ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

Кроссворд 1. Юный математик (5 класс)

По горизонтали: 2. Единица с шестью нулями. 4. Единица площади, равная 10000 м2. 6. Отрезок, соединяющий центр окружности и любую точку на ней. 10. Суммы длин всех сторон многоугольника. 11. Дробь, у которой числитель меньше знаменателя. 12. Знак, используемый для записи числа. 14. Закон сложения: а + в = в + а.

По вертикали: 1. Фигуры, совпадающие при наложении. 3. Закон умножения (а + в) с = ас + вс.5. Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны. 7. Название отрезков, из которых состоит треугольник. 8. Единица масс, равная 1000 кг. 9. Равенство, содержащее неизвестное.14. Третий разряд любого класса.

Ответы:

По горизонтали: 2. Миллион. 4. Гектар. 6. Радиус. 10. Периметр. 11. Правильная. 12. Цифра. 14. Переместительный.

По вертикали: 1. Равные. 3. Распределительный. 5. Куб. 7. Стороны. 8. Тонна. 9. Уравнение. 13. Сотни.

Кроссворд 2. Юный математик (5 класс)

По горизонтали: 1. Книга для занятий по какому-либо предмету. 4. Перерыв в школьных занятиях. 6. Знак, используемый для записи музыки. 9. Документ, который выдают школьнику по окончании школы. 10. Месяц. 11. Большой лист, используемый для чертежей, стенгазет и т. п.12. Чертежный инструмент. 13. Предмет, используемый художником для нанесения краски на холст.

По вертикали: 1. Время, отведенное в школе для занятий одним из предметов. 2. Знак, используемый для обозначения звука. 3. Учреждение, которое дети посещают, пять раз в неделю. 5. Деревянная палочка с грифелем. 7. Жидкий состав для письма. 8. Наука.

Ответы:

По горизонтали: 1. Учебник, 4. Каникулы, 6. Нота, 9. Аттестат. 10. Август. 11. Ватман. 12. Циркуль. 13. Кисть.

По вертикали: 1. Урок. 2. Буква. 3. Школа. 5. Карандаш. 7. Чернила. 8. История.

Кроссворд 3. Юный математик (5 класс)

По горизонтали: 1. Мера времени. 2. Наименьшее четное число. 3. Очень плохая оценка знаний.4. Ряд чисел, соединенных знаками действий. 5. Мера земельной площади. 6. Число в пределах десяти. 7. Часть часа. 8. Знаки, которые ставятся тогда, когда нужно изменить порядок действий.9. Наименьшее четырехзначное число. 10. Единица третьего разряда. 11. Столетие. 12.Арифметическое действие. 13. Название месяца.

По вертикали: 7. Весенний месяц. 8. Прибор для вычислений. 14. Геометрическая фигура. 15.Малая мера времени. 16. Мера длины. 17. Предмет, преподаваемый в школе. 18. Мера жидкостей.19. Денежная единица. 20. Вопрос для решения. 21. Некоторое количество единиц. 22. Название месяца. 23. Первый месяц года. 24. Последний месяц школьных каникул.

Ответы:

По горизонтали: 1. Час. 2. Два. 3. Единица. 4. Пример. 5. Ар. 6. Четыре. 7. Минута. 8. Скобки. 9. Тысяча. 10. Сотня. 11. Век. 12. Деление. 13. Июль.

По вертикали: 7. Март. 8. Счеты. 14. Квадрат. 15. Секунда. 16. Метр. 17. Арифметика. 18. Литр. 19. Рубль. 20. Задача. 21. Число. 22. Май. 23. Январь. 24. Август.

Кроссворд 4. Любителям математики (6 класс)

По горизонтали: 3. Знаки, которые ставятся тогда, когда нужно изменить порядок действий. 4.Одна из точек, расположенных на координатном луче, имеющая большую координату. 8.Выдающийся советский математик, который в шестилетнем возрасте заметил, что 12 = 1, 22 = 1 + 3, 32 = 1 + 3 + 5, 42 = 1 + 3 + 5 + 7 и т. д. 9. Числа, которые перемножают. 10. Единица измерения отрезков учащимися в тетради. 13. Основная единица массы. 14. Неограниченная геометрическая фигура, которая не имеет краёв.

По вертикали: 1. Необходимая часть текста задачи. 2. Единица измерения объёма жидкости, которая используется в Англии и США (4л. ). 5. Прямоугольник, у которого все стороны равны. 6.Одно из измерений прямоугольного параллелепипеда. 7. Число, которое иногда получается при делении. 11. Число, которое делят. 12. Отрезок, соединяющий вершины треугольника.

Ответы:

По горизонтали: 3. Скобки. 4. Правее. 8. Колмогоров. 9. Сомножители. 10. Сантиметр. 13. Килограмм. 14. Плоскость.

По вертикали: 1. Вопрос. 2. Галлон. 5. Квадрат. 6. Длина. 7. Остаток. 11. Делимое. 12. Сторона.

Кроссворд 5. Любителям математики (6 класс)

1. Число, показывающее, на сколько равных частей разделено целое. 2. Дробная черта – это знак …. . 3. Деление числителя и знаменателя на одно и то же натуральное число – это … 4.Определите, не прибегая к вычислениям, какое выражение больше ( первое или второе): 1 – 1/1998 или 1 – 1/1999. 5. Плод банана состоит из кожуры и мякоти. . Кожура составляет 2/5 массы банана. Масса мякоти составляет …. . кг, если масса бананов 10 кг.

Ответы: 1. Знаменатель. 2. Деления. 3. Сокращение. 4. Второе. 5. Шесть.

Кроссворд 6. Любителям математики (6 класс)

1. Знак, разделяющий дробную и целую часть. 2. Дробь 3, 298» 3, 30 округлена до разряда……. 3.Сравнивают, вычитают, складывают десятичные дроби …… 4. Скорость течения реки равна … км/ч, если скорость катера по течению 15, 2 км/ч, а против течения 11,2 км/ч. 5. В ржаном хлебе 52 % белка. В скольких граммах хлеба содержится 260 г. белка?

Ответы: 1. Запятая. 2. Сотых. 3. Поразрядно. 4. Два. 5. Пятьсот.

Кроссворд 7. Любителям геометрии (7 класс)

По горизонтали: 1. Луч, делящий угол пополам. 4. Элемент треугольника. 5, 6, 7. Виды треугольника (по углам). 11. Математик древности. 12. Часть прямой. 15. Сторона прямоугольного треугольника. 16. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

По вертикали: 2. Вершина треугольника. 3. Фигура в геометрии. 8. Элемент треугольника. 9. Вид треугольника (по сторонам). 10. Отрезок в треугольнике. 13. Треугольник, у которого две стороны равны. 14. Сторона прямоугольного треугольника. 17. Элемент треугольника.

Ответы:

По горизонтали: 1. Биссектриса. 4. Сторона. 5. Прямоугольный. 6. Остроугольный. 7. Тупоугольный. 11. Пифагор. 12. Отрезок. 15. Гипотенуза. 16. Медиана.

По вертикали: 2. Точка. 3. Треугольник. 8. Вершина. 9. Равносторонний. 10. Высота. 13. Равнобедренный. 14. Катет. 17. Угол.

Кроссворд 8 . Юный счетовод (6 класс)

По горизонтали: 1. Квадрат простого числа, большего 70. 3. Число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию с суммой, равной 14. 6. Куб целого двузначного числа. 8. Квадрат целого числа большего 80. 9. Число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию с суммой, равной 25. 11. Число 9 по горизонтали, записанное в обратном порядке. 14. Число 1 по вертикали минус число 4 по вертикали. 15. Наименьшее четырёхзначное число, не содержащее нулей. 16. 211. 17. 550, умноженное на кубический корень из числа 6 по горизонтали.

По вертикали: 1. Число 15 по горизонтали, умноженное на 5. 2. Число, у которого сумма двух первых цифр равна сумме двух последних цифр. 4. Разность чисел 6 и 1 по горизонтали, умноженная на 9. 5. Разность чисел 2 и 4 по вертикали минус 41. 7. Удесятерённое число 2 по вертикали увеличенное на 238. 8. Число 11 по горизонтали минус 2. 10. Сумма чисел 5 по вертикали и 12 по вертикали. 11. Число 4 по вертикали, записанное в обратном порядке. 12.Корень квадратный из числа 1 по горизонтали, умноженный на 43. 13. Разность чисел 1 по горизонтали и 12 по вертикали.

Ответы:

По горизонтали: 1. 732 = 5329. 3. 5432. 6. 183 = 5832. 8. 852 = 7225. 9. 34567. 11. 76543. 14.5555 – 4527 = 1028. 15. 1111. 16. 211 = 2048. 17. 550 * 5832 = 9900.

По вертикали: 1. 1111 * 5 =5555. 2. 2433. 4. (5832 – 5329) * 9 = 4527. 5. 4527–2433 – 41= 2053.7. 2433 * 10 + 3139 = 5192. 11. 7254. 12. 5329 * 43 = 3139. 13. 5329 – 3139 = 2190.

Кроссворд 9. Любителям геометрии (8 класс)

По горизонтали: 1. Многоугольники, имеющие равные площади. 3. Четырёхугольник, площадь которого равна квадрату его стороны. 6. Четырёхугольник, площадь которого равна произведению его основания на высоту. 7. Многоугольник, площадь которого равна половине произведения его основания на высоту. 9. Длина катета равнобедренного прямоугольного треугольника, площадь которого равна 8 кв. ед.

По вертикали: 2. Четырёхугольник, площадь которого равна произведению его смежных сторон.4. Длина стороны квадрата, площадь которого равна 64 кв. ед. 5. Чему равен периметр прямоугольника, если его площадь равна 8 кв. ед. , а одна сторона в 2 раза больше другой? 8.Площадь параллелограмма, острый угол которого равен 30°, а высоты, проведённые из вершины тупого угла, равны 4 и 5.

Ответы:

По горизонтали: 1. Равновеликие. 3. Квадрат. 6. Параллелограмм. 7. Треугольник. 9. Четыре.

По вертикали: 2. Прямоугольник. 4. Восемь. 5. Двенадцать. 8. Сорок.

Кроссворд 10. Любителям геометрии (10 класс)

По горизонтали: 3. Четырёхугольник. 4. Отрезок, соединяющий основание наклонной с основанием перпендикуляра, проведённого из второго конца наклонной. 6. Число, кратное 100. 9.Прибор для измерения углов. 10. Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией. 13. число, составленное из единицы с нулями. 14. Единица измерения. 15. Точное предписание, которое задаёт вычислительный процесс. 16. Дробная часть десятичного логарифма.

По вертикали: 1. Координата. 2. Многогранник. 5. Четырёхугольник. 7. Тригонометрическая функция. 8. Число, на которое умножают. 11. Число, на которое делят. 12. Координата.

Ответы:

По горизонтали: 3. Трапеция. 4. Проекция. 6. Четыреста. 8. Угломер. 10. Многоугольник. 13. Миллион. 14. Сантиметр. 15. Алгоритм. 16. Мантисса.

По вертикали: 1. Ордината. 2. Пирамида. 5. Прямоугольник. 7. Котангенс. 8. Множитель. 11. Делитель. 12. Абсцисса.

Кроссворд 11. Весёлая математика.

По горизонтали: 1. Учёный, который обессмертил предмет своей одежды. 4. То, что приходится делать в уме, если нет калькулятора. 7. Любимое действие друзей-товарищей. 9. Учебник, напичканный задачками. 11. Ну, очень трудный вопрос! 13. Учёный, прозревший после удара по голове. 15. Математическое действие, воспетое в песне Шаинского. 16. Близкий родственник квадрата. 17. Школьная крыса. 21. От сих до сих. 24. Богатый родственник квадрата. Богаче квадрата в шесть раз. 25. Барабанные звуки перед началом сражения.

По вертикали: 1. То, чем богаче родственник из 24. 2. Приведённый в чувства ромб. 3. Путь к ответу. 5. Зловещее место в Бермудах. 6. Что бывает даже у Солнца, а не только у простого ученика. 8. Проблеск света в тёмном царстве. 10. Что бывает даже у простого ученика, если очень постараться. 12. Учёный, который любил купаться в ванной. 13. Подруга ошибки. 14.Дорога, которую мы выбираем. 19. Дырка от бублика. 20. Забор для математических действий.22. Привычное место непослушного ребёнка.

Ответы:

По горизонтали: 1. Пифагор. 4. Вычисления. 7. Любимое действие друзей товарищей. 9.Математика. 11. Шарада. 13. Ньютон. 15. Умножение. 16. Прямоугольник. 17. Биссектриса. 21.Отрезок. 24. Куб. 25. Дробь.

По вертикали: 1. Площадь. 2. Квадрат. 3. Решение. 5. Треугольник. 6. Затмение. 8. Луч. 10.Пять. 12. Архимед. 13. Неточность. 14. Прямая. 19. Круг. 20. Скобки. 22. Угол.

Эту задачу придумал А. Эйнштейн в прошлом веке и полагал, что 98% жителей Земли будут не в состоянии ее решить. Принадлежите ли вы (по мнению А. Эйнштейна) к 2% самых умных людей планеты? 

Условие задачи представлено в том виде, в котором оно родилось в голове великого ученого. Но это, ни в коей мере не означает, что нужно курить или пить пиво. Отнеситесь к этому, как к маленькой частичке истории.

Условия.

1. Есть 5 домов пяти цветов. 
2. В каждом доме живет один человек: немец, англичанин, швед, датчанин и норвежец. 
3. Каждый пьет только один определенный напиток, курит определенную марку сигарет и держит определенное животное. 
4. Никакие два человека из этих пяти не пьют одинаковые напитки, не курят одинаковые сигареты и не держат одинаковых животных. 
5. Вопрос. У кого живет рыба? 
6. Подсказки.
7. Англичанин живет в красном доме. 
8. Швед держит собаку. 
9. Датчанин пьет чай. 
10. Зеленый дом стоит слева от белого. 
11. Жилец зеленого дома пьет кофе. 
12. Человек, который курит «Раll Ма11», держит птицу. 
13. Жилец из среднего дома пьет молоко. 
14. Жилец из желтого дома курит «Dunhill». 
15. Норвежец живет в первом доме. 
16. Курильщик «Мarlboro» живет около того, кто держит кошку. 
17. Человек, который содержит лошадь, живет около того, кто курит «Dunhill». 
18. Курильщик «Winfield» пьет пиво. 
19. Норвежец живет около голубого дома. 
20. Немец курит «Rothmans» 
21. Курильщик «Мarlboro» живет по соседству с человеком, который пьет воду. 

Интересные факты о числах

1. Если число 111 111 111 умножить на самого себя, то получится интересное число 

12 345 678 987 654 321 

2. Понятие "отрицательное число" ввел впервые купец из Италии по фамилии Пизано в 1202 году, обозначив им свои задолженности и убытки. 
3. Число гугл - это единица и сто нулей. Название этому числу дал американский математик Эдвард Каснер. Также существует число гуглплекс - это единица и гугол нулей за ней.
4. Символ #, который часто называют "решеткой", "знаком номера" или "знаком фунта" на самом деле имеет официальное название - октоторп. 
5. Какое пятизначное число при умножении на четыре дает число, представляющее из себя обратную последовательность цифр исходного числа? 21978 x 4 = 87912. 
6. 1961 год - самый недавний из тех, запись которых читается одинаково и в обычном виде и в перевернутом. Следующим таким годом будет 6009!

ИЗОБРЕТЕНИЕ КОЛЕСА

Одним из самых важных, но простых изобретений, сделанных человеком,- это обыкновенное колесо. Интересно, что первые древние колеса были найдены там, где человек уже освоил плавку металла в Месопотамии, Средней Азии, Венгрии. Любопытно, что изобрели колесо вовсе не для того, чтобы быстрее передвигаться. Пока древние люди вели кочевой образ жизни, они весь свой нехитрый скарб носили с собой. А вот когда они осели на одном месте, тогда им понадобилось колесо. Оседлый человек стал засевать поля, разводить скот, строить большие поселения, а потом и города, началась торговля камнем, лесом, зерном. При этом людям приходилось перемещать огромные тяжести на большие расстояния. И идея колеса не могла не родиться.

Постоянно имея дело с поваленными деревьями и бревнами, человек обнаружил, что они могут кататься. Оказывается, что само бревно, которое он с товарищами едва мог перенести на несколько метров, могло катиться само, если, конечно, его толкнуть.

Но чтобы, это сделать, нужно было приложить огромное усилие. Тогда кроманьонцы изобрели рычаг: подложили толстую длинную палку под бревно, нажали,  и бревно покатилось. Потом догадались на катящиеся бревна наискосок положить другое бревно - они покатили и его. Значит, транспортируемые бревна уже сами могли быть «транспортом».

И все же этот метод оказался очень неудобным. Ближайшие к рычагам бревна все время падали. Нужно было их как-то зафиксировать. Неизвестно, что натолкнуло человека на эту идею, но когда он реализовал ее, то получилась первая повозка, грубая, неказистая. Однако она могла катиться лишь по ровной поверхности. Любой камень, оказавшийся на пути, мог разрушить ее. Тогда, прочно скрепили десяток бревен между собой, внизу прикрепили еще по две пары гладко отесанных бревен, а между ними поместили третье - гладкое. И получился первый каток, он прекрасно двигался. Это был прообраз колеса.

Изображения салазок с колесиками (3000 г. до н. э.) найдены в Междуречье в шумерском городе Урук. К 2700 году до н. э. там же появляются рисунки повозок. В это же время шумеры начинают хоронить своих царей вместе с колесницами. Эти погребения найдены в Кише, Уре, в эламском городе Сузы.

Наскальный рисунок повозки II тыс. до н.э., обнаруженный в Ливии

По Востоку распространяется образ колеса как символа солнца и власти. Хетты клянутся колесом, в индийском эпосе бог Индра похищает колесо у бога солнца Сурьи, у иранцев Небесное Колесо - оружие богов. Ассоциация понятна: солнце - круглое и могущественное, колесо - тоже круглое и дарит человеку скорость, а с ней преимущество в бою и власть. Нам, привыкшим к быстрой езде, не понять, как скорость в 25-30 км/ч пьянила пешее дотоле человечество. Хотя лошадь приручили на тысячу лет позже, и повозку еще долго таскали онагры - азиатские ослы.

Но как деревянное колесо могло появиться в Месопотамии, отнюдь не изобиловавшей лесами? Подходящие леса были на востоке Турции и севере Ирана. Эти области и считали родиной колеса, пока археологи не обнаружили в армяно-грузинском пограничье и верховьях Куры многочисленные и даже более древние, чем в Междуречье, колесничные захоронения рубежа ГУ-Ш тыс. до н. э. Когда из-за строительства Севанской ГЭС уровень воды в озере упал, обнажились погребения с колесницами - тяжелыми и неповоротливыми. Тянуть их могли только волы.

Быстро катясь по свету, колесо почти одновременно с Месопотамией попадает на север. Древние захоронения с повозкой найдены у Элисты в Калмыкии. А дальше, в степи, ему уже нет границ: следующее древнейшее колесо нашли в селе Герасимовка Оренбургской области.

Уже в середине III тысячелетия до н. э. деревянное колесо оборачивали в кожу, а к 2000 г. до н. э. стали забивать в обод медные гвозди острием наружу - для лучшего сцепления с землей. Колеса еще сплошные, но уже не вырезанные из цельного ствола, а составные, сколоченные из трех частей. Такую древесину найти легче. Примерно тогда же люди приручают лошадь, и повозки разделяются на быстрые конные двуколки - боевые колесницы и экипажи правителя - и двухосные телеги с впряженным волом - для хозяйства.

Колесо III тыс. до н. э., найденное при раскопках месопотамского города-государ ства Ур

Повозка едет на восток через степи Азии от одних племен к другим (слово «телега» - монгольского происхождения). Это фиксируют наскальные рисунки южной Сибири. Кочевники-скотоводы делают большие крытые повозки - дома на колесах. К середине II тысячелетия до н. э. колесо докатилось до Китая эпохи царства Инь.

Слова «коло» и «рото» - колесо - были в индоевропейском, общем предке германских, славянских, романских, иранских языков... Значит, они возникли на прародине индоариев - в восточной Турции и северном Ираке в III тысячелетии до н. э. Именно оттуда начинается расселение племен, включая великую миграцию индоариев в Европу. Ученые до сих пор спорят, каким маршрутом они продвигались: из Малой Азии на Балканы, через Причерноморские степи в Венгрию, через Среднюю Азию - или всеми этими путями одновременно? В любом случае, их победоносное шествие было в немалой степени обеспечено военным успехом колесниц. По ходу миграции совершенствуется и само колесо. У того, что к 2000 году до н. э. доехало до нынешней Голландии, уже имелись спицы и обод.

Дальнейшее развитие колеса в Европе связано почти исключительно с кельтскими племенами. Около 1500 года до н. э. они научились «обувать» обод металлом, а через пару веков, ко времени Троянской войны, колесница становится почти целиком металлической. На таких сражаются гомеровские герои. Такими восхищается библейский пророк Наум: «По улицам несутся колесницы, гремят на площадях; блеск от них, как от огня; сверкают, как молния». Усовершенствование повозки продолжается. Две оглобли вместо одной видны на рельефе ассирийского царя Ашшурнасирпала II (850 г. до н. э.). А на другом краю земли, в датском Дьерберге наскальный рисунок (1век до н. э.) изображает повозку с подвижной передней осью: до нее телеги были крайне неповоротливы. В Риме они такими и остались. Кстати, воевавшие с варварами-кельтами римляне строили лучшие в мире дороги, но почти не занимались транспортными средствами, за исключением того, что научились около 100 года до н. э. запрягать коней цугом. Однако в быту по-прежнему использовались тяжелые колеса без спиц, и Вергилий называет телеги «скрипучими» и «стонущими», хотя ступицы смазывали жиром или дегтем. Эти повозки разбивали дорогу, и в 50 году до н. э. был принят первый закон, ограничивший нагрузку на одно колесо до 250 кг. Зато у римлян колесо заработало в водяной мельнице и в лебедке.

Колесо Дхармы на барельефе из буддийского святилища Санчи в Индии - символ ступеней духовного совершенствования (11-1 вв. до н. э.)

За три тысячи лет своего вращения колесо перевернуло жизнь почти всего Старого Света. А вот до Африки южнее Сахары, до Юго-Восточной Азии и, по понятным причинам, до Австралии так и не докатилось. Приплыв в Америку, испанцы были поражены тем, что инки не знали колеса. В Новом Свете не было крупного скота, за исключением лам, и инки надрывались на волоке. А ацтеки использовали колеса лишь в игрушках.

Есть и иная гипотеза изобретения колеса. Горшки - неказистые и кособокие - люди лепили еще за 6000 лет до н. э. Но появился гончарный круг - и вид посуды резко улучшился. А гончарный круг - это колесо, положенное набок. Кто у кого заимствовал идею, возница у гончара или наоборот? А вдруг окажется, что всеми переселениями народов, прогрессом транспорта и вообще всеми изменениями в облике планеты мы обязаны безымянному гончару, упрямо добивавшемуся, чтобы его горшки были ровными?

ЧИСЛА РАССКАЖУТ О СЕБЕ

Число – одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счета или измерения. Понятие числа служит исходным для многих математических теорий. Числа находят широкое применение В физике, механике, астрономии, химии и многих других науках. Числами постоянно пользуются в повседневной жизни.

В школьном курсе мы будем постепенно знакомиться со всеми числами, в том числе с натуральными, действительными, рациональными и иррацинальными. Но в данной работе мы будем говорить о мало знакомых нам числам, а именно совершенных, дружественных и фигурных числах.

Согласно учению Пифагора, числа являются мистической сущностью вещей, математические абстракции таинственно руководят миром, устанавливая в нем определенный порядок. Пифагорейцы высказывали предположение о том, что все закономерности мира можно выразить с помощью чисел. Числа признавались не просто выражениями закономерного порядка, но и основой материального мира.

Сами пифагорейцы высоко ценили результаты, полученные ими в теории гармонии, ибо они подтверждали их идею, что числа определяют все. Число для пифагорейцев – это собрание единиц (только целое положительное число). Единицы, составляющие число, считались неделимыми и изображались точками, которые располагались в виде правильных геометрических тел. При этом получали ряды «треугольных», «квадратных», «пятиугольных» и других «фигурных» чисел. Одинаковые шары можно укладывать на плоскости так, чтобы они образовывали различные фигуры – треугольники, квадраты, шестиугольники и т. д.

«Треугольные» числа это числа 1; 1+2=3; 1+2+3=6; 1+2+3+4=10, общее выражение для них 1+ 2+ 3+…+=.

Рассмотрим «упаковки» шаров в равностороннем треугольнике. Числа, которые показывают, сколько шаров содержится в треугольниках, называют треугольными.

«Квадратные» числа это числа 1; 1+3=4; 1+3+5=9; 1+3+5+7=16; …; 1+3+5+….

Пифагорейцы определили также «кубические» числа 1; 8; 27;…. Отметим, что наши выражения «квадрат» для числа  и куб для числа  являются пережитком пифагорейской терминологии.

Пифагорейцы рассматривали «пятиугольные» числа 1; 1+4=5; 1+4+7=12; 1+4+7+…+

Совершенным числом называют натуральное число, равное сумме всех его собственных деталей, т.е. делителей, отличных от самого числа. Так, совершенными числами являются числа 6 и 28, ибо 6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14.

Знаменитый греческий философ и математик Никомах Герасский, живший в 1 в., отмечал, что совершенные числа красивы, а красивые вещи редки и немногочисленны. Он не знал, сколько имеется совершенных чисел. Не знаем этого и мы. До настоящего времени нет ответов на два важных вопроса:

1) Существует ли наибольшее чётное совершенное число?

2) Существует ли нечетное совершенное число?

До сегодняшнего дня не обнаружено ни одного нечетного совершенного числа, хотя и не доказано, что такого числа не существует. Было обнаружено правило, как искать четные совершенные числа. Это правило состоит в следующем: если число простое, то число  совершенное.

Все совершенное редко встречается в мире. Редко встречаются и совершенные числа.                                                                                                    Пара натуральных чисел называется дружественной, если каждое из них равно сумме всех собственных делителей другого. Например, дружественную пару образует числа 220 и 284, так число 220 имеет делители 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55 и 110, а число 284 – делители 1,2,4,71,142 и выполняются следующие равенства:1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284 1+2+4+71+142=220

Все известные дружественные пары состоят либо из двух четных чисел, либо

из двух нечетных. До сих пор не обнаружено дружественной смешанной пары, но вместе с тем и не доказано, что такой пары не существует. Неизвестно также, конечно или бесконечно число дружественных пар.

Приведём краткие сведения из интересной истории совершенных чисел и дружественных пар чисел.

Первых прекрасным совершенным числом, о котором знали математики Древней Греции, было число 6. Этому числу уделяли много внимания математике, философы, богословы. В библейских преданиях утверждается, что мир был создан в шесть дней; ведь более совершенного числа среди совершенных чисел, чем 6, нет, так как оно первое из них, Следующим совершенным числом, известным древним грекам до Евклида, было число 28. Евклид сделал первый важный шаг в построение теории совершенных чисел. Он доказал, что всякое число, которое может быть представлено в виде произведения множителей 2p-1 и 2p-1, где 2p-1 простое число, является совершенным числом. Отметим, что для этого необходимо, чтобы p было простым, хотя далеко не для всякого простого числа p число 2p-1 также является простым.

В течение почти двух тысяч лет люди знали только четыре совершенных числа. Неизвестно было, существуют ли другие совершенные числа, которые можно представить в виде 2, и возможны ли совершенные числа, не удовлетворяющие этой формуле. Неразрешимая загадка совершенных чисел, бессилие разума перед их тайной привели к признанию божественности этих удивительных чисел. Церковь учила, что для спасения души достаточно изучать совершенные числа; тому, кто найдёт новое божественное совершенное число, уготовано вечное блаженство. Но даже надежда на такую награду не смогла помочь математикам средневековья. Лишь в ХV в. было обнаружено пятое совершенное число. Им оказалось число 33550336, его можно получить по формуле Евклида при p = 13.

Через двести лет усиленными поисками новых совершенных чисел занялся французский физик, математик и богослов Марен Мерсенн. Он утверждал, что следующие шесть совершенных чисел должны иметь евклидовскую форму со значениями p, равными 17, 19, 31, 67, 127, 257. Долгое время оставалось неизвестным, прав был Мерсенн или нет. Оказалось, что не все утверждения Мерсенна были верны. Он правильно предсказал значения p = 17, p = 19, p = 31, p = 127. Числа, полученные по формуле Евклида 2 при p = 67 и при p = 257, вопреки Мерсенну, не являются совершенными. Мерсенн «пропустил» совершенные числа со значениями p = 61, p = 89, p = 107. Всё это было обнаружено позже.

Л. Эйлер сумел найти новую теорему о таинственных и загадочных совершенных числах: все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом. Вопрос о том, существуют ли нечётные совершенные числа и каков их вид, остаётся открытым до нашего времени. И.М. Первушин нашёл девятое совершенное число – 2305843009213693951 , которое содержит тридцать семь цифр. Он совершил при этом настоящий вычислительный подвиг, так как считал без всяких вычислительных средств. Мерсенн в своё время  заметил, что вечности не хватит для проверки простоты числа, имеющего 15-20 знаков (простое число  Первушина имеет 19 знаков). Последующие совершенные числа находили с помощью вычислительных устройств, включая ЭВМ. В настоящее время известно 23 совершенных числа; последние пять чисел получаются по формуле Евклида соответственно при p = 4253, p = 4423, p = 9689, p = 9941 и p = 11213. Число 2 (2- 1) имеет 2561 знак, а число 2 (2 - 1) – 6751 знак.

Совершенные числа обладают рядом таинственных и вместе с тем замечательных свойств. Все эти числа являются «треугольными» (о таких  числах говорилось  выше). Каждое совершенное  число есть сумма вида 1 + 2 + 3 + … + n. Далее, любое совершенное число, кроме 6, есть частичная сумма ряда из кубов нечётных чисел, т. е. равно 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) . Сумма обратных значений всех делителей  совершенного числа, включая и само число, всегда равна 2. Например, для числа 28 имеем:

Дружественные пары чисел являются обобщением совершенных чисел. Наименьшая дружественная пара чисел 220 и 284 была известна древним грекам. В 1636г. Пьер Ферма указал новую дружественную пару чисел: 17296 и 18146. Рене Декарт нашёл третью дружественную пару чисел: 9363584 и 9437056. Ферма и Декарт независимо друг от друга установили правило образования дружественных пар чисел. Леонард Эйлер опубликовал список 64 дружественных пар. Позже было обнаружено, что в двух случаях он ошибся. В 1830г. Лежандр нашёл ещё одну дружественную  пару чисел. В 1867г. шестнадцатилетний итальянец Б. И. Паганини удивил математический мир своим сообщением о том, что числа 1184 и 1210 образуют дружественную пару. Это вторая по величине дружественная пара, однако её не заметили учёные, интересовавшиеся данным вопросом.

В настоящее время известно более 600 дружественных пар чисел, большинство из них найдено с помощью ЭВМ. Многие числа дружественных пар состоят более чем из 30 цифр.

Приведём некоторые примеры дружественных пар чисел: 2620 и  2924, 5020 и 5564, 6232 и 6363, 10744 и 10856, 12 285 и 14 595, 63020 и 76 084, 66928 и 66992, 67095 и 71145, 69615 и 87633. 

Существуют еще числа близнецы. Два простых числа, разность которых равна 2, называются близнецами. Ученые до сих пор не знают, есть ли самая большая пара чисел-близнецов.

Мистические свойства некоторых чисел.

Магические свойства чисел волновали людей еще в глубокой древности. Хотим мы этого или нет, но где-то глубоко в нас сидит какая-то симпатия к одним числам и осторожность , а порой и совсем неприятные чувства к другим. Особым почитанием окружены были числа в Древней Греции. Философ и математик Пифагор утверждал, что «числа правят миром». Он создал школу единомышленников, которые верили в магию чисел и думали, что за каждым предметом стоит какое-то число. Числа, считали они, несут с собой добро и зло, счастье и несчастье.

Число 0. Это символ абсолюта, бесконечности и является числом непроявленного мира. Это начало всех вещей, это сон или смерть. Графически изображается как кольцо или круг.

Единица. Пифагор и его единомышленники ставили единицу выше всех других чисел, считая, что именно она – начало всех начал, что именно от нее пошел весь мир. Без единицы не состоялось бы самое простое счисление. Графически изображается как вертикальная линия.

Двойка. Это число является символом любви, непостоянства и равновесия. Число 2 – это мягкость и тактичность, стремление сгладить острые углы. Оно находится между добром и злом, теплом и холодом, светом и мраком, богатством и нищетой.

Тройка. У многих народов весьма продолжительное время пределом счета было число 3. Его считали символом полноты, совершенства. Так, у древних греков это число считалось счастливым, а в Древнем Вавилоне стали поклоняться трем божествам: Солнцу, Луне и Венере. Число три стало самым излюбленным числом и в мифах, и в сказках. Еще его магия заключалась в том, что оно складывалось из суммы предыдущих чисел (3=1+2), символизировалось треугольником, который представляет прошлое, настоящее и будущее.

Четвёрка. Древние считали это число символом устойчивости и прочности. Ведь оно представлено квадратом, четыре стороны которого означают четыре стороны света, четыре времени года, четыре стихии- Огонь, Земля, Воздух и Воду.

Геометрическая правильность: квадрат или ромб; в славянской символике - символ Земли.

Тоже очень знаменательное число, как и три.

В японо-китайском мире 4-роковое число.

        Числу 5 Пифагор отводил особое место, считая его самым счастливым из всех чисел. Древние же считали число «пять» символом риска, приписывали ему непредсказуемость, энергичность и независимость.

Числовая правильность: 5-простое число; 5 пальцев - пятеричная система счисление; 5- конечная звезда; 5 чувств ( зрение, слух, обоняние, осязание, равновесие). 5 главных признаков в православие: Обрезание Господне, Рождество Иоанна, Праздник святых Петра и Павла, Усекновение главы Иоанна-Крестителя, Покров пресвятой Богородицы. 5 заветов буддизма; мусульманин молится 5 раз в день.

        Число 6. Неужели и о нём можно что-то порассказать? Конечно. Пифагор считал его удивительным числом, так как оно обладает замечательным свойством: получается в результате сложения или перемножения всех чисел, на которые делится. Шестёрка делится на 1, 2, 3 и если сложить или перемножить эти числа, то вновь получиться 6 (1 + 2 + 3 = 1 х 2 х 3 = 6). Таким свойством не обладает ни одно другое число.

6 - «число творения», Бог создал мир за 6 дней.

Геометрическая правильность: правильная, плоская, выпуклая фигура – правильный 6 - угольник.

        В славянской символике – символ солнца.

        Числовая правильность: 6 – совершенное число.

        6 – число предметов в чайных и столовых сервизах.

        Семь. В египетской и вавилонской философии и астрономии оно рассматривалось как сумма двух «жизненных» чисел: три и четыре. Три человека – отец, мать, ребёнок составляют основу жизни; а четыре – это число стран света и направлений ветра, откуда приходит дождь, живительная влага которого делает землю плодоносящей. По утверждению Пифагора, сумма чисел 3 и 4 (символизирующих собой треугольник и квадрат) считалось проявлением законченности и совершенства. Поэтому-то число 7, сумма тройки и четвёрки, воспринималось как священное.

Семь считали магическим, возможно, ещё и потому, что человек воспринимает окружающий мир (свет, звуки, запахи, вкус) через семь «отверстий» в голове (два глаза, два уха, две ноздри, рот).

Свято почитали число и древние евреи. В Священном писании говорится: «…В шесть дней создал Господь небо и землю, море и всё, что в них, а в день седьмой почил». С тех пор евреи, а затем и все христиане, воспринявшие от них Ветхий Завет, считают 7 священным числом.

С давних пор число 7 имело разное символическое значение. Так, древние греки ежегодно выбирали 7 лучших актёров (комических и трагических), древние римляне почитали семерых мудрецов.

В христианстве говориться о семи грехах и семи таинствах. У мусульман местом «высшего просветления» считается седьмое небо, куда, якобы, попадают все угодные аллаху.

Это волшебное число широко использовалось в сказках, мифах древнего мира. У Атланта, подпиравшего плечами небесный свод, было семь дочерей-плеяд, которых Зевс превратил потом в созвездия. Одиссей семь лет был в плену у нимфы Калипсо. У вавилонян подземное царство окружено семью стенами. Будда сидел под фиговым деревом с семью плодами. У индусов есть обычай дарить на счастье семь слоников. Великий пост у христиан длиться семь недель. В Библии повествуется о семи светильниках, семи ангелах, о семи годах изобилия и семи - голода.

Сказки и загадочное число семь: злодей Синяя Борода имел семь жён; семь путешествий Синбада; Белоснежка жила у семи гномов за семью горами; волк и семеро козлят; семеро из одного стручка; храбрый портняжка убил семь мух одним ударом; царевна жила в лесном тереме у семи богатырей; цветик - семицветик и др.

         Христос: 7 страстей, страстная неделя.

         У японцев: 7 добрых богов; на веку человека случается 7 удач.

         А вообще-то особой геометрической правильностью семёрка не обладает, да и очень неудобное для расчётов это число, но испокон веков почиталось оно как священное число.

        Число 8. Древние считали воплощением надежности, доведенным до совершенства. Символизировалось двойным квадратом. Разделенное пополам, оно имеет равные части. Если его еще разделить, то части тоже будут равными(2, 2, 2, 2).

        Девятка. Таинственную силу приписывали древние и числу 9, причем в одни времена добрую, в другие – злую.

У древних римлян за этим числом установилась добрая слава. Монголы считали девятку совершенством. В японо-китайском мире 9 – несчастливое число; воспринимается как «болезнь».

        Десять. Символом гармонии и полноты выступало число 10. Этим числом, выражающимся суммой 1+2+3+4, символизировался философский камень. Десяток стал основой десятичной системы счета, которую используют во всем мире.

        Одиннадцать. Наши предки относили к нехорошим числам, число 11. Как теперь установлено, изменения активности Солнца влияют на здоровье людей, а такие изменения совершаются периодически через каждые 11 лет. Но это совсем не значит, что число 11 имеет мистическое значение.

        Число 12. Очень почиталось число 12, «дюжина». 12 месяцев в году, 12 знаков Зодиака, 12 делений на циферблатах часов, сервизы на 12 персон. Число 12 замыкало свет, поэтому его считали символом полноты, богатства, счастливым числом. Число 12 имеет собственные делители 2, 3, 4, 6, что при низком уровне вычислений в древности давало большие преимущества.

        Число 13. А вот с числом 13 были одни неприятности. Оно простое и делится только на себя и единицу. Суеверия, связанные с числом 13, оказались наиболее устойчивыми и получили наибольшее распространение. Люди многих стран(Англия, Франция, Польша и др.) считают это число несчастливым, испытывают перед ним панический страх и стараются избегать его. Но интересно заметить, что у наших предков – славян не было суеверий, связанных с числом 13.

        Число 40. Оно играет в преданиях многих восточных народов особую роль. Выступая на определенной стадии предельным при счете, число 40 попадает в категорию счастливых. С числом 40 связан ряд религиозных обычаев и народных поверий.

        Число 60. Во многих вавилонских, персидских и греческих легендах синонимом самого большого представлялось 60. Это число вавилоняне считали «божьим».

        Число 1001. Это число считалось мистическим. Получается оно последовательным умножением трех простых чисел: 7, 11 и 13. А если умножить на него любое трехзначное число, то результат будет состоять из умноженного числа, записанного дважды.

        Число 666. Число 666- число зверя. В разных странах христиане обозначали этим числом неугодных церкви правителей, общественных деятелей, выдавая их за антихристов.

Число 3

В далекие времена люди с большим трудом научились считать сначала до двух и только через много – много лет начали продвигаться в счете. Каждый раз за двойкой начиналось что-то неизвестное, загадочное. Когда считали “один, два, много”, то после двух было “всё”. Поэтому число три, которое при счёте должно было идти за числом два, обозначало “всё”.

Числа – это выражение определённого количества. У всех народов существовал только ручной счет: тройку показывали тремя пальцами. А если надо было записать числа, пальцы заменялись палочками. Какое число, столько и палочек. Иногда их располагали лёжа, порой – стоя. Римские цифры, которые особенно похожи на ручной палочный счет, так и писались – стоя: I, II, III. А в нынешних цифрах, что пришли к нам от арабов, стоит, словно вытянутый палец, только единица, остальные улеглись набок. Тройка – это лежащие палочки с двумя косыми росчерками .

Писались цифры по-разному. Вот как писали цифру три:

• в Месопотамии
• в Египте   
• в Вавилоне
• у народов Майя

• древние славяне для записи цифр пользовались буквами алфавита со специальными черточками наверху. Такая черточка называлась “титло”

• арабская 3.

Цифру три можно изобразить с помощью набора пяти отрезков или четырех отрезков . Эти цифры предназначены для электронных машин и используются на почтовых конвертах.

Число три считалось в древности магическим, потому что оно складывалось из суммы двух предыдущих (3 = 2 + 1), символизировало треугольник, который представляет прошлое, настоящее и будущее. Даже в начале XX века жители некоторых островов Полинезии считали предметы так: один, два, три, много. Пифагорейцы разбили числа на четные и нечетные. Четные числа считались мужскими, а нечетные – женскими. Одни числа считали счастливыми, а другие – несчастливыми, несущими зло и горе. От Пифагора и его последователей и пошли всякие суеверия, связанные с числами. Особенно много суеверий связано с числом три. Те, кто считает его счастливым, говорят: “Бог троицу любит”. Другие напротив, считают его несчастливым. Отсюда и ругательное слово “треклятый”. Число три играло важную роль в магических обрядах. Все заговоры для придания им большей силы должны были произноситься трижды. От сглаза трижды плюют через левое плечо и трижды стучат по дереву. А троекратный поцелуй по русскому обычаю? В различных поверьях и легендах сохранились триединые действия: скажем, успех достигался с третьего раза (с третьей попытки). Особенно в спорте. Три попытки попасть в кольцо, полагая, что этого достаточно.

Легенды тоже не избежали числа три. Например, сказание о том, что Земля держится на трех китах. Дух триединства проявляет себя везде и во всем. Смотрите сами:

• составляющие времени: прошлое – настоящее – будущее;
• трехмерность пространства: высота – ширина – длина;
• три ветви жизни: животные – растения – микроорганизмы;
• три исторические эпохи: современная – средние века – древний мир;
• три периода жизни человека: молодость – зрелость – старость;
• человек имеет три основные силы: мыслительную – эмоциональную – двигательную;
• человеку свойственны три проявления ума: интуиция – интеллект – инстинкт;
• продолжительность жизни на земле: мужское начало – женское начало – новая жизнь.

И, наконец, последний пример: Земля – третья по расстоянию от Солнца планета Солнечной системы. Да, магическая это цифра – три!

Число три стало самым излюбленным числом и в мифах, и в сказках. Вот яркие примеры: камень на распутье предлагает богатырю три пути, отправляют за тридевять земель, в тридесятое государство, у отца три сына или три дочери, золотая рыбка и джинн выполняют по три желания, на третий раз обычно всё получается, «три девицы под окном…», три головы у Змея Горыныча, три стрелы Ивана-царевича в сказке «Царевна-лягушка» - всё это подтверждения моим словам. Можно вспомнить и названия сказок, фильмов, пьес. К примеру: три богатыря, три медведя, три мушкетёра, три толстяка, три танкиста, три сестры.

Как же не задуматься о таком совпадении!? То, что везде используют число три (реже – семь и одиннадцать), я заметил давно. А про простые числа (а главное про их свойства) совсем недавно. Вспомним свойства простых чисел. Они делятся только на единицу и на самих себя. Соответственно являются самыми «крепкими» числами при делении. Не зря поросята (из сказки «Три поросёнка») были чуть-чуть не съедены когда остались по одному. А «победили» волка лишь когда снова оказались вместе.

Три богатыря земли русской, трехглавый дракон, в тридевятом царстве, в тридесятом государстве. А где оно? Оказывается, рядом, потому что 3 х 9 = 27, 27 дней – это как раз лунный месяц – время обращения Луны вокруг Земли. Идем дальше: 3 х 10 = 30, а это период между двумя новолуниями. Вот вам и указание на то, где находится “Тридевятое царство, Тридесятое государство” – на расстоянии, равном месяцу пути.

Вот такой пример сказочной математики.

Едва ли не в каждой сказке появляется цифра три. Вот несколько названий:

• “Три медведя”
• “Три арбузных семечка”
• “Три калача и одна баранка”
• “Три толстяка”
• “Три ветра”
• “Три поросенка”
• “Три подземных царства”
• “Три товарища”
• “Три брата”
• “Три счастливца”
• “Три смерти”
• “Три очка за старичка”
• “Три мушкетера”
• “Три охотника”
• “Трое умельцев”
• “Три царевича”
• “Три встречи”
• “Третий глаз Шивы”
• “Три друга”
• “Три богатыря” и другие. Их много.

По мнению русских три приносит людям счастье. Любовь русских людей  к цифре три имеет дело с христианской и греческой культурой. В «Библии» много сказок о числе три: У израильтян есть трое святых предков. Иисус ожил через три дня после смерти . Троица имеет в виду триединое божество, то есть бог-отец, бог-сын, бог-дух святой. По обычаю, когда встречаются русские люди, то они целуются трижды. В русском языке во многих поговорках и пословиц употребляют цифру три.

ПОСЛОВИЦЫ И ПОГОВОРКИ, СОДЕРЖАЩИЕ ЧИСЛО 3.

  1. Три раза прости, а в четвёртый прихвостни.

  2. Три деньги в день, куда хочешь, туда и день.

  3. Три дни молол, а в полтора дни съел.

  4. Три попа, а заросла в церковь тропа.

  5. Три беды, семь бед, а всё помощи нет.

  6. Трёх лет Ивана по отечеству звать рано.

  7. Три дня – не три года.

  8. За учёного трёх неучёных дают, да и то не берут.

  9. Говорит три дня, а всё про злыдни.

  10. Наскочил плут на тройного плута.

  11. От горшка три вершка.

  12. Наврал с три короба.

  13. Заблудился в трех соснах.

  14. Мнится – писание лёгкое дело: пишут три перста, а болит всё тело.

  15. В августе мужику три заботы: и косить, и пахать, и сеять.

  16. Февраль три часа прибавит.

  17. Заведутся злыдни на три дня, и не изживёшь довеку.

  18. В лес идут на троих один топор берут.

  19. Не хвались замужеством третьего дня, а хвались третьего года.

  20. В нашей волости три болезни: рекрутство, подати да земщина.

  21. На то лето, не на лето, а на третий год, когда чёрт пошлёт.

ЧИСЛО 3 В РЕЛИГИИ

 Для начала обратимся к христианству. Самое известное - это Святая Троица: Бог-Отец, Бог-Сын и Святой Дух. Три волхва принесли дары родившемуся Иисусу в Назарет. Согласно Новому Завету три дня и три ночи надлежало быть Сыну Божьему в сердце земли; Иисус Христос воскрес утром на третий день; Трижды отрёкся от Иисуса апостол Пётр. Идея триединства составляет основу многих философских и религиозных учений. В Древнем Вавилоне поклонялись трем главным божествам: Солнцу, Луне, Венере. В Индии поклоняются трехглавому Тримурти. На Востоке этот принцип назывался “Сам-цей” – “Три драгоценности”. Высочайшая драгоценность внизу – это Земля, высочайшая драгоценность в середине – это Небо, высочайшая драгоценность в середине – это Человек. В славянской мифологии 3 — одна из трёх священных цифр. Обозначает: 1) количество священных цифр; 2) троичность миросозидания (трансцентдентные сущности Тригла и Триглав). Имеет своё изображение в магических и народных орнаментах.

ЧИСЛО 3 В СКАЗКАХ А. С. ПУШКИНА

Очень интересовался происхождением арабских цифр наш великий поэт и сказочник Александр Сергеевич Пушкин. Он думал, что все арабские цифры могли получиться из квадрата, пересеченного диагоналями.

А вот сделанная им запись:

ABECD – цифра 3;

AD – цифра 1;

ABDC – цифра 2;

ABD + AE – цифра 4.

В сказках Пушкина уже в зачине часто встречается цифра три. Например:

• “Негде, в тридевятом царстве, в тридесятом государстве, жил-был славный царь Дадон…”
• “Три девицы под окном пряли поздно вечерком…”
• “Жил старик со своею старухой у самого синего моря.
• Они жили в ветхой землянке ровно тридцать лет и три года…”

События в сказках складываются по тройственной схеме, с повторяющимися словесными фразами. Звучит утроенный мотив.

Например, обернувшись насекомым (мушкой, комаром, шмелём), Гвидон трижды посещает царство Салтана.

“В муху князь оборотился,
Полетел и опустился
Между моря и небес
На корабль – и в щель залез”.

На острове у него появляется три чуда: белка, царевна Лебедь и тридцать три богатыря. Балда побеждает бесёнка в трёх состязаниях: в беге, в бросании палки, в верховой езде и даёт попу три щелчка. Утроенный мотив, да и сама цифра три звучит и в сказке Ершова “Конёк-горбунок”.

“Стало в третий раз смеркаться,
Надо младшему сбираться…”
“Слушай: завтра на заре,
На широком на дворе
Должен челядь ты заставить
Три котла больших поставить…”

Широкое использование числа «3» у А.С. Пушкина в его знаменитой сказке «О попе и его работнике Балде»

С виду глупый работник Балда соглашается работать всего за 3 щелка. Жадный поп, считая себя умным и хитрым, надеется на «русское авось». Наступает уже срок расплаты, не на шутку испуганный поп хочет  «погубить Балду, отправляет его к чертям собрать «недоимки за 3 года». Чтобы показать «русское лукавство» ума Балды, Пушкин использует традиционный утроенный мотив сказок – поединок с чёртом.

Три раза Балда в море «верёвку крутил», чертям покоя не давал. Мы ощущаем, как нетерпеливее, грознее становится Балда с каждым разом: в первый раз Балда «море морщил», во второй раз «наделал такого шуму, что все море смутилось и волнами так и расходилось», а в третий «Балда над морем опять шумит да чертям верёвкой грозит».

Три раза мерился силой Балда с «посланным бесёнком».

Первые два задания придумал чертёнок:

 «кто скорее из нас обежит около моря».

 «кто далее палку бросит».

А третье задание задал сам Балда:

 «Кобылу подыми-ка ты,

  Да неси её полверсты».

Мы видим, как хитрый Балда лихо и весело побеждает чёрта.

Не зря испугались черти Балды. С таким же страхом ждёт своей расплаты поп. С каждым щелком сила растёт. Мы чувствуем юмор в слове «щелк». Не удар, а щелк. Каким же должен быть удар Балды, если щелк его такой силы. Вот тебе и «глупый» Балда. Оказался он умнее и хитрее даже попа.

                                                        С первого щелчка

                                                        Прыгнул поп до потолка;

                                                        Со второго щелчка

                                                        Лишился он языка,

                                                        А с третьего щелчка

                                                        Вышибло ум у старика.

Поэт говорит о бесшабашности русского характера. Выражая свои симпатии Балде, автор презрительно смеется над бесёнком («ножки протянул») и над попом («со страху корчится»), которые вздумали тягаться «с самим Балдой».

Загадочная семерка

Семь чудес света. Семь дней недели. Семь цветов радуги. Семь недель поста. Семь смертных грехов. Француз дает самую сильную клятву: «Крепко, как семь». Счастливый чувствует себя на седьмом небе.

Названия сказок: «Волк и семеро козлят», «Семь козьих голов».

Пословицы: «Семь раз отмерь, один раз отрежь», «Семь бед – один ответ», «Семеро одного не ждут», «Семь пятниц на неделе».

Число «7» буквально пронизывает всю историю культуры народов Земли.

Зародился культ числа «7» в Древнем Вавилоне. Наблюдая небо, древние астрономы насчитывали 7 планет: Солнце, Луну, Меркурий, Венеру, Марс, Юпитер, Сатурн.

И все-таки, почему 7?

Может быть, почитание семерки связано не только с обожествлением планет? Ведь еще до вавилонян, уже у людей палеолита, было какое-то особое отношение к ритму «7» в орнаментации. Причем не только в Европе, но и в Азии.

Неожиданный ответ был найден американским ученым Миллером в психологии. Он объяснил особенности семерки пропускной способностью нервной системы человека. Статистика опыта подтвердила, что самые разные испытуемые могут без ошибок сравнить в среднем только 7 раздражителей. Человек при кратковременном восприятии может мгновенно охватить не более семи сходных элементов.

7 ЧУДЕС СВЕТА

Так называют прославленные в древности сооружения и статуи. Наверное, Филон Александрийский, живший в IV веке до н. э., и не подозревал, что его имя сохранится в веках по столь забавному поводу. Он, математик, механик, геодезист, составил первый вариант «Семи чудес света». Почему он выбрал именно 7 объектов, точно историки не знают. Самое распространенное объяснение: «семерка» считалась числом магическим, которое в своих наблюдениях за окружающим миром отметили еще древние египтяне. Это и семь цветов радуги, и семь небесных тел в Солнечной системе, видимых невооруженным глазом…

В свой труд «Семь чудес света» Филон Александрийский включил: Египетские пирамиды, Висячие сады Семирамиды, Храм Артемиды Эфесской, Статую Зевса Олимпийского, Галикарнасский мавзолей, Колосс Родосский, Александрийский маяк. (Приложение IV). До нас, к сожалению, дошло лишь одно из этих прекрасных творений человеческого разума и умелых человеческих рук – пирамиды – гробницы древних египетских царей – фараонов.

От Каира, столицы  Египта, далеко на юг тянется цепь остроконечных искусственных гор белого желтоватого цветов. Это пирамиды. Самая большая их них – пирамида фараона Хеопса – высотой около 147 м, построена в начале 27 в. до н.э. Лишь на 2 м ниже пирамида Хефрена. Этому фараону показалась недостаточной гробница величиной с гору, и он приказал поставить рядом с ней каменного стража, вытесанного из целой скалы. У стража лицо человека и туловище льва. Называется он Сфинксом. Образ Сфинкса, мудрого, как человек, и сильного, как лев, внушал суеверный ужас, и люди называли его отцом трепета.

Другое «чудо света» - висячие сады Семирамиды – находилось в самом большом и богатом городе Древнего Востока – Вавилоне. Они были созданы по приказу царя Навуходоносора ІІ в 6 в. до н.э. для своей жены – царицы Семирамиды. Навуходоносор построил свой дворец на искусственно созданной площадке, поднятой на высоту шестиэтажного дома. К площадке уступами поднимались шесть рядов кирпичных арок – шесть аркад. На каждом уступе был насыпан слой земли и разведён цветущий сад. День и ночь сотни рабов вращали колоссальные колёса с кожаными вёдрами, подавая в висячие сады воду Евфрата.

Храм греческой богини Артемиды в городе Эфесе, в Малой Азии, считался третьим «чудом света». Храм представлял собой прямоугольное здание из камня и дерева, обнесённое со всех сторон двойной колоннадой из 127 колон. В 356 г. до н.э. некто Герострат, желая прославиться, пожёг храм. Его имя навеки стало символом бессмысленного варварства.

В северо-западной части Греции, в городе Олимпии, на родине Олимпийских игр, в 456г. до н.э. появился храм, посвящённый Зевсу – верховному богу древних греков. Храм украшала статуя бога, изваянная великим скульптором Фидием. Это четвёртое «чудо». Двенадцатиметровый Зевс восседал на троне из золота, слоновой кости, чёрного дерева и драгоценных камней. Голову его украшал золотой венок из оливковых ветвей – знак миролюбия грозного бога. Голова, плечи, руки, грудь были выточены из слоновой кости. Плащ, перекинутый через левое плечо, волосы и борода Зевса были изваяны из золота. Фидий наделил Зевса человеческим благородством. Его лицо, обрамлённое бородой и вьющимися волосами, было не только строгим, но и добрым. Казалось, что Зевс вот-вот улыбнётся, поднимется с трона и расправит могучие плечи.

В Малой Азии, в столице небольшого Карийского царства – Галикарнасе (ныне город Бодрум в Турции) находилось пятое «чудо» - великолепная гробница, построенная для царя Мавсола его вдовой – царицей Артемисией в середине 4 в. до н.э. Это было величественное сооружение из кирпича, облицованное изнутри и снаружи белым мрамо-

ром, высотой 60 м. Первый этаж, где покоилась урна с прахом, имел вид громадного куба. Второй этаж был обнесён снаружи мраморной колоннадой, а третий представлял собой многоступенчатую пирамиду. Её венчала четвёрка коней с колесницей, которой правили Мавсол и Артемисия (статуи Мавсола и Артемисии, а также другие украшения мавзолея хранятся сейчас в Британском музее в Лондоне). От имени Мавсола и произошло слово «мавзолей».

В 3 в. до н.э. на остров Родос напали войска правителя Передней Азии и Сирии Деметрия Полиоркета. Однако одолеть свободолюбивых родосцев Деметрию не удалось. В память об успешной обороне острова они решили поставить самую большую статую на свете. Это шестое «чудо», известное по именем Колосса Родосского.. Это было изображение бога солнца Гелиоса, которого жители острова считали своим покровителей.

На острове Фарос в устье реки Нила, рядом с городом Александрией, около 280 г. до н.э. был построен самый большой маяк древности. Высота этой трёхъярусной башни достигала 135 м. На её вершине в открытой каменной беседке пылал костёр, указывая путь кораблям.

7 В РУССКОМ ЯЗЫКЕ

    Русские люди особенно любят семь. Они считают, что семь является союзом бога с человеком. В романе «Пиковая дама» семёрка всегда приносит Герману счастье. Даже теперь в России семь считается добрым. Говорят, что если человек живёт в седьмой комнате на седьмом этаже, то он будет счастлив.

    Почему русские смотрят на семь с большой любовью? По-моему, это в основном имеет дело с христианством. Все знают, что христианская культура оказала огромное влияние на российскую нацию. Говорят, что небо состоит  из семи ярусов, которые заключают в себе чистое серебро, чистое золото, жемчужину, платину, серебро, рубин, святой луч. В древности через наблюдение и измерение люди знали только семь планет – Солнце, Луна, Венера, Юпитер, Меркурий, Марс, Сатурн и люди связывали их с богом. Поэтому семь придали святые смыслы. В « Библии » Бог создавал мир шесть дней, и на седьмой день отдыхал. Иисус сказал семь слов на кресте. Число семь с древнейших времен играло важную роль, считалось волшебным, таинственным у самых разных народов мира. 
      Индийская философия древности учила, например, что Вселенная состоит из семи элементов. Древние египтяне полагали, что солнце и все небесные светила поднимаются по семи лестницам и проходят семь ворот. Знаменитый философ Древней Греции Аристотель утверждал, что небесная твердь состоит из семи кристальных сфер. Самая главная, высшая, седьмая сфера получила название "Седьмое небо". Кстати, именно отсюда идет современное шутливое выражение быть на седьмом небе (от счастья), то есть "находиться на верху блаженства".
      Число семь вошло в легенду о сотворении мира в течение семи дней. Древние говорили о семи чудесах света. Рим был основан на семи холмах. К библейским источникам восходят общеизвестные выражения "книга за семью печатями" - о чем-то непонятном, неясном никому, "семь смертных грехов" и некоторые другие.

      Рассказывая о мистическом числе семь (древнерусское седмь) в старинных народных поверьях и в схоластических церковных догматах, С. В. Максимов в книге "Крылатые слова" напоминает известный исторический факт: "Когда Галилей после открытия четырех спутников Юпитера по целым ночам любовался системой этой планеты, противники его не только не верили открытиям, но и утверждали, что они невозможны. Ученое невежество говорило: "Как в неделе семь дней, так и на небе семь планет (Солнце, Луна, Меркурий, Венера, Марс, Юпитер, Сатурн) и больше быть не может. Соединение малого мира человека с безграничным миром Вселенной происходит при помощи наших органов чувств, расположенных в семи отверстиях головы: два глаза, два уха, две ноздри и рот. Как нет более таких отверстий в голове, точно так не может быть и на небе более семи планет". Так утверждали семь кардиналов инквизиции, осудившие Галилея на заточение в 1633 году. По этому поводу писатель добавляет не без иронии: "Впоследствии оказалось, что у семи нянек дитя всегда без глазу, как и у этих семи совершенно слепых мудрецов мировая истина". 
      Если мы обратимся к сказкам и песням русского и других народов, то мы найдем в них и огнедышащего змея о семи головах (семиголовую гидру), и семимильные сапоги-скороходы, и сказочного храбреца, который "одним махом семерых побивахом", и такие выражения, как "у семи царей по семи дочерей", и шуточное "было у тещеньки семеро зятьев". 
      С числом семь мы встречаемся и теперь. Но уже не считаем его таким таинственным и мистическим, каким оно было в представлении наших далеких предков. Известные объективные явления природы лежат в основе того, что, скажем, спектр состоит из семи основных цветов, а в музыке выделяются семь тонов (нот) звукоряда. Математики давно обратили внимание на то, что 7 - это самое большое простое число в первом десятке. Это математическое объяснение проливает свет на древнее обожествление числа семь - самого большого из простых однозначных. Именно с величиной, размером связаны по смыслу многие старинные русские пословицы и поговорки, в которые входит число семью.

7 В ПОСЛОВИЦАХ И ПОГОВОРКАХ

1. Семеро не один, в обиду не дадим.

  2. Семеро одного не ждут.

  3. Семеро одну соломинку подымают.

  4. Семь раз по - твоему, да хоть раз по моему.

  5. Семь раз отмерь, один раз отрежь.

  6. Семь лет не виделись, а сошлись и говорить нечего.

  7. Старик – да лучше семерых молодых.

  8. Семь бед – один ответ.

  9. Семь деревень, а лошадка одна.

  10. У пьяного – семь клетей, а проспится – один плетень.

  11. В гору семеро тащат, а с горы и один столкнёт.

  12. Невелик городок, да семь воевод.

  13. У одной овечки да семь пастухов.

  14. В семи дорогах один топор.

  15. Из поповского рукава семеро штанов выходит.

  16. На поминки идёт, пузо из семи овчин шьёт.

  17. Попадья лукавая – змея семиглавая.

  18. За семь вёрст да киселя хлебать.

  19. Ковры семи шелков, а рубаха и не прядена.

  20. Всем по семь, а мне по восемь.

  21. От семи собак на распутье огрызается.

22. Беда! До беды семь лет: либо будет, либо нет.

Число p

                                       Первое знакомство с числом p

В школьном курсе математики с числом p мы впервые встречаемся в 6 классе в теме: «Длина окружности и площадь круга». В учебнике мы сталкиваемся со следующим объяснением: «Длина окружности прямо пропорциональна длине её диаметра. Поэтому для всех окружностей отношение длины окружности к длине её диаметра является одним и тем же числом. Его обозначают греческой буквой p («читается «пи»»). Длина окружности: C=2pr; площадь круга S=pr2 ».                                                                                        

Потом, только в 9 классе мы опять встречаемся с числом p, но уже в курсе геометрии пытаются доказать длину окружности следующим образом. «Периметр любого правильного вписанного в окружность многоугольника является приближённым значением длины окружности. Чем больше число сторон такого многоугольника, тем точнее это приближённое значение, так как многоугольник при увеличении числа сторон всё ближе и ближе «прилегает» к окружности

                                                  Возникновение числа p

Более двух тысячелетий назад было подмечено, что все окружности длиннее своих диаметров в одно и то же число раз. Впоследствии это было доказано.

Отношение длины окружности к её диаметру лет 250 назад стали обозначать кратко одной буквой  p. Эта греческая буква – первая буква греческого слова «периферия», что означает «окружность». В древнем Вавилоне считали, что окружность длиннее её диаметра в три раза (т.е. p приблизительно равно трём). Но древнегреческие геометры уже знали, что p не равно трём. Об этом мы знаем из школьного курса геометрии. Почему же тогда Бертран Рассел в своей книге «Кошмары выдающихся личностей» писал: «лицо p было скрыто маской. Все понимали, что сорвать её, оставшись при этом в живых, не сможет никто. Сквозь прорези маски пронзительно, безжалостно, холодно и загадочно смотрели глаза …».

Английский математик Август де Морган назвал как-то p «…загадочным числом 3,14159…, которое лезет в дверь, в окно и через крышу».

Число p связывают с окружностью. Однако это число появляется в различных математических результатах, в которых ни о какой окружности речи не идёт.  

Записи числа p

2 знака после запятой:

                                          p =3,14

510 знаков после запятой:

p =3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 192 169 399 375 105 280 974  592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 128 475 648 233….

                                      Мнемоническое правило

• Чтобы нам не ошибаться,
• Надо правило прочесть:
• Три, четырнадцать, пятнадцать,
• Девяносто два и шесть.
• Надо только постараться
• И запомнить все как есть:
• Три, четырнадцать, пятнадцать,
• Девяносто два и шесть.
• Три, четырнадцать, пятнадцать,
• Девять, два, шесть, пять, три, пять.
• Чтоб наукой заниматься
• Это каждый должен знать.

Если подсчитать количество букв в каждом слове в нижеприведенных фразах (без учета знаков препинания) и записать эти цифры подряд, не забывая про десятичную запятую после первой цифры «3». Получится приближенное число p

Забавные факты

Международный день числа p 14 марта человечество отмечает Международный день числа p. Почему 14 марта? Если быть точнее, то поздравлять окружающих с днем «пи» нужно в марте 14-го в 1:59:26, в соответствии с цифрами числа p – 3,1415926…

Интересно, что праздник числа p, отмечающийся 14 марта, совпадает с днем рождения одного из наиболее выдающихся физиков современности Альбертом Эйнштейном.

Еще одной датой, связанной с числом p, является 22 июля, которою называют  «Днем приближенного числа p», так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7. а значение этой дроби является приближенным значением числа p

Мировой рекорд по запоминанию знаков числа пи принадлежит японцу Акира Харагути. Он запомнил число p до 100- тысячного знака после запятой. Ему понадобилось почти 16 часов, чтобы назвать всё число целиком.

В штате Индиана (США) в 1897 был выпушен билль, законодательно устанавливающий значение числа p равным 3,2. Данный билль не стал законом благодаря своевременному вмешательству профессора Университета Пердью, присутствовавшем во время рассмотрения принятого данного закона.

СОФИЗМЫ

Понятие софизма.

Софизм - (от греческого sophisma – уловка, ухищрение, выдумка, головоломка), умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок.

Что же такое математический софизм? Математический софизм - удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям. Математические софизмы приучают  внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если  их не понимать.

Что касается типичных ошибок в софизмах, то они таковы: запрещенные действия, пренебрежение условиями теорем, формул и правил, ошибочный чертеж, опора на ошибочные умозаключения. Нередко, ошибки, допущенные в софизме, настолько умело скрыты, что даже опытный математик не сразу их выявит. Именно в этом и проявляется связь математики и философии в софизмах. На самом деле,  софизм- гибрид не только математики и философии, но и логики с риторикой. Основные создатели софизмов – древнегреческие ученые-философы, но тем не менее, они создавали  математические  софизмы, основываясь на элементарных аксиомах, что еще раз подтверждает связь математики и философии в софизмах. Кроме того, очень важно правильно преподнести софизм, так, чтобы докладчику поверили, а значит, необходимо владеть даром красноречия и убеждения. Группа древнегреческих ученых, начавшая заниматься софизмами как отдельным математическим явлением, назвала себя софистами. Об этом подробнее в следующем разделе.

Экскурс в историю.

Софистами называли группу древнегреческих философов 4-5 века до н.э., достигших большого искусства в логике. В период падения нравов древнегреческого общества (5 век) появляются так называемые учителя красноречия, которые целью своей деятельности считали и называли приобретение и распространения мудрости, вследствие чего они именовали себя софистами. Наиболее известна деятельность старших софистов, к которым относят Протагора из Абдеры, Горгия из Леонтип, Гиппия из Элиды и Продика из Кеоса. Но суть деятельности софистов много больше, чем простое обучение искусству красноречия. Они обучали и просвещали древнегреческий народ, старались способствовать достижению нравственности, присутствия духа, способности ума ориентироваться во всяком деле. Но софисты не были учеными. Умение, которое должно было быть достигнуто с их помощью, заключалось в том, что человек учился иметь в виду многообразные точки зрения. Основным направление деятельности софистов стала социально-антропологическая проблема. Они рассматривали самопознание человека, учили сомневаться, но все же, это очень глубокие философские проблемы, которые стали основой для мыслителей Европейской культуры. Что касается самих софизмов, то они стали как бы дополнением к софистике в целом, если рассматривать ее как истинно философское понятие.

        Исторически сложилось, что с понятием софизма связывают идею о намеренной фальсификации, руководствуясь признанием Протагора, что задача софиста - представить наихудший аргумент как наилучший путем хитроумных уловок в речи, в рассуждении, заботясь не об истине, а об успехе в споре или о практической выгоде. Там не менее, в Греции софистами называли и простых ораторов.

        Известнейший ученый и философ Сократ по началу был софистом, активно участвовал в спорах и обсуждениях софистов, но вскоре стал критиковать учение софистов и софистику в целом. Такому же примеру последовали и его ученики (Ксенофонт и Платон). Философия Сократа была основана на том, что мудрость приобретается с общением, в процессе беседы. Учение Сократа было устным. Кроме  того, Сократа и по сей день считают самым мудрым философом.

         Что касается самих софизмов, то, пожалуй, самым популярным на тот момент в Древней Греции был софизм Евбулида : «Что ты не терял, ты имеешь. Рога ты не терял. Значит у тебя рога». Единственная неточность, которую возможно было допустить, то это - двусмысленность высказывания. Данная постановка фразы является нелогичной, но логика возникла намного позже, благодаря Аристотелю, поэтому, если бы фраза строилась так: «Все, что ты не терял. . .», то вывод стал бы логически безупречным.

 «Математические софизмы»

Разбор и решение любого рода математических задач, а в особенности нестандартных, помогает  развивать смекалку и логику. Математические софизмы относятся именно к таким задачам. В этом разделе работы я рассмотрю три типа математических софизмов: алгебраические, геометрические и арифметические.

Геометрические софизмы.

1. «Через точку на прямую можно опустить два перпендикуляра»

 Возьмем треугольник АВС. На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках Е и Д. Соединим точки  Е и Д прямыми с точкой В. Угол АЕВ прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; угол ВДС также прямой. Следовательно, ВЕ  перпендикулярна АС и ВД перпендикулярна АС. Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС.

Где ошибка??? 

Рассуждения, о том, что из точки на прямой можно опустить два перпендикуляра, опирались на ошибочный чертеж. В действительности полуокружности пересекаются со стороной АС в одной точке, т.е. ВЕ совпадает с ВD. Значит, из одной точки на прямой нельзя опустить два перпендикуляра.

2. « Спичка вдвое длиннее телеграфного столба»

 Пусть  а дм- длина спички и b дм - длина столба. Разность между b и  a  обозначим через c .

Имеем 
b - a = c, b = a + c.
Перемножаем два эти равенства по частям, находим:
b2 - ab = ca + c2.
Вычтем из обеих частей bc. Получим:
b2- ab - bc = ca + c2 - bc, или b(b - a - c) = - c(b - a - c),
откуда:
b = - c, но c = b - a,
поэтому b = a - b, или a = 2b.

Где ошибка??? 

В выражении b(b-a-c )= -c(b-a-c) производится деление на (b-a-c), а этого делать нельзя, так как b-a-c=0.Значит, спичка не может быть вдвое длиннее телеграфного столба.

3. Катет равен гипотенузе

Угол С равен 90о, ВД - биссектриса угла СВА, СК = КА, ОК перпендикулярна СА, О - точка пересечения прямых ОК и ВД, ОМ перпендикулярна АВ, ОL перпендикулярна ВС. Имеем: треугольник LВО равен треугольнику МВО, ВL = ВМ, ОМ = ОL = СК = КА, треугольник КОА равен треугольнику ОМА (ОА - общая сторона, КА = ОМ, угол ОКА и угол ОМА - прямые), угол ОАК = углу МОА, ОК = МА = СL, ВА = ВМ + МА, ВС = ВL + LС, но ВМ = ВL, МА = СL, и потому ВА = ВС.

Где ошибка???

Рассуждения, о том, что катет равен гипотенузе, опирались на ошибочный чертеж. Точка пересечения прямой, определяемой биссектрисой ВD и серединного  перпендикуляра к катету АС, находится вне треугольника АВС.

4. Все треугольники равносторонние 

Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Проведем биссектрису угла B и серединный перпендикуляр к стороне AC; точку их пересечения назовем O. Опустим из нее перпендикуляры EO и OF на стороны AB и BC соответственно.

Т.к. DO одновременно и высота и медиана треугольника AOC, то он равнобедренный и AO = OC.
Т.к. BO - биссектриса, то, из равенства треугольников EBO и OBF (откуда EB = BF), EO = OF.
Следовательно, треугольник AEO равен треугольнику FCO, т.е. AE = FC.
Отсюда, т.к. AB = AE + EB и BC = BF + FC, AB = BC.

Из этого следует, что все треугольники на свете - равносторонние.

Где ошибка???

Арифметические софизмы.

1.Неравные числа равны

Возьмем два неравных между собой произвольных числа а и b. Пусть их разность равна с, т. е. а-Ь = с. Умножив обе части этого равенства на а-b, получим (а-b)2 = = c(a-b), a раскрыв скобки, придем к равенству a2-2ab + b2 = = ca-cb,  из которого следует равенство  а2- аb - ас = аb -b2 -bc.  Вынося общий множитель а, слева и общий множитель b справа за скобки, получим

а(а-b-с) = b(а-b-с).       (1)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       

Разделив последнее равенство на (а-Ь-с),  получаем, что a=b, значит, два неравных между собой произвольных числа равны.

2.Единица равна нулю

Возьмем уравнение

х-а = 0.     (1)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       

Разделив обе его части на х-а, получим

откуда сразу же получаем требуемое равенство

1=0.

3.Всякое число равно своему удвоенному значению

Запишем очевидное для любого числа а тождество

а2-а2 = а2-а2.

Вынесем а в левой части за скобку, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, получив

а(а - а) = (а + а)(а - а).       (1)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     

Разделив обе части на а-а, получим а = а + а, или

а =2а.

 Итак, всякое число равно своему удвоенному значению.

4.Единица равна минус единице.

Пусть число х равно 1. Тогда можно записать, что х2=1, или х2-1 = 0. Раскладывая х2-1 по формуле разности квадратов, получим

(х+1)(х-1) = 0.    (1)

Разделив обе части этого равенства на х-1, имеем

х + 1 = 0 и х = -1.          (2)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     

Поскольку по условию х = 1, то отсюда приходим к равенству

1 = -1.

5.Если одно число больше другого, то эти числа равны

Возьмем два произвольных числа т и п, такие, что т>п, и другие три произвольных числа а, b и с, сумма которых равна d, т. е. a + b + c = d.

Умножив обе части этого равенства на m, а затем на n, получим

ma + mb + mc = md, na + nb + nc = nd.

Сложив почленно равенства      та + mb + тс = md        , nd = na + nb + nc,    получим

ma + mb + mc + nd = na + nb + nc + md.    Перенося здесь nd вправо, a md влево, имеем

та + mb + mc- md= na + nb + nc- nd,

а вынося слева число т, а справа число п за скобки, придем к соотношению

т(а + b + с - d) = п (а + b + с - d),    (1)

откуда, разделив обе части последнего равенства на (а + b + c-d), находим, что

m= n.

6.Все натуральные числа ,большие единицы, равны между собой.

Рассмотрим известные алгебраические формулы

x2-l = (x-l)(х+l), х3-1 = (х-1)(х2 + х + 1) и вообще для любого натурального п имеем

хп -1 = (х - 1)(хп-1 + хп-2 + ... + x2 + x + l).

Разделив обе части этих формул на х-1, получим

При х = 1 левые части этих равенств принимают одно и то же значение , поэтому должны быть равны и их правые части, откуда получаем, что

2 = 3 = ••• = n.

7.Любое число равно

Возьмем два произвольных положительных действительных и равных друг другу числа х и z. Поскольку по условию x = z> то . Поэтому с полным основанием мы можем записать следующие два тождества:

x- = z-     (1)

-z = -z       (2)

Сложив эти два равенства почленно, получим

х-г = - (3)

Прибавив и отняв в левой части равенства (3) величину    вместо равенства (3) получим

x + --z = - или, что, очевидно, то же самое,

х +  - -z = - (4) 

В левой части последнего равенства первый и второй члены представим в виде ( +)а третий и четвертый — в виде ( + ). В результате этих преобразований равенство (4) примет вид

( +)- ( + )=-                             (5)

и окончательно может быть записано так:

( +) (- )=   -                                         (6)

(если вынести за скобки общий множитель ( +) в левой части равенства).

Для того чтобы равенство (6) имело место, необходимо выполнение условия

 += l,              (7)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     

а так как в силу исходного равенства x = z, заключаем, что

2 = 1, или  =, откуда х =                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         

т. е. произвольное число равно .

8.Единица не равна единице

Возьмем две равные дроби     ,для которых справедливо следующее правило:

=               (1)

легко проверяемое приведением к общему знаменателю.

 Возьмем теперь равенство

которое, очевидно, удовлетворяется при х = а-b. Тогда применение соотношения (1) дает

               (2)

В дроби, стоящей в правой части последнего равенства, числитель и знаменатель равны, поэтому эта дробь равна единице. В то же время дробь в левой части, конечно, отлична от единицы. Следовательно,

1-1.

9. «Все числа равны между собой»

Возьмем два произвольных неравных между собой числа а и b и запишем для них очевидное тождество:

а-2ab+b= b-2ab+ а

Слева и справа стоят полные квадраты, т. е. можем записать

(а-b)2 = (b-а)2.        (1)

Извлекая из обеих частей последнего равенства квадратный корень, получим:

a-b = b-a        (2)

или 2а = 2b, или окончательно

a=b.

10.«Единица равна двум»

Простым вычитанием легко убедиться в справедливости равенства

1-3 = 4-6.

Добавив к обеим частям этого равенства число , получим новое равенство

1-3 +  = 4-6+,

в котором, как нетрудно заметить, правая и левая части представляют собой полные квадраты, т. е.

(1-)=(2-)

Извлекая из правой и левой частей предыдущего равенства квадратный корень, получаем равенство:

1-=2-

откуда следует, что 1=2.

11. Любые два неравных числа равны

Возьмем два произвольных, не равных друг другу числа х и z и обозначим их сумму числом а, т. е. x + z = a. Умножив  обе части этого  равенства на x-z,  получим (x + z)(x-z) = a(x-z), раскроем в обеих частях равенства скобки: x2-z2 = ax- az.

Перенесем ах из правой части равенства в левую, a z2 из левой части в правую. В результате получим

 x2-ax = z2-az.

Прибавляя к обеим частям последнего равенства число , будем иметь

х2-ах+  = z2-az+,

или, замечая, что слева и справа стоят полные квадраты, получим

а извлекая из обеих частей последнего равенства квадратные корни, придем к выражению

Так как вторые члены слева и справа в этом равенстве равны, то заключаем, что

x=z.

12.Половина любого числа равна половине ему противоположного.

Возьмем произвольное число а и положим х =-|. Тогда

2х + а  = 0 или после умножения на а получим 2ах + а2 = 0. Прибавляя к обеим частям этого равенства х2, имеем

х2 + 2ах + а2 = х2.

Так как х2 + 2ах+а2 = (х + а)2, то предыдущее равенство можно записать в виде

(х + а)2 = х2,             (1)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               

а после извлечения квадратного корня из обеих частей последнего равенства получаем

х + а = х.                  (2)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           

Поскольку по условию х =-, то из равенства (2) имеем  -+ а= -, и поэтому  получаем окончательно

-=.

13.Чётное число равно нечётному.

Возьмем произвольное четное число 2n, где п — любое целое число, и запишем тождество

(2n)2-2n(2(2п) + 1) = (2n + 1)2-(2n + 1)(2(2n)+1), в справедливости которого нетрудно убедиться, раскрыв скобки.

Прибавив к обеим частям этого тождества      , перепишем его в следующем виде:

(2n)2- 2(2n) +=(2n+1)2- 2(2n+1) +

или в таком:

(2n-)2=(2n+1-))2                               (1)

откуда следует, что

2n-=2n+1-

 или

2n=2n+1,

что означает равенство четного числа нечётному.

14.Сумма любых двух одинаковых чисел равна нулю.

Возьмем произвольное не равное нулю число а и напишем уравнение х = а. Умножая обе его части на (-4а), получим -4ах = -4а2. Прибавляя к обеим частям последнего равенства х2 и перенеся член -4а2 влево с противоположным знаком, получим х2-4ах + 4a2 = х2, откуда, замечая, что слева стоит полный квадрат, имеем

(х-2а)2 = х2,           (1)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           

или

х-2а = х.          (2)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           

Заменяя в последнем равенстве х на равное ему число а, получим а-2а = а, или -а = а, откуда

0 = a + a,

т. е. сумма двух произвольных одинаковых чисел а равна 0.

15.Всякое отрицательное число больше положительного, имеющего туже абсолютную величину.

Нижеследующее рассуждение основано на утверждении: Если две дроби  равны и в первой дроби числитель больше знаменателя, то и во второй числитель должен быть больше знаменателя, т. е. если а>в то и c>d.

Запишем теперь очевидные равенства (число А0)

Из предыдущего видно, что оба отношения равны (-1), и поэтому мы можем записать

                 (1)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 

Но как известно, если две дроби равны, а в первой дроби числитель больше знаменателя (так как +А >-А), то, следовательно, и во второй дроби числитель должен быть больше знаменателя, таким образом необходимо, чтобы выполнялось неравенство

-А>+А.

 Итак, мы пришли к выводу, что отрицательное число больше положительного.

16.Семь равно тринадцати.

Рассмотрим уравнение

              (1)

Оно может быть решено следующим образом. Приведя левую часть уравнения к общему знаменателю, будем иметь:

, откуда - или

Поскольку числители дробей в левой и правой частях уравнения равны, то, для того чтобы имело место равенство обеих частей уравнения, необходимо, чтобы были равны и знаменатели дробей. Таким образом, приходим к равенству

7=13.

17.Восемь равно шести

Решим систему двух уравнений

подстановкой у из второго уравнения в первое. Получаем х+ 8-х = 6, откуда

8=6.

18.Один рубль не равен ста копейкам

1р=100коп

10р=1000коп

Умножим обе части этих верных равенств, получим:

10р=100000коп, откуда следует:

1р=10000коп., т.е. 1р.100коп.

19.Всякое положительное число является отрицательным

Пусть п — положительное число. Очевидно,

2n-1< 2n.     (1)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   

Возьмем другое произвольное положительное число а и умножим обе части неравенства на (-а):

-2ап + а<-2ап.   (2)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           

Вычитая из обеих частей этого неравенства величину (-2аn), получим неравенство а<0, доказывающее, что

всякое положительное число является отрицательным.

20.Число, равное другому числу, одновременно и больше и меньше его.

Возьмем два произвольных положительных равных числа а и b и напишем для них следующие очевидные неравенства:

а>-b и b>-b.     (1)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 

Перемножив оба эти неравенства почленно, получим неравенство ab>b2 ,а после его деления на b, что вполне законно, так как по условию b>0, придем к выводу, что

а>b.      (2)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         

Записав же два других столь же бесспорных неравенства

b>-а и а>-а, (3)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             

аналогично предыдущему получим, что bа>а2, а разделив на а>0, придем к неравенству

а  (4)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         

Итак,

число а, равное числу b, одновременно и больше.

и меньше его.

     «Ахиллес никогда не догонит черепаху»

Древнегреческий философ Зенон доказывал, что Ахиллес, один из самых сильных и храбрых героев, осаждавших древнюю Трою, никогда не догонит черепаху, которая, как известно, отличается крайне медленной скоростью передвижения…

Вот примерная схема рассуждений Зенона. Предположим, что Ахиллес и черепаха начинают свое движение одновременно, и Ахиллес стремится догнать черепаху. Примем для определенности, что Ахиллес движется в 10 раз быстрее черепахи, и что их отделяют друг от друга 100 шагов.

Когда Ахиллес пробежит расстояние в 100 шагов, отделяющее его от того места, откуда начала двигаться черепаха, то в этом месте он туже ее не застанет, так как  она пройдет вперед расстояние в 10 шагов. Когда Ахиллес минует и эти 10 шагов, то и там черепахи уже не будет, поскольку она успеет перейти на 1 шаг вперед. Достигнув и этого места, Ахиллес опять не найдет там черепахи, потому что она успеет пройти расстояние, равное 1/10 шага, и снова окажется несколько впереди его. Это рассуждение можно продолжать до бесконечности, и придется признать, что быстроногий  Ахиллес никогда не догонит медленно ползающую черепаху.

Где ошибка???

Рассматриваемый софизм Зенона даже на сегодняшний день далек от своего окончательного разрешения, поэтому здесь я обозначу только некоторые его аспекты.

Сначала определим время t, за которое Ахиллес догонит черепаху. Оно легко находится из уравнения a+vt=wt, где а - расстояние между Ахиллесом и черепахой до начала движения, v и w – скорости черепахи и Ахиллеса соответственно. Это время при принятых в софизме условиях  (v=1 шаг/с и w=10 шагов/с) равно 11, 111111… сек.

Другими словами, примерно через 11, 1 с. Ахиллес догонит черепаху. Подойдем теперь к утверждениям софизма с точки зрения математики, проследим логику Зенона. Предположим, что Ахиллес должен пройти столько же отрезков, сколько их пройдет черепаха. Если черепаха  до момента встречи с Ахиллесом пройдет m отрезков, то Ахиллес должен пройти те же m отрезков плюс еще один отрезок, который разделял их до начала движения. Следовательно, мы приходим к равенству m=m+1, что невозможно. Отсюда следует, что Ахиллес никогда не догонит черепаху!!!

Итак, путь, пройденный Ахиллесом, с одной стороны, состоит из бесконечной последовательности отрезков, которые принимают бесконечный ряд значений, а с другой стороны, эта бесконечная последовательность, очевидно не имеющая конца, все же завершилась, и завершилась она своим пределом, равном сумме геометрической прогрессии.

Трудности, которые возникают при оперировании понятиями непрерывного и бесконечного и столь мастерски вскрываются парадоксами и софизмами Зенона, до сих пор не преодолены, а разрешение противоречий, содержащихся в них, послужило более глубокому осмыслению основ математики.