Методическая разработка по теме "Числовые и функциональные ряды"
методическая разработка по теме

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ТЕМЫ

Числовые и функциональные ряды.

Москва, 1010

ВВЕДЕНИЕ

        Методическое пособие предназначено для преподавателей математики, а также для студентов второго курса, обучающихся по специальности "Вычислительные машины, комплексы, сети".

        Изложение теоретического материала по всей теме сопровождается рассмотрением большого количества примеров и задач, ведется на доступном, по возможности строгом языке. В конце пособия приведены примеры и задания, которые студенты могут выполнять в режиме самоконтроля.

        Учитывая уровень подготовки учащихся колледжа, а также крайне ограниченное число часов (12 часов  для группы ВМ 25 и 16 часов для группы ВМ 21), отводимое программой для прохождения темы "Числовые и функциональные ряды", строгие выводы, представляющие большие трудности для усвоения, опущены, ограничиваясь рассмотрением примеров.

        Ряды представляют собой простой и совершенный инструмент математического анализа для приближенного вычисления функций, интегралов и решения дифференциальных уравнений., которые возникают при решении многих практических задач. В то время, когда точное выполнение указанных математических операций во многих случаях оказывается весьма затруднительным или невозможным , можно получить приближенное решение многих задач с любой желаемой точностью при помощи рядов

Список литературы:

Основная: 

1. Богомолов Н.В., Практические занятия по математике. М., “Высшая школа”, 1990 – 495 с.;
2. Тарасов Н.П., Курс высшей математики для техникумов. М., “Наука”, 1971 – 448 с.;
3. Зайцев И.Л., Курс высшей математики для техникумов. М., государственное издательство техникумов – теоретической литературы, 1957 - 339 с.;
4. Письменный Д.Т., Курс лекций по высшей математике. М., “Айрис Пресс”, 2005, часть 2 – 256 с.;
5. Выгодский М.Я., Справочник по высшей математике. М., “Наука”, 1975 – 872 с.;

Дополнительная: 

1. Гусак А.А., Высшая математика. В 2-х т., Т.2: Учебное пособие для студентов вузов. Мос., “ТетраСистемс”, 1988 – 448 с.;
2. Григулецкий В.Г., Лукьянова И.В., Петунина И.А., Математика для студентов экономических специальностей. Часть 2. Краснодар, 2002 – 348 с.;
3. Григулецкий В.Г. и др. Задачник-практикум по математике. Краснодар. КГАУ, 2003 – 170 с.;
4. Григулецкий В.Г., Степанцова К.Г., Гетман В.Н., Задачи и упражнения для студентов учетно-финансового факультета. Краснодар. 2001 – 173 с.;

Числовые и функциональные ряды

1. Определение числового ряда.

        Пусть задана бесконечная последовательность чисел.

Выражение

                                                                 (1)

называется числовым рядом.

        Числа называются членами этого ряда. Член ряда (1), стоящий на -ом месте, считая от начала, называется общим членом этого ряда.

        Ряд (1) считается заданным, если известен общий член его, выраженный как функция номера .

Выражение (1) удобно обозначать следующим образом: .

        Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n-ой частичной суммой ряда.

        Рассмотрим частичные суммы:       ;

                                                        ;

                                                        ;

                                                        .   .   .   .   .   .   .

                                                        .

        Если существует конечный предел  , то его называют суммой ряда (1) и говорят, что ряд (1) сходится.

        Если   не существует (например , при ), то говорят, что ряд (1) расходится и суммы не имеет.

Пример 1.1. Используя определение частичной суммы ряда,  показать, что ряд сходится и найти его сумму

Решение.  Найдем частичные суммы ряда:

;         ;         ;         .

        Получаем следующую последовательность частичных сумм:

…

        Общий член данного ряда . Данная последовательность сходится и ее предел равен 1. .

Пример 1.2.  Составить общий член ряда и найти сумму ряда .

 Решение. Формула общего члена данного ряда .  Разложим эту дробь на сумму простых дробей, т.  е. представим как сумму .

Найдем коэффициенты A и B. Для этого приведем сумму к общему знаменателю и сгруппируем слагаемые в числителе:

                .

Приравняв числитель исходной дроби и полученной,  получаем, систему уравнений:

Из которой находим: A = 1; B = -1. Таким образом, общий член ряда может быть получен по формуле: , а искомая сумма будет иметь вид:

,

и в пределе будет равна:    .

2. Частные случаи числовых рядов.

2.1. Геометрический ряд.

Пример 2.1.  Определить сходимость числового ряда

                                                                                                   
Решение. Данный числовой ряд – сумма всех членов геометрической прогрессии с первым членом  a и знаменателем q ().   Вычисляя сумму первых n чисел, получаем:

                                 или .

        Переходя к вычислению предела, заметим, что в зависимости от значений a и q частичная сумма ряда принимает различные значения.

1) Если , то при . Следовательно .

Значит, в случае   ряд  (2) сходится и его сумма равна .

2). Если , то   и тогда   при , т.е.   не существует. Таким образом, в случае   ряд (2) расходится.

3) Если , то ряд (98) имеет вид: . В этом случае

, т.е. ряд расходится.

Если ,  то  . В этом случае:   .

Следовательно, частичная сумма предела не имеет.

        Таким образом, сумма членов геометрической прогрессии (с первым членом отличным от нуля) сходится только тогда, когда знаменатель прогрессии по абсолютной величине меньше единицы.

Пример 2.2. Найти сумму ряда:

Решение:  Последовательность чисел    является геометрической прогрессией, у которой , следовательно, искомую сумму находим по формуле:  .

.

Пример 2.3. Представить бесконечную десятичную дробь 0,(18) в виде обыкновенной дроби.

Решение:  Представим бесконечную дробь 0,(18) в виде суммы:

0,(18)=0,18+ 0,0018 + 0,00000018 + …

Слагаемые в правой части равенства – члены геометрической прогрессии, у которой первый член равен 0,18, а . Найдем сумму по формуле: .

.

2.2 Гармонический ряд.

Пример 2.4.  Определить сходимость числового ряда

Решение. Данный числовой ряд называется гармоническим рядом. Формула общего члена:  .

Докажем, однако, что исходный ряд расходится методом от противного.

Предположим, что данный ряд сходится, тогда  и , т.е.

.

Однако, . Получили противоречие, следовательно, гармонический ряд расходится.

2.3 Обобщенный гармонический ряд.

Определение. Обобщенным гармоническим рядом называется ряд

Позже будет доказано, что который если  - сходится, а если  - расходится.

3. Основные свойства рядов.

1. Если сходится ряд, получившийся из данного ряда (1) отбрасыванием нескольких его членов, то сходится и сам данный ряд. Обратно, если сходится данный ряд, то сходится и ряд, получившийся из данного, отбрасыванием нескольких членов.
2. Если ряд (1) сходится и его сумма равная S, то ряд

        где c – произвольное действительное число, так же сходится и его сумма равна cS.

     3. Если ряды  и  сходятся и их суммы,         соответственно равны  и  , то ряды         

        также сходятся и их суммы равные соответственно  и .

4. Необходимый признак сходимости рядов.

Теорема. (Необходимый признак сходимости ряда). Если ряд сходится, то его n-й 

        член стремится к нулю при неограниченном возрастании n.

        Доказательство. Пусть ряд (1) сходится. Тогда  и

.

Следствие. Если n-й член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится.

Пример 4.1. Определить сходимость числового ряда

Решение. Воспользуемся необходимым признаком сходимости ряда. Для данного числового ряда записываем формулу общего члена и вычисляем предел

Так как предел не равен нулю, то исходный ряд расходится.

        Подчеркнем, что рассмотренный признак является только необходимым, но не является достаточным, то есть из того, что n-й член ряда стремится к нулю, ещё не следует, что ряд сходится – ряд может и расходиться.

5. Положительные ряды.

Определение: Положительным рядом называется ряд, члены которого не отрицательны.

Теорема. Для того, чтобы положительный ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была ограничена сверху.

Первый достаточный признак сходимости.

Пусть даны два ряда с положительными членами:  и  и каждый член первого ряда не превосходит соответствующего члена второго ряда ,    и т. д.

Тогда

а) если второй ряд сходится, то и первый ряд сходится,

б) если первый ряд расходится, то и второй ряд расходится.

Второй достаточный признак сравнения.

Если существует конечный и отличный от нуля предел , то ряды  и сходятся или расходятся одновременно.

Пример 5.1. Определить сходимость числового ряда

Решение. Поскольку все слагаемые данного числового ряда положительны, воспользуемся первым признаком сравнения. Все члены исходного ряда не больше соответствующих членов ряда , члены которого образуют геометрическую прогрессию со знаменателем . В примере 1.3.  было показано, что такие числовые ряды () сходятся. Следовательно, и данный ряд сходится.

Пример 5.2. Определить сходимость числового ряда  .

Решение. Поскольку все слагаемые данного числового ряда положительны, воспользуемся вторым признаком сравнения. Так как , то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда  , который расходится (см. пример 2.2.). Поэтому исходный числовой ряд также расходится.

Теорема (Признак сходимости Даламбера). Пусть дан числовой ряд  с положительными членами. Если отношение (n+1)-го члена к n-му члену при  имеет конечный предел, т.е.

то    1) при   <1 – ряд сходится;

          2) при >1 – ряд расходится.

Пример 5.3.  Исследовать сходимость ряда   

Решение. Воспользуемся признаком сходимости Даламбера. Определим формулу общего члена числового ряда  и  и составим отношение  . Вычисляя предел, получим:

Таким образом, исходный ряд сходится.

Пример 5.4. Исследовать сходимость ряда  .

Решение. Воспользуемся признаком сходимости Даламбера. Определим формулу общего члена числового ряда  и   и составим отношение,  

Вычисляя предел, получим

>1..

Таким образом, исходный ряд расходится.

Признак Даламбера дает ответ на вопрос о том, сходится ли данный положительный ряд в случае, когда   существует и отличен от 1. Если же этот предел не существует или , то признак Даламбера не дает возможности установить, сходится ряд или расходится, так как в этом случае ряд может оказаться или сходящимся, или расходящимся. Для решения вопроса о сходимости надо применить какой-либо другой признак.

Пример 5.5. Определить сходимость числового ряда    .

Решение. Применяя признак сходимости Даламбера к гармоническому ряду, получаем

Признак Даламбера в данном случае не дает ответа на вопрос о сходимости, но в примере 2.4.  была установлена расходимость данного числового ряда.

Пример 5.6. Исследовать сходимость ряда

Решение. Воспользуемся признаком сходимости Даламбера. Определим формулу общего члена числового ряда и составим предел отношения

На основании признака Даламбера сходимость установить нельзя. Однако, в примере 1.2. было установлено, что данный ряд сходится.

Теорема (Признак Коши). Если для ряда с положительными членами  величина  имеет конечный предел  при , т.е.

то       1) при < 1 – ряд сходится;

           2) при > 1 – ряд расходится.

Замечание. Как и в признаке Даламбера, случай , требует дополнительного исследования. Среди рядов, удовлетворяющих этому условию, могут встретиться как сходящиеся, так и расходящиеся. Так для гармонического ряда имеем: , но он расходится. Рассмотрим другой числовой ряд  . Для него так же имеет место равенство, но он сходится по первому признаку сходимости.

Пример 5.7. Исследовать сходимость ряда

Решение. Воспользуемся признаком сходимости Коши. Определим формулу общего члена числового ряда и вычислим предел .

Так как предел конечен и меньше единицы, то по признаку Коши исходный числовой ряд сходится.

        Приведем без доказательства признак сходимости числовых рядов с положительными членами, который удобно использовать, когда признаки Даламбера и Коши не дают ответа на вопрос о сходимости ряда.

Теорема (Интегральный признак сходимости).Пусть дан ряд , члены которого положительны и не возрастают, т.е. , а функция , определена  при , непрерывная и не возрастающая и . Тогда для сходимости ряда  необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл .

Пример 5.8.  Исследовать сходимость обобщенного гармонического ряда .

Решение. Пусть . Функция  при (а значит и при ) положительна и невозрастающая (точнее убывающая). Поэтому сходимость ряда равносильна сходимости несобственного интеграла. Имеем.

Если , то .

Если, то

Итак, данный обобщенный гармонический ряд сходится   и расходится при .

6. Знакочередующиеся  и знакопеременные ряды.

Определение. Знакочередующимся рядом называется ряд вида

 где    – положительные числа.

Теорема (Признак Лейбница). Если в знакочередующемся ряде  члены таковы, что

и

 то ряд  сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.

Замечание. Теорема Лейбница справедлива, если неравенства  выполняются, начиная с некоторого номера N.

Теорема Лейбница иллюстрируется геометрически следующим образом. На числовой прямой будем откладывать (рис. 1)частичные суммы:

; ; ; ….

                        Рис. 1. Геометрический смысл теоремы Лейбница

        Тогда точки, соответствующие частичным суммам будут приближаться к некоторой точке S. При этом точки, соответствующие чётным суммам располагаются слева от S, а нечетным суммам – справа от S.

Пример 6.1.  Исследовать сходимость ряда   .

Решение. Поскольку данный ряд является знакочередующимся, воспользуемся признаком сходимости Лейбница. Определим формулу общего члена числового ряда и проверим условия теоремы. Имеем:

1)                 ;

2)                     .

Так как оба условия выполнены, то исходный ряд сходится по признаку Лейбница.

Пример 6.2.  Исследовать сходимость ряда  

Решение. Поскольку данный ряд является знакочередующимся, воспользуемся признаком Лейбница. Определим формулу общего члена числового ряда и проверим условия теоремы. Имеем:

1)                  ;

2)                     .

Так как оба условия выполнены, то исходный ряд сходится по признаку Лейбница.

Определение. Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные.

Знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременных рядов.

Теорема. Если знакопеременный ряд

таков, что ряд, составленный из абсолютных величин его членов

сходится, то, и данный знакопеременный ряд также сходится.

Пример 6.3.  Исследовать сходимость ряда

где  – любое число.

Решение. Рассмотрим два следующих ряда:

и                           .                                

Второй ряд  сходится (обобщенный гармонический ряд). Так как члены данного ряда  не больше соответствующих членов второго  ряда , т.е. ,

то по первому признаку сравнения ряд сходится. Следовательно, по теореме исходный  ряд  так же сходится.

Определение. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Определение. Если знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то данный знакопеременный ряд называется условно сходящимся.

Пример 6.4. Исследовать сходимость ряда

Решение. Данный знакопеременный ряд является условно сходящимся, так как ряд, составленный из абсолютных величин его членов, есть гармонический ряд , который расходится. Сам же ряд сходится  по признаку Лейбница.

Пример 6.5. Исследовать сходимость ряда     .

Решение. Данный знакопеременный ряд абсолютно сходящийся, так как ряд, составленный из абсолютных величин его членов, сходится.

Функциональные ряды

1. Понятие функционального ряда.

Определение. Ряд называется функциональным, если его членами являются функции независимой переменной.  

Если переменной  придавать различные числовые значения, то будут получаться сходящиеся или расходящиеся числовые ряды.

Определение. Функциональный ряд называется сходящимся в точке   , если этот ряд при  обращается в сходящийся числовой ряд

Пример 1.1. Рассмотрим ряд .

Если , то данный функциональный ряд обращается в числовой , который очевидно расходится,

а при  в ряд , который сходится как геометрический со знаменателем .

        Совокупность таких значений переменной х, при которых функциональный ряд сходится, называют областью сходимости. Областью сходимости ряда всегда является некоторый интервал, который, в частности, может вырождаться в точку.

        Ряд называется расходящимся в точке, если этот ряд в данной точке расходится.

        По аналогии с числовыми рядами определяются частичные суммы функционального ряда, предел которых определяет сумму ряда (если существует). Очевидно, что сумма функционального ряда в области сходимости является функцией от х, т.е.   .

Если функциональный ряд сходится и имеет сумму , то разность называют остатком ряда и обозначают  и .

Определение. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на отрезке , если для любого  существует такое натуральное число , не зависящее от , что для  неравенство выполняется для всех х из отрезка .

Приведем достаточный признак равномерной сходимости, который удобен в практическом применении.

Теорема (Признак Вейерштрассе). Пусть для ряда , рассматриваемого на отрезке , существует сходящийся числовой ряд  такой, что для всех 1, 2, ... и любого  выполняются неравенства  . Тогда ряд сходится равномерно на отрезке . Ряд в этом случае называется мажорирующим рядом.

Пример 1.2. Исследовать на равномерную сходимость ряд  на отрезке .

Решение. Для данного ряда мажорирующий ряд имеет вид  , который сходится. При всех n = 1, 2, 3 … имеют место неравенства . Применяя теорему Вейерштрассе, получаем, что данный ряд равномерно сходится для любого х из интервала .

Теорема (о почленном интегрировании ряда). Если функции  определены и непрерывны на множестве, а функциональный ряд  на этом же множестве сходится равномерно к сумме, то его можно почленно интегрировать на , т.е.    .

Теорема (о почленном дифференцировании ряда). Пусть функции  определены на  и имеют непрерывные первые производные  на. Если функциональный ряд  сходится на отрезке , а функциональный ряд  равномерно сходится на , то на этом отрезке 

        Заметим, что условия теорем достаточно жесткие, т.е. нельзя просто интегрировать и, особенно, дифференцировать функциональные ряды почленно. Это может привести к неверным результатам.

2. Степенные ряды.

Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида ,

члены которого являются произведением постоянных множителей на степенные функции с целыми показателями от разности .

В частности,  при   получается ряд от самой независимой переменной

Теорема Абеля.  Если ряд сходится при , отличном от нуля, то этот ряд сходится для всякого значения х, которое по абсолютной величине меньше х. Если же этот ряд при  расходится, то он расходится для всякого значения х, абсолютная величина которого больше х.

        Для степенного ряда можно найти такое положительное число R, что при х, расположенных в промежутке от –R до R ряд сходится, а вне этого промежутка – расходится. Число R называется радиусом сходимости ряда, а промежуток от – R до R –интервалом сходимости.

Причем, если для ряда существует и отличен от нуля предел , тогда .

На концах интервала (т.е. при х = R, х = –R) вопрос о сходимости или расходимости остается не ясным и для конкретного ряда решается индивидуально. Отметим, что у некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку R = 0, у других охватывает всю ось.

Пример 2. 1. Найти интервал сходимости ряда   .

Решение. Воспользовавшись признаком Даламбера, вычислим предел

,

который меньше 1, независимо от х. Интервалом сходимости является вся ось ОХ.

Пример 2.2.  Найти интервал сходимости ряда   .

Решение. По признаку Даламбера имеем

Для того, чтобы ряд сходился данный предел должен быть меньше 1, т.е.  или

. Значит при  ряд сходится, а при - расходится. При х = 3 ряд является гармоническим, а при х = -3 превращается в сходящийся. Итак,  интервал сходимости ряда .

Пример 2.3. Определить интервал сходимости ряда   

Решение. Применим для данного степенного ряда признак Даламбера:

Таким образом,  радиус сходимости этого ряда равен нулю, поэтому ряд расходится при всех х, кроме х = 0.

3. Формула  Тейлора.

        Пусть дан многочлен  и требуется представить его в виде, где  – заданное число.

Найдем коэффициенты сn данного разложения. Если пытаться найти их  путем приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях х, получится система из n  уравнений с n неизвестными, которую будет очень сложно решить. Поступим другим способом. Коэффициент с0 легко найти подставив в функцию . Получим

.

Для нахождения остальных коэффициентов найдем n производных  данного многочлена:

  ,

,

…

Подставляя в эти формулы  ,  найдем коэффициенты сn

Итак: , , ,  , …, .

Пример 3.1.. Разложить по степеням двучлена х+1 многочлен .

Решение. В данном случае х0 = -1.

Найдем производные данной функции:

Найдем частные значения производных в точке х = -1.

, , , ,

Таким образом:

, , , , . В итоге получим: .

4. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора.

Если функция является суммой ряда , то говорят, что функция  разлагается в ряд по степеням .

        Важность такого разложения видна хотя бы из того, что мы получаем возможность приближенно заменить функцию суммой нескольких первых членов степенного ряда, т.е. многочленом.

Определение. Если функция  в некоторой окрестности точки  имеет производные любого порядка, то для нее можно построить ряд

, который называется рядом Тейлора в точке  этой функции. Если , то этот ряд имеет вид

 и называется рядом Маклорена.

Для функции справедлива при любом n  и формула Тейлора:

, где rn – остаточный член формулы Тейлора.

        Стремление к нулю остаточного члена формулы Тейлора в некоторой окрестности точки  является необходимым и достаточным условием разложимости функции в данной окрестности в ряд Тейлора.

5. Разложение в ряды элементарных функций.

Таблица разложения в ряды Маклорена элементарных функций.

 Пример 5.1. Доказать формулу 5.

Решение. Найдем производные функции   и значения производных в точке

,

,

 …,

.

Подставляя найденные значения в формулу Маклорена, получаем

Данный ряд называется биномиальным.

Рассмотрим частные случаи:

        1.

Подставим  в найденную формулу:

 , тогда получим

.

        2. при   имеем:

        3. при   имеем:

.

        Аналогично доказываются остальные формулы.