Сборник задач по теме "Тригонометрия"
методическая разработка на тему

Методическая разработка

по дисциплине «Математика»

на тему: «Сборник задач по теме «Тригонометрия»

                                                                           Выполнила: Разиева Т.С.

г.Сызрань

2013 г

 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

      Программа учебной дисциплины "Математика" предназначена для реализации государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников по специальностям среднего профессионального образования и является единой для всех форм обучения.

    Сборник задач по теме «Тригонометрия» разработан в соответствии с федеральными государственными образовательными стандартами. Предложенные задачи по тригонометрии применяются на занятиях по математике для обучающихся 1 курса всех специальностей.

   Данные задачи могут быть использованы на семинарах, практических занятиях и лекциях. Предлагаемые задачи помогут преподавателю создать необходимое мотивационное пространство, позволят использовать на занятии элементы проблемного и дифференцированного обучения. Все задания разделены между собой:

• Задачи вида 1, 5, 41 и т.д. предназначены для самостоятельного решения или для работы  на занятии.
• Задачи вида 6, 30, 117 и т.д. предназначены для домашней работы.
• Задачи вида   14, 22   носят дифференцированный и проблемный характер.  

   Создание мотивационного пространства возможно с помощью предложенных задач. В конце задачника дан необходимый для решения задач справочный материал с основными  тригонометрическими формулами.

    Использование данной разработки на занятиях имеет следующие преимущества:

• обучающиеся могут самостоятельно выбирать и выполнять задания;
• задания различного уровня сложности позволяют не только закрепить изученный материал, но и оперативно оценить уровень знаний каждого студента.

Сборник задач

1. Считая числовую окружность образом беговой дорожки стадиона, отметьте на ней конец дистанции: а) 1500 м;   б) 42 км 195 м.

2.        Дана окружность радиуса 1 см. Чему равна длина: а) всей окружности; б) ее половины; в) ее четверти?

Горизонтальный диаметр СА и вертикальный диаметр DB разбивают единичную окружность на четыре четверти: АВ – первая, ВС – вторая, CD – третья, DA – четвертая.

Опираясь на эту геометрическую модель, решите задачи № 3, 4, 5, 6, 7, 8.

3.        Первая четверть разделена точкой М на две равные части, а точками К и Р – на три равные части (точка Р между М и В). Чему равна длина дуги: АМ, МВ, АК, КР, РВ, АР, КМ?

4.        Вторая четверть разделена пополам точкой М, а третья четверть разделена на три равные части точками К и Р (точка Р между К и D). Чему равна длина дуги: АМ, ВК, МР, DC, КА, ВР, СВ, ВС?

5.        Вторая четверть разделена точкой М пополам, а четвертая четверть разделена на три равные части точками К и Р (точка Р между К и А). Чему равна длина дуги: АМ, АК, АР, РВ, МК, КМ?

6.        Первая четверть разделена на две равные части точкой М, а четвертая разделена на три равные части точками К и Р (точка Р между К и А). Чему равна длина дуги: АМ, ВD, CK, MP, DM, MK, СP, PС?

7.        Третья четверть разделена точкой Р в отношении 1 : 5. Чему равна длина дуги: СР, PD, АР?

8.        Первая четверть разделена точкой М в отношении 2 : 3. Чему равна длина дуги: АМ, МВ, DM, МС?

9.        Выразите в радианах:

1)   1°;        4)   10°;        7)   15°;        10)   30°;

2)   45°;        5)   60°;        8)   70°;        11)   90°;

3)   225°;        6)   240°;        9)   320°;        12)   330°.

10.        Переведите из градусной меры в радианную:

1)   120°;        3)   220°;        5)   300°;        7)   765°;

2)   210°;        4)   150°;        6)   315°;        8)   675°.

11.        Выразите в градусах:

1)   π;        4)   π;        7)   π;        10)   π;

2)   π;        5)   π;        8)   1,5π;        11)   3π;

3)   0,25π;        6)   π;        9)   – π;        12)   π.

12.        Переведите из радианной меры в градусную:

1)   π;        3)   π;        5)   π;        7)   π;

2)   π;        4)   π;        6)   π;        8)   π.

13.        Окружность разделена на шесть равных частей. Выразить в градусах и радианах сумму дуг:

1)   ;

2)   .

14.        Угол А трапеции ABCD (AD || BC) на 70° меньше угла В и на 10° больше угла D. Найдите радианную меру каждого из углов трапеции.

15.        Перечертите в тетрадь и заполните таблицу:

16.        Один из углов треугольника больше другого на 20° и меньше третьего на 50°. Найдите радианную меру каждого из углов этого треугольника.

17.        Записать общий вид углов для случаев, когда конечный радиус их занимает положение: 1) ОВ; 2) ОС и найти несколько частных значений этих углов.

18.        В какой четверти находится конечная точка поворота на угол:

1)   220°;        3)  –160°;        5)   906°;

2)   285°;        4)  –290°;        6)   4825°?

19.        Представьте в виде α0 + 360° ⋅ п (α0 ∈ [0°; 360°), п ∈ Z) углы:

1)   840°;        3)  –1700°;        5)   3200°;        7)  –2450°;

2)   1200°;        4)  –3900°;        6)   3500°;        8)  –3100°.

20.        Найти на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу:

1)   ;

2)   .

21.        Отметьте на координатной окружности точки, соответствующие числам:

1)   ;       2)   .

22.        Какой четверти числовой окружности принадлежит число:

1)   ;        2)   ;        3)   100?

23.        Запишите три числа, которые изображаются на окружности той же точкой, что и  π.

24.        Часы отстали на 18 минут. На какой угол надо повернуть минутную стрелку, чтобы часы показывали верное время?

25.        Переведите углы из градусной меры в радианную:

1)   36°;        3)  –120°;        5)   870°;        7)  –2510°;

2)   265°;        4)  –135°;        6)   1020°;        8)  –2940°.

26.        Найдите радианную меру дуг:

1)   18°;        3)  –252°;        5)   1530°;

2)   324°;        4)   828°;        6)  –2490°.

27.        Чему равна градусная мера углов:

1)   π;        3)   π;        5)  – π;        7)   π;

2)   π;        4)   π;        6)  – π;        8)   π?

28.        Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна:

1)   π;        3)   π;        5)  – π;

2)   π;        4)   π;        6)  – π.

29. Найдите на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу:

1)   π;   π;  – π;        3)   π;   π;  –2π;

2)   π;   π;  – π;        4)   2π;   π;  – π.

30.        На числовой окружности укажите точку, соответствующую числу:

1)   7π;   π;   π;        3)   10π;   π;  – π;

2)   4π;   π;  – π;        4)   3π;   π;   π.

31.        Какой четверти числовой окружности принадлежит точка, соответствующая числу:

1)   6,1;        4)   2,8;        7)   4,8;        10)   31;

2)   5,4;        5)   3,2;        8)   1,4;        11)  –17;

3)  –4,3;        6)  –5,1;        9)  –2,8;        12)  –95?

32.        Какой четверти принадлежат точки:

1)   π;        3)   π;        5)  4,3;        7)   20;

2)   π;        4)  – π;        6)  –3,3;        8)  –100?

33.        Как расположены на числовой окружности точки, соответствующие числам:

1)   t  и  –t;        3)   t  и  t + π;

2)   t  и  t + 2πk, k ∈ Z;        4)   t – π  и и t + π?

34.        Ведро в колодце поднимается на 2 м, если рукоятка ворота повернута на пять полных оборотов по часовой стрелке. На какой угол надо повернуть рукоятку ворота, чтобы ведро: 1) поднялось на 1,5 м?
2) опустилось на 1,25 м?

35.        Вычислите:

1)   2sin 30° – tg 45° + ctg 30°;

2)   ;

3)    6cos 30° – 3tg 60° + 2sin 45°;

4)   ;

5)   ;

6)   ;

7)   ;

8)   ;

9)   ;

10)  .

36.        Найдите значение выражения:

1)   ;

2)   ;

3)   ;

4)   ;

5)   ;

6)   4cos 180° – 3sin 270° + 3sin 360° – ctg 90°.

37.        (Устно). Существуют ли числа α, β и γ, для которых:

1)   ;

2)   ;

3)   ?

38.        Оцените выражение, т.е. укажите его наименьшее и наибольшее значение:

1)   1 + 2sin α;        4)   2sin x + 3;        7)   1 – 4cos2x;

2)   4sin α + 1;        5)   2cos2α;        8)   4 + cos(α – 15°);

3)   1 – 3cos α;        6)   5 + 2cos2x;        9)   2 – sin (α – β).

39.        Найти наибольшее и наименьшее значение выражения:

1)   3sin x – 1;        3)   2cos x – 3;        5)   10 – 9sin2x;

2)   2 + 3cos x;        4)   5 – 4sin x;        6)   sin2x – 5.

40. Определить, в какой четверти находится конечная точка поворота на угол α и каковы знаки cos α и sin α, если угол равен:

1)   260°;        3)   565°;        5)  –915°;        7)   8760°;

2)   290°;        4)   480°;        6)  –825°;        8)   8000°.

41.        Определить знак каждого из данных произведений:

1)   sin 100° ⋅ sin 132°;        5)   ctg 300° ⋅ sin 222°;

2)   cos 210° ⋅ sin 115°;        6)   sin 118° ⋅ cos 118° ⋅ tg 118°;

3)   cos 285° ⋅ cos 316°;        7)   sin 2,1 ⋅ ctg 2,1 ⋅ cos 2,1;

4)   tg 112° ⋅ sin 165°;        8)   cos 123° ⋅ tg 123° ⋅ sin 312°.

42.        Какой знак имеет произведение sin ϕ ⋅ cos ϕ ⋅ tg ϕ, если число ϕ равно:

1)   4,1;        2)   – 240°;        3)   π?

43.        Вычислите:

1)   ;

2)   ;

3)   .

44.        Найдите значение выражения:

1)   ;

2)   ;

3)   .

45.        Найдите значение:

1)   cos 2550°;        5)   sin(–4005°);        9)   cos(–2220°);

2)   tg 2205°;        6)   tg 3630°;        10)  sin(–3555°);

3)   sin 3300°;        7)   ctg 2100°;        11)  tg(–2460°);

4)   ctg 2130°;        8)   cos(–3210°);        12)  ctg(–2115°).

46.        Вычислите:

1)   sin 2580°;        3)   tg(–2835°);        5)   ctg(–2565°);

2)   ctg 2190°;        4)   sin 2490°;        6)   cos(–2820°).

47.        Определите:

1)   ;        5)   ;        9)   ;

2)   ;        6)   ;        10)  ;

3)   ;        7)   ;        11)  ;

4)   ;        8)   ;        12)  .

48.        Вычислите:

1)   ;        3)   ;        5)   ;

2)   ;        4)   ;        6)   .

49.        С помощью тригонометрической окружности решите уравнения:

1)   ;        3)   ;        5)   ;

2)   ;        4)   ;        6)   .

50.        Используя единичную окружность, решите уравнения:

1)   ;        3)   ;        5)   ;

2)   ;        4)   ;        6)   .

51.        Найдите значения тригонометрических функций угла α, если известно, что:

1) ;        3) ;

2) ;        4) .

52.        По заданному значению функции найдите значения остальных тригонометрических функций:

1) ;        2) .

53.        Упростите выражения (предпочтительно устно):

1) 4cos23α + 4sin23α;        2) 2sin25α + 2cos25α;

3) 1 – sin23x;        4) 1 – cos24β;

5) sin27y – 1;        6) cos23t – 1;

7) 2sin2t – 1;        8) 1 – 2cos23γ;

9) tg 3β ctg 3β;        10) ctg 1,1 ⋅ tg 1,1;

11) tg α cos α;        12) sin 2ϕ ctg 2ϕ;

13) ctg2ϕ sin2ϕ;        14) tg2α cos2α;

15) tg γ cos γ sin γ;        16) sin 2α cos 2α ctg 2α;

17) (1 – cos 3β)(1 + cos 3β);        18) (1 – sin 2ϕ)(1 + sin 2ϕ);

19) (sin t + 1) (sin t – 1);        20) (cos 5α – 1)(1 + cos 5α);

21) sin2γ cos2γ + cos4γ;        22) sin4ϕ + sin2ϕ cos2ϕ;

23) (sin α – cos α)2 + (sin α + cos α)2;

24) (3sin t + 4 cos t)2 + (4sin t – 3 cos t)2.

54.        Преобразуйте следующие выражения:

1) sin2α + cos2α – cos2β;        13) cos2α + cos2α ctg2α;

2) tg x ctg x – cos23α;        14) sin4α + cos2α – cos4α;

3)  tg25β + tg t ctg t;        15) sin4β + sin2β cos2β + cos2β;

4) (1 – sin23α) tg23α;        16) tg2ϕ – sin2ϕ – tg2ϕ sin2ϕ;

5) ctg2β(cos2β – 1) + 1;        17) (ctg2α – cos2α) tg2α;

6) 1 + cos2γ – sin2γ;        18) ctg2y (1 – cos y)(1 + cos y);

7) 1 – sin α cos α ctg α;        19) ;

8) (tg β cos β)2 + (ctg β sin β)2;        20) ;

9) 2 – cos2ϕ tg2ϕ – cos2ϕ;        21) ;

10) ;        22) ;

11) ;        23) ;

12) ;        24) .

55.        Упростите выражения:

1) sin2x – tg 2α ctg 2α;        10) sin2α tg2α + sin2α;

2) sin24α + tg2ϕ + cos24α;        11) cos4x – sin4x + sin2x;

3) tg 3 ctg 3 + ctg2x;        12) sin2α + sin2α cos2α + cos4α;

4) 7 – 4sin2β – 4cos2β;        13) cos2t + ctg2t cos2t – ctg2t;

5) cos ϕ ctg ϕ sin ϕ – 1;        14) (ctg2α – cos2α) tg2α;

6) ;        15) ;

7) ;        16) ;

8) ;        17) ;

9) ;        18) .

56.        Преобразуйте выражения:

1) ;        7) ;

2) ;        8) ;

3) ;        9) sin t cos t (tg t + ctg t);

4) ;        10) sin t – cos t (tg t + ctg t);

5) ;        11) ;

6) ;        12) .

57.        Замените выражение ему равным:

1) ;        7) ;

2) ;        8) ;

3) ;        9) ;

4) ;        10) ;

5) ;        11) ;

6) ;        12) .

58.        Зная значение одной функции угла α, найдите значения остальных тригонометрических функций этого угла:

1) ;        2) .

59.        Вычислите остальные три тригонометрические функции, если:

1) ;        2) .

60.        Упростите выражения:

1) ;        7) ;

2) ;        8) ;

3) ;        9) ;

4) ;        10) ;

5) ;        11) ;

6) ;        12) .

61.        Преобразуйте выражения:

1) ;        6) ;

2) ;        7) ;

3) ;        8) ;

4) ;        9) .

5) ;

62.        Докажите тождество:

1)   ;

2)   ;

3)   ;

4)   ;

5)   ;

6)   .

63.        Покажите, что при всех допустимых значениях углов значение выражения не зависит от величины угла:

1)   ;

2)   ;

3)   ;

4)   ;

5)   ;

6)   .

64.        Вычислите:

1) sin 17° cos 13° + cos 17° sin 13°;        6)  sin 20° cos 50° – cos 20° sin 50°;

2) sin 9° cos 99° – sin 99° cos 9°;        7)  cos 10° cos 35° – sin 35° sin 10°;

3) ;        8)  ;

4) sin 15° sin 15° – cos 15° cos 15°;        9)  sin 22,5° sin 22,5° – cos 22,5° cos 22,5°;

5) ;        10)  .

65.        Найдите значение выражения:

1)   sin 10° cos 20° + sin 20° cos 10°;        6)   cos 109° cos 49° + sin 109° sin 49°;

2)   sin 50° cos 20° – cos 50°sin 20°;        7)   cos 71° sin 11° – sin 71° cos 11°;

3)   ;        8)   ;

4) ;        9)  ;

5) ;        10)  .

66.        Упростите выражения:

1)  ;        4)  ;

2)  ;        5)  ;

3)  ;        6)  .

67.        Упростите следующие выражения:

1)  ;        3)  ;

2)  ;        4)  .

Дано:

68.         Найти: а) tg (α + β);    б) tg (α – β).

69.         Найти sin (α – β).

70.         Найти tg (α – β).

71.        . Найти cos(α + β + γ).

72.        Упростите выражения:

1)   ;

2)   .

73.        Замените тригонометрической функцией угла α:

1)  ;        5)  ;        9)   ;

2)   ctg (π + α);        6)   tg (180° – α);        10)  cos (90° – α);

3)   cos (2π – α);        7)   sin (180° + α);        11)  sin (270° – α);

4)   sin (2π + α);        8)   ctg (360° – α);        12)  tg (270° + α).

74.        Упростите выражение:

1)  ;        2)  ;        3)   tg (α – 2π).

75.        Преобразуйте выражение:

1)  ;        2)  ;        3)   .

76.        Приведите к тригонометрической функции угла α:

1)  ;        5)  ;        9)   ;

2)   tg (π + α);        6)   ctg (π – α);        10)   cos (α – π);

3)   cos (2π + α);        7)   sin (π + α);        11)   ctg (α – 360°);

4)   tg (90° – α);        8)   cos (90° + α);        12)   tg (–α + 270°).

77.        Вычислите:

1) cos 73° sin 103° + cos 17° sin 13°;        6)  cos 73° sin 107° + sin 73° sin 197°;

2) sin 170° cos 20° + sin 20° cos 350°;        7)  cos 109° cos 49° + cos 41° sin 71°;

3) cos 118° cos 28° – cos 152° sin 28°;        8)  sin 7° cos 217° + cos 7° cos 53°;

4) cos 5° cos 40° – sin 140° sin 175°;        9)  sin 22° cos 203° + cos 22° cos 113°;

5) ;        10) .

78.        Найдите значение выражения:

1) sin 49° cos 11° + cos 229° cos 101°;        5) cos 11° sin 236° – sin 214° sin 11°;

2) sin 43° cos 13° + cos 103°sin 47°;        6) sin 175° cos 140° – sin 85° cos 50°;

3) ;        7) ;

4) ;        8) .

79.        Упростите выражения:

1)   ;

2)   ;

3)   .

80.        Преобразуйте выражения:

1)   ;

2)   ;

3)   .

81.        Тангенсы трех острых углов соответственно равны , , . Докажите, что первый угол равен сумме двух других углов.

82.        Синусы острых углов треугольника соответственно равны  и . Найдите косинус внешнего угла треугольника, не смежного с двумя данными.

83.        Вычислите:

1)   tg 420° + 2cos 870° – 2 cos 1410°;

2)   ;

3)   3tg 930° + sin 1200° – cos 1770°.

84.        Найдите значение выражения:

1)   3tg 570° – 2cos 1350° + 2 sin 1200°;

2)   ;

3)   2sin 750° + sin 1230° + ctg 1395°.

85.        Преобразуйте в синус, косинус или тангенс некоторого угла выражение:

1)   2 sin ϕ cos ϕ;        7)    cos2 70° – sin2 70°;

2)   2 sin 12° cos 12°;        8)    cos2 112,5° – sin2 67,5°;

3)   2 cos 105° sin 105°;        9)   ;

4)   4 sin ϕ cos ϕ cos 2ϕ;        10)  sin2 3x – cos2 3x;

5)  ;        11)  ;

6)   8 cos 2x cos 4x cos 8x;        12)  .

86.        Упростите выражение:

1)   2 sin 2ϕ cos 2ϕ;        5)   cos2 75° – sin2 75°;

2)   2 cos 72° sin 72°;        6)   cos2 22,5° – sin2 22,5°;

3)   3 sin β cos β cos 2β;        7)   cos2 5α – sin2 5α;

4)   16 cos 3x cos 6x cos 12x;        8)   .

87.        Применить формулы двойного угла к следующим выражениям:

1)   sin 80°;        5)   cos 46°;        9)    tg 72°;

2)   sin 4ϕ;        6)   cos 6β;        10)  tg 8γ;

3)   sin 15y;        7)   cos 13x;        11)  tg 11ϕ;

4)  ;        8)  ;        12)  .

88.        Применить формулы двойного угла к следующим выражениям:

1)   sin 42°;        4)   cos 38°;        7)  tg 54°;

2)   sin 10α;        5)   cos 12β;        8)  tg 14γ;

3)  ;        6)  ;        9)  .

Вычислите:

89.        а)   sin 15°;   б)   cos 75°.

90.        а)   cos 15°;   б)   sin 75°.

91.        1)   cos 20° cos 40° cos 80°;

2)  ;

3)  .

92.        Дано: . Найти sin 2α, cos 2α, tg 2α.

93.        Дано: . Найти sin 2α, cos 2α, tg 2α.

94.        Упростите выражения:

1)   2 cos2 x tg x;        5)   8 sin2 α cos2 α + cos 4α;

2)   cos 6γ + sin2 3γ;        6)   1 + 2cos2 t – cos 2t;

3)   cos 2β – 2 cos2 β;        7)   4 sin4 x + sin2 2x;

4)   1 + cos 2α;        8)   cos4 α – sin4 α.

95.        Упростите выражения:

1)   0,5 sin 2β ctg β;        5)   cos2 2x – 4 sin2 x cos2 x;

2)   2 sin2 α + cos 2α;        6)   2sin2 4α + cos 8α + 1;

3)   cos2 4β – cos 8β;        7)   4 sin4 x + sin2 2x.

96.        Преобразуйте выражение:

1)   sin 2t ctg t – 1;        7)    ctg β(1 – cos 2β);

2)   ;        8)   ;

3)   ;        9)   (tg t + ctg t) sin 2t;

4)   ;        10)  ;

5)  ;        11)  ;

6)   ;        12)  .

97.        Выполните преобразование:

1)   ;        5)   tg α (1 + cos 2α);

2)   ;        6)   ;

3)   ;        7)   ;

4)   ;        8)   .

98.        Вычислите:

1)   ;

2)   .

99.        Упростите выражения:

1)   ;        3)   ;        5)   ;

2)   ;        4)   ;        6)   .

100.        Преобразуйте следующие выражения:

1)   ;

2)   ;        3)   .

101.        Вычислите без помощи калькулятора или таблиц:

1)   ;        2)   .

Вычислите:

102.        , если .

103.        , если .

104.        tg (4х – у), если .

105.        (sin 4α + 2sin 2α) cos α, если .

106.        Упростите выражение .

107.        Найдите значение выражения:

1)   ;        2)   .

108.        Без помощи таблиц или калькулятора вычислите:

.

109.        Вычислите:

.

110.        Известно, что , где . Вычислите .

111.        Вычислите .

112.        В равнобедренном треугольнике косинус угла при вершине равен . Найдите синус угла при основании.

113.        Преобразуйте сумму в произведение и упростите результат, если это возможно:

1)   sin 50° + sin 20°;        4)   cos 160° + cos 80°;        7)   cos 3α – cos 5α;

2)   cos 28° – cos 12°;        5)   sin 83° – sin 23°;        8)   sin 10° + cos 40°;

3)  ;        6)  ;        9)  .

114.        Замените сумму произведением:

1)  cos 40° – cos 10°;        4)  cos 37° + cos 23°;        7)   cos 20° – cos 70°;

2)  sin 42° – sin 26°;        5)  sin 130° + sin 110°;        8)   sin β – sin 3β;

3)  ;        6)  ;        9)  .

115.        Упростите выражение:

1)  ;        5)  ;

2)  ;        6)  ;

3)  ;        7)  ;

4)  ;        8)  .

116.        Докажите тождество:

.

117.        Упростите выражение:

1)  ;        5)  ;

2)  ;        6)  ;

3)  ;        7)  ;

4)  ;        8)  .

118.        Вычислите:

1)   cos 95° + cos 94° + cos 93° + cos 85° + cos 86° + cos 87°;

2)   tg 9° – tg 27° – tg 63° + tg 81°;

3)   .

119.        Преобразуйте выражение:

120.        Тангенсы двух углов треугольника равны соответственно 1,5 и 5. Найдите третий угол треугольника.

121.        Преобразуйте произведение в сумму:

1)   sin 42° cos 12°;        5)   cos 23° cos 27°;

2)   cos 42° cos 18°;        6)   2 sin 18° sin 22°;

3)   2 sin 42° sin 3°;        7)   sin 40° cos 56°;

4)   ;        8)   .

122.        Замените произведение тригонометрических функций суммой:

1)   cos 52° cos 22°;        5)   cos 50° cos 58°;

2)   2 sin 52° cos 8°;        6)   sin 31° cos 41°;

3)   sin 52° sin 7°;        7)   2 sin 24° sin 44°;

4)   ;        8)   .

123.        Упростите выражения:

1)   cos 3α cos α – cos 7α cos 5α;        3)   sin 4β cos 3β – sin 5β cos 2β;

2)   cos 3α cos α – sin 3α sin α;        4)   sin 4β cos 3β – cos 4β sin 3β.

124.        Преобразуйте выражения:

1)   cos 7ϕ cos 3ϕ + sin 8ϕ sin 2ϕ;        2)   cos 7ϕ cos 3ϕ + sin 7ϕ sin 3ϕ.

125.        Проверьте равенства:

1)   ;        4)   ;

2)   ;        5)   ;

3)   sin 5α – 2 cos 4α sin α = sin 3α;        6)   cos 3α – 2 sin 2α sin 5α = cos 7α.

126.        Вычислите:

1)   tg 15° + tg 75°;        5)   ;

2)   cos2 3 + cos2 1 – cos 4 cos 2;        6)   ;

3)   tg 41° tg 43° tg 45° tg 47° tg 49°;        7)   ;

4)   tg 20° tg 40° tg 50° tg 70°;        8)   .

127.        Вычислите значение выражения

, если .