Пирамида. Площадь поверхности и объем пирамиды
материал

Тема: Пирамида. Площадь поверхности и объем пирамиды.

Цель: познакомить обучающихся с геометрической фигурой - пирамида, изучение элементов пирамиды (основание, вершина, боковые ребра, высота, тетраэдр), площадь поверхности и объем.

Лекционный материал

Историческая справка:

Термин «пирамида» заимствован из греческого «пирамис» или «пирамидос». Греки в свою очередь позаимствовали это слово из египетского языка. В папирусе Ахмеса встречается слово «пирамис» в смысле ребра правильной пирамиды.

Другие считают, что термин берет свое начало от формы хлебцев в Древней Греции («пирос» - рожь). В связи с тем, что форма пламени напоминает образ пирамиды, некоторые ученые считали, что термин происходит от греческого слова «пир» - огонь. В Древнем Египте гробницы фараонов имели форму пирамид.

Сейчас же пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника – основание пирамиды; точки, не лежащей в плоскости основания – вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания – боковыми ребрами.

Элементы пирамиды

• апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины [3];
• боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине пирамиды;
• боковые ребра — общие стороны боковых граней;
• вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;
• высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);
• диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;
• основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Виды пирамид

Пирамиды в зависимости от числа сторон основания подразделяются на треугольные (они называются тетраэдрами), четырехугольные, пятиугольные и т.д.

Усеченной пирамидой называется часть пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.

Параллельные грани называются основаниями, а отрезок перпендикуляра, заключенный между основаниями, называется высотой усеченной пирамиды.

Правильную пирамиду или правильную призму не следует путать с правильным многогранником. Многогранник называется правильным, если все его грани — равные правильные многоугольники и все многогранные углы равны (например, куб или правильный тетраэдр).

Боковые грани правильной усеченной пирамиды являются равными равнобочными трапециями и многоугольники оснований подобны.

Пирамида называется правильной, если:
1) основание есть правильный многоугольник,
2) высота проходит через центр этого многоугольника.

Пирамиду можно получить, если пересечь многогранный угол плоскостью, имеющей общие точки со всеми ребрами.

В правильной пирамиде радиусы правильного многоугольника, лежащего в основании, являются проекциями боковых ребер, поэтому эти ребра равны, а следовательно, равны все боковые грани, являющиеся равнобедренными треугольниками.

Пирамида называется прямоугольной, если одно из ее боковых ребер перпендикулярно основанию (оно же будет и высотой).

Треугольная пирамида называется тетраэдром.

Например, у пирамиды  основание – А1А2…An, вершина  - S, боковые ребра  - SА1,SА2…,  боковые грани -  ∆SА1А2, SА1An. (рис. 1)

Свойства:

Рассмотрим первый случай пирамиды, при котором она имеет ребра одинаковой длины:

• Вокруг основания такой пирамиды можно описать окружность. Если спроецировать вершину такой пирамиды, то её проекция будет находится в центре окружности.
• Углы при основании пирамиды у каждой грани одинаковы.
• При этом достаточным условием к тому, что вокруг основания пирамиды можно описать окружность, а так же считать, что все ребра разной длины, можно считать одинаковые углы между основанием и каждым ребром граней.

Если Вам попалась пирамида, у которой углы между боковыми гранями и основанием равны, то справедливы следующие свойства:

• Вы сможете описать окружность вокруг основания пирамиды, вершина которой проецируется точно в центр.
• Если провести у каждой боковой грани высоты к основанию, то они будут равной длины.
• Чтобы найти площадь боковой поверхности такой пирамиды, достаточно найти периметр основания и умножить его на половину длины высоты.
• Sбп = 0,5PocнH.

Площадь поверхности и объем пирамиды

 А теперь решим такую задачу: Представьте, что нам надо покрыть железом крышу дома, которая имеет форму правильной 4- угольной пирамиды. Апофема пирамиды 10м. Сторона основания 12м. Какие грани будут покрываться железом? Покажите их на развёртке. Т.е. нам надо узнать площадь боковой поверхности правильной пирамиды. Сколько боковых граней у данной пирамиды?. Какими фигурами являются боковые грани(равнобедренные равные треугольники) следовательно Sбок= 4S∆ Как найти площадь треугольника: .Чему равна будет площадь боковой поверхности нашей пирамиды?

Sбок=  значит Sбок=2٠12٠10=240м2 . Ответ:240м2. что мы сейчас нашли? А как вы думаете, что будет из себя представлять полная поверхность пирамиды?

Запишем в тетрадь формулу для вычисления полной поверхности пирамиды Sп = Sбок + Sосн . Какой фигурой могут быть основания пирамиды?

Какой фигурой являются боковые грани любой пирамиды? Значит надо уметь вычислять площади треугольников, 4- угольников (ромб, трапеция, квадрат, прямоугольник, параллелограмм) А теперь вернёмся к нашей задаче 4а - это периметр основания пирамиды, h = d - апофема. Сформулируем и запишем формулу для вычисления боковой поверхности правильной пирамиды: Sбок=  росн٠h Таким образом боковая поверхность правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему т.е. высоту боковой грани.

Если пирамида неправильная, то как придётся вычислять площадь такой пирамиды?

1. Выполнение практической части

Нахождение поверхности пирамиды является практически необходимым в жизни человека, например в строительстве.

Решить задачу: Пирамида Хеопса имеет следующие размеры, они представлены в таблице. Найти площадь боковой поверхности пирамиды Хеопса.

Таблица 1 Пирамида Хеопса

Представьте себе, что вы работаете на предприятии, которое изготавливает упаковки для молока в форме тетраэдра, вместимостью 0,5л. Надо рассчитать количество материала для изготовления 1 коробки. Размеры: грани коробки представляют собой правильные треугольники со стороной 12см. и высотой - 10см.

Таблица 2 упаковка для молока. Определить площадь поверхности упаковки, имеющей форму правильного тетраэдра.

2. Ответьте на следующие вопросы:

1. Сколько граней, боковых рёбер у n - угольной пирамиды?

2.Какое наименьшее число граней может иметь пирамида?

3. Высота пирамиды равна 8см. Чему равно расстояние от вершины пирамиды до основания.(рис.выполнить)

4. Боковые рёбра пирамиды равны соответственно 7,12,5см. Одно из них перпендикулярно к плоскости основания. Чему равна высота пирамиды?

3. Объем пирамиды.

Пример задачи:

При составлении конспекта, ответьте на следующие теоретические вопросы:

1.Какой многогранник называют пирамидой? Назовите основные элементы пирамиды, дайте им определение.

2. Приведите среди окружающих вас предметов те, которые имеют форму пирамиды, усеченной пирамиды.

3. Сколько вершин, ребер и граней имеет: а) n-угольная пирамиды, б) n-угольная усеченная пирамиды?

4. Сколько плоских, двугранных и многогранных углов: а) в тетраэдре, б) в четырехугольной пирамиде, в) в усеченной треугольной пирамиде.

5. Дайте определение правильной пирамиды, усеченной пирамиды и прямоугольной. Назовите их основные элементы.

6.Всегда ли правильная пирамида имеет: а) ось симметрии, б) плоскость симметрии?

7. Рассмотрите основные свойства пирамиды.

8. Рассмотреть площадь поверхности и объем пирамиды.

9. Используя развертку Тетраэдра, лист А4 и клей(скотч), реализуйте модель пирамиды.

Требования к отчетности:

1. Отвечаем на вопросы письменно в рабочей тетради с 1 по 8.
2. Пункт 9 выполняем практически.
3. Присылаем фотоотчет (фигуру тетраэдра и тетрадь) на почту: vismyt89@mail.ru или в ВКонтакте.