"Приближенное вычисление определенного интеграла по формулам прямоугольников и трапеций. Оценка погрешности вычислений".
презентация к уроку по теме

Слайд 1

Приближённое вычисление определённого интеграла по формулам прямоугольников и трапеций. Оценка погрешности вычислений. Разработала: преподаватель Морозова В.А.

Слайд 2

Метод прямоугольников Геометрически идея способа вычисления определённого интеграла по формуле прямоугольников состоит в том, что площадь криволинейной трапеции ABCD заменяется суммой площадей прямоугольников, одна сторона которых равна , а другая -

Слайд 3

Площадь с недостатком

Слайд 4

Площадь с избытком

Слайд 5

Алгоритм вычисления Чтобы найти приближённое значение интеграла , нужно : разделить отрезок интегрирования [ a , b ] на n равных частей точками х 0 = а, х 1 , х 2 ,..., х n -1 , х n = b ; вычислить значения подынтегральной функции в точках деления, т.е. найти у 0 = f (x 0 ) , у 1 = f (x 1 ) , у 2 = f (x 2 ) , у n -1 = f (x n-1 ) , у n = f ( x n ) ; воспользоваться одной из приближённых формул . Для того, чтобы найти погрешность вычислений, надо воспользоваться формулами : Значения у 0 , у 1 ,..., у n находят из равенств , где к = 0, 1..., n .Эти формулы называются формулами прямоугольников и дают приближённый результат. С увеличением n результат становится более точным.

Слайд 6

Пример : Задание : Вычислить по формуле прямоугольников определенный интеграл Найти абсолютную и относительную погрешности вычислений.

Слайд 7

Решение : Разобьём отрезок [ a , b ] на несколько (например, на 6) равных частей. Тогда а = 2 , b = 5 , х k = a + k * Δ х х 0 = 2 + 0*½ = 2 х 1 = 2 + 1*½ = 2,5 х 2 = 2 + 2*½ = 3 х 3 = 2 + 3*½ = 3,5 х 4 = 2 + 4*½ = 4 х 5 = 2 + 5 *½ = 4,5

Слайд 8

f ( x 0 ) = 2 2 = 4 f ( x 1 ) = 2 ,5 2 = 6,25 f ( x 2 ) = 3 2 = 9 f ( x 3 ) = 3,5 2 = 12,25 f ( x 4 ) = 4 2 = 16 f ( x 5 ) = 4,5 2 = 20,25 . По формуле Для того, чтобы вычислить относительную погрешность вычислений, надо найти точное значение интеграла:

Слайд 9

Метод трапеций В этом методе отрезок [ a;b ] так же разбивается на n- равных частей. На каждом отрезке [ xi ; xi+1 ] кривая y = f ( x ) заменяется прямой , проходящей через две известные точки с координатами ( x i ;f(x i )) и ( x i+1 ; f(x i+1 )) , где i =0 ,1,…, n и строится прямоугольная трапеция с высотой

Слайд 10

Метод трапеций ,

Слайд 11

Алгоритм в ычисления Рассмотрим определенный интеграл , где f(x) – функция, непрерывная на отрезке [ a;b ] . Проведём разбиение отрезка на n равных отрезков: [x 0 ; х 1 ] , [ x 1 ; х 2 ] , [ x 2 ; х 3 ] ,…, [ x n -1 ; х n ] , При этом, очевидно: x n =a (нижний предел интегр . ) и x n =b ( верхний предел интегр . ). Точки x 0 , х 1 , х 2 , х 3 ,…, x n -1 , х n также называют узлами. Тогда определенный интеграл можно вычислить приближенно по формуле трапеций

Слайд 12

Пример : Задние : Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле трапеций, разбив отрезок интегрирования на 3 части. Результаты округлить до трёх знаков после запятой .

Слайд 13

Решение :