Производная функции. Приложение производной к исследованию графиков.
методическая разработка

ЛЕКЦИЯ №9                               Тема урока: Производная функции.

Опр. 1: (производной функции в точке) Пусть задана функция f(x), , и пусть - некоторая точка интервала. Предел

называется производной функции f(x) в точке  и обозначается .

Таким образом,  по определению 1, =.

Опр. 2: (дифференцируемой функции) Функция, имеющая производную в некоторой точке, называется дифференцируемой в этой точке.

Опр. 3: (дифференцирования) Операция нахождения производной от данной функции называется дифференцированием.

Теорема 1: ( необходимое условие существования производной) Если функция f(x) имеет производную в точке , то она непрерывна в этой точке.

Теорема 2: ( правила вычисления производных) Если функции  и имеют производные во всех точках интервала , то справедливы следующие правила

для любого.

Таблица производных

1. , где с-константа.

2. , где .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

ЛЕКЦИЯ №10

Тема урока: Производная сложной функции.

Опр.1:(сложной функции)  Пусть заданы две функции и , причем область определения функции  содержит множество значений функции .Функция, заданная формулой , называется сложной функцией, составленной из функции и .

Теорема 1: ( о дифференцировании сложной функции) Пусть функция , , имеет производную в точке , а функция определена на интервале, содержащем множество значений функции , и имеет производную в точке . Тогда сложная функция  имеет производную в точке , которая вычисляется по формуле .

Пример 1: Найти производную функции

.

Решение:  По формуле дифференцирования сложной функции имеем:

=.

Пример 2: Найти производную функции

.

Решение:  По формуле дифференцирования сложной функции имеем:

=.

ЛЕКЦИЯ №11

Тема урока: Приложение производной к исследованию графиков.

Опр.1: (интервалов монотонности) Интервалы, на которых функция возрастает или убывает, называются интервалами монотонности этой функции.

Правило нахождения интервалов монотонности:

1. Вычисляем производную  данной функции , а затем находим точки, в которых  равна нулю или не существует. Эти точки называются критическими для функции .
2. Критическими точками область определения функции  разбивается на интервалы, на каждом из которых производная  сохраняет свой знак. Эти интервалы будут интервалами монотонности.
3. Исследуем знак на каждом из найденных  интервалов. Если на рассматриваемом интервале, то на этом интервале  возрастает, если же , то на таком интервале  убывает.

Опр.2: (точки минимума) Точка  из области определения функции  называется точкой минимума этой функции, если существует такая - окрестность  точки, что для всех  из этой - окрестности выполняется неравенство .

Опр.3: (точки максимума) Точка  из области определения функции  называется точкой максимума этой функции, если существует такая - окрестность  точки, что для всех  из этой - окрестности выполняется неравенство .

Опр.4: (экстремума функции) Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума данной функции, а значения функции в точках максимума и минимума называются максимумом и минимумом функции или экстремумами функции.

Правило нахождения экстремумов функции:

Пусть  определена и непрерывна в некотором интервале , имеет производную всюду в интервале . Тогда для нахождения экстремумов функции надо:

1. найти критические точки функции , т.е. точки, в которых или=0 или  не существует.
2. исследовать знак производной  в некоторой -окрестности каждой критической точки. При этом, если  меняет знак при переходе через такую точку, то функция  в этой точке имеет экстремум. А именно, если знак меняется с минуса на плюс, то в этой точке минимум; если с плюса на минус, то в этой точке максимум. Если же знак не меняется при переходе через рассматриваемую точку, то функция  не имеет экстремума в этой точке.

Опр.5: (выпуклости и вогнутости графика функции) График непрерывно дифференцируемой функции , , называется выпуклым на интервале , если вторая производная  убывает на . А если возрастает на , то график этой функции называется вогнутым.

 Правило нахождения интервалов выпуклости и вогнутости графика функции:

Пусть функция ,, имеет в интервале производную второго порядка. Тогда для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости графика надо

1. найти все точки, в которых илиили  не существует (эти точки называются критическими точками функции по второй производной).
2. В каждом из интервалов, на которые разбивается интервал  критическими точками, устанавливается знак. Если в рассматриваемом интервале, то на этом интервале график функции вогнутый, если же , то выпуклый.

Опр.6: (точек перегиба) Точка графика дифференцируемой функции, являющаяся одновременно концом интервала выпуклости и концов интервала вогнутости, называется точкой перегиба графика этой функции.

Правило нахождения точки перегиба графика функции:

1. найти критические точки функции по второй производной.
2. исследовать знак второй производной в некоторой окрестности критической точки. Тогда, если меняет знак при переходе аргумента через критическую точку , то - точка перегиба графика данной функции.

ЛЕКЦИЯ №12

Тема урока: Неопределенный интеграл.

В дифференциальном исчислении мы решали задачу нахождения производной или дифференциала заданной функции. Практика показывает, что часто приходится по заданной производной или, что то же, по заданному дифференциалу, находить функцию, от которой была взята производная, т.е. решать задачу, обратную задаче дифференцирования.

Опр.1: (первообразной) Функцию, восстанавливаемую по заданной ее производной или дифференциалу, называют первообразной.

Опр.2: (первообразной) Дифференцируемая функция , , называется первообразной функцией (или просто первообразной) для функции на интервале, если для каждого .

Теорема: (об общем виде первообразных) Если функция  является первообразной для функции ,, то множество всех первообразных для функции задается формулой , .

Опр.3: (неопределенного интеграла) Совокупность всех первообразных функции  на интервале  называется неопределенным интегралом от функции на интервале и обозначается символом , где символ - называется знаком интеграла, -подынтегральной функцией, -подынтегральным выражением, -переменной интегрирования.

Утв.1: Если ,,-какая-нибудь первообразная функции  на интервале , то пишут , где -произвольная константа.

Опр.4: (интегрирования) Нахождение функции по ее производной или по ее дифференциалу называется интегрированием функции.

Интегрирование - действие, обратное дифференцированию. Правильность интегрирования проверяется дифференцированием.

Основные свойства неопределенного интеграла:

1. .
2. .
3. .
4. .
5. , где а-любое число.
6. .

Таблица интегралов:

1..

2. .

3. .

4. .

5. .

6..

7. .

8. .

9. .

10..

11. , где  12. .

13. .

14. .

Опр.5: (табличных интегралов) Интегралы, приведенные в рассмотренной выше таблице, получили название табличных интегралов.

Пример 1: Найдите одну из первообразных для каждой из следующих функций:

а) ;

б) .

Решение: а) ;

б) .

Методы интегрирования.

1.Метод непосредственного интегрирования.

Опр.6: Непосредственным интегрированием называется такой метод вычисления интегралов, при котором они сводятся к табличным  путем применения к ним основных свойств неопределенных интегралов.

Пример 2: Вычислить интеграл .

Решение: =.

2.Метод замены переменной интегрирования (метод подстановки).

В основе метода подстановки (или метода замены переменной) вычисления неопределенных интегралов лежит следующее утверждение, являющееся следствием правила дифференцирования сложной функции.

Утв. 2: Пусть даны функции,, и , , и пусть существует сложная функция , . Если функция  имеет первообразную , а функция -  дифференцируема, то функция  является первообразной для функции,, и поэтому .

Пример 3: Вычислить интеграл .

Решение: Сделаем замену переменной , тогда и. Следовательно,= .

3.Метод интегрирования по частям.

В основе метода интегрирования по частям лежит формула интегрирования по частям: .

Пример 4: Вычислить интеграл .

Решение: Положим

Таким образом, используя формулу интегрирования по частям, будем иметь

==

ЛЕКЦИЯ №13

Тема урока: Определенный интеграл.

Рассмотрим  функцию , определенную на отрезке . Отрезок  точками

, где

разобьем на  равных по длине отрезков.

В каждом из этих отрезков  где  произвольным образом выберем по одной точке и обозначим ее .

Опр.1: (интегральной суммы) Сумма

, где , называется интегральной суммой функции .

Замечание 1: Очевидно, эта сумма зависит и от того, как разбит отрезок , и от того, как выбраны точки.

Опр.2: (определенного интеграла) Если предел  существует и не зависит от выбора точек , то функция  называется интегрируемой на отрезке , а предел называется определенным интегралом от функции  на отрезке  и обозначается . Числа и  называются пределами интегрирования, соответственно, нижним и верхним.

Таким образом, согласно опр.2: =.

Замечание 2: Интеграл не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования.

Т.1 : (об интегрируемости функций на отрезке) Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Свойства определенных интегралов:

1. Для любого действительного числа

.

2. Если функция  интегрируема на отрезке , то для любого действительного числа  функция также интегрируема на  и ,

т.е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

3. Если функции и  интегрируемы на отрезке , то их сумма  также интегрируема на  и

, т.е. интеграл от суммы равен сумме интегралов.

4. Если на отрезке  функции и  интегрируемы и , то справедливо неравенство .
5. Если функция  интегрируема на отрезке , то она интегрируема на любом отрезке, содержащемся в . Кроме того, если функция  интегрируема на отрезке  и интегрируема на отрезке , то она интегрируема на отрезке  и .

Методы вычисления определенных интегралов:

1. Метод непосредственного интегрирования.

Осуществляется при помощи формулы Ньютона-Лейбница.

Т.2: Если функция  непрерывна на отрезке , а функция  является первообразной для  на , то справедлива формула. Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

Пример 1: Вычислить интеграл .

Решение: =

2. Метод подстановки в определенных интегралах.

        Т.3: Пусть функция  непрерывна в любой точке , где , и      пусть , . Тогда, если функция  имеет непрерывную производную, то справедлива следующая формула: . Эта формула называется формулой замены переменной интегрирования в определенном интеграле.

Пример 2: Вычислить интеграл .

Решение: Замена: . , .

=.

ЛЕКЦИЯ №14

Тема урока: Геометрическое приложение определенного интеграла.