урок по теме "Решение прикладных задач по теме «Наибольшее и наименьшее значения функции»"
методическая разработка на тему
Урок для учащихся 10-11 класса по теме "Наибольшее и наименьшее значение функции"
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
urok.doc | 195.5 КБ |
Предварительный просмотр:
Решение прикладных задач по теме
«Наибольшее и наименьшее значения функции»
Гений состоит из 1 процента вдохновения и 99 процентов потения
Т. Эдисон
Цели урока:
- Образовательные:
- закрепление алгоритма нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [a; b], интервале (a; b);
- создание условий для самостоятельной исследовательской деятельности обучающихся.
- Развивающие:
- развитие творческих способностей обучающихся, логического мышления;
- развитие умения построения и записи математической модели для решения практической ситуационной задачи.
- Воспитательные:
- активизация чувственного восприятия материала посредством решения задач с практическим содержанием;
- воспитание познавательной активности, уверенности в себе.
Оборудование: видеотерминал, опорная схема «Метод математического моделирования», карточки с заданиями для самостоятельной и индивидуальной работы.
Учитель. Ребята, я хочу начать наш урок с фрагмента рассказа Л.Н. Толстого «Много ли человеку земли нужно» о крестьянине Пахоме, покупавшем землю у башкирцев.
- А цена какая будет? – говорит Пахом.
- Цена у нас одна: 1000 р. за день.
Не понял Пахом.
- Какая же это мера – день? Сколько в ней десятин будет?
- Мы этого, - говорит, не умеем считать. А мы за день продаем; сколько обойдешь в день, то и твое, а цена 1000 р.
Удивился Пахом.
- Да ведь это, - говорит, - в день обойти земли много будет.
Засмеялся старшина.
- Вся твоя, - говорит. – Только один уговор: если назад не придешь в день к тому месту, с какого возьмешься, пропали твои деньги.
- А как же, - говорит Пахом, отметить, где я пройду?
- А мы станем на место, где ты облюбуешь; мы стоять будем, а ты иди, делай круг, а с собой скребку возьми и, где надобно, замечай, на углах ямки рой, дернички клади; потом с ямки на ямку плугом пройдем. Какой хочешь круг забирай, только до захода солнца приходи к тому месту, с какого взялся. Что обойдешь, все твое.
Фигура, которая получилась у Пахома, изображена на рисунке. Что это за фигура?
[Прямоугольная трапеция]
А периметр ее мы можем найти?
[ км.]
Какова площадь этой трапеции?
Ребята, как вы думаете, наибольшую ли площадь получил Пахом (с учетом того, что участки обычно имеют форму четырехугольника)?
Сегодня на уроке мы это и выясним.
Актуализация знаний
Чтобы решить поставленную задачу, нам необходимо вспомнить:
- алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке, если функция на этом отрезке:
- монотонная;
- немонотонная.
Задание:
- Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном промежутке:
- ;
- .
- Найдите наибольшее значение функции на промежутке .
- алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значения функции на интервале, луче.
Изучение нового материала
Ребята, изложенный выше метод поиска наибольших и наименьших значений функции применим к решению разнообразных прикладных задач. При этом действуют по следующей схеме:
- задача «переводится» на язык функций. Для этого выбирают удобный параметр , через который интересующую нас величину выражают как функцию ;
- средствами анализа ищется наибольшее или наименьшее значение этой функции на некотором промежутке;
- выясняется, какой практический смысл (в терминах первоначальной задачи) имеет полученный (на языке функций) результат.
Учитель. Запишем в тетради следующую задачу: периметр прямоугольника равен 60 см. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы площадь была наибольшей?
Решение.
- Выбираем независимую переменную и выражаем через нее стороны прямоугольника:
см – длина прямоугольника,
см - ширина прямоугольника. Тогда .
Запишем функцию: .
Таким образом, задача свелась к нахождению наибольшего значения функции на интервале .
- Находим производную: .
Находим критические точки: .
точка максимума.
Итак, - единственная критическая точка на и является точкой максимума функции , следовательно, функция в этой точке достигает своего наибольшего значения.
- Значит, длина прямоугольника 15 см, а ширина равна см.
Какая это фигура?
[Квадрат.]
Ответ: Квадрат со стороной 15 см имеет наибольшую площадь.
Учитель. Ребята! такой метод решения задач называют методом математического моделирования. С этим методом вы уже встречались. Когда?
Этот метод решения практических задач, как правило, содержит три основных этапа:
- формализацию (перевод исходной задачи на язык математики);
- решение полученной математической задачи;
- интерпретацию найденного решения.
Но эту задачу также можно решить и другим способом, используя неравенство Коши .
Коши Огюстен Луи
(1789-1857)-
крупный французский математик. Доказал ряд замечательных теорем в области анализа, теории функций комплексного переменного, теории дифференциальных уравнений и т.д. Большая заслуга Коши – разработка курса анализа, в котором, в частности, он предложил ставшие классическими определения предела, непрерывности функции и т.п.
см – длина прямоугольника, см – ширина прямоугольника,
, , . .
, или .
Подставляя в это неравенство вместо число 30, получаем , .
Следовательно, наибольшая площадь прямоугольника 225 см2. Равенство в неравенстве Коши возможно при равных слагаемых, то есть при . Это означает, что квадрат со стороной 15 см из всех прямоугольников данного периметра имеет наибольшую площадь.
А теперь вернемся к задаче, с которой мы начали урок. Значит, какую фигуру Пахом должен был обойти?
км, км, км2 [Квадрат.]
Закрепление нового материала
Учитель: Решите еще две задачи прикладного характера. [Карточки на партах.]
- Задача с физическим смыслом.
Материальная точка движется по закону , где - путь в метрах, а - время в секундах. Какой путь пройдет точка до остановки?
Ответ: 4,25 м.
- Задача с геометрическим и экономическим смыслом.
Найдите при каких условиях расход жести на изготовление консервных банок цилиндрической формы заданной емкости будет наименьшим.
Ответ: Наименьший расход жести на изготовление консервной банки цилиндрической формы заданной емкости будет достигнут при условии, что диаметр основания и высота банки равны между собой ().
Домашнее задание § 52 № 943; 948.
Требуется разместить на земле участок площадью 1250 м2, который состоит из трех прямоугольных частей и имеет форму многоугольника ABCEFGHM, изображенного на рисунке, где EF=15 м, FG=20 м, AM=10 м и . Найдите наименьшее значение периметра такого участка и какие – либо значения длин KC, KH и AB, при которых периметр является наименьшим.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ОТКРЫТОГО УРОКА ПО ПРЕДМЕТУ “МАТЕМАТИКА” ПО ТЕМЕ: НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ Автор-составитель: преподаватель математики Козырева Татьяна Александровна Краснодар, 2014г.
Разработка урока составлена в соответствии с программой по математике ( по учебнику А. Н. Колмогоров и др. „ Алгебра и начало анализа ” 10 – 11кл. Урок по теме: „ Нахождение наибольшего и наимень...
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ОТКРЫТОГО УРОКА ПО ПРЕДМЕТУ “МАТЕМАТИКА” ПО ТЕМЕ: НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ Автор-составитель: преподаватель математики Козырева Татьяна Александровна Краснодар, 2014г.
Разработка урока составлена в соответствии с программой по математике ( по учебнику А. Н. Колмогоров и др. „ Алгебра и начало анализа ” 10 – 11кл. Урок по теме: „ Нахождение наибольшего и наимень...
Презентация урока Наибольшее и наименьшее значение функции
Презентация на урок...
Разработка урока по теме: Наибольшее и наименьшее значение
Методическая разработка содержит описание урока по теме «Наибольшее и наименьшее значения функции», презентацию к уроку и музыкальное сопровождение. Данный урок- 10 урок в теме &ldquo...
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Данный конспект урока разработан для изучения алгоритма нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Разработка может применяться при изучении курса алгебры и математического анал...
Наибольшее и наименьшее значение функции.
1) Находим значения функции в критических точках, которые принадлежат данному отрезку.Ловите ещё одну плюшку: здесь отпадает необходимость проверять достаточное условие экстремума, поскольку...
Практико-ориентированные задачи по теме «Основы тригонометрии и тригонометрические функции»
Использование свойств и графиков тригонометрических функций в прикладных задачах....