9. Олимпиады

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ  2018-2019 уч. г.

МУНИЦИПАЛЬНЫЙ ЭТАП

 5 КЛАССЗадания

5.1. Сумма 2018 натуральных чисел равна 2018. Какой станет сумма, если одно из слагаемых увеличить в десять раз? Ответ объясните.

5.2. Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, на три части так, чтобы в каждой из частей была снежинка и из этих частей можно было бы сложить квадрат. Нарисуйте, как вы разрезаете фигуру и каким образом складываете квадрат.

5.3. У Тани на 12 ромашек больше, чем у Нади, а у Маши на 24 ромашки больше, чем у Тани. Кому из девочек и сколько ромашек должна дать Маша, чтобы у всех стало поровну?

5.4. Два гнома одновременно выбежали навстречу друг другу: Балин от оврага, а Двалин от ёлки. Через час Балину до елки оставалось пробежать на 650 метров больше, чем онпробежал, а Двалину до оврага на 350 метров больше, чем он пробежал. Найдите расстояние между гномами через час после начала бега.

5.5. Лотерейный билет имеет шестизначный номер. Билет является выигрышным, если сумма трех каких-то его цифр равна сумме трех остальных. Игорь купил два лотерейных билета с подряд идущими номерами. Они оба оказались выигрышными. На какую цифру оканчивались каждый из этих номеров?

…………………………………………………………………………………………………………….

        ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ  2018-2019 уч. г.

МУНИЦИПАЛЬНЫЙ ЭТАП

 5 КЛАСС Задания

5.1. Сумма 2018 натуральных чисел равна 2018. Какой станет сумма, если одно из слагаемых увеличить в десять раз? Ответ объясните.

5.2. Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, на три части так, чтобы в каждой из частей была снежинка и из этих частей можно было бы сложить квадрат. Нарисуйте, как вы разрезаете фигуру и каким образом складываете квадрат.

5.3. У Тани на 12 ромашек больше, чем у Нади, а у Маши на 24 ромашки больше, чем у Тани. Кому из девочек и сколько ромашек должна дать Маша, чтобы у всех стало поровну?

5.4. Два гнома одновременно выбежали навстречу друг другу: Балин от оврага, а Двалин от ёлки. Через час Балину до елки оставалось пробежать на 650 метров больше, чем онпробежал, а Двалину до оврага на 350 метров больше, чем он пробежал. Найдите расстояние между гномами через час после начала бега.

5.5. Лотерейный билет имеет шестизначный номер. Билет является выигрышным, если сумма трех каких-то его цифр равна сумме трех остальных. Игорь купил два лотерейных билета с подряд идущими номерами. Они оба оказались выигрышными. На какую цифру оканчивались каждый из этих номеров?

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ  2018-2019 уч. г.

МУНИЦИПАЛЬНЫЙ ЭТАП

6 КЛАССЗадания

6.1. Сумма 2018 натуральных чисел равна 2019. Какой станет сумма, если самое большое слагаемое увеличить в десять раз? Ответ объясните.

6.2. Разрежьте данную фигуру на три одинаковые части.

6.3.На блюде лежали 15 плюшек. Карлсон взял себе в три раза больше плюшек, чем Малыш, а собака Малыша Бимбо - в три раза меньше, чем Малыш. Сколько плюшек осталось на блюде? Ответ объясните.

6.4. Состоятельный Крот подсчитал, что своими запасами зерна он может целиком заполнить либо20 больших мешков зерна, либо 32 маленьких мешка. На месяц зимовки ему необходимо 7больших мешков зерна. Крот может обменять у других кротов 2 больших мешка на 3 маленьких.Сможет ли Крот перезимовать три месяца или ему нужны дополнительные запасы?

6.5. На полянке собрались божьи коровки. Если у божьей коровки на спине 6 точек, то она всегда говорит правду, а если 4 точки - то она всегда лжет, а других божьих коровок на полянке не было. Первая божья коровка сказала: «У нас у каждой одинаковое количество точек на спине». Вторая сказала: «У всех вместе на спинах 30 точек». «Нет, у всех вместе 26 точек на спинах», - возразила третья. «Из этих троих ровно одна сказала правду», - заявила каждая из остальных божьих коровок. Сколько всего божьих коровок собралось на полянке?

…………………………………………………………………………………………………..

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ  2018-2019 уч. г.

МУНИЦИПАЛЬНЫЙ ЭТАП

6 КЛАСС Задания

6.1. Сумма 2018 натуральных чисел равна 2019. Какой станет сумма, если самое большое слагаемое увеличить в десять раз? Ответ объясните.

6.2. Разрежьте данную фигуру на три одинаковые части.

6.3. На блюде лежали 15 плюшек. Карлсон взял себе в три раза больше плюшек, чем Малыш, а собака Малыша Бимбо - в три раза меньше, чем Малыш. Сколько плюшек осталось на блюде? Ответ объясните.

6.4. Состоятельный Крот подсчитал, что своими запасами зерна он может целиком заполнить либо 20 больших мешков зерна, либо 32 маленьких мешка. На месяц зимовки ему необходимо 7 больших мешков зерна. Крот может обменять у других кротов 2 больших мешка на 3 маленьких. Сможет ли Крот перезимовать три месяца или ему нужны дополнительные запасы?

6.5. На полянке собрались божьи коровки. Если у божьей коровки на спине 6 точек, то она всегда говорит правду, а если 4 точки - то она всегда лжет, а других божьих коровок на полянке не было. Первая божья коровка сказала: «У нас у каждой одинаковое количество точек на спине». Вторая сказала: «У всех вместе на спинах 30 точек». «Нет, у всех вместе 26 точек на спинах», - возразила третья. «Из этих троих ровно одна сказала правду», - заявила каждая из остальных божьих коровок. Сколько всего божьих коровок собралось на полянке?

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ  2018-2019 уч. г.

МУНИЦИПАЛЬНЫЙ ЭТАП

 5 КЛАСС

Задания, ответы и критерии оценивания

5.1. Сумма 2018 натуральных чисел равна 2018. Какой станет сумма, если одно из слагаемых увеличить в десять раз? Ответ объясните.

Ответ: 2027

Решение: Так как каждое натуральное число не меньше единицы, то такая сумма может быть получена только в результате сложения 2018 единиц. Если одну из них заменить на 10, то сумма увеличится на 9 и составит 2018 + 9 = 2027

Критерии проверки:

«+» Приведено полное обоснованное решение

«±» Приведен только верный ответ

«-+ » Приведен верный ответ с неверным обоснованием

«–» Приведен неверный ответ или несколько ответов, среди которых есть неверные

«–» Задача не решена

5.2. Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, на три части так, чтобы в каждой из частей была снежинка и из этих частей можно было бы сложить квадрат. Нарисуйте, как вы разрезаете фигуру и каким образом складываете квадрат.

Ответ:

Критерии проверки:

«+»Верно выполнено разрезание и верно показано как сложить квадрат

«∓» Показано только верное разрезание или только верно сложенный квадрат

«-» Фигура разрезана неверно

 5.3. У Тани на 12 ромашек больше, чем у Нади, а у Маши на 24 ромашки больше, чем у Тани. Кому из девочек и сколько ромашек должна дать Маша, чтобы у всех стало поровну?

Ответ: Маша должна отдать 16 ромашек Наде и 4 ромашки Тане.

Решение:Первый способ. Заметим, что у Маши на 36 ромашек больше, чем у Нади. Если

Таня поставит 12 ромашек в вазу, а Маша поставит в ту же вазу 36 ромашек, то у всех девочек останется ромашек поровну (столько, сколько у Нади). Теперь каждая девочка может взять из вазы по (36+12) : 3 = 16 ромашек. При этом у Нади станет больше, чем было изначально, на 16 ромашек, а у Тани – на 4 ромашки.

Второй способ. Пусть Маша сразу отдаст 12 ромашек Наде. Тогда у Нади и Тани

ромашек будет поровну, а у Маши на 12 больше, чем у каждой из них. Эти 12 ромашек нужно поровну распределить между всеми тремя девочками – по 4 ромашки каждой девочке. Надя при этом получит всего 12 + 4 = 16 ромашек, а Таня – 4 ромашки.

Третий способ. Пусть у Нади x ромашек, тогда у Тани (x + 12) ромашек, а у Маши x + 12 + 24 = x + 36 ромашек. Всего у девочек: x + (x + 12) + (x + 36) = 3x + 48 ромашек. Для того, чтобы ромашек стало поровну, у каждой девочки должно быть по x + 16 ромашек: у Нади – на 16 больше, чем у нее есть, а у Тани – на 4 больше, чем у нее есть.

Критерии проверки:

«+» Приведено полное обоснованное решение

«±» Верный ход решения, но допущена вычислительная ошибка

«-+ » Верный ход рассуждений, но допущена вычислительная ошибка

«-+» Верный ответ получен, исходя из конкретного примера

«–» Приведен только ответ

«–» Задача не решена или решена неверно

5.4. Два гнома одновременно выбежали навстречу друг другу: Балин от оврага, а Двалин от ёлки. Через час Балину до елки оставалось пробежать на 650 метров больше, чем он

пробежал, а Двалину до оврага на 350 метров больше, чем он пробежал. Найдите расстояние между гномами через час после начала бега.

Ответ: 500 метров

Решение:Первый способ. Отметим на схеме овраг точкойО, елку – точкой Е, аположения Балина и Двалина точками B и D соответственно. Отметим точку B’ так, чтобы EB’ = OB, тогда по условию BB’ = 650 метров. Аналогично, отметим точку D’ так, чтобы OD’ = ED, тогда DD’ = 350 метров. Заметим, что BD = D’B’ и что BD + D’B’ = (BD’ + D’D) + (D’D + DB’) = (BD’+ D’D + DB’) + D’D = BB’ + DD’ = 1000 метров, откуда BD = 500 метров.

Второй способ. Представим, что у нас две одинаковые дистанции. По одной бегутнавстречу друг другу два Балина, тогда через час между ними останется 650 метров. По

второй дистанции – два Двалина, через час между ними останется 350 метров. Двум Балинам и двум Двалинам от двух таких дистанций от оврага до елки осталось пробежать 1000 метров, следовательно, одному Балину и одному Двалину от одной дистанции до встречи останется 500 метров.

Третий способ. Пусть Балин пробежал x метров, тогда расстояния от оврага до елки составляет x + (x + 650) = 2x + 650 метров. Пусть Двалин пробежал y метров, тогда, с другой стороны, расстояние от оврага до елки составит 2y + 350 метров. Сложим эти величины: 2x + 650 + 2y + 350 = 2x + 2y + 1000 и получим удвоенное расстояние от оврага до елки. Следовательно, расстояние от оврага до елки x + y + 500 метров. Учитывая, что x + y – это расстояние, которое пробежали Балин и Двалин, получаем ответ.

Можно также из равенства 2y + 350 = 2x + 650 выразить y через x и подставить в выражение (2x + 650) – (x + y).

Четвертый способ. Примем расстояние от оврага до елки за 2s метров. Тогда Балин пробежал (2s – 650) : 2 = s – 325 метров, а Двалин пробежал (2s – 350) : 2 = s – 175 метров. Расстояние между гномами равно 2s – (s – 325 + s – 175) = 500 метров.

Критерии проверки:

«+» Приведено полное обоснованное решение

«±» Верный ход решения, но допущена вычислительная ошибка

«- + » Верный ответ получен, исходя из конкретного примера

«–» Приведен только ответ

«–» Задача не решена или решена неверно

5.5. Лотерейный билет имеет шестизначный номер. Билет является выигрышным, если сумма трех каких-то его цифр равна сумме трех остальных. Игорь купил два лотерейных билета с подряд идущими номерами. Они оба оказались выигрышными. На какую цифру оканчивались каждый из этих номеров?

Ответ: на 9 и на 0

Решение: Из условия задачи следует, что сумма всех цифр номера выигрышного билета

– чётное число. Если меньший номер выигрышного билета не оканчивается на 9, то сумма цифр следующего за ним номера больше суммы его цифр на 1, то есть нечётна, и такой билет не может быть выигрышным. Значит, меньший номер купленного билета должен оканчиваться на 9, тогда больший – на 0.

Критерии проверки:

«+» Приведено полное обоснованное решение

«±» Верно и обоснованно получена только одна последняя цифра

«-+» Верный ответ получен, исходя из конкретного примера

«-+»Приведен только верный ответ

«–» Задача не решена или решена неверно

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ  2018-2019 уч. г.

МУНИЦИПАЛЬНЫЙ ЭТАП

6 КЛАССЗадания, ответы и критерии оценивания

6.1. Сумма 2018 натуральных чисел равна 2019. Какой станет сумма, если самое большое слагаемое увеличить в десять раз? Ответ объясните.

Ответ: 2037

Решение: Так как каждое натуральное число не меньше единицы, то такая сумма может быть получена только сложением 2017 единиц и одной двойки. Если двойку увеличить в десять раз, то получится 20. Если в исходной сумме заменить 2 на 20, то сумма увеличится на 18 и станет равна 2019 + 18 = 2037.

Критерии проверки:

«+» Приведено полное обоснованное решение

«±» Приведен только верный ответ

«-+ » Приведен верный ответ с неверным обоснованием

«–» Приведен неверный ответ или несколько ответов, среди которых есть неверные

«–» Задача не решена

6.2. Разрежьте данную фигуру на три одинаковые части.

Ответ: см. рисунок справа.

Критерии проверки:

«+» Приведен верный ответ

«±» Наряду с верным ответом приведен и неверный

6.3.На блюде лежали 15 плюшек. Карлсон взял себе в три раза больше плюшек, чем Малыш, а собака Малыша Бимбо - в три раза меньше, чем Малыш. Сколько плюшек осталось на блюде? Ответ объясните.

Ответ: осталось 2 плюшки.

Решение: Из условия задачи следует, что Малыш взял в три раза больше плюшек, чем Бимбо, а Карлсон взял в три раза больше плюшек, чем Малыш. Далее можно рассуждать поразному.

Первый способ. Если Бимбо взял одну плюшку, то Малыш взял три плюшки, а Карлсон - 9 плюшек, тогда вместе они взяли 1 + 3 + 9 = 13 плюшек. Таким образом, на блюде осталось две плюшки. Если бы Бимбо взял две плюшки или больше, то Малыш взял бы шесть плюшек или больше, а Карлсон — 18 плюшек или больше, что невозможно.

Второй способ. Пусть Бимбо взял x плюшек, тогда Малыш взял 3x плюшек, а Карлсон - 3 · 3x = 9x плюшек. Тогда вместе они взяли x + 3x + 9x = 13x плюшек. Так как число 13x должно быть не больше 15, то единственное возможное натуральное значение x - это 1. Поэтому вместе они съели 13 плюшек, а на блюде осталось две плюшки.

Критерии проверки:

«+» Полное обоснованное решение

«±» Приведен верный ответ, показано, что он удовлетворяет условию, и присутствует

утверждение о том, что он - единственный

«±» обоснованно получено, сколько плюшек кто съел, но явный ответ на заданный вопрос не приведен

«∓» Приведен верный ответ, показано, что он удовлетворяет условию, но нет упоминания о единственности

«-» приведен только верный ответ

6.4. Состоятельный Крот подсчитал, что своими запасами зерна он может целиком заполнить либо20 больших мешков зерна, либо 32 маленьких мешка. На месяц зимовки ему необходимо 7больших мешков зерна. Крот может обменять у других кротов 2 больших мешка на 3 маленьких.Сможет ли Крот перезимовать три месяца или ему нужны дополнительные запасы?

Ответ: не сможет.

Решение: При пересыпании одного большого мешка Крот может заполнить 32 : 20 = 1,6

маленьких. В то же время, при обмене за один большой мешок он получит 3 : 2 = 1,5 маленьких.Значит, путем обмена он не сможет увеличить количество имеющегося у него зерна. А на данныймомент этих запасов не хватает: на три месяца Кроту требуется 21 большой мешок, а в наличии унего только 20.

Критерии проверки:

«+» Приведено полное обоснованное решение

«±» Доказано, что менять мешки смысла не имеет, но не указано, что имеющихся запасов нехватит

«-+»Указано, но не доказано, что менять мешки смысла не имеет

«-» Указано только, что 20 больших мешков на три месяца не хватит

«-» Приведен только ответ

«-» Приведено неверное решение или оно отсутствует

6.5. На полянке собрались божьи коровки. Если у божьей коровки на спине 6 точек, то она всегда говорит правду, а если 4 точки - то она всегда лжет, а других божьих коровок на полянке не было. Первая божья коровка сказала: «У нас у каждой одинаковое количество точек на спине». Вторая сказала: «У всех вместе на спинах 30 точек». «Нет, у всех вместе 26 точек на спинах», - возразила третья. «Из этих троих ровно одна сказала правду», - заявила каждая из остальных божьих коровок. Сколько всего божьих коровок собралось на полянке?

Ответ: 5 божьих коровок.

Решение:

Если первая божья коровка говорит правду, то вторая и третья тоже должны говорить правду, так как у них на спинах должно быть столько же точек, сколько у первой. Но вторая и третья коровки противоречат друг другу, значит, по крайней мере, одна из них лжет, следовательно, первая божья коровка также лжет.

Пусть каждая из первых трех божьих коровок солгала, тогда солгали и все остальные, так как из этих троих ни одна не сказала правду. Значит, все божьи коровки - лгуньи, следовательно, у каждой коровки должно быть по четыре точки на спине. Но в этом случае окажется, что первая божья коровка все-таки сказала правду, чего быть не может. Следовательно, первые три коровки не могут солгать одновременно, поэтому либо вторая, либо третья сказала правду, а две другие - лгуньи.

Таким образом, каждая из остальных божьих коровок сказала правду.

Следовательно, есть две божьи коровки, у которых по 4 точки на спине, и несколько божьих коровок, у которых на спине по 6 точек, а в сумме на спинах у всех коровок либо 30 точек, либо 26.

1) Пусть точек 30, тогда 30 − 2 · 4 = 22, что не делится на 6, поэтому этот случай невозможен.

2) Пусть точек 26, тогда (26 − 2 · 4) : 6 = 3. Значит, на полянке собралось 2 + 3 = 5 божьих коровок.

Критерии проверки:

«+» Полное обоснованное решение

«±» Верно и обоснованно определено кто солгал, а кто сказал правду, но ответ не

найден или найден неверно

«∓» Приведен верный ответ и показано, что он удовлетворяет условию

«-» Приведен только ответ