Косинус, его элементы. Площадь поверхности и объем конуса
материал

Тема: Конус, его элементы. Площадь поверхности и объем конуса.

Цель: рассмотреть понятия конуса, его элементов, площадь поверхности и объем.

Лекционный материал

1. Конус — тело вращения, которое получается в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг его катета.

Треугольник POA вращается вокруг стороны PO.

PO — ось конуса и высота конуса.

P — вершина конуса.

PA — образующая конуса.

Круг с центром O — основание конуса.

AO — радиус основания конуса.

Осевое сечение конуса — это сечение конуса плоскостью, которая проходит через ось PO конуса.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник.

APB — осевое сечение конуса.

∡PAO=∡PBO — углы между образующими и основанием конуса.

Развёрткой боковой поверхности конуса является круговой сектор. Длина дуги сектора — это длина окружности основания конуса длиной 2πR, угол развёртки боковой поверхности α.

В конусе нельзя обозначить угол развёртки.
На развёртке конуса нельзя обозначить высоту и радиус конуса.

Радиус сектора — это образующая конуса.

Таким образом, боковая поверхность конуса является частью полного круга с радиусом l:

Длина дуги также является частью длины полной окружности с радиусом l, но в то же время длина дуги — это длина окружности основания конуса с радиусом R.

Сравним выражения длины дуги и выразим α через R:

Получаем ещё одну формулу боковой поверхности конуса; не используется угол развёртки боковой поверхности:

2. Усеченный конус

Если провести сечение конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса, то эта плоскость разбивает конус на две части, одна из которых — конус, а другую часть называют усечённым конусом.

Также усечённый конус можно рассматривать как тело вращения, которое образовалось в результате вращения прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны (которая перпендикулярна к основанию трапеции) или в результате вращения равнобедренной трапеции вокруг высоты, проведённой через серединные точки оснований трапеции.

OO1 — ось конуса и высота конуса.

AA1 — образующая конуса.

Круги с центрами O и O1 — основания усечённого конуса.

AO и A1O1 — радиусы оснований конуса.

Осевое сечение конуса — это сечение конуса плоскостью, которая проходит через ось OO1 конуса.

Осевое сечение конуса — это равнобедренная трапеция.

AA1B1B — осевое сечение конуса.

Боковая поверхность определяется как разность боковой поверхности данного конуса и отсечённого конуса:

Так как ΔPAO∼ΔPA1O1, то стороны их пропорциональны:

Таким образом получаем формулу боковой поверхности усечённого конуса, которая содержит радиусы оснований и образующую усечённого конуса:

3. Площадь боковой поверхности и объем конуса.

Площадь поверхности конуса состоит из площади боковой поверхности конуса и площади основания (круга).

Площадью боковой поверхности конуса является площадь её развёртки.

Развёрткой боковой поверхности конуса является круговой сектор.

4. Решение задач на нахождение элементов конуса

Требования к отчетности:

1. Изучаем лекционный материал с задачами и оформляем его в рабочую тетрадь;
2. Присылаем фотоотчет на почту: vismyt89@mail.ru или в ВКонтакте.