Практико-ориентированные задачи по теме «Основы тригонометрии и тригонометрические функции»
учебно-методический материал

Практико-ориентированные задачи по теме

«Основы тригонометрии и тригонометрические функции»

Цель: Использование свойств и графиков тригонометрических функций в прикладных задачах.

Колебания и волны.

В технике и окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени.

Такие процессы называют колебательными. Колебаниями называют изменения физической величины, происходящие по определенному закону во времени. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям. Например, колебания тока в электрической цепи и колебания математического маятника могут описываться одинаковыми уравнениями. Общность колебательных закономерностей позволяет рассматривать колебательные процессы различной природы с единой точки зрения.

Простейшим видом колебательного процесса являются колебания, происходящие по закону синуса или косинуса, называемые гармоническими колебаниями. Уравнение описывающее физические системы способные совершать гармонические колебания с циклической частотой ω0 задаётся следующим образом:

Решение предыдущего уравнения является уравнением движения для гармонических колебаний, которое имеет вид:

где: x – смещение тела от положение равновесия, A – амплитуда колебаний, то есть максимальное смещение от положения равновесия, ω – циклическая или круговая частота колебаний (ω = 2Π/T), t – время. Величина, стоящая под знаком косинуса: φ = ωt + φ0, называется фазой гармонического процесса. Смысл фазы колебаний: стадия, в которой колебание находится в данный момент времени. При t = 0 получаем, что φ = φ0, поэтому φ0 называют начальной фазой (то есть той стадией, из которой начиналось колебание).

Минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения тела, называется периодом колебаний T. Если же количество колебаний N, а их время t, то период находится как:

Физическая величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний:

Частота колебаний ν показывает, сколько колебаний совершается за 1 с. Единица частоты – Герц (Гц). Частота колебаний связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:

Задачи:

1. На рисунке изображен график зависимости координаты от времени колеблющегося тела.

По графику определите: 1) амплитуду колебаний; 2) период колебаний; 3) частоту колебаний; 4) запишите уравнение координаты.

2. Гармоническое колебание описывается уравнением 

 Чему равны циклическая частота колебаний, линейная частота колебаний, начальная фаза колебаний?

3. Есть мгновенная фотография волны в резиновом шнуре.

Определите: 1) длину волны; 2) амплитуду колебаний частичек шнура.

4. По представленному графику определите амплитуду и период колебаний нитяного маятника.

5. По уравнению гармонических колебаний определить амплитуду, угловую скорость, период и частоту. Начертить график данного гармонического колебания.

1) х =15 sin 3πt

2) х = 8 sin π/3t

3) х = 10 sin πt

6. Материальная точка совершает колебания по закону  Какова её начальная фаза, если см.

7. Некоторая точка движется вдоль оси x по закону x = a sin2 (ωt - π/4). Найти: амплитуду и период колебаний; изобразить график x (t). 

8.  Напишите уравнение гармонических колебаний, если частота равна 0,5 Гц, амплитуда 80 см. Начальная фаза колебаний равна нулю.

Переменный ток.

Особую роль в электродинамике играет синусоидальный (гармонический) ток, то есть электрический ток, изменяющийся по закону синуса или косинуса:

, где - амплитуда тока,  – фаза колебаний,  – циклическая частота колебаний.

На рисунке приведён пример синусоидального электрического тока , если

Основные характеристики

1. Амплитуда колебаний  силы тока  - максимальное отклонение силы тока  от своего среднего значения. Размерность амплитуды колебаний той или иной физической величины совпадает с размерностью этой величины. В системе СИ единица измерения  - Ампер, то есть размерность А.
2. Циклическая частота  колебаний  силы тока   количество полных колебаний силы тока  за  секунд. В системе СИ единица измерения   радиан в секунду, то есть размерность рад/с. Поскольку радиан  безразмерная величина, то размерность циклической частоты  можно представить в виде с-1.
3. Период колебаний T силы тока   время одного полного колебания силы тока. В системе СИ единица измерения   секунда, то есть размерность с.
   За время, равное периоду колебаний, повторяется не только величина тока, но и его направление. Он зависит от циклической частоты и определяется формулой:

Задачи:

1. На рисунке представлен график изменения силы тока I, протекающего через проводник, с течением времени t.

1. Определить период колебаний силы тока.
2. Чему равна амплитуда колебаний силы тока?

2. Построить графики изменения напряжений и токов для одного периода, если частота изменения напряжения для любого случая , для токов :  ( ).

3. В электрической цепи переменного тока проходит ток A. Мгновенное значение его в момент времени  Определить амплитудное и действующее значение тока, частоту и угловую частоту. Построить график изменения тока во времени, если период

4. Построить кривые изменения силы тока и напряжения, если их аналитические выражения имеют вид .

5. Ток в цепи меняется по гармоническому закону . Мгновенное значение силы тока i для фазы   равно 6А. Определите амплитудное и действующее значение силы тока.

Решение.

Из гармонического закона  изменения силы переменного тока выразим его амплитудное значение  =12А.

Действующее значение силы тока

Самостоятельная работа.

1. Пользуясь графиком изменения координаты колеблющегося тела от времени, определить амплитуду, период и частоту колебаний. Записать уравнение зависимости x(t) и найти координату тела через 0,1 и 0,2 с после начала отсчета времени.

2. Напишите уравнение гармонического колебания, амплитуда которого 10 см, период колебаний 0,5 с.
3. Через проводник протекает переменный электрический ток. Сила тока I изменяется со временем t по закону . Определить амплитуду колебаний силы тока. Чему равен период колебаний силы тока?
4. По уравнению гармонических колебаний определить амплитуду, угловую скорость, период и частоту. Начертить график данного гармонического колебания.

1). х = 5 sin 2πt

2).  х = 4 sin π/2t

Критерии оценивания:

Время выполнения 60 мин.