урок "Применение производной"
методическая разработка на тему

Областное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«Курский автотехнический колледж»

Разработка урока

по математике

«Применение производной»

Преподаватель Власова В.Е.

г. Курск

Методическая цель: Методика активизации познавательной деятельности обучающихся в ходе решения профессиональных задач на уроках математики.

Цели урока:

• обобщение и систематизация знаний  обучающихся по теме «Производная» (основные формулы и правила дифференцирования, применение производной к исследованию функции, нахождению наибольшего и наименьшего значения функции, физический и геометрический смысл производной);
• содействовать развитию мыслительных операций: анализ, синтез, обобщение, формирование умений применять знания на практике, находить оптимальные решения, уверенности в своих силах, настойчивости, умения преодолевать трудности, добиваться намеченной цели, умений работать в коллективе;
• В процессе подготовки и выполнения заданий продолжать формировать чувство ответственности за результаты своей работы, самокритичности в оценке результатов решения задач наряду с чувством уверенности в правильности выполнения работы.

Тип урока: урок обобщения, систематизации знаний, умений и навыков.

Вид урока:  деловая игра

Методы обучения: словесные, наглядные, практические, проблемно-поисковые, самостоятельная работа.

Методы обучения: словесные, наглядные, практические, проблемно-поисковые, самостоятельная работа.

Межпредметные связи: физика, правила безопасности дорожного движения, техническое обслуживание и ремонт автотранспорта, охрана труда.

Структура урока:

1. Организационный момент                                                                      1 мин

2. Мотивация учебной деятельности                                                         2 мин

3. Актуализация знаний и закрепление                                                   39 мин

• самостоятельная работа. Выполнение расчётных заданий автотранспортных и строительных организаций г. Курска;
• защита студентами расчётных заданий;
• решение задачи на нахождение наименьшего значения площади заправочного модуля;
• решение задачи на определение траектории движения гоночного автомобиля.

4. Домашнее задание                                                                                   1 мин

5. Подведение итогов                                                                                  2 мин

Ход урока

1. Организационный момент                                                                      

Девизом нашей встречи мне хотелось бы взять слова великого русского математика Николая Ивановича Лобачевского, которые вам и предстоит доказать в течение рабочего дня“...нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира...”

2.Актуализация знаний.

Начнем с производственного совещания. Руководители отделов доложите какие направления в теме производная вы рассматривали.

Что такое производная?

Каков геометрический смысл производной?

Каков физический смысл производной?

Для чего используется производная?

Найти производную функций.

1. f(x) = x2 – 2
2.  f(x)=2x5 – 4х + 13  

 3) f(x) = cos 5x  - tgx

         4) f(x) =sin 7x +3ctgx

 Найти значение производной в точке

5) f(x) = 6 sinx ,  х = π

6) f(x) = 4Х5- 7,   х = -1

7) f(x) = 6 -9х, х = 9

Задание .  Установите соответствие с помощью стрелок между началом и концом утверждения. Ниже в таблице под номером вопроса поставьте  только выделенную букву. У вас должно получиться ключевое слово.

Ответ: Лейбниц (годы жизни 1646-1716)

В научно-расчётный центр пришли письма от различных организаций, которые хотят получить ответы и расчёты на интересующие их вопросы. Вы должны дать полные, обоснованные ответы и расчёты, которые потом будут отправлены заказчикам. Затем вам предстоит защитить свои   расчеты.

1. Отдел безопасности движения

Уважаемые сотрудники научно-расчётного центра!

На трассе Курск- Воронеж произошла авария. Для выяснения степени виновности водителя нам необходимо знать:

а) в течение какого времени осуществлялось торможение до полной остановки машины?

б) сколько метров двигалась машина с начала торможения?

в) чему равно ускорение в любой момент времени?

Нами установлено, что тормозной путь определяется по формуле:

 S (t) =120t-10t3, где t (c), S (м)

С уважением сотрудники  ГИБДД  г. Курска.

2. Отдел строительства

Уважаемые сотрудники научно-расчётного центра! К Вам обращается  комитет строительства и эксплуатации автомобильных дорог Курской области.

Просим Вас помочь в решении следующей проблемы. Нам необходимо провести мост через реку. Мост имеет форму параболы у(х) = рх2. Каким надо сделать уклон насыпи к мосту, чтобы переход с моста на шоссе был плавным? Пролет моста имеет длину L=20 м., стрела провеса f=0,5 м. Предлагаем чертёж нашей работы:

                        Х                                        

                                                               О

                                                                                                f=0,5 м

                   α

3. Отдел экономики.

Письмо из компании Технорессурс

Специалисты ремонтной мастерской по договору должны  еженедельно изготавливать не менее 40деталей. Производственные мощности мастерской таковы, что максимально можно выпускать   в неделю 80 деталей.

При каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими и наименьшими, если функция затрат имеет вид: К=-х3+98х2+200х. Удельные затраты составляют    .

4.  В  отдел охраны труда обращается руководитель ремонтной мастерской

Объем продукции u(t), произведенный бригадой рабочих, может быть описан уравнением u (t) = - 5/6 t3 + 15/2 t2 + 100 t + 50 (ед.), 1 ≤ t ≤ 8, где t - рабочее время в часах.

Просим Вас  найти производительность труда через час после начала работы и за час до окончания. исследовать ее и построить график изменения производительности труда.

5. Транспортный отдел

Уважаемые сотрудники центра!

 Просим Вас  рассчитать тормозной путь и расход горючего в следующих задачах.

Автомобиль приближается к мосту со скоростью 72 км/ч. Перед мостом  висит дорожный знак "40км/ч". За 7 сек до въезда на мост, водитель нажал на педаль тормоза. С разрешенной  ли скоростью автомобиль въехал на мост, если  тормозной путь определяется формулой s=20t-t²

Расход горючего  легкового автомобиля (литров на 100 км) в зависимости от скорости      Х км/час при движении на четвертой передаче приблизительно описывается  функцией f(х)= 0,0017Х2-0,18Х +15,2,    х >30км/час. При какой скорости расход горючего будет наименьшим?

 С уважением  старший мастер автотехнического колледжа

Защита решений у доски

Задача

1.Для хранения горючих материалов в колледже требуется изготовить мобильный заправочный модуль  в виде прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием. Объем 512 литров. С целью экономии материала, идущего на изготовление емкостей,  просим Вас рассчитать,  при какой стороне основания параллелепипеда, площадь поверхности будет наименьшей?

2.На графике представлена зависимость скорости гоночного автомобиля от времени. Определить по какой траектории двигался этот гоночный автомобиль.

Домашнее задание

К следующему рабочему дню вам необходимо иметь следующие документы:

• На пять – решить любые 4  задачи
• На четыре – решить любые 3 задачи
• На три – решить любые 2 задачи
• Дополнительно можно подобрать или составить задачу на применение производной

Задача 1. «Производная в физике»

Тело массой  2 кг движется прямолинейно по закону х (t) = t2+t+1. Координата х измеряется в сантиметрах, время t – в секундах. Найдите: а) действующую силу; б) кинетическую энергию (Е) тела через 2 с после начала движения.

Задача 2: «Облицовка».

Заготовленной плиткой нужно облицевать 6000 кв. м боковых стенок и дна желоба прямоугольного поперечного сечения длиной 1000 м. Каковы должны быть размеры сечения, чтобы пропускная способность желоба была наибольшей?

Задача 3: «Максимальный слив». 

Необходимо построить открытый желоб прямоугольного сечения для стока воды. Длина периметра поперечного сечения желоба должна равняться 6 м. Какой высоты должны быть стенки желоба, чтобы получился максимальный слив?

Задача 4: «Стоянка автомобилей».

Для стоянки машин выделили площадку прямоугольной формы, примыкающую одной стороной к стене здания. Площадку обнесли с трех сторон металлической сеткой длиной 200 м, и площадь ее при этом оказалась наибольшей. Каковы размеры площадки?

Задача 5:  «Скорость химической реакции».

Пусть дана функция m=m(t), где m – количество некоторого вещества, вступившего в химическую реакцию к моменту времени t. Приращению времени t будет соответствовать приращение m величины m. Отношение – средняя скорость реакции за промежуток времени t. Предел этого отношения при t –> 0, т.е. lim m/t есть скорость химической реакции в данный момент времени t.

Итог урока.

Литература:

Основная:

1. Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. –М.: Издательский центр «Академия», 2015.-256с.

2. Башмаков М.И.Задачник: учебное пособие  для учреждений нач. и сред. проф. образования. /М. И. Башмаков.- 3-е изд.,- М.: Издательский центр «Академия», 2015.-416с.

3. Башмаков М.И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учебное пособие  для учреждений нач. и сред. проф. образования. /М. И. Башмаков.- 3-е изд., стер.- М.: Издательский центр «Академия», 2015.-208с.

Дополнительная:

1. Гусев В.А., Григорьев С.Г. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учебник для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО.-М., 2017