Информация для обучающихся

Вариант 1

1. Найдите значение выражения:  (4,1 – 0,66 : 1,2) ∙ 0,6.
2. Миша шёл из одного села в другое 0,7 ч по полю и 0,9 ч через лес, пройдя всего 5,31 км. С какой скоростью шёл Миша через лес, если по полю он двигался со скоростью 4,5 км/ч?
3. Решите уравнение: 9,2𝑥 – 6,8𝑥 + 0,64 = 1
4. Ширина прямоугольного параллелепипеда равна 4 см, что составляет   его длины, а высота составляет 40 % длины. Вычислите объем параллелепипеда.
5. Выполните действия:   20 : ( + ) – ( – ) : 5.
6. Среднее арифметическое четырёх чисел равно 1,4, а среднее арифметическое трёх других чисел – 1,75. Найдите среднее арифметическое этих семи чисел.

Вариант 2

1. Найдите значение выражения:  (0,49 : 1,4 – 0,325) ∙ 0,8.
2. Катер плыл 0,4 ч по течению реки и 0,6 ч против течения, преодолев всего 16,8 км. С какой скоростью плыл катер по течению, если против течения он плыл со скоростью 16 км/ч?
3. Решите уравнение: 7,2𝑥 – 5,4𝑥 + 0,55 = 1
4. Ширина прямоугольного параллелепипеда равна 3,6 см, что составляет   его длины, а высота составляет 42 % длины. Вычислите объем параллелепипеда.
5. Выполните действия:   30 : () + ( – ) : 7.
6. Среднее арифметическое трёх чисел равно 2,5, а среднее арифметическое двух других чисел – 1,7. Найдите среднее арифметическое этих пяти чисел.

Вариант 1

1. Найдите значение выражения:  (4,1 – 0,66 : 1,2) ∙ 0,6.
2. Миша шёл из одного села в другое 0,7 ч по полю и 0,9 ч через лес, пройдя всего 5,31 км. С какой скоростью шёл Миша через лес, если по полю он двигался со скоростью 4,5 км/ч?
3. Решите уравнение: 9,2𝑥 – 6,8𝑥 + 0,64 = 1
4. Ширина прямоугольного параллелепипеда равна 4 см, что составляет   его длины, а высота составляет 40 % длины. Вычислите объем параллелепипеда.
5. Выполните действия:   20 : ( + ) – ( – ) : 5.
6. Среднее арифметическое четырёх чисел равно 1,4, а среднее арифметическое трёх других чисел – 1,75. Найдите среднее арифметическое этих семи чисел.

Вариант 2

1. Найдите значение выражения:  (0,49 : 1,4 – 0,325) ∙ 0,8.
2. Катер плыл 0,4 ч по течению реки и 0,6 ч против течения, преодолев всего 16,8 км. С какой скоростью плыл катер по течению, если против течения он плыл со скоростью 16 км/ч?
3. Решите уравнение: 7,2𝑥 – 5,4𝑥 + 0,55 = 1
4. Ширина прямоугольного параллелепипеда равна 3,6 см, что составляет   его длины, а высота составляет 42 % длины. Вычислите объем параллелепипеда.
5. Выполните действия:   30 : () + ( – ) : 7.
6. Среднее арифметическое трёх чисел равно 2,5, а среднее арифметическое двух других чисел – 1,7. Найдите среднее арифметическое этих пяти чисел.

Входной срез. 6 класс.

Вариант 1.

1. Найдите значение выражения:

а) 21 ∙ 192 + 11988 : 37

б) 27,2 – 18,91 : (2,48 + 3,72)

в)

2. В книге 150 страниц. Ученик прочитал    всей книги. Сколько страниц прочитал  ученик?
3. Выделить целую часть: ;  ;  ; ;
4. Решите уравнение:

а)

б) 1,2x + 5 = 5,72

в) 5,9y + 2,3y = 27,88

5. Два поля занимают площадь 79,9 га. Площадь первого поля в 2,4 раза больше второго. Какова площадь каждого поля.
6. В саду 120 фруктовых деревьев. Из них 50% — яблони, 20% — груши, остальные — вишни. Сколько вишен в саду?

Входной срез. 6 класс.

Вариант 1.

7. Найдите значение выражения:

а) 21 ∙ 192 + 11988 : 37

б) 27,2 – 18,91 : (2,48 + 3,72)

в)

8. В книге 150 страниц. Ученик прочитал    всей книги. Сколько страниц прочитал  ученик?
9. Выделить целую часть: ;  ;  ; ;
10. Решите уравнение:

а)

б) 1,2x + 5 = 5,72

в) 5,9y + 2,3y = 27,88

11. Два поля занимают площадь 79,9 га. Площадь первого поля в 2,4 раза больше второго. Какова площадь каждого поля.
12. В саду 120 фруктовых деревьев. Из них 50% — яблони, 20% — груши, остальные — вишни. Сколько вишен в саду?

Входной срез. 6 класс.

Вариант 2.

1. Найдите значение выражения:

а) 17 ∙ 214 + 20496 : 48

б) 54,4 – 37,82 : (4,96 + 7,44)

в)  

2. У Димы 120 марок. Среди них   на тему «Космос». Сколько у Димы марок на тему «Космос»?
3. Выделить целую часть: ;  ; ;;
4. Решите уравнение:

а)

б) 1,4x – 0,54 = 0,3

в) 5,9y + 2,3y = 27,88

5. Доску длиной 215,16 см распилили на две части. Одна часть больше другой в 2,3 раза. Какова длина каждой части?
6. В книге 240 страниц. Первый рассказ занимает 20% книги, второй — 40%, остальное — третий рассказ. Сколько страниц занимает третий рассказ?

Входной срез. 6 класс.

Вариант 2.

7. Найдите значение выражения:

а) 17 ∙ 214 + 20496 : 48

б) 54,4 – 37,82 : (4,96 + 7,44)

в)  

8. У Димы 120 марок. Среди них   на тему «Космос». Сколько у Димы марок на тему «Космос»?
9. Выделить целую часть: ;  ; ;;
10. Решите уравнение:

а)

б) 1,4x – 0,54 = 0,3

в) 5,9y + 2,3y = 27,88

11. Доску длиной 215,16 см распилили на две части. Одна часть больше другой в 2,3 раза. Какова длина каждой части?
12. В книге 240 страниц. Первый рассказ занимает 20% книги, второй — 40%, остальное — третий рассказ. Сколько страниц занимает третий рассказ?

Контрольная работа по математике

5 класс

Пояснительная записка.

Контрольная работа по математике в 5 классе предназначена для оценки уровня общеобразовательной подготовки по математике обучающихся 5 класса в соответствии с требованиями ФГОС.

Содержание контрольной работы определяется на основе Федерального государственного образовательного стандарта основного общегообразования по математике (утвержден приказом Минобрнауки России от 17.12.2010г. № 1897 «Об утверждении федерального государственногообразовательного стандарта основного общегообразования»), в соответствии с Примерной программой основного общего образования по математике.

УМК

Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др. Математика. 5 класс: учебник для общеобразовательных организаций; под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. – 4 – е изд. – М.: Просвещение, 2016.

Цель:

проверить уровень освоения обучающимися образовательной программы по математике для 5 класса за первое полугодие 2016 - 2017 учебного года по темам: «Разнообразный мир линий», «Как записывают и читают натуральные числа», «Числа и точки на прямой», «Вычитание натуральных чисел», «Деление натуральных чисел», «Степень числа», «Как обозначают и сравнивают углы», «Признаки делимости», «Треугольники и четырехугольники», «Задачи на части», «Деление с остатком», «Порядок действий в вычислениях».

Задачи:

- установить соответствие уровня достижения предметных и метапредметных результатов, в том числе уровня сформированности универсальных учебных действий (УУД) и овладения межпредметными понятиями к уровню подготовки обучающихся 5 класса к требованиям ФГОС основного общего образования по математике;

- выяснить индивидуальные затруднения обучающихся по изученным темам;

- выявить типичные пробелы в знаниях обучающихся по изученным темам;

- наметить траекторию повышения качества знаний каждого обучающегося;

- проверить уровень сформированности предметных и метапредметных компетенций.

Содержание контрольно-измерительных материалов.

Тексты заданий в вариантах контрольной работы в целом соответствуют формулировкам, принятым в учебниках, включенных в Федеральный перечень учебников, рекомендуемых Министерством образования и науки РФ к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ основного общего образования.

Распределение заданий варианта проверочной работы по содержанию, проверяемым умениям и видам деятельности.

Структура варианта контрольной работы.

Работа содержит 13 заданий.

В заданиях № 1 – № 9 необходимо записать только ответ.

В заданиях №10 – №13 требуется записать решение и ответ.

Продолжительность контрольной работы

На выполнение контрольной работы по математике дается 40 минут.

Критерии оценивания выполнения отдельных заданий и проверочной работы в целом.

При проверке работы за каждое из заданий № 1 - № 9 выставляется 1 балл, если ответ правильный и 0 баллов, если ответ неправильный.

За выполнение заданий № 10 – №13, в зависимости от полноты и правильности ответа выставляется от 0 до 2 баллов, согласно критериям, представленным ниже.

Решения и указания к оцениванию

1 вариант

№ 10. Альбом для рисования дороже карандаша в 10 раз, а вместе они стоят 275 руб. Сколько стоит карандаш?

№ 11. В многоэтажном доме с одним подъездом на каждом этаже по 5 квартир. На каком этаже находится квартира № 48?

№ 12. Найдите значение выражения 78 • 29 + 6 573 : 313 – 408.

№ 13. Билет на электричку стоит 180 руб. для взрослого и 100 руб. для школьника. На группу из 10 школьников можно приобрести групповой билет за 800 руб. Какую минимальную сумму в рублях должна заплатить при организации загородной поездки группа, состоящая из учителя, двух родителей и 15 школьников?

2 вариант

№ 10. Кроссовки дороже футбольного мяча в 2 раза, а вместе они стоят 1 650 руб. Сколько стоит футбольный мяч?

№ 11. В доме, в котором живет Дима, один подъезд. На каждом этаже по 8 квартир. Дима живет в квартире №86. На каком этаже живет Дима?

№ 12. Найдите значение выражения 477 • 85 – 7 784 : 56 + 10 809

№ 13. Группа, состоящая из трёх учителей и 16 школьников, решила совершить экскурсионную поездку. Билет на экскурсионный автобус стоит 380 руб. для взрослого и 120 руб. для школьника. На группу из 10 школьников можно приобрести групповой билет за 900 руб. Какую минимальную сумму в рублях должна заплатить группа при организации экскурсионной поездки?

Таблица перевода баллов в отметки по пятибалльной шкале.

Максимальный балл за выполнение работы − 17.

Ключи.

1 вариант

2 вариант

Контрольная работа за I полугодие

1. Укажите замкнутую линию:

а)     б)    в)    г)

2. Найдите число, в котором 4 тысячи, 3 десятка и 5 единиц:

а) 4305 б) 3450 в) 4035 г) 4350

3. На каком рисунке правильно изображены точки Р (9) и  А(5)?

4. На сколько число 4265 меньше числа 15 104?

а) на 11 161   б) на 10 839    в) на 10 849    г) на 10 939

5. Выберите верное равенство:

а) 8235 : 27 = 35;    б) 8235 : 27 = 305;    в) 8235 : 27 = 3005;    г) другой ответ.

6. Укажите верное равенство.

а) ;   б) ;   в) ;   г) 

7. Из данных углов выберите острый угол

8. Выберите число, которое делится на 2

а) 7385    б) 2430    в) 2881    г) 9163

9. Найдите периметр треугольника, две стороны которого равны по 15см, а третья 10см.

а) 25см;     б) 35 см;    в) 40см;    г) 4 м

10. Альбом для рисования дороже карандаша в 10 раз, а вместе они стоят 275 руб. Сколько стоит карандаш?

11. В многоэтажном доме с одним подъездом на каждом этаже по 5 квартир. На каком этаже находится квартира № 48?

12. Найдите значение выражения 78 • 29 + 6 573 : 313 – 408.

13. Билет на электричку стоит 180 руб. для взрослого и 100 руб. для школьника. На группу из 10 школьников можно приобрести групповой билет за 800 руб. Какую минимальную сумму в рублях должна заплатить при организации загородной поездки группа, состоящая из учителя, двух родителей и 15 школьников?

2 вариант

1. Укажите замкнутую линию:

а) б) в) г)

2. Найдите число, в котором 5 тысяч, 3 сотни и 5 единиц:

а) 5305 б) 5350 в) 5035 г) 4350

3. На каком рисунке правильно изображены точки В (8) и С (4)?

4. На сколько число 13 105 больше числа 2638?

а) на 1543 б) на 10 477 в) на 10 467 г) на 11 467

5. Выберите верное равенство:

а) 4860:45=18; б) 4860:45=108; в) 4860:45=1008; г) другой ответ.

6. Укажите верное равенство.

а) ; б) ; в) ; г) .

7. Из данных углов выберите тупой угол

8. Выберите число, которое делится на 10

а) 7385 б) 2430 в) 2881 г) 9163

9. Периметр квадрата со стороной 5 см равен

а) 25 см б) 10 см в) 20 см г) 2 м

10. Кроссовки дороже футбольного мяча в 2 раза, а вместе они стоят 1 650 руб. Сколько стоит футбольный мяч?

11. В доме, в котором живет Дима, один подъезд. На каждом этаже по 8 квартир. Дима живет в квартире №86. На каком этаже живет Дима?

12. Найдите значение : 477 • 85 – 7 784 : 56 + 10 809

13. Группа, состоящая из трёх учителей и 25 школьников, решила совершить экскурсионную поездку. Билет на экскурсионный автобус стоит 380 руб. для взрослого и 120 руб. для школьника. На группу из 10 школьников можно приобрести групповой билет за 900 руб. Какую минимальную сумму в рублях должна заплатить группа при организации экскурсионной поездки?

Итоговая контрольная работа

Тема. Обобщение и систематизация знаний

учащихся за курс 8 класса.

1. Найдите  углы параллелограмма, если один из них на 26°  больше другого.
2. Продолжения боковых сторон АВ и СD трапеции АВСD  пересекаются  в точке М.  Меньшее основание  ВС   равно 5 см, ВМ = 6 см, АВ = 12 см. Найдите большее основание трапеции.
3. Высота АМ треугольника АВС  делит его сторону ВС   на отрезки ВМ и МС. Найдите сторону АС, если АВ= 10√2 см, МС = 24 см, ∠В=45°.
4. Основания равнобокой трапеции  равны  12 см и 20 см, а диагональ является биссектрисой её тупого угла. Найдите площадь трапеции.
5. Перпендикуляр, опущенный  из точки окружности на её диаметр, делит его на два отрезка, один из которых на 27 см больше другого. Найдите радиус окружности, если длина данного перпендикуляра равна 18 см.

                           Алгебраические выражения.         7кл.А.01          

Числовое выражение – запись, состоящая из чисел, соединённых, знаками действий.

1,2 · ( - 3) - 9 ÷ 0,5   - числовое выражение.

Алгебраическое выражение – выражение, состоящее из чисел и букв, соединённых знаками действий.

 2 ( m + n ) ; 3a + 2ab – 1 -  aлгебраическое выражение.

Числовое значение алгебраического выражения – число, полученное в результате вычислений после замены в этом выражении букв числами.

• Найти значение выражения

3a + 2ab -1  

Если a=2 , b= 3,      тогда          3 · 2 + 2 · 2 · 3 – 1 =17

Если a=-1 , b= 5,     тогда          3 ·(-1) + 2· (-1)· 5 – 1 = -14.

Алгебраическая сумма – запись, состоящая из нескольких алгебраических выражений, соединённых знаками « + » и « - ».

Правила раскрытия скобок

• Если к алгебраическому выражению прибавляется алгебраическая сумма, заключённая в скобки, то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы.

14 + ( 7 - 23 + 21 ) = 14 + 7 – 23 + 21

a +( b – c – d ) = a + b – c – d

• Если из алгебраического выражения вычитается алгебраическая сумма, заключённая в скобки, то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы на противоположный.

14 – (7 - 23 + 21 ) = 14 – 7 + 23 – 21

a - ( b – c – d ) = a -  b + c +d

   Уравнение с одним неизвестным              7 кл.А.02

Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением.

Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа  от знака равенства, называется правой  частью уравнения.

Каждое слагаемое левой или правой части уравнения называется членом уравнения.

Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство.

Уравнение может иметь бесконечно много корней.

Уравнение может и  не иметь корней.

9 х -23 = 5х- 11

9х-5х=23-11

   4х=12│÷4

                            х=3             Ответ.х=3

• Любой член уравнения можно перенести из одно части в другую, изменив его знак на противоположный.
• Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно ито же число, не равное нулю.

Алгоритм решения уравнения:

• Переносят члены, содержащие неизвестное, в левую часть, а члены, не содержащие неизвестного, в правую часть.
• Приводят подобные слагаемые.
• Делят обе части уравнения на коэффициент при неизвестном, если он не равен нулю.

Алгоритм решения задач с помощью  уравнения:

• Составить уравнение по условию задачи.
• Решить полученное уравнение.

                             Свойства степеней                     7 кл. А.03

Степенью числа  а с натуральным показателем n , большим 1, называется произведение  n  множителей, каждый из которых равен а :

=а·а·а·а·…·а                  

  n   раз

        а – основание степени, n-показатель степени

1. При умножении  степеней с одинаковыми  основаниями  основание остаётся прежним, а показатели складываются.

2. При делении степеней с одинаковыми  основаниями  основание остаётся прежним, а показатели вычитаются.

3. При возведении степени в степень основание остаётся прежним, а показатели степеней перемножаются.

)m=

4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель.

5. При возведении в степень дроби в эту степень возводится числитель и знаменатель.

,   где b

                Одночлены и многочлены              7 кл. А.04

Произведение числовых и буквенных множителей называют одночленом.

abc, (-4)a3ab, 2,5xу – одночлены.

Одночлены, которые содержат только один числовой множитель, стоящий на первом месте, и степени с различными буквенными основаниями, называют одночленами стандартного вида.

3,5 abc,  -5ху3 - одночленами стандартного вида.

Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов.

Приведением подобных слагаемых называют упрощение многочлена, при котором алгебраическая сумма подобных одночленов заменяется одним одночленом.

Результаты действий с одночленами и многочленами

        Разложение многочленов на множители     7 кл. А.05

Если все члены многочлена содержат  общий множитель, то этот множитель можно вынести за скобки.

Чтобы разложить многочлен на множители вынесением общего множителя за скобки, нужно:

• Найти общий множитель.
• Вынести его за скобки.

Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, нужно:

• Объединить члены многочлена в такие группы, которые имеют общий множитель в виде многочлена.
• Вынести этот общий множитель за скобки

Формулы сокращённого умножения

• Формула разность квадратов

( a – b )(a + b ) = a2 – b2

• Формула квадрата суммы

(a + b )2 = a2 + 2ab + b2

• Формула квадрата разности

(a - b )2 = a2 - 2ab + b2

• Формула куба суммы

( a + b)3=a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3 

• Формула куба разности

( a - b)3=a3 -  3 a2 b + 3 a b2 -  b3 

• Формула суммы кубов

a3 + b3 = ( a + b )(a2 – ab + b2 )

• Формула разности кубов

a3 - b3 = ( a - b )(a2 + ab + b2 )

                             Алгебраические дроби                 7 кл.А.06  

Выражение         называют алгебраической дробью.      

Чтобы сократить алгебраическую дробь, нужно числитель и знаменатель разделить на их общий множитель.

Для приведения алгебраических  дробей к общему знаменателю нужно:

• Найти общий знаменатель данных дробей.
• Для каждой дроби найти дополнительный множитель .
• Умножить числитель каждой дроби на её дополнительный множитель.
• Записать каждую дробь с найденным числителем и общим знаменателем.

Для сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями нужно:

• Найти общий знаменатель дробей.
• Привести дроби к общему знаменателю.
• Сложить или вычесть полученные дроби.
• Упростить результат, если возможно.

Умножение и деление алгебраических дробей выполняется по тем же правилам, что и умножение, и деление обыкновенных дробей:

       Линейная функция и её график             7 кл.А.07

                 у

        ось  ОХ – ось  абсцисс        Прямоуголь-

           0            х            ось ОУ – ось ординат        ная система

1. О – начало координат             координат

                               О1 –единичный отрезок

Линейной функцией  называется функция вида у = kx + b, где  k и b – заданные числа.

Графиком линейной функции  у = kx + b является прямая.

Для построения графика функции  у = kx + b достаточно построить две точки этого графика.

у = 2 х + 3                                                 у = 2 х

                                 у                          

                                                   у = 2 х + 3                                                

                                          у = 2 х

1. х

График функции  у = kx + b получается сдвигом графика функции у = kx на b единиц вдоль оси ординат.

Графиками функций у = kx и у = kx + b являются параллельные прямые.

                               Системы двух уравнений           7кл.А.08

с двумя неизвестными

х  +  у  = 10      

х – у = 4     - система двух уравнений с двумя неизвестными

Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными называют такую пару чисел х и у , которые при подстановке в эту систему обращают каждое её уравнение в верное равенство.

Решить систему уравнений  - это значит найти все её решения или установить , что их нет.

Чтобы решить систему  двух уравнений с двумя неизвестными способом  подстановки, нужно:

• из одного уравнения системы ( всё равно из какой)  выразить одно неизвестное через другое, например у через х.
• полученное выражение подставить в другое уравнение системы, получится одно уравнение с одним неизвестным  х.
• решить это уравнение, найти значение х.
• подставив найденное значение  х  в выражение для  у, найти значение  у.

Чтобы решить систему  двух уравнений с двумя неизвестными способом  алгебраического сложения, нужно:

• уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных.
• Складывая и вычитая полученные уравнения, найти одно неизвестное.
• Подставляя найденное значение в одно из уравнений исходной системы, найти второе неизвестное.

Чтобы решить систему  двух уравнений с двумя неизвестными  графическим способом, нужно:

• Построить графики каждого из уравнений системы.
• Найти координаты точки пересечения построенных прямых (если они пересекаются)

На плоскости возможны три случая взаимного расположения двух прямых- графиков уравнений системы.

• Прямые пересекаются ,т .е. имеют одну общую точку. Система  уравнений имеет единственное решение.
• Прямые параллельны, т.е.не имеют общих точек. Система  уравнений не имеет решений.
• Прямые совпадают. Система  уравнений имеет бесконечно много  решений.

Алгебра

         7 класс

1. Алгебраические  выражения.
2. Уравнения с одним неизвестным.
3. Свойства степеней.
4. Одночлены и многочлены.
5. Разложение многочленов на   множители.
6. Алгебраические дроби.
7. Линейная функция и её график.
8.      Системы двух уравнений с  двумя неизвестными.

                      Делители и кратные                            6кл.М.01

Делителем натурального числа  а называется натуральное число, на которое  а делится без остатка.

Кратным натурального числа а называют натуральное число , которое делится без остатка на  а.

Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных.

Признаки делимости

Если запись натурального числа оканчивается цифрой  0, то это число делится без остатка на  10.

Если запись натурального числа оканчивается цифрой  0 или 5, то это число делится без остатка на  5.

Если запись натурального числа оканчивается   чётной цифрой, то   это число делится без остатка на  2.

Если сумма цифр числа делится на  9, то и число делится на 9.

Если сумма цифр числа делится на  3, то и число делится на 3

                              НОД и НОК                                         6кл.М.02

Натуральное число называют простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число.

Натуральное число называют составным, если оно имеет более двух делителей.

Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b , называют наибольшим общим делителем этих чисел. НОД(24;36)=12

Натуральные числа называют взаимно простыми, если наибольший общий делитель равен 1.

Чтобы найти НОД нескольких натуральных чисел , надо:

• Разложить их на простые множители;
• Из множителей , входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;
• Найти произведение оставшихся множителей

Наименьшим общим кратным натуральных чисел  a   и  b называют наименьшее натуральное число, которое кратно и a, и  b.

Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких  натуральных чисел  , надо:

• Разложить их на простые множители;

• Выписать множители, входящие в разложение остальных чисел
• Добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел
• Найти произведение получившихся множителей

НОД(24;36)= 2·2·3=12                                   НОК(24;36)=2·2·2·3·3=72                            

24  2        36  2                                        24  2                 36  2

12  2             18   2                                       12  2             18   2        

  6  2               9   3                                        6  2               9   3

  3   3              3   3                                        3   3              3   3                                        

  1                  1                                             1                     1    

                 Сложение и вычитание дробей              6кл.М.03  

                      с разными знаменателями      

Чтобы сравнить(сложить, вычесть) дроби с разными знаменателями, надо:

• Привести  данные дроби к наименьшему общему знаменателю;
• Сравнить (сложить, вычесть) полученные дроби

+                               -  

Чтобы сложить смешанные числа , надо:

• Привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю;
• Отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно – дробных частей. Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть из этой дроби и прибавить её к полученной целой части

Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел, надо:

• Привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превратить её в неправильную дробь, уменьшив на единицу целую часть;

• Отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей

                         Умножение и деление                 6 кл.М.04

обыкновенных дробей

Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо её числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.

                                          =

Чтобы  умножить дробь на дробь, надо:

• Найти произведение числителей и знаменателей этих дробей;
• Первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем.

Для того чтобы выполнить умножение смешанных чисел, надо их записать в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей.

Чтобы найти дробь от числа , нужно умножить число на эту дробь.

Чтобы умножить смешанное число на натуральное число, можно:

• Умножить целую часть на натуральное число
• Умножить дробную часть на это натуральное число
• Сложить полученные результаты

Два числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.

Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю.

Чтобы найти число по данному значению его дроби, надо это значение разделить на эту дробь.

Частное двух чисел или выражений, в котором знак деления обозначен чертой, называют дробным выражением.

                             Отношения и пропорции            6 кл.М.05

Частное двух чисел называют отношением этих чисел.

Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго, или какую часть первое число составляет от второго.

Равенство двух отношений называют пропорцией.

         a÷b=c÷d

а и d    - крайние члены пропорции,    c и b- средние члены пропорции

В  верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних.

            a·d=b·c

Если  произведение крайних членов пропорции равно произведению среднтх членов, то пропорция верна.

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, надо произведение средних членов разделить на известный крайний член пропорции.

                                                 a=

Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, надо произведение крайних членов пропорции разделить на известный средний член пропорции

                           d=

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Две величины называют обратно  пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

                                          Масштаб                    6 кл.М.06

Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называют масштабом карты.

                   М=

Длина окружности. Площадь круга.

        C=2πr                S =      

                                      C – длина окружности,  r – радиус окружности

        S – площадь круга

Шар

                                                             r- радиус шара

                    d – диаметр шара

   Положительные и отрицательные числа       6 кл.М.07

Числа со знаком + называют положительными.

Числа со знаком  - называют отрицательными.

Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называют противоположными числами.

Натуральные числа, противоположные им числа и нуль называют целыми числами.

Модуль числа

Модулем числа  а называют расстояние ( в единичных отрезках) от начала координат до точки А (а).

        5        4

                 -5                       0                   4                     х

                  а, если  а  ≥ 0

    │а│=    

                    -а, если  а < 0          

        │0│=0        

   │4│=4                                            

   │-5│=5  

                                      Сложение и вычитание             6 кл.М.08

положительных и отрицательных чисел

Чтобы сложить два отрицательных числа, надо:

• Сложить их модули;
• Поставить перед полученным числом знак  - .

-8,7+ (-3,5)= - ( 8,7 + 3,5 ) = - 12,2

-2

Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо:

• Из большего модуля слагаемых вычесть меньший;
• Поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше.

6,1 + ( -4,2 ) = + (6,1 – 4,2 ) = 1,9

- 8

Чтобы из данного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому:  a-b=a+(-b)

18 – 14 =- 18 + ( - 14) = - ( 18 + 14 )= - 32

Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, надо из координаты  его правого конца вычесть координату его левого конца.

                         Умножение и деление                      6 кл.М.09

положительных и отрицательных чисел

Чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо перемножить модули этих чисел и поставить перед полученным числом знак  - .

( - 1,2 ) · 0,3 = - ( 1,2 · 0,3 ) = - 0,36

1,2 · ( - 0,3 ) = - ( 1,2 · 0,3 ) = - 0,36

Чтобы перемножить два отрицательных числа, надо перемножить их модули.

( - 3,2 ) · ( - 9 ) = │ - 3,2 │· │ - 9 │= 3,2 · 9 = 28,8

Или ( - 3,2 ) · ( - 9 ) = 3,2 · 9 = 28,8

Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, надо разделить модуль делимого на модуль делителя.

( - 12 ) ÷ ( - 4 ) =│-12│ ÷ │ -4│ = 3

Или ( - 12 ) ÷ ( - 4 ) =12 ÷ 4 = 3

При делении чисел с разными знаками, надо:

• Разделить модуль делимого на модуль делителя;
• Поставить перед полученным числом знак - .

3,6  ÷ ( - 3 ) = - ( 3,6 ÷ 3 ) = - 1,2

( -

Делить на нуль нельзя!

                            Рациональные числа                6кл.М.10

Число, которое можно записать в виде отношения   , где  a- целое число, а  n – натуральное число, называют рациональным числом.

Любое целое число а является рациональным числом, т.к. его можно записать в виде   .

-3 =       0=

Сумма, разность и произведение рациональных чисел тоже рациональное число.

Если делитель отличен от нуля, то частное двух рациональных чисел тоже рациональное число.

Свойства действий с рациональными числами

• Переместительное свойство сложения

a + b = b + a

• Сочетательное свойство сложения

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c

• Прибавление нуля не изменяет числа

 а + 0 = а

• Сумма противоположных чисел равна нулю

а + ( - а ) = 0

• Переместительное свойство умножения

ab = ba

• Сочетательное свойство умножения

a  ( b  c ) = ( a b ) c

• Распределительное свойство умножения относительно сложения

( a + b ) c = ac + bc

• a · 1=a,                        a · 1,  если а≠0,                а · 0 = 0  

                              Раскрытие скобок                   6 кл.М.11

Если перед скобками стоит знак  + , то можно опустить скобки и этот знак +, сохранив знаки слагаемых, стоящих в скобках. Если первое слагаемое в скобках записано без знака, то его надо записать со знаком  + .

a + ( b + c ) = a + b + c               a + ( - b + c ) = a – b + c

Чтобы записать сумму, противоположную сумме нескольких слагаемых, надо изменить знаки данных слагаемых.

- ( a + b ) = - a – b

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак  -  , надо заменить этот знак на  +  , поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные. А потом раскрыть скобки.

Коэффициент

Если выражение является произведением числа и одной или нескольких букв, то это число называют числовым коэффициентом ( или просто коэффициентом)

0,3а · ( - 0,7 b) = - 0,21 ab

Подобные слагаемые

Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называют подобными слагаемыми.

Чтобы сложить (или говорят: привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.

- 9х + 7х - 5х + 2х = ( -9 +7 -5 +2)х= - 5х

Решение уравнения

Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом знак.

                         Перпендикулярные прямые        6 кл.М.12

Две прямые, образующие при пересечении прямые углы, называются перпендикулярными.

А        С

        АВ         СД

        О

        В

Д

Отрезки или лучи , лежащие на перпендикулярных прямых, называют перпендикулярными отрезками или лучами.

Параллельные прямые

Две не пересекающиеся прямые на плоскости называют параллельными.

        В

А                                    АВ │  СД          

С        Д

Если две прямые в плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.

        c                a        c,  b          c         a││b

а

b

через каждую точку плоскости, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.

Математика

6 класс

1. Делители и кратные . Признаки делимости 
2. НОД и НОК  
3. Сложение и вычитание дробей    с разными знаменателями      
4. Умножение и деление    обыкновенных дробей
5. Отношения и пропорции      
6. Длина окружности. Площадь круга.
7. Положительные и отрицательные числа. Модуль числа      

8. Сложение и вычитание   положительных и отрицательных чисел
9. Умножение и деление     положительных и отрицательных чисел
10. Рациональные числа                    
11. Раскрытие скобок.         Подобные слагаемые
12. Перпендикулярные прямые.        Параллельные прямые