Применение производной к исследованию функций и построению графиков
методическая разработка на тему

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

    Целью данной методической разработки является показ возможного варианта урока математики по теме: «Применение производной к исследованию функций и построению графиков» путем применения различных форм и методов обучения.

    Тема очень актуальна, т.к. в ней рассматриваются примеры, связанные с нахождением производной, способы отыскания критических точек. Промежутков возрастания и убывания функции, точек экстремума. На уроке используются межпредметные связи, прежде всего, с физикой, что помогает обучающимся прочно усваивать материал и углубить имеющиеся знания по дисциплине.

     Выбранная тема урока предполагает активное использование наглядного метода обучения, в том числе графической наглядности ( с помощью использования компьютерных технологий).

    Достижению воспитательной цели способствует использование на уроке элементов игровых ситуаций (обучающиеся  представляют сценку «Суд над Пьером Ферма», а также демонстрируют свои актерские таланты в сочинении и исполнении частушек).

    Применение проблемного метода помогает активизировать мыслительную деятельность обучающихся, способствует умению обобщать и систематизировать, логически мыслить. Делать выводы и давать самооценку полученных знаний.

    Объяснительно-иллюстративный метод является залогом формирования особого настроения обучающихся, помогает создать наиболее целостное представление о производной.

     Урок по теме: «Применение производной к исследованию функций и построению графиков» проводится при изучении раздела «Понятие о пределе последовательности. Понятие о непрерывности функции. Понятие о производной функции. Применение производной».

    Подготовительная работа: преподаватель дает отдельным учащимся подготовить информацию о применении производной в физике, подготовить частушки, связанные с изучаемыми терминами и подготовить сценку «Суд над Пьером Ферма», посвященную французскому математику и юристу, занимавшемуся вопросами исследования функции, в частности, нахождением экстремумов многочленов, всей группе – повторить основные этапы нахождения экстремумов функции.

    Педагог подготавливает наглядные пособия к уроку, методические материалы, учебники, дополнительную литературу, компьютерную презентацию производной.

Цели урока:

Обучающая:

1. повторить правила нахождения производной, области определения функции, промежутков возрастания и убывания функции, точек экстремума.
2. Углубить знания обучающихся по применению производной.
3. Показать, как применяются ранее приобретенные знания для исследования функции и построения графиков.
4. Рассмотреть алгоритм построения графиков.

Воспитательная:

1. Воспитывать устойчивый интерес к изучению математики.
2. Воспитывать любознательность.
3. Воспитывать аккуратность при выполнении чертежей.
4. Воспитывать ответственность за получение новых знаний.

Развивающая:

1. Формировать умение сравнивать, делать выводы, выявлять причинно-следственные связи изучаемого материала.
2. Развивать умение работать самостоятельно.
3. Способствовать развитию  памяти, речи и вычислительных навыков.

Методическая цель урока:

Обеспечить эффективность усвоения учебного материала путем использования наглядных методов обучения (применение компьютерных технологий, ТСО, карточек с алгоритмом исследования функций и построения графиков), а также способствовать развитию мыслительной деятельности учащихся с помощью поискового и проблемного методов.

Тип урока:

Урок усвоения новых знаний на основе имеющихся.

Форма проведения:

Комбинированный урок.

Оснащение урока:

Учебники А.Н.Колмогоров. Алгебра и начала анализа 10-11.Москва, 2017г. Алимов Ш.А. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни).10—11 классы. — М., 2014.

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа. Геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни). 10—11 классы. — М., 2014.

Башмаков М.И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. — М., 2014.

2. Плакат с планом урока.
3. Кодоскоп с набором пленок.
4. Мультимедиа с презентацией.
5. Выставка книг рекомендуемой литературы для обучающихся.
6. Карточки с алгоритмом построения графиков.
7. Дидактические материалы.

План урока:

1.Организационный момент. Мотивация познавательной деятельности.

2. Актуализация опорных знаний обучающихся по теме.

Виды работ: а) применение производной – фронтальный опрос.

                       Б) Устная работа с кодоскопом.

                        В) самостоятельная работа: а) расшифровать слово

                                               Б) описать характер поведения функции.

3. Изучение нового материала.

Вопросы:

1. Алгоритм построения графика функции. Виды работ: информационный слайд.
2. Построение графика функции у=3х5 – 5х3.

Виды работ: а) рассказ учителя и постановка проблемы,

                       Б) Исследование функции по алгоритму – работа учащихся с          проверкой,

В) построение графиков функций – рассказ учителя.

4. Закрепление.

1. Построение графика функции у = х3 – 3х2 – комментированное решение.
2. Самостоятельная работа с самопроверкой.

5. Домашнее задание.
6. Художественная самодеятельность: а) частушки, б) сценка «Суд над Пьером Ферма».
7. Заключительная часть урока. Подведение итогов урока.

Ход урока.

1. Оргмомент – приветствие, проверка подготовки обучающихся и аудитории к уроку, проверка посещаемости, внешнего вида учащихся.
2. Актуализация опорных знаний проводится методом фронтального опроса.

Цель данного этапа урока – повторить примеры применения производной и её связи с другими науками для того, чтобы расширить знания обучающихся об этой области применения производной, активизировать обучающихся, вовлечь их в работу на уроке.

Учитель: на предыдущих уроках мы рассматривали примеры применения производной. Где?

Открывается слайд со схемой применения производной. Учащиеся называют примеры применения: в физике, геометрии, при составлении уравнения касательной. 

Учитель: коротко вспомним, где производная применяется в физике. При нахождении каких физических величин мы использовали производную?

Обучающийся: скорости и ускорения.

Учитель: как найти скорость? Как найти ускорение? 

Ответ на открывающемся анимированном слайде, обучающийся проговаривает формулу нахождения скорости и ускорения.

Учитель: Откройте тетради, давайте решим задачу: Тело движется по закону: s=х2 -8t + 12.

Запишите условие и найдите скорость и ускорение движущегося тела.

Обучающиеся находят ответ и проверяют его правильность на открывающемся слайде.

Учитель: для нахождения еще, каких физических величин используется производная?

    Один обучающийся проговаривает формулы нахождения силы тока. Работы и линейной плотности. Формулы на открывающемся слайде. 

Учитель: где в геометрии мы встречаемся с производной? S´=? Обучающиеся проговаривают формулу, затем открывается слайд S=πR2

S´=2πR- производная от площади круга есть длина окружности. 

Учитель: Это лишь небольшой пример из геометрии, на самом деле роль производной в математике очень велика.

Открывается следующий слайд с уравнением касательной.

Учитель: что это за формула? 

Обучающийся: общий вид уравнения касательной, вторая формула – угловой коэффициент. Значение производной в точке х0 есть угловой коэффициент касательной, проведенной в точке касания с положительным направлением оси ох.

Учитель: такие уравнения мы с вами составляли. Строили касательные, находили угловой коэффициент касательной. Сегодня мы рассмотрим еще одну очень важную область применения производной при построении графика функции. Вы строили графики:

1.Линейной функции. Что собой представляет эта функция?

Обучающийся: функция вида у = кх +в, где к и в –числа.

Учитель: что является графиком функции?

Обучающийся: прямая.

Учитель: как мы строим прямую?

Обучающийся: по двум точкам.

Учитель: Вы знакомились с графиком квадратичной функции. Что собой представляет квадратичная функция?

Обучающийся: функция вида у=ах2 + вх + с, где а,в и с – числа, а- не равно нулю.

Учитель: Что представляет собой график квадратичной функции?

Обучающийся: Парабола.

Учитель: Построению этой функции мы уделяли достаточное внимание. Целая схема построения изучалась нами в 9-м классе.

 Ставится проблема:

Как же нам построить график функции, где х имеет степень, большую 2-х, например, у=3х5 – 5х3. Попытаемся построить график этой функции. Как? Ответ: по точкам.

Учитель: Чтобы иметь представление об этой функции, мы должны с вами взять достаточное количество точек. Но степень многочлена велика и наши возможности ограничены. Поэтому возьмем х=0, 1 и -1.

Имеем три точки: А(0;0), В(-1;2), С(1;-2).

Открывается слайд с изображением трех точек графика. 

Учитель: если мы посмотрим, то увидим, что все три точки расположены на одной прямой. Но это не линейная функция, значит, это не прямая. Оказывается, что графики таких функций строятся с помощью производной. Итак, тема нашего урока: «Применение производной к исследованию функций и построению графиков». Тема записана на доске. Но чтобы приступить к построению графика, мы проведем предварительную работу.

3. Устная работа с кодоскопом.

Цель данного этапа: повторить нахождение производной, признак возрастания и убывания функции, область определения функции, активизировать деятельность обучающихся. Задания на слайде.

1. найти производные функции:

а) f(x)=3x5- 5x4 + 4; б) f(x)= 12х6 – 10х3 +х -1. После ответов обучающихся каждый раз открывается слайд для самопроверки.

2. Указать промежутки возрастания и убывания функции.

3. Найти область определения функции:

А) f(x)=х\2 – 2\х; б) у= 3-8х; в) у= 5\ х+10; г) у=√3-х; д) у=5-х\х2+2

4. Самостоятельная работа.

Цель данного этапа: проверить усвоение знаний по нахождению критических точек, экстремумов функции, признаку возрастания и убывания функции, развивать навыки самостоятельной работы, мышление обучающихся.

   Задания выполняются в тетради.

Задание 1.

Найти критические точки данных функций:

1. f´ (x)=(х+5)(2-х);
2. g´ (x)= (х+1)2;
3. h´ (x)= 5х2(х-6);
4. f´ (x)=(х+4)3 -1.

Если вы правильно ответили, то должны указать одно из национальных блюд (расшифровать слово борщ).

На экране высвечивается таблица:

Учитель: какие основные продукты используются для приготовления борща?

Задание 2. Опишите характер поведения функции на промежутках и постройте схематический график, укажите точки экстремума.

После проверки вопрос: Чем отличаются рисунки? Ответ: во втором рисунке есть точка, которая не является ни точкой максимума, ни точкой минимума, так называемая точка перегиба.Данные точки сегодня будут рассмотреныхх

4. Изучение нового материала.

Начинается подведение итогов предыдущих этапов:

Итак, мы сегодня повторили:

1. Правила нахождения производной.
2. Промежутки возрастания и убывания.
3. Критические точки.
4. точки экстремума.
5. Схематически пытались построить графики и убедились. Что таких графиков можно построить много. У нас с вами получились разные графики – у кого – выше, у кого – ниже. Но каждая функция задает только один график. Поэтому любой график строится по алгоритму. Давайте рассмотрим:

1. Алгоритм построения графиков.

Аналитическая работа по информационному слайду.

Цель работы: Формировать у учащихся целостное представление о построении графиков. 

Обучающимся раздаются карточки с алгоритмом построения графиков и проговариваются все этапы этого алгоритма.

Учитель: все эти пункты мы с вами отрабатывали. Осталось только научиться строить график.

2.Построение графика у=3х5 – 5х3

Цель: научить строить графики, используя алгоритм построения.

Учитель: Вернемся к построению графика нашей функции. Нам известны три точки, которые мы будем использовать, раз вы их нашли. Оказывается, мы нашли очень важные точки, которые помогут нам при построении графиков по алгоритму.

Один обучающийся выполняет на доске исследование функции по цепочке алгоритма. Учитель завершает построение и на компьютере показываются сначала части графика, затем весь график. 

Вывод: Итак, мы рассмотрели примеры применения производной к исследованию функций и построению графиков.

2. Закрепление.

Цель: Активизировать мыслительную деятельность обучающихся, проверить усвоение обучающимися способа построения графиков при применении алгоритма построения, выявление понимания учебного материала.

Задание 1. Построить график функции у = х3 – 3х2 – комментированное решение. Ответ с проверкой. На экране «вылетает» график. 

Задание 2. Построить графики функций (задание из дидактических материалов стр.113).

1 вариант. f(x)=x3- 3x2 + 4; 2 вариант. f(x)=-x3+ 3x2 – 4.

Задания выполняются под копирку, один лист остается на партах, второй лист сдается преподавателю.

 Итог самостоятельной работы.

Учитель: Наша конечная цель: построить график функции. Вы можете себе поставить оценку на листке. Сдайте листок, я проверю ваши работы под копиркой и сравню с той оценкой, которую вы себе поставили. Подумайте, какую оценку вы себе поставите. Вы можете снизить оценку, если в чем-то затрудняетесь и повысить, если вы хорошо усвоили материал. Обучающиеся сверяют ответы с ответами на информационном слайде, оценивают себя и сдают листки.

5.Домашнее задание.

1. найти в дополнительной литературе примеры применения производной.

2. №300( а, б) учебник А.Н.Колмогорова Алгебра и начала анализа.

6. Художественная самодеятельность.

Виды работ:

А) Исполнение частушек.

Б) Сценка «Суд над Пьером Ферма».

Цель: развитие творческих способностей обучающихся, умение посмотреть на математику, не как на «сухой» предмет, а как на живую,  интересную науку, умение применять интерпретировать полученные знания в сфере профессионального образования.

Группа обучающихся:

Песня юного поваренка:

Мне суп овощной захотелось сварить,

Я функцию быстро составила.

За х – помидор с огорода взяла,

К нему я капусту прибавила.

Горох из стручка возвела я в квадрат,

Морковочку с луком добавила,

Все в п-ую степень в уме возвела,

Солью и перцем заправила.

Решила наглядно на все посмотреть

И график для супа построила,

Картошечка важно там разлеглась

На точке изгиба графика.

В максимум быстро влетела петрушка,

Свекла опустилась в минимум,

И все засверкало. И график ожил!

Ко мне вдруг пришло вдохновение.

Я ножик в руки острый взяла

И ножиком этим крошить начала:

Картошку,капусту,морковку,горох,

Петрушку и свеклу, ох!

И суп овощной оказался не плох!!!!

Обучающийся:

Нас достали критические точки,

Мы уже не знали, что с ними делать!

Выход только один –

Идти на алгебру!

Пришла весна, кричат грачи.

Сидим на алгебре,

Молчим….

Нам учитель объяснял разные параболы.

На доске он начертил

Всякие каракули!

Производную решали,

Ничего не поняли!

Как учитель объяснил,

Сразу все усвоили!

Утомился наш дружок,

От урока просто взмок.

Почему он так устал?

Весь урок звонка он ждал.

Если учеба мешает учиться,

Значит, производная равна нулю!

Все хором: Мы готовы всем помочь, поэтому ребята, мы советуем вам всем:

Математику учите!

Математику учите!

И учителя любите!

Ох! Все!

Сценка «Суд над Пьером Ферма».

Встать! Суд идет! Прошу садиться. Поступило исковое заявление учащихся группы К-11 на ученого Ферма, который занимался исследованием функции и построением графиков. Наши обоснования:

1. Ферма сформулировал теорему «Уравнение вида хп + уп = zп не имеет решений в натуральных числах при п>2, которая не доказана до сих пор.
2. Ферма был создателем аналитической геометрии и занимался оптикой.
3. Ферма предложил правила нахождения экстремумов многочленов, открыв доступ к исследованию функций и построению графиков. Теорема Ферма есть необходимое, но недостаточное условие экстремума.
4. Исследование функции и построение графиков занимает у нас уйму времени, а оно у нас – дефицит.
5. Сдается нам, что этот метод был изобретен, когда ученый был не в здравом уме, ибо только с больной головой можно придумать такую ересь.

Адвокат: Нельзя ли помочь ребятам? Прошу серьезно подойти к этому вопросу, и в случае удовлетворения искового заявления обучающихся, просить повышения оценок, ибо ими затрачена уйма времени, которое они употребили бы на приготовление булочек и котлет.

Прокурор: В процессе судебного разбирательства группа присяжных заседателей пришла к выводу, что: необходимо удовлетворить исковое заявление, поменьше времени отвести на исследование функции и построение графиков, выделив время на специальные дисциплины. Дерзайте, ребята!

6. Заключительная часть. Подведение итогов урока.

Проводится педагогом. Отмечается работа отдельных учащихся на уроке, выставляются и комментируются оценки.

Цель: дать оценку деятельности обучающихся не только по конечному результату, но и по  активности в процессе его достижения; стимулировать на активную познавательную деятельность на последующих уроках.

     Критерии оценки работы учащихся на уроке: активность при ответах на заданные вопросы, грамотные и четкие ответы на поставленные вопросы, правильность выполнения самостоятельной работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

   Урок по теме «Применение производной к исследованию функций и построению графиков» был проведен в группе К-11 ГОУ СПО «Калужский колледж питания и услуг».

    Анализ результатов урока показал, что использованные на данном уроке методы и приемы позволяют эффективно решать комплекс задач, поставленных педагогом в плане урока.

    Все обучающиеся были активны при ответах на вопросы фронтальной беседы по теме предыдущего урока, при изучении и закреплении нового материала, с увлечением работали самостоятельно, своевременно справлялись с полученными заданиями, смогли дать оценку полученным на уроке знаниям.

ЛИТЕРАТУРА:

1. А.Н. Колмогоров. «Алгебра и начала анализа 10-11». М, 2014г.

     2. Алимов Ш.А. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни).10—11 классы. — М., 2014.

         3. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа. Геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни). 10—11 классы. — М., 2014.

   4. Башмаков М.И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. — М., 2014.