УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ – ПРАКТИКУМ по теме «ПРОИЗВОДНАЯ. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ»
учебно-методическое пособие

УЧЕБНОЕ

ПОСОБИЕ – ПРАКТИКУМ

по теме

«ПРОИЗВОДНАЯ. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ»

Дисциплина: ЕН.01 Математика

Введение

Математика - это наука, изучающая пространственные формы и количественные отношения действительного мира.

Математика играет важную роль в естественнонаучных, инженерно-технических и гуманитарных исследованиях. В то же время математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также элементом общей культуры. Поэтому основной задачей курса математики в образовательных  заведениях  среднего профессионального образования является обеспечение  обучающихся математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения специальных дисциплин.

Тема «Производная. Применение производной функции» имеет огромное прикладное значение, в частности,  при  разработки курсовых, расчётно-графических работ и дипломных проектов, для профессиональной деятельности и продолжения образования.

ПРОИЗВОДНАЯ

1. Определение производной.

Пусть задана функция , определенная и непрерывная на некотором промежутке.

Предел отношения приращения функции в точке х0  к приращению аргумента, когда последний стремится к 0 называется производной функции:

,

,    

хк - конечное значение аргумента

хн - начальное значение аргумента

        Механический и физический смысл производной

Пусть данная функция описывает движение материальной точки.

Тогда  временной интервал

 путь, пройденный точкой за данный промежуток времени .

Определение. Скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная пути S по времени t. В этом состоит механический смысл производной.

Т.е .

Обобщая можно сказать, что если функция  описывает какой - либо физический процесс, то производная  есть скорость протекания этого процесса. В этом состоит физический смысл производной.

Физический смысл производной состоит в задаче нахождения мгновенной скорости движения:

, пусть .

****************************************************************

1. Используя определение производной найдите , если:

1) ;                        5) ;

2) ;                        6) ;

3) ;                        7) ;

4) ;                        8) .

2. Точка движется по закону . Найти среднюю скорость движения за промежуток времени

1) от  до ;                        2) от  до .

3. Найти мгновенную скорость движения точки, если

1) ;                                2) .

4. Закон движения задан формулой . Найти:

1) среднюю скорость движения от  до ;

2) скорость движения в момент  и .

5. Определить скорость тела, движущегося по закону  в момент времени  и .

2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ.

Геометрический смысл производной состоит в том, что тангенс угла наклона касательной к оси Ох  называется производной функции в точке касания и равен угловому коэффициенту .

        Таблица производных и правила дифференцирования:

1 правило. Производная суммы функций: .

2 правило. Производная произведения функций: .

3 правило. Производная частного функций: .

4 правило. Вынесение числового множителя за знак производной: .

        ****************************************************************

1. Вычислить производные следующих функций:

1) ;                        20) ;                39) ;

2) ;                        21) ;                40) ;

3) ;                        22) ;                41) ;

4) ;                        23) ;                42) ;

5) ;                        24) ;                43) ;

6) ;                        25) ;                44) ;

7) ;                        26) ;                45) ;

8) ;                        27) ;                46) ;

9) ;                        28) ;                47) ;

10) ;                        29) ;                48) ;

11) ;                30) ;                49) ;

12) ;                31) ;                50) ;

13) ;                        32) ;                51) ;

14) ;                        33) ;                52) ;

15) ;                34) ;                53) ;

16) ;                35) ;                54) ;

17) ;                36) ;                55) ;

18) ;                37) ;                56) .

19) ;                38) ;

2. Найдите , если

1);                        2) ;

3) ;                        9) ;

4) ;                        10);

5) ;                11);

6) ;                12) ;

7) ;                13) ;

8) ;                14) .

3. Найдите значения х,  при которых значение производной равно 0, если:

1);                        5) ;

2) ;                        6) ;

3) ;                7) .

4) ;                

4. Выяснить при каких значениях х производная принимает положительные и отрицательные значения, если:

1);                        5) ;

2);                6) ;

3);                        7) ;

4) ;                        8) .

5. Найти производные следующих функций:

1);                        7) ;

2) ;                        8) ;

3) ;                        9) ;

4) ;                        10) ;

5) ;                                11) ;

6) ;                                12) ;

13) ;                18) ;

14) ;                        19) ;

15) ;                        20) ;

16) ;                        21) .

17) ;                

6. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции  в точке с абсциссой :

1);                        3) ;

2) ;                        4) .

7. Написать уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой :

1);                5) ;

2) ;                6) ;

3) ;                        7) ;

4) ;                        8) .

8. Найти угол между касательной к графику функции  в точке с абсциссой  и осью Ох:

1);                        4) ;

2) ;                        5) ;

3) ;                        6).

9. Написать уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой :

1);                        3) ;

2) ;                        4) .

Проверь себя!

1. Найти , если .
2. Найти производную функции:

;        ;        

;                  .

3. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции  в точке с абсциссой .
4. Найти угол между касательной к графику функции  в точке с абсциссой  и осью Ох.

3. Сложная функция.

Сложная функция – это функция от функции: .

Производную сложной функции считают с помощью правила цепочки, которое состоит в следующем: производная сложной функции равна произведению производных входящих в нее функций:

.

****************************************************************

1. Найти производные следующих функций:

1) ;                                8) ;

2) ;                                9) ;

3) ;                                10) ;

4) ;                                11) ;

5) ;                                12) ;

6) ;                                13) ;

7) ;                                14) .

2. Найти значения х, при которых значение производной функции  равно 0; положительно; отрицательно:

1);                        4) ;

2) ;                        5) ;

3) ;                        6) .

3. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой , если:

1);                        3) ;

2) ;                4) .

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ

      Нахождение стационарных точек и промежутков монотонности.

Достаточный признак убывания (возрастания) функции, теорема Лагранжа, понятия «промежутки монотонности функции»

     Экстремумы функции и значения в них

Определения точек максимума и минимума, необходимый признак экстремума (теорему Ферма) и достаточный признак максимума и минимума, знать определения стационарных  и критических точек функции

    Исследование и построение графиков функций.

Схема исследования функции, метод построения графика чётной (нечётной) функции

    Нахождение наибольших и        наименьших значений функций.  

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке и на интервале       

1. Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции. Исследование функции и построение графиков функций с помощью производной.

Если  на промежутке, то функция возрастает на этом промежутке.

Если  на промежутке, то функция убывает на этом промежутке.

        Промежутки возрастания и убывания функции называют промежутками монотонности.

Точки, в которых производная равна 0 или не существует называются критическими (точки, в которых производная не существует, называются точками разрыва).

 называется точкой максимума функции, если:

1) ;

2) при переходе через точку  производная меняет свой знак с «+» на «», а функция меняется с возрастания на убывание;

.

 называется точкой минимума функции, если:

1) ;

2) при переходе через точку  производная меняет свой знак с «-» на «+», а функция меняется с убывания на возрастание;

.

Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы:

1. Указать область определения функции .
2. Вычислить производную функции.
3. Найти критические точки  и точки разрыва (если существуют).
4. Разбить область определения критическими точками на промежутки.
5. Методом подстановки определить знак производной на каждом промежутке.
6. Пользуясь определением указать промежутки монотонности и точки экстремума (если существуют).

Пример 1: Найти точки экстремума функции:

f(х) = х3+6х2+4

Решение:

1. f′(х) = (х3+6х2+4) = (х3)′+(6х2)′+(4)′= 3х2+6∙2х+0=3х2+12х
2. f′(х)=0     3х2+12х=0                          

х(3х+12)=0                  

х=0 или 3х+12=0                

                                         3х=-12              

х=

х=-4

3)       f′(х)      +           -            +

            f(х)

 4) На интервале (-∞;-4) возьмём число  -5,  подставим в производную f′(х):

 f′(-1)=3∙(-5)2+12∙(-5)=75-60=15>0, знак «+», значит (↑)

На интервале (-4;0) возьмём число  -1,  подставим в производную f′(х):

 f′(-1)=3∙(-1)2+12∙(-1)=3-12=-9<0, знак «-», значит (↓)

На интервале (0;∞) возьмём число  1,  подставим в производную f′(х):

 f′(1)=3∙12+12∙1=3+12=15>0, знак «+», значит (↑)

5) На схеме определяем, что х=-4 т.max, х=0 – т.min

Ответ: х=-4 т.max, х=0 – т.min

При построении графиков функций сначала исследуют свойства функций по вышеуказанному алгоритму, затем результаты заносят в таблицу:

        После исследования находят точки пересечения функции с осью Ох: , и несколько дополнительных точек, для более точного построения. Выполняют построение.

Исследование функции с помощью производной

Алгоритм исследования функции для построения графика

1. Найти область применения функции;
2. Найти производную функции f′(х);
3. Найти стационарные точки;
4. Найти промежутки возрастания и убывания функции;
5. Определить точки экстремума (т.max, т.min);
6. Найти значение функции в стационарных точках;
7. Заполнить таблицу;
8. Построить график.

Пример 2:  Исследовать функцию  и построить график

 f(х) = 6х2-2х3

Решение:

1. Область применения: любое х;
2. f′(х) = (6х2)′-(2х3)′=6∙2х-2∙3х2=12х-6х2
3. f′(х) =0    12х-6х2=0

х(12-6х)=0

х=0 или 12-6х=0

-6х=-12

х=

х=2

4)  

f′(х)         -           +           -

          f(х)  

 (-∞;0)  «-1»   f′(-1)=12∙(-1) -6∙(-1)2=-12-6=-18<0, знак «-», значит (↓)

 (0;2)     «1»   f′(1)=12∙1-6∙12=12-6=6>0, знак «+», значит (↑)

 (2;∞)    «3»   f′(3)=12∙3-6∙32=36-54=-18<0, знак «-», значит (↓)

5) Определим по схеме, что х=0 – т.min, х=2 – т.max

6) f(0) = 6∙02-2∙03=0-0=0

    f(2) = 6∙22-2∙23=24-16=8

7) Заполним таблицу:

                              т.min(0;0)             т.max(2;8)

8) Строим график функции f(х) = 6х2-2х3

****************************************************************

1. Найти интервалы возрастания и убывания функции:

1) ;                                10) ;

2) ;                                11) ;

3) ;                        12) ;

4) ;                        13) ;

5) ;                                14) ;

6) ;                                15) ;

7) ;                16) ;

8) ;                        17) ;

9) ;                                18) .

2. Найти критические точки функции:

1) ;                                3) ;

2) ;                        4) .

3. Найти точки экстремума функции:

1) ;                        5) ;        

2) ;                        6) ;

3) ;                        7) ;

4) ;                                8) .

4. Найти точки экстремума и значения функции в этих точках:

1) ;                                5) ;       6) ;

2) ;                                   7) ;

3) ;                                     8) ;

4) ;                                     9) .                          

****************************************************************

5. Постройте график функции:

1) ;                        11) ;

2) ;                        12) ;

3) ;                        13) ;

4) ;                        14) ;

5) ;                        15) ;

6) ;                        16) ;

7) ;                        17) ;

8) ;                        18) ;

9) ;                        19) .

10) ;                                

6. Построить график функции:

1)  на отрезке ;

2)  на отрезке ;

3)  на отрезке ;

4)  на отрезке ;

2.Наибольшее и наименьшее значение функции.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке  используется следующий алгоритм:

1. найти значения функции на концах отрезка, то есть f(a) и f(b);
2. вычислить критические точки функции.
3. выделить критические точки, которые принадлежат данному отрезку ;
4. найти значение функции в выбранных критических точках;
5. из всех найденных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример 3:  Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(х)=2х3-3х2+2 на отрезке [-2;3]

Решение:

1) f(-2)=2∙(-2)3-3∙(-2)2+2=-16-12+2=-26

    f(3)=2∙33-3∙32+2=54-27+2=29

2) f′(х) =(2х3-3х2+2)′= (2х3)′-(3х2)′+(2)′=2∙3х2-3∙2х+0=6х2-6х

3) f′(х) =0    6х2-6х =0

х(6х -6)=0

х=0 или 6х-6=0

6х=6 ,  х=

х=1

4. Получили стационарные точки х1=0, х2=1,

    по заданию имеем отрезок [-2;3],  х1 и х2 входят в заданный отрезок, значит обе стационарные точки нам подходят.

    5) f(0)=2∙03-3∙02+2=0-0+2=2

        f(1)=2∙13-3∙12+2=2-3+2=1

    6) Имеем:

     f(-2)= -26                   f(3)= 29                    f(0)=2                    f(1)= 1

    Выбираем  самое большое и самое маленькое значение:

Наибольшее значение: f(3)= 29 , наименьшее значение: f(-2)= -26

Ответ: наибольшее значение: f(3)= 29 ,                                             наименьшее значение: f(-2)= -26

****************************************************************

1. Найдите наибольшее  наименьшее значение функции на заданном отрезке:

1) ;                

2)  и ;

3)  и ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) ;

16) .

2. а) Число 36 записать в виде произведения двух положительных чисел, сумма которых наименьшая.

б) Число 50 записать в виде суммы двух чисел, сумма кубов которых наименьшая.

в) Записать число 625 в виде произведения двух положительных чисел так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

Проверь себя!

1. Найти интервалы возрастания и убывания функции .
2. Найти точки экстремума функции .
3. Построить график функции ; .
4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке .
5. Периметр основания прямоугольного параллелепипеда 8 м, а высота 3 м. Какой длины должны быть стороны основания, чтобы объем параллелепипеда был наибольшим?