Профессиональная направленность изучения темы "Производная и её применение" в колледжах электротехнических профессий.
методическая разработка по теме

ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ НАПРАВЛЕННОСТЬ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ

«ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

В КОЛЛЕДЖАХ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ ПРОФЕССИЙ»

Разработка преподавателя

ГБОУ СПО КМБ №4

Кировой Елены Анатольевны

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Вступление.

2. Основная часть.

1. Решение задач с производственным содержанием – одна из форм работы по осуществлению профессиональной направленности преподавания математики в колледжах.

2. Решение прикладных задач при изучении темы «Производная и ее применение» в колледжах электротехнических профессий.

3. Заключение.

Вступление

Высокие темпы развития электротехнической, электроэнергетической, электронной промышленности предъявляют все возрастающие требования к подготовке квалифицированных рабочих по электротехническим и электроэнергетическим профессиям. В настоящее время большинство рабочих проходит профессиональную подготовку в системе профессионально-технического образования. Будущие рабочие должны овладеть не только общетехническими и специальными знаниями, но и получить серьёзную общеобразовательную подготовку.

         Математические методы все более проникают в большинство областей человеческих знаний. Именно поэтому, среди общеобразовательных предметов, которые служат основой профессиональной подготовки рабочих электротехнических специальностей, одно из первых мест занимает математика, так как изучение таких предметов, как электротехника и радиоэлектроника, которые входят в профессионально-технический цикл обучения, невозможно без хорошей математической подготовки. Обучение математике в средних профессионально- технических колледжах вооружает учащихся определенными знаниями, умениями и навыками, необходимыми для их практической деятельности в условиях современного производства, достижения такого уровня их математической развития, который необходим для изучения других предметов и продолжения образования.

    С другой стороны, знания, получаемые учащимися в процессе изучения предметов профессионально-технического цикла, должны использоваться ими для выявления определенных математических закономерностей в различных производственных процессах. Это достигается с помощью профессиональной направленности в преподавании математики, наиболее распространенной формой проявления которой является решение задач с производственным содержанием.

§1.  Решение задач с производственным содержанием – одна из форм работы по осуществлению профессиональной направленности преподавания математики в средних профессиональных колледжах

На уроках математики необходимо органическую связь изучаемого теоретического и задачного материала, формировать у учащихся прочные и осознанные математические навыки, необходимые как для дальнейшего изучения математики, решения прикладных задач. Важное значение в процессе обучения математике имеет понимание учащимися практической значимости того или иного учебного материала, ближней и дальней перспективы его использования.

     Использования математики для решения любой практической задачи предусматривает три этапа:

1. переход от ситуации, которою необходимо разрушить, к формальной математической модели;
2. решение этой задачи методами математики;
3. проверка применения этого решения к исходной ситуации и сопоставление решений с ней.

Содержание упражнений и задач по математике рассматривается  в основном на втором этапе, то – есть учащимся предлагаются задачи, уже сформулированные на языке математике. В системе профессионально – технического образования желательно прикладная ориентация  преподавания математике.

     Среди требований к задачам по математике с производственным содержанием, в первую очередь, следует выделить требования к тому, чтобы связь математики с производственным материалом выражалось по существу, а не нужным формального привлечения производственных терминов.

     Следует отметить, что иногда в так называемых задачах с производственным содержанием предусматривается вычисление практически ненужных величин. Задача с производственным содержанием должна иметь целенаправленный характер, чтобы учащимся была понятна практическая необходимость ее решения.

     Решение задач с производственным содержанием могут быть предложены учащимся на различных этапах обучения. Решение задач на этапах восприятия  и осмысления нового материала имеет целью пробудить у учащихся потребность в расширении знаний, познавательный интерес и научить их методам самостоятельного приобретения знаний. Решая и анализируя задачи на этапах закрепления и повторения учебного материала, учащиеся овладевают способами применения знаний на практике и вместе с тем более глубоко усваивают его содержание. При проверке усвоения программного материала решение задач с производственным содержанием позволяет установить, насколько прочно и глубоко его усвоили.

§2.  Решение прикладных задач при изучении темы

 «Производная и ее применение» в электротехнической профессии

Обучение в колледжах требует, чтобы при преподавании элементов математического анализа обеспечивалось органическое единство изложения теории и практики,  развивающее у учащихся умение применять теорию для решения прикладных задач. Изучая элементы математического анализа, учащиеся должны усвоить и оценить их прикладные возможности и получить основные навыки в применении элементов математического анализа при решении практических задач.

Именно через специально составленную систему задач можно показать применение математических знаний для познания реального мира, познакомить учащихся с методами решения задач в науке и практической деятельности. При решении прикладных задач формируются профессиональные интересы учащихся, так как при этом они знакомятся с применением математических знаний в производстве.  

Опыт показывает, что относительно нетрудно научить учащихся формулировать определение производной, вычислять производную, находить производную в точке, пользуясь основными правилами дифференцирования и применять её в тех случаях, когда учащимся заранее известен алгоритм решения. Не вызывает особых затруднений и алгоритм применения производной при исследовании функций не экстремум. Гораздо труднее добиться того, чтобы учащиеся научились самостоятельно видеть производную в различных её частных проявлениях. Ведь очень многие понятия естественных наук не только не могут быть количественно охарактеризованы без понятия производной, но даже не могут быть без неё определены.

Раздел «Производная и её применение» начинается с изучения средней скорости изменения функции на некотором промежутке и понятия о пределе средней скорости изменения функции в точке, то есть производной в точке.

Введению понятия производной функции предшествует рассмотрение некоторых прикладных задач. Такими задачами являются, например, задачи о мгновенной величине тока; о ЭДС самоиндукции, возникающей в некоторый момент времени.

Пример 1

Напряжение на конденсаторе ёмкостью C изменяется по закону U(t). Найти ток, проходящий через конденсатор в момент времени t, если емкость конденсатора определяется по формуле  , где q значение заряда одной из обкладок.

Решение.

За время с момента t до момента  t + Δt через конденсатор пройдёт количество электричества Δq. Среднее значение тока за интервал времени Δt  равно .

Пусть в некоторый момент времени t напряжение на конденсаторе U(t), а протекающий через него ток равен  i(t). 

Тогда значение заряда на одной из обкладок  q (t) = C ∙U(t).

В момент времени t + Δt напряжение равно U ( t + Δt), а заряд q (t + Δt) = C  ∙U(t + Δt).  

Таким образом, за время  Δt  через конденсатор пройдёт количество электричества, равное  

Δq = q(t + Δt) – q(t) = C ∙ U(t + Δt) – U(t).

Следовательно, среднее значение тока, протекающее через конденсатор за время  Δt, составит  .

Полагая, что  , получим мгновенную величину тока при t как предел среднего значения тока.

Итак,

Пример 2

Ток, проходящий через катушку с индуктивностью L, изменяется по закону i (t).

Найти ЭДС самоиндукции, возникающей в катушке в момент t, если индуктивность катушки  определяется по формуле  ,  где  Ф –  магнитный поток, создаваемый катушкой, имеющей  w витков, а среднее значении ЭДС самоиндукции за время  Δt  равно  , где  ΔФ – изменение магнитного потока за это время .

Решение.  

Пусть в некоторый момент времени t ток, проходящий через катушку, равен i(t), а ЭДС самоиндукции, возникающая в катушки l(t).

Тогда магнитный поток, создаваемый катушкой будет равен .

В момент времени t + Δt ток равен  i (t + Δt), а магнитный поток .

Таким образом, за время  Δt магнитный  поток изменяется на величину .

Это изменение магнитного потока приведет к появлению в катушке ЭДС самоиндукции, среднее значение которой за время Δt равно: .

Тогда при  получим ЭДС самоиндукции в катушке в момент t:

;

;

Опыт показывает, что учащиеся без труда осваивают технику дифференцирования.

Однако это может заслонить от них смысл производной и широкие возможности её практического применения. Поэтому рассматриваемые упражнения, не требующие при их выполнении сложной техники дифференцирования, способствуют дальнейшему формированию понятия производной. Чередуя их с чисто вычислительными упражнениями можно добиться устойчивого интереса к данной теме.

Пример 3

В схеме,  состоящей из последовательного соединения резистора и конденсатора, напряжение на конденсаторе поддерживается постоянным. Найти ток в цепи.

Пример 4

Найдите изменение ЭДС самоиндукции, возникающей в катушке с индуктивностью L, если ток, проходящий через катушку изменяется по закону:

a)

b) .

Пример 5

В какие моменты времени ток в цепи равен нулю, если количество электричества, протекающего через проводник,  задаётся формулой  ?

Основой разнообразных физических приложений производной является понятие дифференциала.

 ;  

Приращение функции отличается от ее дифференциала на такую функцию, которая стремится к нулю еще быстрее, чем  Δх.

Для вычисления дифференциала в физике достаточно знать, что дифференциал – это главная часть приращения функции, линейно зависящая от приращения аргумента.

Пример 6

Найти приращение тока, протекающего через резистор сопротивлением 100 Ом при напряжении 10В, если сопротивление увеличивается на 10 Ом, а напряжение поддерживается постоянным.

Решение:

Закон Ома для участка цепи

Таким образом, ток уменьшается на .

Пример 7

Найти погрешность вычисления энергии заряженного конденсатора, если емкость конденсатора С =10мкФ, а напряжение U=12,2В измерено с погрешностью 0,1В.

Решение:

Энергия W конденсатора между его обкладками:  .

Дж.

Очень важен в прикладном аспекте материал, связанный с нахождением наибольшего и наименьшего значений функции. Формирование умений решать такие задачи –  одна из важнейших целей изучения начал математического анализа. Задачи этого типа имеют четкую прикладную направленность. В них есть все фазы построения и использования математической модели.

Пример 8

Источник напряжения с ЭДС Е = 200В и внутренним сопротивлением r =100 Ом замкнут на реостат. При каком токе мощность во внешней цепи будет максимальной?

Решение:

Мощность во внешней цепи равна P = U∙J

Закон Ома для полной цепи:

, где r - внутреннее сопротивление, R - сопротивление нагрузки

, ,  

Найдем производную функции P(J) и приравняем ее к нулю:

;

;

.

Найдем знак  в точках и .

;

В точке  знак производной меняется с «+» на «–».

Следовательно, при токе .

Мощность во внешней цепи принимает максимальное значение и равна:

Пример 9

Элемент, ЭДС которого Е и внутреннее сопротивление r, замкнут на внешнее сопротивление R. Наибольшая мощность во внешней цепи P = 9Вт; а сила тока J= 3А. Найти величины E и r.

Решение:

Используя результаты примера 8, имеем ,

Можно составить систему уравнений относительно Е и r:

          ,         E = 6

         ,         r = 1

                                                           Ответ: Е = 6В,  r =1Ом

Пример 10

 Через алюминиевую шину прямоугольного сечения длины l пропускают ток силой 160A и плотностью . Чтобы шина не перегрелась, теплоотдача должна быть как можно больше, т.е. шина должна быть боковую поверхность. Найти размеры сечения шины, при которых боковая поверхность шины максимальна, если по конструктивным соображениям требуется, чтобы толщина шины заключалась в пределах от 4 до 8 мм.

Решение:

Плотность электрического тока в проводнике с током J определяется по формуле , где S – площадь сечения проводника,  

Пусть ширина шины, её толщина.

;

Площадь боковой поверхности шины:

.

Найдем производную функции Sб(у) и приравняем ее к нулю:

;       ;       .

Т.к. у – толщина шины, следовательно .

Найдем знак в точках  и .

;

;

.

По условию задачи , .

Тогда функция Sб(у) достигает наибольшее значение в одной из граничных точек, т.е.

в точках у = 4 или у = 8. На интервале    принимает отрицательное значение, следовательно функция Sб(у) монотонно убывает на этом интервале. Максимальное значение функция Sб(у) достигает в точке у = 4.

При у = 4, .

Ответ: толщина шины 4мм, ширина шины 40мм.

Пример 11.

При каком коэффициента трансформации k напряжение U между зажимами трехфазного трансформатора будет минимальным, если ,

где U0 – напряжение, под которые включаются обмотки трансформатора.

Решение.

;

;

;

;

; (D < 0)

, ;

;

;

.

Точка  является точкой минимума функции .

Заключение

        В учебных пособиях по математике, по которым ведется преподавание  колледжах не всегда учтена специфика обучения, заключающаяся в одновременной образовательной и профессиональной подготовке  учащихся. Осуществление более тесной связи преподавания математики с профессиональной деятельностью позволит предать изучению математики профессиональную направленность, а формирование профессиональных знаний и умений проводить с опорой на имеющуюся математическую подготовку учащихся.

        Изучение планов и программ по спецпредметам, посещение уроков производственного обучения, освоение производственной терминологии, совместная работа с мастерами производственного обучения и преподавателями спецдисциплин по составлению межпредметных задач и упражнений – вот основные поиски путей осуществления профессиональной направленности преподавания математики.

        Профессиональная направленность в процессе обучения элементам математического анализа эффективно осуществляется через специально составленную систему задач с производственным содержанием. Наблюдения за отношением учащихся к содержанию таких  задач показывают, что содержание учебной задачи, метод решения которой освоен учащимися, вызывает у них интерес. Такие учебные задачи становятся средством формирования интереса к профессии. Прикладные задачи повышают интерес учащихся  и к самой математике, поскольку для большинства учащихся ценность математического образования состоит в ее практических возможностях. Однако, удачный подбор содержательных практических задач еще не обеспечивает должного эффекта. Такие задачи, как правило, вызывают у учащихся затруднения. Условие прикладной задачи только тогда легко доходит до сознания учащихся, когда они встречались с описываемой ситуацией в реальной действительности. Поэтому при  постановке производственных задач следует широко опираться на наглядные аналоги из производственного окружения, на трудовой опыт учащихся.

        Умение решать прикладные задачи, так же как и руководить их решением,  приходит с опытом, при систематическом использовании таких задач в учебном процессе.