Презентация урока "Исследование функции при помощи производной"
методическая разработка на тему

Слайд 1

Тема урока: «Применение производной к исследованию функции» ГБПОУ «Автодорожный колледж» Преподаватель математики Б.В.Зубилова

Слайд 2

Цели урока: Дидактическая: : обобщить и систематизировать знания по теме, закрепить умение применять производную при исследовании функции, обеспечить проверку теоретических знаний и умений по теме «Применение производной к исследованию функции». Развивающая: развитие умений применять знания в конкретной ситуации; развитие логического мышления; умений сравнивать, обобщать, правильно излагать мысли; развитие самостоятельной деятельности учащихся. Воспитательная: воспитание интереса и любви к предмету через содержание учебного материала, умения работать в коллективе, взаимопомощи, культуры общения; воспитание таких качеств характера, как настойчивость в достижении цели; умение не растеряться в проблемных ситуациях.

Слайд 3

План проведения урока: Организационный момент Актуализация знаний учащихся Работа со слайдами Работа у доски Историческая справка Домашнее задание Итог урока

Слайд 4

Актуализация опорных знаний и умений Согласны ли Вы с утверждением? С \ = 0 Х \ =1 ( Х п ) \ = Х п + 1 (Sin x ) \ = Cos x ( f(x):g(x )) \ = f \ ( x): g \ (x) К = Cos a = f \ (х)

Слайд 5

Согласны ли Вы с утверждением? На промежутке возрастания функции её производная больше нуля. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то в этой точке имеется экстремум! Производная произведения равна произведению производных. Наибольшее и наименьшее значения функции на некотором отрезке наблюдаются или в стационарных точках, или на концах отрезка. Если функция отрицательна, то производная тоже отрицательна.

Слайд 6

По знакам производной определите интервалы возрастания, убывания функции Дайте характеристику точек х = 1 и х = 5

Слайд 7

На рисунке изображён график функции и отмечены точки K,L,M , N . Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке харак­теристику функции и её производной Функция положительна, производная отрицательна . Функция отрицательна, производная отрицательна . Функция отрицательна, производная положительна Функция положительна, производная положительна .

Слайд 8

На рисунке изображён график функции и отмечены точки K,L,M , N . Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке харак­теристику функции и её производной ответы Функция положительна, производная отрицательна . L Функция отрицательна, производная отрицательна . M Функция отрицательна, производная положительна . K Функция положительна, производная положительна . N

Слайд 9

Рассмотрим график функции Укажите: 1. Количество точек максимум 2. Количество точек минимум 3. Наибольшее, наименьшее значение функции. 4. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 2.

Слайд 10

На рисунке изображён график производной функции , определённой на интервале (- 1;12). Укажите: Количество промежутков возрастания функции f (x ) Количество промежутков убывания функции f (x ) Найдите количество точек, в которых производная функции f '(x) равна 0 . Количество точек максимум Количество точек минимум В какой точке отрезка [2;4] функция f(x) принимает наибольшее значение.

Слайд 11

Вспомним план нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Исследуйте функцию f(x) = х 3 - 3х 2 , Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке [-2;4 ]. Исследуйте функцию и схематически постройте её график f(x) = 1/3х 3 – 4х

Слайд 12

Исследуйте функцию f(x) = х 3 - 3х 2 , найдите наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке [-2;4]. Найти область определения функции . Д(у ) х Є R Найти производную функции. f 1 (x) = (х 3 - 3х 2 ) 1 = 3х 2 – 6х Найти критические точки. 3х 2 – 6х = 0 3х(х – 2) =0 х 1 =0 х 2 = 2 Найти интервалы монотонности, т.е. определить знак производной на каждом из интервалов, на которые критические точки разбивают область определения. Найти экстремумы функций max min + - + 0 2 Найти значения функции в критических точках , f( 0 ) = 0 3 – 3 *0 2 =0 f( 2 ) = 2 3 – 3 *2 2 = - 4 Найти значения функции на концах отрезка [-2;4]. f (- 1) = (- 2) 3 – 3*(- 2) 2 = - 20 f(4) = 4 3 – 3*4 2 = 16 8 . Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее . f (- 1) = - 20 - наименьшее f(4) = 16 - наибольшее

Слайд 13

Изобразите график непрерывной функции, зная что: а) Область определения составляют промежуток [- 6 ; 6 ] б) Значения функции составляют промежуток [- 3 ; 4 ] в) Производная функции на интервалах (-6;-3) и (-0,5;3 ) положительна, г )Производная функции на интервалах (-3;-0,5 ) и (3;6)- отрицательна д) Наибольшее значение функция принимает в точке х=3

Слайд 14

Изобразите график непрерывной функции, зная что: а) Область определения составляют промежуток [- 6 ; 6 ] б) Значения функции составляют промежуток [- 3 ; 4 ] в) Производная функции на интервалах (-6;-3) и (-0,5;3) положительна, г)Производная функции на интервалах (-3;-0,5) и (3;6)- отрицательна д) Наибольшее значение функция принимает в точке х=3

Слайд 15

Историческая справка

Слайд 16

Историческая справка . Производная - одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в XXVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного движения и построения касательной к прямой. Независимо друг от друга И. Ньютон и Г. Лейбниц разработали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время. И. Ньютон в основном опирался на физическое представление о мгновенной скорости движения, считая его очевидным и сводя к нему другие случаи производной, а Г. Лейбниц использовал понятие бесконечно малой. Исчисление созданное Ньютоном и Лейбницем, получило название дифференциального исчисления. С его помощью был решен целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии. В частности, используя методы дифференциального исчисления, ученые предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки XVIII в. Большой вклад внёс Л . Эйлер, написавший первый учебник «Дифференциальное исчисление». Основные понятия дифференциального исчисления долгое время не были должным образом обоснованы. Однако в начале XIX в. французский математик О. Коши дал строгое построение дифференциального исчисления на основе понятия предела. Применяемая сейчас система обозначений для производной восходит к Лейбницу и Лагранжу. В настоящее время понятие производной находит большое применение в различных областях науки и техники

Слайд 17

Задача. Бордюром, длина которого составляет 12 м, надо огородить цветник наибольшей площади, прилегающий к стене дома. Найдите размеры цветника. Стена дома Х 12-2х

Слайд 18

Бордюром, длина которого составляет 12 м, надо огородить цветник наибольшей площади, прилегающий к стене дома. Найдите размеры цветника. Решение. 1) Обозначим через х одну из двух боковых сторон цветника, тогда оставшаяся сторона будет равняться 12 - 2х 2) Площадь цветника: S ( x ) = х (12 - 2х). S ( x ) = 12х - 2 x 2 . 3) Найдем наибольшее значение функции: S ( x ) = 12х - 2х 2 при условии х (0;6). S '( x ) = 12 - 4 x ; S '( x ) = 0, при х = 3. Следовательно + max - 3 х m ах = 3 именно в этой точке S ( x ) достигает наибольшего значения. Следовательно, размер цветника 3 м и 12 - 2 ∙ 3 = 6 (м).

Слайд 19

На рисунке изображено 6 графиков. Объедините их в пары «функция – её производная»

Слайд 20

На рисунке изображено 6 графиков. Объедините их в пары «функция – её производная» Ответ : а →г; б →в; д →е

Слайд 21

Молодцы! Домашнее задание: (дифференцировано по уровню сложности). «Проверь себя!» № 968; № 970 (1); № 973

Слайд 22

ИСТОЧНИКИ МАТЕРИАЛОВ Глейзер Г.И. История математики в школе. IX—X кл . М.: Просвещение, 1983. Григорьева Г.И. Алгебра: 11 класс: Ч. 1, 2: Поурочные планы по учебнику Ш.А.Алимова, Ю.М.Колягина , Ю.В.Сидорова . М.: Просвящение . 2016 ЕГЭ -2011. Математика. Типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов. Под ред. Семенова А.Л., Ященко И.В. М.: Национальное образование, 2017 Максимовская М. А. Тесты по математике 5 – 11 классы. М: Олимп. 2013 Математика. Подготовка к ЕГЭ- 2011. Под ред. Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. Ростов-на-Дону: Легион-М, 2013 Ткачева М.В. Федорова Н.Е. Шабунин М.И. Алгебра и начала анализа: Дидактические материалы для 10-11 классов. М.: Мнемозина . 2011 http://www.neuch.ru/referat/41434.html http://studyport.ru/tochnyie-nauki/ekstremumyi-funktsiy