Учебное пособие практикум "Производная. Применение производной функции"
учебно-методическое пособие на тему
Математика играет важную роль в естественнонаучных, инженерно-технических и гуманитарных исследованиях. В то же время математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также элементом общей культуры. Поэтому основной задачей курса математики в образовательных заведениях среднего профессионального образования является обеспечение обучающихся математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения специальных дисциплин.
Тема «Производная. Применение производной функции» имеет огромное прикладное значение, в частности, при разработки курсовых, расчётно-графических работ и дипломных проектов, для профессиональной деятельности и продолжения образования
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
uchebnoe_posobie-praktikum_proizvodnaya.doc | 784.5 КБ |
Предварительный просмотр:
Областное государственное профессиональное
образовательное бюджетное учреждение
«Многопрофильный лицей»
УЧЕБНОЕ
ПОСОБИЕ – ПРАКТИКУМ
по теме
«ПРОИЗВОДНАЯ. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ»
Дисциплина: Математика
Составитель: Дегтяренко А.В., преподаватель ОГПОБУ
«Многопрофильный лицей»
Автор: Дегтяренко Анна Викторовна - преподаватель математики. Учебное пособие – практикум «Производная. Применение производной функции» разработаны согласно рабочей программы по учебной дисциплине «Математика» и требованиям к умениям и знаниям Федерального государственного образовательного стандарта по профессии среднего профессионального образования 35.01.11. Мастер сельскохозяйственного производства.
Введение
Математика - это наука, изучающая пространственные формы и количественные отношения действительного мира.
Математика играет важную роль в естественнонаучных, инженерно-технических и гуманитарных исследованиях. В то же время математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также элементом общей культуры. Поэтому основной задачей курса математики в образовательных заведениях среднего профессионального образования является обеспечение обучающихся математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения специальных дисциплин.
Тема «Производная. Применение производной функции» имеет огромное прикладное значение, в частности, при разработки курсовых, расчётно-графических работ и дипломных проектов, для профессиональной деятельности и продолжения образования.
ПРОИЗВОДНАЯ
- Определение производной.
Пусть задана функция , определенная и непрерывная на некотором промежутке.
Предел отношения приращения функции в точке х0 к приращению аргумента, когда последний стремится к 0 называется производной функции:
,
,
хк - конечное значение аргумента
хн - начальное значение аргумента
Механический и физический смысл производной
Пусть данная функция описывает движение материальной точки.
Тогда временной интервал
путь, пройденный точкой за данный промежуток времени .
Определение. Скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная пути S по времени t. В этом состоит механический смысл производной.
Т.е .
Обобщая можно сказать, что если функция описывает какой - либо физический процесс, то производная есть скорость протекания этого процесса. В этом состоит физический смысл производной.
Физический смысл производной состоит в задаче нахождения мгновенной скорости движения:
, пусть .
****************************************************************
- Используя определение производной найдите , если:
1) ; 5) ;
2) ; 6) ;
3) ; 7) ;
4) ; 8) .
- Точка движется по закону . Найти среднюю скорость движения за промежуток времени
1) от до ; 2) от до .
- Найти мгновенную скорость движения точки, если
1) ; 2) .
- Закон движения задан формулой . Найти:
1) среднюю скорость движения от до ;
2) скорость движения в момент и .
- Определить скорость тела, движущегося по закону в момент времени и .
2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ.
Геометрический смысл производной состоит в том, что тангенс угла наклона касательной к оси Ох называется производной функции в точке касания и равен угловому коэффициенту .
Уравнение касательной |
Таблица производных и правила дифференцирования:
1 правило. Производная суммы функций: .
2 правило. Производная произведения функций: .
3 правило. Производная частного функций: .
4 правило. Вынесение числового множителя за знак производной: .
Функция | Производная |
0 | |
1 | |
k | |
****************************************************************
- Вычислить производные следующих функций:
1) ; 20) ; 39) ;
2) ; 21) ; 40) ;
3) ; 22) ; 41) ;
4) ; 23) ; 42) ;
5) ; 24) ; 43) ;
6) ; 25) ; 44) ;
7) ; 26) ; 45) ;
8) ; 27) ; 46) ;
9) ; 28) ; 47) ;
10) ; 29) ; 48) ;
11) ; 30) ; 49) ;
12) ; 31) ; 50) ;
13) ; 32) ; 51) ;
14) ; 33) ; 52) ;
15) ; 34) ; 53) ;
16) ; 35) ; 54) ;
17) ; 36) ; 55) ;
18) ; 37) ; 56) .
19) ; 38) ;
- Найдите , если
1); 2) ;
3) ; 9) ;
4) ; 10);
5) ; 11);
6) ; 12) ;
7) ; 13) ;
8) ; 14) .
- Найдите значения х, при которых значение производной равно 0, если:
1); 5) ;
2) ; 6) ;
3) ; 7) .
4) ;
- Выяснить при каких значениях х производная принимает положительные и отрицательные значения, если:
1); 5) ;
2); 6) ;
3); 7) ;
4) ; 8) .
- Найти производные следующих функций:
1); 7) ;
2) ; 8) ;
3) ; 9) ;
4) ; 10) ;
5) ; 11) ;
6) ; 12) ;
13) ; 18) ;
14) ; 19) ;
15) ; 20) ;
16) ; 21) .
17) ;
- Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой :
1); 3) ;
2) ; 4) .
- Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой :
1); 5) ;
2) ; 6) ;
3) ; 7) ;
4) ; 8) .
- Найти угол между касательной к графику функции в точке с абсциссой и осью Ох:
1); 4) ;
2) ; 5) ;
3) ; 6).
- Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой :
1); 3) ;
2) ; 4) .
Проверь себя!
- Найти , если .
- Найти производную функции:
; ;
; .
- Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой .
- Найти угол между касательной к графику функции в точке с абсциссой и осью Ох.
3. Сложная функция.
Сложная функция – это функция от функции: .
Производную сложной функции считают с помощью правила цепочки, которое состоит в следующем: производная сложной функции равна произведению производных входящих в нее функций:
.
****************************************************************
- Найти производные следующих функций:
1) ; 8) ;
2) ; 9) ;
3) ; 10) ;
4) ; 11) ;
5) ; 12) ;
6) ; 13) ;
7) ; 14) .
- Найти значения х, при которых значение производной функции равно 0; положительно; отрицательно:
1); 4) ;
2) ; 5) ;
3) ; 6) .
- Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой , если:
1); 3) ;
2) ; 4) .
ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ
Нахождение стационарных точек и промежутков монотонности.
Достаточный признак убывания (возрастания) функции, теорема Лагранжа, понятия «промежутки монотонности функции»
Экстремумы функции и значения в них
Определения точек максимума и минимума, необходимый признак экстремума (теорему Ферма) и достаточный признак максимума и минимума, знать определения стационарных и критических точек функции
Исследование и построение графиков функций.
Схема исследования функции, метод построения графика чётной (нечётной) функции
Нахождение наибольших и наименьших значений функций.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке и на интервале
- Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции. Исследование функции и построение графиков функций с помощью производной.
Если на промежутке, то функция возрастает на этом промежутке.
Если на промежутке, то функция убывает на этом промежутке.
Промежутки возрастания и убывания функции называют промежутками монотонности.
Точки, в которых производная равна 0 или не существует называются критическими (точки, в которых производная не существует, называются точками разрыва).
называется точкой максимума функции, если:
1) ;
2) при переходе через точку производная меняет свой знак с «+» на «», а функция меняется с возрастания на убывание;
.
называется точкой минимума функции, если:
1) ;
2) при переходе через точку производная меняет свой знак с «-» на «+», а функция меняется с убывания на возрастание;
.
Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы:
- Указать область определения функции .
- Вычислить производную функции.
- Найти критические точки и точки разрыва (если существуют).
- Разбить область определения критическими точками на промежутки.
- Методом подстановки определить знак производной на каждом промежутке.
- Пользуясь определением указать промежутки монотонности и точки экстремума (если существуют).
Пример 1: Найти точки экстремума функции:
f(х) = х3+6х2+4
Решение:
- f′(х) = (х3+6х2+4) = (х3)′+(6х2)′+(4)′= 3х2+6∙2х+0=3х2+12х
- f′(х)=0 3х2+12х=0
х(3х+12)=0
х=0 или 3х+12=0
3х=-12
х=
х=-4
3) f′(х) + - +
f(х)
4) На интервале (-∞;-4) возьмём число -5, подставим в производную f′(х):
f′(-1)=3∙(-5)2+12∙(-5)=75-60=15>0, знак «+», значит (↑)
На интервале (-4;0) возьмём число -1, подставим в производную f′(х):
f′(-1)=3∙(-1)2+12∙(-1)=3-12=-9<0, знак «-», значит (↓)
На интервале (0;∞) возьмём число 1, подставим в производную f′(х):
f′(1)=3∙12+12∙1=3+12=15>0, знак «+», значит (↑)
5) На схеме определяем, что х=-4 т.max, х=0 – т.min
Ответ: х=-4 т.max, х=0 – т.min
При построении графиков функций сначала исследуют свойства функций по вышеуказанному алгоритму, затем результаты заносят в таблицу:
x | Промежуток | Критическая точка | Промежуток |
f’(x) | Знак производной | 0 | Знак производной |
f(x) | Поведение функции | Значение функции в критической точке | Поведение функции |
После исследования находят точки пересечения функции с осью Ох: , и несколько дополнительных точек, для более точного построения. Выполняют построение.
Исследование функции с помощью производной
Алгоритм исследования функции для построения графика
- Найти область применения функции;
- Найти производную функции f′(х);
- Найти стационарные точки;
- Найти промежутки возрастания и убывания функции;
- Определить точки экстремума (т.max, т.min);
- Найти значение функции в стационарных точках;
- Заполнить таблицу;
- Построить график.
Пример 2: Исследовать функцию и построить график
f(х) = 6х2-2х3
Решение:
- Область применения: любое х;
- f′(х) = (6х2)′-(2х3)′=6∙2х-2∙3х2=12х-6х2
- f′(х) =0 12х-6х2=0
х(12-6х)=0
х=0 или 12-6х=0
-6х=-12
х=
х=2
4)
f′(х) - + -
f(х)
(-∞;0) «-1» f′(-1)=12∙(-1) -6∙(-1)2=-12-6=-18<0, знак «-», значит (↓)
(0;2) «1» f′(1)=12∙1-6∙12=12-6=6>0, знак «+», значит (↑)
(2;∞) «3» f′(3)=12∙3-6∙32=36-54=-18<0, знак «-», значит (↓)
5) Определим по схеме, что х=0 – т.min, х=2 – т.max
6) f(0) = 6∙02-2∙03=0-0=0
f(2) = 6∙22-2∙23=24-16=8
7) Заполним таблицу:
х | (-∞;0) | 0 | (0;2) | 2 | (2;∞) |
f′(х) | - | 0 | + | 0 | - |
f(х) | 0 | 8 |
т.min(0;0) т.max(2;8)
8) Строим график функции f(х) = 6х2-2х3
****************************************************************
- Найти интервалы возрастания и убывания функции:
1) ; 10) ;
2) ; 11) ;
3) ; 12) ;
4) ; 13) ;
5) ; 14) ;
6) ; 15) ;
7) ; 16) ;
8) ; 17) ;
9) ; 18) .
- Найти критические точки функции:
1) ; 3) ;
2) ; 4) .
- Найти точки экстремума функции:
1) ; 5) ;
2) ; 6) ;
3) ; 7) ;
4) ; 8) .
- Найти точки экстремума и значения функции в этих точках:
1) ; 5) ; 6) ;
2) ; 7) ;
3) ; 8) ;
4) ; 9) .
****************************************************************
- Постройте график функции:
1) ; 11) ;
2) ; 12) ;
3) ; 13) ;
4) ; 14) ;
5) ; 15) ;
6) ; 16) ;
7) ; 17) ;
8) ; 18) ;
9) ; 19) .
10) ;
- Построить график функции:
1) на отрезке ;
2) на отрезке ;
3) на отрезке ;
4) на отрезке ;
2.Наибольшее и наименьшее значение функции.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке используется следующий алгоритм:
- найти значения функции на концах отрезка, то есть f(a) и f(b);
- вычислить критические точки функции.
- выделить критические точки, которые принадлежат данному отрезку ;
- найти значение функции в выбранных критических точках;
- из всех найденных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.
Пример 3: Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(х)=2х3-3х2+2 на отрезке [-2;3]
Решение:
1) f(-2)=2∙(-2)3-3∙(-2)2+2=-16-12+2=-26
f(3)=2∙33-3∙32+2=54-27+2=29
2) f′(х) =(2х3-3х2+2)′= (2х3)′-(3х2)′+(2)′=2∙3х2-3∙2х+0=6х2-6х
3) f′(х) =0 6х2-6х =0
х(6х -6)=0
х=0 или 6х-6=0
6х=6 , х=
х=1
- Получили стационарные точки х1=0, х2=1,
по заданию имеем отрезок [-2;3], х1 и х2 входят в заданный отрезок, значит обе стационарные точки нам подходят.
5) f(0)=2∙03-3∙02+2=0-0+2=2
f(1)=2∙13-3∙12+2=2-3+2=1
6) Имеем:
f(-2)= -26 f(3)= 29 f(0)=2 f(1)= 1
Выбираем самое большое и самое маленькое значение:
Наибольшее значение: f(3)= 29 , наименьшее значение: f(-2)= -26
Ответ: наибольшее значение: f(3)= 29 , наименьшее значение: f(-2)= -26
****************************************************************
- Найдите наибольшее наименьшее значение функции на заданном отрезке:
1) ;
2) и ;
3) и ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) ;
11) ;
12) ;
13) ;
14) ;
15) ;
16) .
- а) Число 36 записать в виде произведения двух положительных чисел, сумма которых наименьшая.
б) Число 50 записать в виде суммы двух чисел, сумма кубов которых наименьшая.
в) Записать число 625 в виде произведения двух положительных чисел так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
Проверь себя!
- Найти интервалы возрастания и убывания функции .
- Найти точки экстремума функции .
- Построить график функции ; .
- Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
- Периметр основания прямоугольного параллелепипеда 8 м, а высота 3 м. Какой длины должны быть стороны основания, чтобы объем параллелепипеда был наибольшим?
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Учебное пособие "ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ"
Данное учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов2 курса. Пособие составлено в соответствии с рабочей программой учебнойдисциплины «Математика» по специальностям 080114, 100701. Учеб...
Учебное пособие по математике, раздел "Функции"
Учебное пособие «Функции» разработано в соответствии с требованиями ФГОС СПО и предназначено для эффективного изучения дисциплины «Математика» общеобразовательного цикла основной профессиональной обра...
Конспект открытого урока по математике по теме "применение производных и построение графиков функций"
Открытый урок по теме "Применение производных и постоение графиков функции"...
Конспект открытого урока по математике по теме "применение производных и построение графиков функций"
Открытый урок по теме "Применение производных и постоение графиков функции"...
Открытый урок по теме "Применение производной к исследованию функций"
Уро - повторение темы "Производная". задания взяты из реальных КИМов ЕГЭ разных лет...
Методическая разработка по предмету ЕН.01 Математика по теме: "Применение производной к исследованию функций. Исследование функций на монотонность".
Применение производной к исследованию функций. Исследование функций на монотонность.План урока.Тема. Применение производной к исследованию функций. Исследование функций на монотонность.Цели. Рассмотре...
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ – ПРАКТИКУМ по теме «ПРОИЗВОДНАЯ. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ»
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ – ПРАКТИКУМ по теме «ПРОИЗВОДНАЯ. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ»...