Вклады.

Банковский вклад – это денежная сумма, которую банк принимает от вкладчика, в целях хранения данных средств и начисления на них процентов.

Таким образом выделяют следующие виды вкладов:

---не пополняемые вклады. Это значит, что в течение всего срока вклада дополнительные взносы не принимаются.

---с возможностью пополнения - в течение срока вклада можно вносить дополнительные суммы во вклад

----с возможностью частичного снятия средств. Это значит, что с банковского счета можно снять часть вложенных денег, при этом на счету должна оставаться определённая сумма, которая называется неснижаемый остаток.

Каков порядок начисления процентов?

Начисление может производиться следующим образом:

---ежемесячно – проценты прибыли прибавляются к основному вкладу каждый месяц.

---к концу срока – проценты прибыли присоединятся к основной сумме вклада в конце срока вклада.

---в иной срок, например, ежеквартально (проценты начисляются каждые 3 месяца), либо каждые полгода, либо еженедельно.

Представьте себе, что вы открыли в банке вклад в сумме aрублей под p% на t лет годовых. У вас есть две стратегии поведения: либо в конце каждого года хранения вклада снимать проценты по вкладу, т.е. полученную прибыль в размере aр., либо прийти в банк один раз – в конце срока хранения вклада. Какой доход вы получите в том или ином случае?

1 случай: При t = 1 вы получите (a+) р., при t = 2  сумма составит (a+)р.,  при t = 3 - (a+) р. и т.д. Математическая модель ситуации – арифметическая прогрессия a,a+,a+,a+,..+a+. При первой стратегии за t лет вы получите a(1+) р.- это так называемая формула простых процентов.

2 случай: При t = 1 вы получите (a+) р., сумма вклада увеличиться в (1+ Во столько же раз она увеличиться и к концу второго года хранения, и к концу третьего и т.д. Математическая модель ситуации – геометрическая про грессияa,a(1+ ,a(1+ 2,a(1+ 3,...,a(1+ t. Итак при второй стратегии вы получаете a(1+ t рублей–это  так называемая формула сложных процентов.

Задача № 1.

Рассмотрим конкретный пример. Пусть вклад составляет 10 000 рублей, банк дает 10% годовых, срок хранения вклада- 5 лет. Если вы выбрали стратегию простых процентов, то к концу хранения вы получите в итоге сумму, равную

10 000*(1+5*10/100), т. е.  15 000 р. Если же вы выбрали стратегию сложных процентов, то к концу срока хранения вы получите в итоге сумму, равную 10 000*(1+10.100)^5, т. е. 16 105,1 р.

Делаем вывод: не смотря на то, что формула сложных процентов может показаться не очень удобной, именно эта формула является для нас самой выгодной.

3.2.Кредиты.

Кредит – это ссуда, предоставленная банком заемщику под определенные проценты за пользование деньгами.

Чтобы сориентироваться в ежемесячных взносах по кредиту, рассмотрим, какие бывают виды платежей.

1. Дифференцированный платёж заключается в том, что на первые месяцы выплат приходятся максимальные суммы, в которые входит часть основного долга и проценты по кредиту. При дифференцированных платежах сумма основного долга, так называемое тело долга, делится равными частями на весь срок платежа, а вот проценты ежемесячно начисляются на остаток долга.

Задача № 2.

Допустим, что в банке взят кредит 1200 рублей на 12 месяцев под 10% годовых. Какова сумма переплаты?

Решение:

Долг перед банком по состоянию на конец года должен уменьшаться до нуля равномерно, то есть последовательность долгов перед банком такова:1200;1100; 1000; 900;800; 700; 600; 500; 400; 300; 200;100.Первого числа каждого месяца долг возрастает на 10%: 1320; 1210; 1100;990; 880; …110. Обращаем внимание на то, разница между долговыми суммами равна 110 рублей. Теперь найдем ежемесячные выплаты: 1320-1100=220; 1210-1000=210;1100- 900=200 и т.д. до 110 руб.

Далее можно найти сумму всех выплат. Она равна: 220+210+200+…+110 = 1980(рублей). Таким образом, переплата составляет 65%.

2.Аннуитетного платеж отличается от дифференцированного в том, что сумма ежемесячного взноса всегда неизменна, но вот структура этой суммы меняется из месяца в месяц. Основную часть в первые месяцы составляют проценты по кредиту, а сумма тела долга — минимальна.

Задача № 3 Нахождение количества лет выплаты кредита.

Максим хочет взять в банке кредит 1,5 миллиона рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными платежами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Процентная ставка- 10%  годовых. На какое минимальное количество лет  может Максим взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 350 тысяч рублей?

Решение.

1)В конце первого года долг составит:

1500000 ∙ 1,1 – 350000 =1300000 (руб)

2) В конце второго  года долг составит:

1300000 ∙ 1,1 – 350000 = 1080000 (руб)

3)В конце третьего  года долг составит:

1080000 ∙ 1,1 – 350000 = 838000 (руб)

4)В конце четвертого  года долг составит:

838000 ∙ 1,1 – 350000 = 571800 (руб)

5)В конце пятого  года долг составит:

571800 ∙ 1,1 – 350000 = 278980 (руб)

6) В конце шестого  года долг составит:

278900 ∙ 1,1 =306878 (руб)

Эта сумма менее 350000 руб. Значит, кредит будет погашен за 6 лет.

Ответ: 6 лет

Банковская формула, по которой можно рассчитать месячный аннуитетный платеж :, где x – месячный платёж, S – первоначальная сумма кредита, P – (1/12) процентной ставки, N – количество месяцев.

Для расчета процентной составляющей аннуитетного платежа, нужно остаток кредита на указанный период умножить на годовую процентную ставку и всё это поделить на 12 (количество месяцев в году):, где– начисленные проценты, – остаток задолженности на период, P – годовая процентная ставка по кредиту.

Чтобы определить часть, идущую на погашение долга, необходимо из месячного платежа вычесть начисленные проценты: s = x – , где
s – часть выплаты, идущая на погашение долга, x – месячный платёж, - начисленные проценты, на момент n-ой выплаты.

4. Применение.

Далее рассмотрим задачу №17 из сборника тестовых заданий ЕГЭ-2016  по математике под редакцией И.В. Ященко, которая также раскрывает суть дифференцированного платежа:

Задача № 4

15-го января планируется взять кредит в банке на сумму 1.5 млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму нужно вернуть банку: а) в течение первого года кредитования?

б) в течение всего срока кредитования? Какова сумма переплаты?

Решение:

1. Долг перед банком по состоянию на конец второго года должен уменьшаться до нуля равномерно на сумму равную 62500 рублей  (1500000: 24=62500). Тогда последовательность размеров долга будет иметь вид:

1500000; 1437500; 1375000; 1312500;…;62500.

2. Первого числа каждого месяца долг возрастает на 3%. Тогда последовательность размеров долга будет иметь вид:

1500000∙1,03; 1437500∙1,03; 1375000∙1,03; 1312500∙1,03;…;62500∙1,03.

Или: 1545000; 1480625; 1416250; 1351875;…64375.

3. Найдем размеры выплат:

1 месяц: 1545000 – 1437500 = 107500

2 месяц: 1480625 – 1375000 = 105625

3 месяц: 1416250 – 1312500 = 103750

         Замечаем, что выплаты уменьшаются на одну и ту же величину, равную 1875 р.

         Имеем последовательность членов арифметической прогрессии, в которой   первый член равен 107500, а разность равна -1875. Найдем 12-й член этой  прогрессии: + (n – 1)∙d;

107500 - 11∙ 1875=86875. Итак, 86875 рублей – это сумма выплат на 12 месяц.

4. Найдем сумму выплат за первые 12 месяцев:

S= ∙ 12 =1166250.

5. Найдем теперь сумму выплат за весь срок кредитования: 2062500 руб.
6. Переплата по кредиту равна: 2062500 – 1500000 = 562500 руб.

 Ответ: а)1166250 рублей б)2062500 рублей в)562500 рублей

Дифференцированный платёж заключается в том, что на первые месяцы выплат приходятся максимальные суммы, в которые входит часть основного долга и проценты по кредиту. При дифференцированных платежах сумма основного долга, так называемое тело долга, делится равными частями на весь срок платежа, а вот проценты ежемесячно начисляются на остаток долга. Соответственно, в первый месяц суммы платежей наиболее велики, потому что проценты по кредиту существенны. А к концу срока выплаты будут минимальны. Дифференцированные платежи удобны для тех, у кого доход не носит характер неизменной величины, и через некоторое время может появиться возможность досрочно погасить долг. В этом случае переплата по кредиту будет меньше, чем при аннуитетном расчёте.

Задача № 5  ЕГЭ 2016 г.

Предприятие взяло в банке кредит на 5 лет. Условия погашения кредита следующие: по истечении каждого года заемщик погашает банку начисленные проценты за год и 1/5 часть основной суммы.

Какой процент годовых установлен банком по этому кредиту, если общая сумма выплат предприятия банку на 24 превышает размер исходного  кредита?

Решение:

Задача № 6 ЕГЭ 2016 г.

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн. рублей, где S –целое число. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на 25 % по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
• В июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

 Найдите наименьшее значение  S, при котором каждая из выплат будет больше 5 млн. рублей.

Решение:

  0.25S+0.3S >5                  0.55S > 5           S>100/11

  0.25*0.7S + 0.3S >5         1.9S>20             S > 200/19            S=11

  0.25*0.4S + 0.4S > 5          2S > 20            S > 10

Ответ: 11 млн.рублей

Задача № 7.  Вычисление процентной ставки по кредиту.

31 декабря 2014 года Валерий взял в банке 1000000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая. 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем Валерий переводит в банк очередной транш. Валерий выплатил кредит за два транша, то есть за два года. В первый раз Валерий перевел в банк 660000 рублей, во второй раз – 484000 рублей. Под какой процент банк выдал кредит Валерию?

Решение. Пусть а - процентная ставка по кредиту.

1)В конце первого года долг составит:

1000000 ∙ (1 + 0,01∙ а) – 660000 = 340000 + 10000∙а

2)  В конце второго  года  долг составит:

(340000 + 10000∙а) ∙ (1 + 0,01∙а) – 484000.

По условию задачи кредит будет погашен за два года. Составляем уравнение: (340000 + 10000∙а) ∙ (1 + 0,01∙а) – 484000 = 0;

 + 134∙а – 1440 = 0

Решая уравнение, получаем, что  а = 10.

Ответ: 10%

Задача № 8. Нахождение суммы кредита.

31 декабря 2014 года Максим взял в банке некоторую сумму денег в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем Михаил переводит в банк 2928200 рублей. Какую сумму взял Михаил в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами, то есть за 4 года?

Решение. Пусть S – сумма кредита.

1)В конце первого года долг составит:  (1,1х – 2928200) рублей

2)  В конце второго  года  долг (в рублях) составит:

(1,1х – 2928200)∙1,1 – 2928200 = 1,21х – 3221020 – 2928200 = 1,21х – 6149220

3)  В конце третьего  года  долг (в рублях) составит:

(1,21х – 6149220)∙1,1 – 2928200 = 1,331х – 6764142 – 2928200 =

=1,331х – 9692342

4)  В конце четвертого  года  долг (в рублях) составит 2928200 рублей:

(1,331х – 9692342)∙1,1 = 2928200;

1,4641х – 10661576 = 2928200;

1,4641х = 13589776;

х = 9281999,8.

Значит, сумма кредита равна 9282000 рублей.

 Ответ: 9282000 руб

Задача №9.  Нахождение ежегодного транша.

31 декабря 2014 года  Роман взял в банке 8599000 рублей  в кредит под 14% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга(то есть увеличивает долг на 14%), затем Роман переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Роман выплатил долг тремя равными платежами (то есть за 3 года)?

Решение.

1)В конце первого года долг составит:  

8599000∙1,14 – Х = 9802860 – Х

2)  В конце второго  года  долг составит:

(9802860 - Х)∙1,14 – Х=11175260 – 2,14∙Х

3)  В конце третьего  года  долг (в рублях) составит:

(11175260 – 2,14∙Х) ∙1,14 – Х=12739796 – 3,4396∙Х.

Составим уравнение:

12739796 – 3,4396∙Х= 0

Х=3703860 рублей

Ответ: ежегодный транш составит 3703860 рублей.

Делаю выводы. 

1.При решении этих задачи понятно, что выплаты по кредиту, так называемый транш, происходят равными суммами за каждый платежный период.

2. Отличие аннуитетного платежа от дифференцированного в том, что сумма ежемесячного взноса всегда неизменна, но вот структура этой суммы меняется из месяца в месяц. Основную часть в первые месяцы составляют проценты по кредиту, а сумма тела долга — минимальна. Таким образом банк страхует риски недополучения прибыли в случае досрочного погашения кредита заёмщиком. Подобный график погашения платежей с ежемесячной суммой - очень выгоден людям, имеющим фиксированный доход: нет необходимости каждый месяц сверяться с графиком платежей, чтобы заранее зарезервировать нужную сумму для оплаты кредита; равные доли платежа позволяют исключить возможность остаться без средств к существованию после уплаты ежемесячного взноса.

Аннуитетная схема погашения кредита отличается от дифференцированной схемы  тем, что в начале кредитного периода проценты составляют большую часть платежа. Тем самым сумма основного долга уменьшается медленно, соответственно переплата процентов при такой схеме погашения кредита получается больше. Значит, человеку выгоднее взять кредит дифференцированный. Но, однако, особенности дифференцированного платежа таят в себе как плюсы, так и минусы. Основным плюсом является факт более выгодного способа оплачивать кредит, поскольку данный вид платежа существенно снижает переплаты по кредиту.

Минусом являются большие размеры первоначальных платежей, поэтому дифференцированный платеж называют платежом для обеспеченных людей. Еще одним минусом является отсутствие популярности платежа у банков – большинство банков используют аннуитетную платежную систему,  так как для них она более выгодная.

5. Заключение.

На мой взгляд было бы интересно изучить и рассмотреть данную тему. В процессе исследования и решения финансовых задач меня заинтересовали вопросы о том, как же на самом деле в практической деятельности человека происходит расчет кредита, какие существуют виды кредитов и какой из них выгоднее взять заемщику. В настоящее время тема моего доклада очень особенно актуальна, так как жизнь современного человека тесно связана с экономическими отношениями, в частности, с операциями в банке. Моя научно-исследовательская работа показывает, что научиться решать финансовые задачи, рассчитывать проценты и переплаты по вкладам и кредитом может обычный девятиклассник. В процессе написания работы я сама смогла повысить свой уровень финансовой грамотности, именно поэтому моя работа может быть очень полезна любому человеку. Ведь быть финансово грамотным человеком в наше время очень важно.

6. Библиографический список.

1. Гущин Д.Д. «Встречи с финансовой математикой»,Санкт-Петербург,2016

2.  Мордкович А.Г. « Алгебра 9 класс»,Москва, « Мнемозина»,2010 г. 

3.ЯщенкоИ.В. « ЕГЭ 2017.Математика.36 вариантов.», М.,«Национальное образование». 

4.Банковские вклады: понятие, правила открытия и виды вкладов http://provincialynews.ru/ 

5. Что лучше — аннуитетный или дифференцированный платеж? http://ipoteka-expert.com/annuitetnyj-i-differencirovannyj-platezh-chto-eto/ 

6.Библиографический список:

1.Гущин Д.Д. «Встречи с финансовой математикой»,Санкт-Петербург,2016 г.

2.Мордкович А.Г. « Алгебра 9 класс»,Москва, « Мнемозина»,2010 г.

3.ЯщенкоИ.В. « ЕГЭ 2017.Математика.36 вариантов.», М., «Национальное образование».

4.Банковские вклады: понятие, правила открытия и виды вкла-довhttp://provincialynews.ru/

5. Что лучше — аннуитетный или дифференцированный платеж? http://ipoteka-expert.com/annuitetnyj-i-differencirovannyj-platezh-chto-eto/