Лекция «Исследование функций с помощью производной»
учебно-методический материал

Лекция. «Исследование функций с помощью производной».

Условия возрастания и убывания функции. Экстремумы функции.

Определение: Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) на [ab], если  таких, что x1 < x2,  f(x1) < f(x2)  ( f(x1) > f(x2) ).

Теорема 1. Если функция  f(x), дифференцируемая на [ab], возрастает на этом отрезке, то  на [ab].

Если  f(x) непрерывна на [ab] и дифференцируема на (ab), причем   для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [ab].

Замечание 1. Аналогичную теорему можно доказать и для убывающей функции: Если f(x) убывает на [ab], то  на [ab]. Если  на (ab), то f(x) убывает на [ab].

Замечание 2. Геометрический смысл доказанной теоремы: если функция возрастает на отрезке [ab], то касательная к ее графику во всех точках на этом отрезке образует с осью Ох острый угол (или горизонтальна). Если же функция убывает на рассматриваемом отрезке, то касательная к графику этой функции образует с осью Ох тупой угол (или в некоторых точках параллельна оси Ох).

Теорема 2 (необходимое условие экстремума). Пусть функция f(x) задана в некоторой окрестности точки х0. Если х0 является точкой экстремума функции, то  или не существует.

Примеры.

1. Функция y = x² имеет минимум при х = 0, причем (х²)′ = 2x = 0 при х = 0.
2. Минимум функции y = |x| достигается при х = 0, причем производная в этой точке не существует.

Замечание. Отметим еще раз, что теорема 2 дает необходимое, но не достаточное условие экстремума, то есть не во всех точках, в которых f ′(x) = 0, функция достигает экстремума.

Пример. У функции  y = x³  y ′ = 3x2 = 0 при х = 0, однако функция монотонно возрастает во всей области определения.

Определение: Если функция определена в некоторой окрестности точки х0  и ее производная в этой точке равна нулю или не существует, точка х0 называется критической точкой функции. Таким образом все точки экстремума находятся в множестве критических точек функции.

Теорема 3. Пусть функция  f(x)  непрерывна в некоторой окрестности точки х0, дифференцируема в проколотой окрестности этой точки и с каждой стороны от данной точки  f ′(x) сохраняет постоянный знак. Тогда:

1. если  f ′(x) > 0 при x < x0 и f ′(x) < 0 при x > x0 , точка х0  является точкой максимума;
2. если  f ′(x) < 0 при x < x0 и f ′(x) > 0 при x > x0 , точка х0  является точкой минимума;
3. если f ′(x) не меняет знак в точке х0 , эта точка не является точкой экстремума.

Теорема 4. Пусть f ′(x0) = 0 и у рассматриваемой функции существует непрерывная вторая производная в некоторой окрестности точки х0. Тогда х0  является точкой максимума, если f ′′(x0) < 0, или точкой минимума, если f ′′(x0) > 0.

Вывод: проверить наличие экстремума в критической точке можно тремя способами:

1. убедиться, что f ′(x) меняет знак при х = х0 ;
2. определить знак f ′′(x0) ;
3. если f ′′(x0) = 0, исследовать порядок и знак производной, не обращающейся в 0 в рассматриваемой точке.

Пример.

Определим тип экстремума функции  y = x³ - 3x + 7 при х = 1. Точка х = 1 является критической, так как  y′ = 3x² - 3x = 0 при х = 1. Так как при x < 1 y ′ < 0, а при x > 1      y ′ > 0, x =1 – точка минимума. Можно было установить этот факт и с помощью второй производной: y ′′ = 6x – 3 = 3 > 0 при х = 1. Следовательно, функция в этой точке достигает минимума (теорема 4).

Наибольшее и наименьшее значения функции, дифференцируемой на отрезке.

Пусть функция y = f(x) дифференцируема на отрезке [ab]. Если f(x) имеет на [ab] конечное число критических точек, то ее наибольшее значение будет либо одним из ее максимумов (а именно, наибольшим максимумом), либо будет достигаться в одной из конечных точек отрезка. То же можно сказать и о наименьшем значении. Из сказанного следует, что поиск наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой функции на отрезке можно проводить по следующей схеме:

1. найти критические точки функции, принадлежащие данному отрезку;
2. вычислить значения функции в точках а и b, а также в найденных критических точках. Наименьшее из полученных чисел будет наименьшим значением функции на данном отрезке, а наибольшее – ее наибольшим значением на нем.

Пример. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции y = x³ + 3x² - 9x –15 на отрезке [-4, 4].  y ′ = 3x² + 6x – 9 = 0 при х = -3 и х =1 . При этом обе найденные критические точки принадлежат данному отрезку. Вычислим значения функции при х = -4, х = -3, х = 1 и х =4.

Таким образом, наибольшее значение функции на рассматриваемом отрезке равно 61 и принимается на его правой границе, а наименьшее равно –20 и достигается в точке минимума внутри отрезка.

Исследование выпуклости функции. Точки перегиба, их нахождение.

Определение: Кривая называется выпуклой (обращенной выпуклостью вверх) на интервале (ab), если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале.

Определение: Кривая называется вогнутой (обращенной выпуклостью вниз) на интервале (ab), если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале.

                у

            А                    В                  С                  

Например, кривая, изображенная на рисунке, выпукла на интервале (ВС) и вогнута на интервале (АВ).

Теорема 1.  Если f ′′(x) < 0 во всех точках интервала (ab), то кривая  y = f(x) выпукла на этом интервале. Если f ′′(x) > 0 во всех точках интервала (ab), то кривая  y = f(x) вогнута на этом интервале.

Определение.  Точка, отделяющая выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.

Замечание. Если в точке перегиба существует касательная к кривой, то в этой точке она пересекает кривую, потому что по одну сторону от данной точки кривая проходит выше касательной, а по другую – ниже.

Теорема (необходимое условие точки перегиба). Если в точке x0  перегиба кривой, являющейся графиком функции  y = f(x), существует вторая производная  f ′′(x), то              f ′′(x0) = 0.

Теорема (достаточное условие точек перегиба). Если функция  y = f(x) дифференцируема в точке х0 , дважды дифференцируема в проколотой окрестности этой точки и  f ′′(x)  меняет знак при х = х0 , то х0 – точка перегиба.

Пример. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба функции y= x³ -6x² + x-12.  y′ = 3x² - 12x + 1,  y′′ = 6x – 12. y′′ = 0 при х = 2, y′′ < 0 при х < 2,  y′′ > 0 при х > 2. Таким образом, график функции является выпуклым при  х < 2,  вогнутым при   х > 2, а х = 2 – точка его перегиба.

Асимптоты функций.

Определение. Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x) , если расстояние от переменой точки этого графика до прямой стремится к нулю при удалении точки в бесконечность.

Рассмотрим три вида асимптот и определим способы их нахождения.

1. Вертикальные асимптоты – прямые, задаваемые уравнениями вида  х = а. В этом случае определение асимптоты подтверждается, если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке а бесконечен.                                        

Пример. Вертикальной асимптотой графика функции  y = 1/x является прямая  х = 0, то есть ось ординат.

2.  Горизонтальные асимптоты – прямые вида  у = а. Такие асимптоты имеет график функции, предел которой при  или при  конечен, т.е. .
3. Наклонные асимптоты – прямые вида  y = kx + b. Найдем k и b. Поскольку при  ,  , если этот предел существует, конечен и не равен нулю. Однако даже при выполнении этих условий наклонная асимптота может не существовать. Для ее существования требуется, чтобы имелся конечный предел при  .

Замечание. Число вертикальных асимптот графика функции не ограничено, а наклонных и горизонтальных в сумме может быть не более двух (при  и при ).

Примеры.

1. Функция  y = tgx имеет разрывы 2-го рода при , причем односторонние пределы в этих точках бесконечны. Следовательно,  - вертикальные асимптоты графика.
2. Функция  имеет бесконечный разрыв при х = 1, то есть х = 1 – вертикальная асимптота. , поэтому горизонтальных асимптот график не имеет. Проверим наличие наклонных асимптот. Для этого вычислим  Тогда  Заметим, что оба предела не зависят от знака бесконечности, поэтому прямая  y = x + 1 является асимптотой графика на обоих концах оси Ox.

Общая схема исследования функции.

Результаты, полученные при изучении различных аспектов поведения функции, позволяют сформулировать общую схему ее исследования с целью построения качественного графика, отражающего характерные особенности поведения данной функции. Для этого требуется определить:

1. область определения функции и ее поведение на границах области определения (найти соответствующие односторонние пределы или пределы на бесконечности);
2. четность и периодичность функции;
3. интервалы непрерывности и точки разрыва (указав при этом тип разрыва);
4. нули функции (т.е. значения х , при которых  f(x) = 0) и области постоянства знака;
5. интервалы монотонности и экстремумы;
6. интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба;
7. асимптоты графика функции.

Пример. Исследуем функцию  и построим ее график.

1. Область определения функции: . Поведение на границах: .
2. , следовательно, функция не является четной или нечетной (в этом случае говорят, что рассматриваемая функция общего типа). Функция не является периодической, так как периодическая функция, не равная константе, не может иметь предела на бесконечности.
3. Так как функция является элементарной, она непрерывна во всей области определения, т.е. промежутки непрерывности . Из ответа на первый вопрос следует, что х = 1 – точка разрыва 2-го рода (так как односторонние пределы в этой точке бесконечны).
4.  ни при каких значениях х (следовательно, график функции не пересекает ось Ох). f(x) < 0 при х < 1, f(x) > 0 при x > 1.
5. Для ответа на этот вопрос найдем производную данной функции.  при .  при  - интервалы убывания функции;  при  - интервалы возрастания функции. При    меняет знак с «+» на «-», следовательно,  - точка максимума. При    меняет знак с «-» на «+», следовательно,  - точка минимума.
6.  ни при каких значениях х. Следовательно, функция не имеет точек перегиба.  при х < 1,  при x > 1, поэтому на интервале  функция выпукла, а на интервале  - вогнута.
7. При ответе на первый вопрос показано, что  х = 1 – вертикальная асимптота графика функции. Там же выяснено, что при  функция не имеет конечного предела, следовательно, не имеет и горизонтальных асимптот. Наклонная асимптота  у = х + 1 найдена в примере 2 настоящей лекции.

Построим график функции  на основе результатов проведенного исследования.                                                                                                                              

                                       у                                                                                                                

                                   1-√2      1  1+√2                                           х