Методическая разработка темы "Производная в экономике"
методическая разработка по теме

Методическая разработка

по теме  "Применение производной для решения экономических задач".

Введение.

        Одной из характерных особенностей экономической науки является широкое использование математического аппарата для решения возникающих в ней проблем. Такое широкое применение математики в экономике определяется, прежде всего, тем, что математические методы и модели являются универсальным инструментальным средством, позволяющим осуществлять более высокий уровень формализации и абстрактного описания наиболее важных и существенных связей при исследовании экономических явлений и процессов, оценивать форму и параметры зависимостей между ними, определять наилучшие решения в заданной ситуации.

        Отметим, что большинство тем курса экономики содержат материал, который можно эффективно использовать для наглядной иллюстрации практического использования изучаемого математического материала (функции спроса и предложения, при изучении понятия функции, определение рыночного равновесия при изучении систем уравнений и т. п.), что будет способствовать более глубокому и осмысленному изучению абстрактной математической теории, а также повышению интереса к математике и ее изучению.

        Важно, также, что отдельные понятия и факты, изучаемые в курсе математики, служат основой при определении ряда экономических понятий (понятия излишков потребителя и производителя вводятся на базе определенного интеграла, понятие эластичности определяется с помощью производной и т. п.).

        При изучении многих разделов  курса экономики происходит закрепление математических знаний и выработка умения их использовать при решении прикладных задач экономического содержания.

        Таким образом, между  курсами математики и экономики существуют тесные межпредметные связи. Одним из условий их успешной реализации является обучение учащихся применению изучаемого математического. аппарата для решения прикладных задач экономического содержания.

        Одним из универсальных математических методов, позволяющих решать широкий класс экономических задач, является дифференциальное исчисление.

        Необходимость использования производной при анализе экономических проблем возникает, в частности, при определении оптимального значения того или иного показателя, от которого зависит финансовое состояние компании. Так, для эффективной организации деятельности фирмы финансовому менеджеру необходимо знать величины оптимальных  затрат, оптимального объема выпускаемой продукции, оптимальную численность работников и т.п. Задачи такого типа порождают особый класс экстремальных задач в экономике, решение которых требует использования аппарата производной.

Практическое занятие №5.

"Использование производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции".

Рынок совершенной конкуренции характеризуется следующими основными признаками:

• наличие большого числа относительно мелких фирм (продавцов);
• наличие множества покупателей информированных о продаваемой продукции и ее ценах;
• однородность продаваемой продукции по своим характеристикам;
• отсутствие экономических барьеров для входа и выхода с рынка.

        Основным следствием данных условий является отсутствие возможности у отдельной фирмы влиять на рыночную цену т. е. фирма, действующая на конкурентном рынке, может продавать свой продукт только по сложившейся на рынке цене р (price) на данный товар. В качестве примера такого рынка может выступать  рынок сельскохозяйственной продукции.

        Главная цель любой фирмы, действующей на рынке, - максимизация своей npи6ыли. Прибыль П (profit) определяется как разница между общей выручкой (доходом) R (геvеnue), полученной от реализации Q (quantity) единиц продукции, и общими издержками С (costs), связанными с затратами на ее производство и реализацию. Поскольку выручка и издержки зависят от объема выпускаемой продукции, т. е. являются функцией от количества товара Q, то и прибыль, в свою очередь, является функцией от Q. В итоге имеем следующее выражение для функции прибыли: П(Q)=R(Q)-С(Q). 

        Так как совокупная выручка конкурентной фирмы - это денежная сумма, полученная от продажи Q единиц продукции по  цене Р за единицу товара,  то можно записать, что

                                R(Q)= Р  Q.      

Следовательно,                 П(Q) = Р  Q – С(Q).

        Таким образом, перед фирмой возникает задача определения такого количества товара Q, от реализации которого она получит максимальную прибыль.

        В итоге мы получаем стандартную задачу математического анализа на нахождение значения аргумента, при котором функция принимает наибольшее значение на некотором промежутке.

        Отметим, что решение прикладной задачи на экстремум ведется по известной схеме, состоящей из трех этапов:

1. формализация (запись оптимизируемой величины в виде некоторого аргумента),
2. математизация (исследование функции на экстремум средствами математического анализа),
3. интерпретация (формулировка полученного результата в терминах исходной задачи).

        Рассмотрим несколько задач на определение оптимального объема выпуска продукции на конкурентном рынке.

Задача 1.

        Жительница деревни выращивает огурцы на собственном приусадебном участке. Затем весь урожай огурцов она реализует на городском рынке. Известно, что рыночная цена на огурцы установилась на уровне 20 рублей за 1 кг. Зависимость общих издержек выращивания огурцов (С) от количества выращенных огурцов (Q) задается следующей функцией: . Сколько килограмм огурцов нужно собрать с участка, чтобы получить максимальную прибыль?

Решение.

1. Формализация.

Запишем выражение для функции прибыли:

.

Так как по смыслу задачи Q > 0, то задача сводится к исследованию функции П(Q) на наибольшее значение на промежутке (0; +).

2. Математизация.

Найдем производную функции  П(Q).  .

Необходимое условие существования экстремума в точке: .

;   Q = 20.

Так как при любом Q(0;20)  , а при всех Q(20; +) и в точке Q = 20 функция П(Q) непрерывна, то заключаем, что функция П(Q) возрастает на интервале [0;20] и убывает на интервале [20; +).

        Согласно достаточному признаку экстремума функции в точке заключаем, что в точке Q = 20 функция П(Q) имеет максимум, в которой в силу единственности точки экстремума достигается наибольшее значение.

3. Интерпретация.

Наибольшую прибыль можно получить, если собрать урожай в 20 кг огурцов.

Задача 2.

        Допустим, что все затраты фирмы определяются только расходами на оплату труда работников. Все остальные ресурсы остаются постоянными. Еженедельный выпуск продукции Q(шт.) зависит от количества нанятых рабочих L (чел.) следующим образом: Q(L) = -3L2+606L. Недельная ставка заработной платы каждого нанятого рабочего равна 120$. Производимый товар фирма реализует на конкурентном рынке по цене 20$ за единицу товара. Если фирма нанимает работников на конкурентном рынке, то сколько рабочих необходимо нанять владельцу, чтобы получить максимальную прибыль? Какое количество продукции в неделю произведут эти работники?

Решение.

1. Формализация.

        Поскольку в данной задаче все издержки фирмы определяются только затратами на оплату труда работников, то общие издержки будут определяться как произведение ставки зарплаты каждого работника на количество работников. А так как все работники имеют одинаковую ставку зарплаты, то в итоге имеем, что C(L) = 120L.

        Теперь можно записать выражение для функции прибыли:

2. Математизация.

        Исследуем функцию П(L) = -60L2+12000L на наибольшее значение.

.

 при L = 100.

        В результате исследования заключает, что функция П(L) при L = 100 достигает наибольшего значения.

3. Интерпретация.

        для того, чтобы получить максимальную прибыль владельцу фирмы необходимо нанять 100 работников.

        Эти 100 человек произведут 57600 единиц продукции в неделю.

        В противоположность конкурентному рынку рассмотрим теперь приложение производной для определения оптимального объема выпуска фирмы, являющейся монополистом при производстве некоторого товара.

Основные признаки рынка монополи:

• наличие единственного продавца на рынке,
• уникальность продаваемой продукции (отсутствие близких заменителей),
• высокие экономические барьеры для вступления на рынок.

        Главным следствием этих условий является о, что фирма-производитель обладает возможностью устанавливать цену на свою продукцию. Поэтому существует определенная зависимость ежду количеством товара, которое может быть реализовано, и ценой единицы этого товара. Эта зависимость задается функцией спроса на товар, производимым монополистом: Р = Р(Q). Тогда функция общей выручки монополиста будет иметь следующий вид:

.

        Решим несколько задач на определение оптимальной стратегии фирмы-монополиста.

Задача 3.

        Пиццерия специализируется на приготовлении особого вида пицц и славится изысканным обслуживанием посетителей, что позволило ей полностью монополизировать рынок производства данного вида пиццы в городе. ЕЕ общие издержки (С) за один день работы зависят от количества выпекаемых пицц (Q) следующим образом: . Зависимость дневной выручки пиццерии (R) от количества проданных пицц задается следующей функцией:  . Сколько пицц в день нужно выпекать поварам, чтобы пиццерия получала за день максимально возможную прибыль? Чему равна величина этой прибыли?

Решение.

1. Формализация.

.

2. Математизация.

Исследование квадратичной функции на наибольшее значение на промежутке (0;) позволяет сделать вывод о том, что наибольшего значения функция П(Q) достигает при Q =1000, при этом П(Q) = П(1000) = 1999500.

3. Интерпретация.

Поварам пиццерии необходимо выпекать 1000 пицц в день, чтобы получить максимальную прибыль, размер которой 1999500 ден. ед.

Задача 4.

        Фирма является монополистом по производству соли в небольшом городке. Она сталкивается с кривой спроса на свою продукцию, заданную следующим уравнением: Q+20P = 300, где Р – цена одной пачки соли в рублях, Q – количество выпускаемых пачек в день. Функция общих издержек данной фирмы имеет следующий вид: . Определите, какую цену на одну пачку соли следует установить фирме, чтобы прибыль, получаемая ежедневно, была максимальной.

Решение.

1. Формализация.

, где Р = Р(Q) – функция спроса на продукцию монополиста.

Зависимость Р = Р(Q) находим из условия Q+20P = 300.

Р(Q) = .

Следовательно, .

Таким образом,

.

2. Математизация.

        Проведя исследование функции П(Q) на наибольшее значение на промежутке (0;), находим, что наибольшее значение функция достигает при Q = 100.

3. Интерпретация.

        Таким образом для получения максимальной прибыли фирме необходимо назначить цену 10 рублей за одну пачку.

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 5.

        Фирма работает на конкурентном рынке хлебобулочной продукции и занимается выпечкой пирогов. Функция издержек выпечки имеет вид: , где Q – количество пирогов (в тыс.). Известно также, что производственные мощности фирмы позволяют выпекать ей не более 1,5 тыс. пирогов ежедневно. Определите, сколько пирогов в день следует выпекать фирме, чтобы получать максимальную прибыль, если рыночная цена на пироги составляет 6 рублей за штуку.

Ответ: 1 тыс. пирогов.

Задача 6.

        Известно, что фирма работает в условиях совершенной конкуренции. Издержки фирмы зависят от количества выпускаемой продукции следующим образом: C(Q) = Q2 + 100, где Q – количество продукта в штуках. Известно, что фирма реализует свой товар по цене 300 руб. за единицу продукции. Каким должен быть еженедельный выпуск продукции, чтобы получаемая фирмой прибыль от ее реализации была максимальной? Определите величину этой прибыли.

Ответ: 150 шт., 22400 руб.

Задача 7.

        Фирма полностью монополизировала выпуск некоторого продукта. Известно, что зависимость недельной выручки фирмы от объема продукции имеет следующий вид:  (Q – количество товара в кг), а зависимость общих издержек фирмы от количества произведенной продукции задается следующей функцией: .  Сколько товара должно быть выпущено для максимальной прибыли?

Ответ: 30 кг.

Задача 8.

        Фирме удалось создать уникальный товар и установить монополию на его производство. Общие затраты (С) на изготовление Q единиц товара характеризуются функцией C(Q) = Q2. Кроме того, известно, что спрос на товар задается функцией H(Q) = 60 – Q. Какое количество товара необходимо выпускать и продавать каждый день, чтобы прибыль фирмы была максимальной?

Литература.

1. Савицкая Е.В., Серегина С.Ф. Уроки экономики в школе. Кн.2. пособие для учителя.  М. "Вита-Пресс", 1999
2. С. Ю. Жолков, Математика и информатика для гуманитариев, М. "Альфа-М", 2005.
3. Сборник математических задач по экономике под ред. И.Б. Соловьевой, М. Центр инноваций в педагогике, "Московские учебники", 1997.

Наглядные пособия.

1. Информация на стендах, формулы.
2. Плакаты.
3. Карточки-задания.