Ряды. Числовые и степенные ряды
олимпиадные задания

Р  Я Д Ы

1.  Числовые  ряды

Числовым рядом называется сумма:

Где  числа    называются членами ряда,  а член   – общий член ряда.

Задачи:

1. Найти первые  четыре  члена  по его заданному общему члену:

.

Решение.

      Ответ:  

2. Найти первые  четыре  члена  по его заданному общему члену:

.

Найти  n – ый  член ряда по данным его первым членам:

2.     Сумма  сходящегося  ряда.Суммы                               ,

                                                 ,

,

                                ………………………….

,

Составленные из первых членов ряда  (1), называются частичными суммами этого ряда.

Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм           Если при бесконечном  возрастании номера  n  частичная сумма ряда      стремится к пределу  S,  то ряд называется сходящимся, а число  S – суммой  сходящегося ряда,  т.е.

    или    

Если частичная сумма ряда  (1)    при неограниченном возрастании  n  не имеет конечного предела ( в частности стремится к ), то такой ряд называется расходящимся.

Задачи:

Вычислить сумму членов ряда

3. Решение.

………………………………………………………………………….

Получили последовательность частичных сумм:

Ответ:    Сумма членов ряда равна  

(вычислить самостоятельно)

3. Признаки сходимости  ряда.

1. Необходимый признак сходимости ряда    :

Ряд может сходиться только при условии, что его общий член   при неограниченном увеличении номера  n  cтремится  к нулю:

 Достаточный признак  расходимости ряда     , состоит в том, что  

2. Признак Даламбера.

Если для ряда с положительными членами

то при    l < 1  ряд  сходится,  а  при  l > 1  ряд  расходится.

Задачи.  

Решение.

Найдем предел отношения  (n+1)-го  члена  к  n-ому члену при n→∞.

 
Следовательно, данный ряд сходится.

(выполнить самостоятельно)

4.    Степенные  ряды.

Степенным рядом называется ряд,  вида

где  числа      называются коэффициентами ряда,  а член    общим членом ряда.

Задачи.

7.  Исследовать сходимость степенного ряда

Решение.

При     получим  числовой ряд:

Найдем предел отношения  (n+1)-го  члена  к  n-ому члену при n→∞.

.
По признаку  Даламбера  ряд сходится.

8. Исследовать сходимость степенного ряда

 (использовать достаточный  признак расходимости ряда).

9. Исследовать сходимость степенного ряда