20.03.2020г. гр.961 тема: "Параллелепипед и его свойства. Площадь поверхности и объем призмы"
материал

Тема: «Параллелепипед и его свойства. Площадь поверхности и объем призмы»

Цель: ввести понятие параллелепипеда и его видов; рассмотреть площадь поверхности и объем призмы.

Актуализация знаний

1. Ответьте письменно на следующие вопросы:

1) Поверхность, имеющая два измерения?

2) Параллелограмм, у которого все углы прямые?

3) Отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины многоугольника?

4) Угол, градусная мера которого 90°?

5) Утверждение, не требующее доказательства?

6) Линия не имеющая ни начала, ни конца?

7) Фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не лежащими в одной плоскости?

8) Отрезок, соединяющий точку А с точкой, лежащей в плоскости α, отличный от перпендикуляра?

9) Предложение, выражающее свойство геометрической фигуры, требующее доказательства?

10) Отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины многоугольника?

Лекционный материал

1. Что такое параллелепипед?

 Параллелепипед – многоугольник, образованный пересечением трех пар параллельных плоскостей.

Если слишком сложно, просто посмотри на картинку.

Какую фигуру из планиметрии (геометрии с «плоскими» фигурами) напоминает параллелепипед?

Немного похоже на параллелограмм, правда? Только «потолще» и слово подлиннее.

2. Основные понятия (*можно нарисовать один большой параллелепипед и на нем отметить все понятия).

Высота – перпендикуляр, опущенный из любой вершины параллелепипеда на противоположную грань.

3. Свойства параллелепипеда.

• Все грани параллелепипеда – параллелограммы.
• Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

Внимание: передняя и задняя грани параллелепипеда равны, верхняя и нижняя – тоже равны, но не равны (не обязаны быть равны) передняя и верхняя грани – потому что они не противоположные, а смежные.

• Боковые ребра параллелепипеда равны:

• Диагонали параллелепипеда пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Точка пересечения диагоналей называется центром параллелепипеда.

4. Прямой параллелепипед.

Прямым называется параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию.

Вот так:

У прямого параллелепипеда в основании – параллелограмм, а боковые грани - прямоугольники.

5. Прямоугольный параллелепипед.

Прямоугольным называется параллелепипед, у которого в основании прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны основанию.

Это такая обувная коробка:

У прямоугольного параллелепипеда все грани – прямоугольники.

6. Формула диагонали параллелепипеда.

Теперь выведем одну интересную формулу для диагонали прямоугольного параллелепипеда.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна сумме квадратов его измерений.

Видишь, как красиво? На теорему Пифагора похоже, правда? И формула эта как раз и получается из теоремы Пифагора.

Смотри:

7. Площадь поверхности и объем параллелепипеда.

Для того, чтобы найти площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда, необходимо вычислить по отдельности площадь каждой боковой грани, а затем просуммировать получившиеся значения.

S=ab;

S=bc;  

a,b,c – стороны фигуры.

S=2(ab+bc)

Соответственно, чтобы вычислить площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда необходимо сложить площадь боковой поверхности и две площади основания. В итоге получится формула площади прямоугольного параллелепипеда.

S=2(bc+ab)+2ac=2(ab+ac+bc)

Объем параллелепипеда равен произведению трех измерений (длина, ширина, высота)

8. Площадь поверхности и объем призмы.

Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей всех боковых граней призмы.

Площадь боковой поверхности прямой призмы Sбок.=Pосн.⋅H,

где H — высота призмы.

Площадь полной поверхности призмы — сумма площадей всех граней призмы.

Она состоит из площади боковой поверхности и площади оснований

Sполн.=Sбок.+2⋅Sосн.

Объём прямой призмы находится по формуле:

V=Sосн.⋅H.

9. Решение задач:

1. Даны два прямоугольных параллелепипеда: ребра одного равны a, b и b, а ребра другого равны a, a и b. На сколько площадь полной поверхности первого параллелепипеда больше, чем площадь поверхности второго параллелепипеда, если a=1000,b=1001.

Решение:
Площадь полной поверхности первого параллелепипеда S1=2(ab+b2+ab)

Площадь полной поверхности второго параллелепипеда S2=2(ab+ab+a2)

Следовательно, S1−S2=2(b2−a2)=2(b−a)(b+a)=2(1001−1000)(1001+1000)=4002.

Ответ: 4002
2) Дан прямоугольный параллелепипед с ребрами 2, 3 и 6. Найдите его диагональ.

Решение:
Пусть AB=2, AD=3, AA1=6.
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABD (∠A=90∘) имеем: BD2=AB2+AD2.   

Из прямоугольного треугольника BB1D (∠B=90∘) по теореме Пифагора B1D2=BD2+BB12.   Подставляя BD2 из первого равенства во второе, получим: B1D2=AB2+AD2+BB12=22+32+62=4+9+36=49⇔B1D=7.

Ответ: 7
3) Даны два прямоугольных параллелепипеда: ребра одного равны 185, 185 и 37; а ребра другого равны 185,37 и 37. Во сколько раз объем первого параллелепипеда больше объема второго параллелепипеда?
Решение:
Отношение их объемов равно:

Ответ: 5.

Требования к отчетности:

1. Отвечаем на вопросы письменно в рабочей тетради.
2. Конспектируем лекционный материал (только кажется, что много).
3. Рассматриваем пункт 9) Решение задач. Задачи конспектируем.
4. Присылаем фотоотчет на почту: vismyt89@mail.ru или в ВКонтакте.