Дистанционное консультирование учащихся 9 класса
1.Демоверсия ОГЭ по математике 2017 (проект).
2. Тренировочные тесты по алгебре.
3.Пособие для учащихся «Квадратичная функция и ее график».
4.Практическое сопровождение. Задачи по повторению курса геометрии 7-9 классов.
5.Практическое сопровождение. Задачи по повторению. Вписанные углы.
6.Тематический тренажер. Системы неравенств.
7. Готовимся к ОГЭ. Окружность.
8.Презентация "Алгебраические дроби"
Скачать:
Предварительный просмотр:
В.К. Кузнецова,
учитель математики ГБОУ «Школа № 329» г. Москва,
кандидат педагогических наук
Готовимся к ОГЭ
Тренировочные тесты по алгебре для 9 класса.
Вариант 1.
1. Найдите значение выражения: (39) : 3.
а) - ; б) 1; в) -1.
2. Вычислите: ;
а) 3; б) 0; в) 1.
3. Упростите: .
а) ; б) ; в) .
4. По рисунку определите, при каких х выполняется неравенство у<0.
а) (-∞; -2]v[2; +∞); б) (-2; 2); в) [-2; 2].
5. Вычислите значение выражения: при х = -3.
а)81; б)9; в)8.
6.Какая пара чисел является решением системы
а). (2;1) б). (1;-2) в). (-2;1).
7. Найдите область определения функции у =.
а). [-4;4]; б). (-∞;-4) v (4;+∞); в). (-4;4).
8. Выразите b из формулы =.
а) б) в)
9.График какой функции построен? а) у= - х+2; б) у=х+2; в) у=2х².
10.Решите уравнение х²+х-6=0.
а)-2 и -3; б)2 и 3; в)2 и -3.
11.Какие из чисел 0;-1;4;20 являются решением неравенства х-2(х-3)<2?
а). 20; б). -1 и 0; в). 4 и 20;
12.Упростите выражение (1-2х)(х+3)-3(2-х)².
а)-5х²+7х-9; б)-х²+6х+9; в)5х²-7х+10.
13.Упростите выражение и найдите его значение:
при х = - 4,97.
а)-1,97; б)-7,97; в)1,97.
14.Чётной или нечётной является функция у = х ³-.
а). чётной; б). нечётной; в). ни чётной, ни нечётной.
15.Длина окружности равна 28см. Найдите её радиус.
Ответ округлите до сотых. π ≈ 3,14.
а)4,46; б)8,92; в)6,68.
Вариант 2
1.Упростите выражение (a-b)²+(3a-b)(b+3a) .
а)10a²-ab+2b²; б)10a²-2ab; в)10a².
2.Решите уравнение .
а). -2; б). 0; в). 2,5.
3.Решите систему уравнений:
а). (-3;4); б). (-1;0); в). (-3;- 4).
4. Вычислите .
а)7; б)0; в).
5.В кошельке 33 двухрублёвых и трехрублёвых монеты на сумму 81 рубль.
Найдите число монет каждого вида.
а). 12 двухрублёвых, 19 трёхрублёвых;
б). 19 двухрублёвых,12 двухрублёвых;
в). 18 двухрублёвых,15 трёхрублёвых.
6. Вычислите (1,6*0.215-0,215) : (0,345-0,375).
а)-0,43 ; б)-4,3; в)4,3.
7. Найдите область определения функции у = .
а)х ≠ ±2; х ≠ -1; б)х ≠ 2; в)х ≠ -1 .
8. Упростите выражение .
а). b ; б). -b; в). 1.
9. Упростите выражение (2b-3)²-(2b+1)(2b-1).
а). 8-12b; б). 9b²-12b+10; в). 10-12b.
10. Выберите рисунок, наиболее точно соответствующий графику
функции у = 4х-3.
а) б) в)
11.Решите уравнение 3у + у² = у.
а)0 ; б)-2 ; в)0 и -2.
12. Найдите значение выражения 12 * + 1,25.
а)1,15; б)2,5; в)-2,3.
13. За 3,5 часа корабль прошёл 238км. За какое время корабль пройдёт 578км,если будет двигаться с той же средней скоростью?
а)8,3ч; б)8,4ч; в)8,5.
14. Найдите число, 37% которого равны 518.
а). 576,65; б). 1400; в). 14.
15.Длина окружности равна 14см. Найдите её радиус.
Ответ округлите до сотых. π ≈ 3,14.
а)2,23; б)4,46; в)3,34 .
Предварительный просмотр:
В.К. Кузнецова,
учитель математики ГБОУ «Школа № 329» г. Москва
кандидат педагогических наук
Готовимся к ОГЭ
Пособие для учащихся «Квадратичная функция и ее график»
В данной статье рассматривается понятие квадратичной функции, алгоритм построения ее графика и определение вида графика в зависимости от знака дискриминанта и знака старшего коэффициента.
Определение. Функция вида , называется квадратичной функцией.
a - старший коэффициент
b - второй коэффициент
с - свободный член
Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции имеет вид:
Точки, обозначенные зелеными кружками, называются «базовыми точками». Чтобы найти координаты этих точек для функции , составим таблицу:
x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
y | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
Важно!
Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент a=1 , то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции
при любых значениях остальных коэффициентов.
График функции имеет вид:
Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:
x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
y | -4 | -1 | 0 | -1 | -4 |
График функции симметричен графику функции
относительно оси ОХ.
Важно!
Первый параметр для построения графика функции – знак старшего коэффициента a.
Если старший коэффициент a>0, то ветви параболы направлены вверх.
Если старший коэффициент a<0, то ветви параболы направлены вниз.
Второй параметр для построения графика функции - значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции.
Нули функции - это точки пересечения графика функции
с осью ОХ.
Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, значит, чтобы найти координаты точек пересечения графика функции с осью ОХ, нужно решить уравнение
.
Чтобы найти координаты точек пересечения квадратичной функции с осью ОХ, нужно решить квадратное уравнение
.
Важно!
В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант
D, с помощью которого мы определяем число корней квадратного уравнения.
Здесь возможны три случая:
1. Если ,то уравнение
не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола
не имеет точек пересечения с осью ОХ.
Если ,то график функции выглядит приблизительно так:
2. Если ,то уравнение
имеет одно решений, и, следовательно, квадратичная парабола
имеет одну точку пересечения с осью ОХ.
Если ,то график функции выглядит приблизительно так:
3. Если ,то уравнение
имеет два решения, и, следовательно, квадратичная парабола
имеет две точки пересечения с осью ОХ.
Абсциссы точек пересечения вычисляются по формулам:
Если ,то график функции выглядит примерно так:
Итак, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.
Третий важный параметр графика квадратичной функции - координаты вершины параболы:
Еще одна удобная формула для вычисления координат вершины параболы:
Важно!
Четвертый параметр для построения графика квадратичной параболы = ось симметрии.
Прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии параболы. (y=
Пятый параметр, полезный при построении графика функции - точка пересечения параболы с осью OY.
Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль:
.
То есть, точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c).
Итак, основные параметры графика квадратичной функции показаны на рисунке:
Алгоритм определения параметров для построения квадратичной параболы
- Направление ветвей параболы.
- Координаты точек пересечения параболы с осью OX (нули функции).
- Координаты вершины параболы.
- Ось симметрии.
- Точка пересечения параболы с осью OY, и точка, ей симметричная относительно оси симметрии параболы.
Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы.
В зависимости от того, каким образом задана квадратичная функция, можно выбрать наиболее удобный способ.
1 способ. Функция задана формулой .
Рассмотрим общий алгоритм построения графика квадратичной параболы на примере построения графика функции .
1). Направление ветвей параболы.
Так как ,ветви параболы направлены вверх.
2). Найдем дискриминант квадратного трехчлена .
;
Дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ.
Для того, чтобы найти их координаты, решим уравнение: .
,
Точки (1; 0) и (-2,5; 0).
3). Координаты вершины параболы:
Точка (-0,75; -6,125).
4). Ось симметрии параболы:
y=, y=
5). Точка пересечения параболы с осью OY: (0;-5) и точка, ей симметричная относительно оси симметрии параболы.
Нанесем эти точки на координатную плоскость, и соединим их плавной кривой:
Рассмотрим этот же способ, но несколько упрощенный.
1. Найдем координаты вершины параболы.
2. Найдем координаты точек, стоящих справа и слева от вершины.
Воспользуемся результатами построения графика функции
.
Координаты вершины параболы
Ближайшие к вершине точки, расположенные слева от вершины имеют абсциссы соответственно -1;-2;-3
Ближайшие к вершине точки, расположенные справа имеют абсциссы соответственно 0;1;2
Подставим значения х в уравнение функции, найдем ординаты этих точек и занесем их в таблицу:
x | -3 | -2 | -1 | -0,75 | 0 | 1 | 2 |
y | 3 | -3 | -6 | -6,125 | -5 | 0 | 9 |
Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим плавной линией:
2способ. Уравнение квадратичной функции имеет вид.
В уравнении (m, n) – это координаты вершины параболы, т.е. m= , n=
.
Для примера построим график функции.
Используем линейные преобразования графиков функций.
Чтобы построить график функции , нужно:
- сначала построить график функции
,
- затем одинаты всех точек графика умножить на 2,
- следующий шаг: сдвинуть получившийся график вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,
- а затем сдвинуть получившийся график вдоль оси OY на 4 единицы вверх:
3 способ. В уравнении квадратичной функции
старший коэффициент a=1, и второй коэффициент b- четное число.
Рассмотрим построение графика функции .
Выделим в уравнении функции полный квадрат:
Получили, что m = -2; n=1.
Следовательно, координаты вершины параболы:
.
Старший коэффициент равен 1, поэтому построим по шаблону параболу с вершиной в точке (-2;1):
4 способ. Уравнение квадратичной функции имеет вид y=(x+a)(x+b)
Построим для примера график функции y=(x-2)(x+1), a=-2 b=1.
1.Ветви параболы направлены вверх.
2.Вид уравнения функции позволяет легко найти нули функции - точки пересечения графика функции с осью ОХ:
(х-2)(х+1)=0, отсюда
Точки (2; 0) и (-1; 0).
3. Координаты вершины параболы:
Точка .
4. Ось симметрии: m =.
5. а) точка пересечения с осью OY: (0;С)
с=a·b=(-2)·(1)=-2
Точка (0; -2).
б) точка, симметричная точке (0;-2)
Точка (1; -2).
Нанесем эти точки на координатную плоскость и построим график:
Предварительный просмотр:
Предварительный просмотр:
В.К. Кузнецова,
учитель математики ГБОУ «Школа № 329» г. Москва,
кандидат педагогических наук
Готовимся к ОГЭ
Задачи по повторению курса геометрии 7-9 классов
Тема «Вписанные углы»
- Задачи для устного решения.
|
|
изображенного на рисунке, если градусная мера дуги АВС = 270. |
Найдите градусную меру дуги АВ. |
В С
А | О В А |
- Решение задач по готовым чертежам.
Найти угол АВС | ||
Предварительный просмотр:
В.К. Кузнецова,
учитель математики ГБОУ «Школа № 329» г. Москва,
кандидат педагогических наук
Готовимся к ОГЭ
Тематический тренажер
«Системы неравенств»
1 | Найдите сумму всех целых решений системы неравенств: | |
2 | Сколько целых решений имеет система неравенств: | |
3 | Сколько натуральных решений имеет система: | |
4 | Найдите сумму целых решений системы неравенств: | |
5 | Найдите сумму квадратов всех целых решений системы неравенств: | |
6 | Найдите сумму целых решений системы неравенств: | |
7 | Найдите сумму наибольшего целого и наименьшее целое решение системы: | |
8 | На сколько наибольшее целое больше, чем наименьшее целое решение системы: | |
9 | Чему равна сумма квадрата наименьшего значения и удвоенного наибольшего значения системы: | |
10 | Найдите наименьшее целое решение системы неравенств: | |
11 | Найдите сумму наибольшего и наименьшего целых решений системы: | |
12 | Определите двузначное число, в котором число единиц равно наибольшему значению, а число десяток равно наименьшему значению системы: | |
13 | Найдите среднее арифметическое целых решений системы: | |
14 | Найдите длину отрезка значений системы: | |
15 | Найдите среднее арифметическое целых решений системы неравенств: | |
16 | Найдите сумму всех целых значений системы: | |
17 | Найдите наибольшее целое x, удовлетворяющее неравенств: | |
18 | Сколько целых чисел входит в решение системы неравенств: | |
19 | Найдите сумму целых решений системы неравенств: | |
20 | Сколько натуральных чисел входит в решение системы: |
Ответы
№ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
ответ | 10 | 4 | 1 | 2 | 14 | 6 | 11 | 18 | 20 | 9 | 17 | 13 | 3 | 12 | 16 | 19 | 8 | 7 | 15 | 5 |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Окружность Основные понятия: элементы окружности, свойства окружности, углы и окружность
Теоретическая часть – сопровождение к практической части
Определения
Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии . Данная точка называется центром окружности. Отрезок , соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, называется радиусом окружности. Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом . О
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой . Хорда , проходящая через центр окружности, называется диаметром . С D
Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой . Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности. О бщая точка окружности и прямой называется точкой касания прямой и окружности .
Свойства окружности и ее элементов
Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны . Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M , то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD .
Радиус ( диаметр ), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам . О братная теорема: если радиус (диаметр), делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.
Прямая может не иметь с окружностью общих точек ; иметь с окружностью одну общую точку ( касательная ); иметь с ней две общие точки ( секущая ). Через три точки , не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.
Теорема о секущих Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие , то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD .
Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности (СВ, АВ). Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла. Дуга называется полуокружностью , если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром (АС).
Свойства углов, связанных с окружностью Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла , либо дополняет половину этого угла до 180°.
Теорема о касательной и секущей Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая , то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: = MA•MB.
Углы , вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны .
Вписанный угол , опирающийся на диаметр , равен 90°.
Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги , заключенной между его сторонами.
Длины и площади
Длина окружности C радиуса R вычисляется по формуле: C = 2 R . Площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле: S = . Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом ,измеренным в радианах, вычисляется по формуле: L = R . Площадь S сектора радиуса R с центральным углом в радиан вычисляется по формуле: S = .
Вписанные и описанные окружности Ц ентр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника . Е е радиус r вычисляется по формуле: r =р/ S где S — площадь треугольника, р — полупериметр;
Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров . Е е радиус R вычисляется по формуле: R = a/sin α R = abc /4s где a, b, c — стороны треугольника, α — угол, лежащий против стороны a , S — площадь треугольника; Окружность, описанная около треугольника
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы ; Центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник — правильный .
Окружность, описанная около четырехугольника О коло выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°: α + γ = β + φ = 180°; где α , γ и β , φ - противолежащие углы.
Окружность, вписанная около четырехугольника В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон: a+ c =d+ b .
Около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником ; Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная ; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне; В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом . Окружность и четырехуголь ники
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Основные понятия Новые термины математического языка Алгебраическая дробь – выражение , где многочлен Р(х) – числитель алгебраической дроби, а Q (х) – ее знаменатель. 2. Основное свойство алгебраической дроби – и числитель и знаменатель алгебраической дроби можно умножить (разделить) на один и тот же не равный 0 многочлен. 3. Рациональное уравнение – уравнение вида =0, где Q (х) ≠ 0. 4. Степень с отрицательным показателем - ,где n – натуральное число и а ≠ 0.
Алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю 1. Разложить все знаменатели на множители. 2. Найти наименьшее общее кратное для числовых коэффициентов. 3. Составить произведение, включив в него НОК коэффициентов и все буквенные множители. Одинаковые множители берем один раз. Из всех степеней с одинаковым основанием берем множитель с наибольшим показателем степени. 4. Найти дополнительные множители для каждой из дробей. 5. Найти для каждой дроби новый числитель как произведения числителя на дополнительный множитель. 6. Записать каждую дробь с новым числителем и новым (общим) знаменателем.
Упростить выражение: Первый этап 4а 2 -1=( 2а-1 )( 2а+1 ) 2а 2 +а= а ( 2а+1 ) Общий знаменатель: а(2а-1)(2а+1) Дополнительные множители: К первой дроби: а Ко второй дроби: (2а-1) ОТВЕТ: Второй этап
Правила умножения и деления алгебраических дробей, возведения алгебраической дроби в натуральную степень Умножение: Деление: Возведение в степень: Например: 1) 2) 3)
Свойства степени с отрицательным целым показателем Тождества справедливы для а ≠0, b ≠0, s , t – произвольные целые числа. a s · a t = a s + t a s : a t = a s – t (a s ) t = a st (ab) s = a s · b s (a : b) s = a s : b s Например: 1. а -3 · а -5 = а -3+(-5) =а -8 2. а 4 : а -3 = а 4-(-3) =а 7 3. (а -2 ) -3 = а -2 · (-3) =а 6 4. 0,5а 2 в -2 · (4а -3 в 3 ) 2 = =0,5а 2 в -2 · 16а -6 в 6 = =0,5 · 16 · (а 2 а -6 ) · (в -2 в 6 )= = 8а -4 в 4
Проверь себя! Выполни тест и оцени свою работу. Задания в тесте даны в четырех вариантах. Время работы на один вариант 25 минут. В конце презентации даны ответы к тесту и критерии оценивания выполненной работы.
Вариант 1 А 1 . Выполните действия: 1) 5а 4 в 3 2) 5а 4 в 4 3) -5а 4 в 4 4) -5/81а 4 в 3 Вариант 2 А 1 . Укажите выражение тождественно равное данному (4а -2 в 4 ) 2 1) 16а -4 в 8 2) 4а 4 в 6 3) 16а 4 в 8 4) 2а -1 в 2 Вариант 3 А 1 . Запишите в виде одночлена выражение: 2а 4 в -2 3а -2 в 3 1) 6ав 2) 6а 2 в 5 3) 6а 2 в 4) 6а 2 в -1 Вариант 4 А 1 . Укажите выражение тождественно равное данному ( а 2 в -3 ) -2 1) -4а -4 в 6 2) 3) 4) 4а -4 в 6
А 2 Сократите дробь: Вариант 1 1) 2) 3) 4) Вариант 2 1) 2а 2) 2 3) –2а 4) –2 Вариант 3 1) 2) 3) 4) Вариант 4 1) 2) 3) 4)
Вариант 1 А 3 Выполните деление: 1) 2) 3) 4) 50х 2 Вариант 2 А 3 Выполните умножение: 1) 2) 3) 4) Вариант 3 А 3 Выполните деление: 1) 4х 2) 3) 4) Вариант 4 А 3 Выполните умножение: 1) -2 2) 3) 4)
А 4 . Упростите выражение: Вариант 1 1) 2) 3) 4) Вариант2 1) 2) 3) 4) Вариант 3 1) 2) 3) 4) Вариант 4 1) 2) 3) 4)
Оцени свою работу Ответы к тесту: Оценка теста: Задания А 1 А 2 А 3 А 4 Вариант 1 2 1 3 1 Вариант 2 1 3 2 3 Вариант 3 3 3 2 3 Вариант 4 4 1 4 3 Каждое верно решенное задание оценивается в 1 балл, неверное – 0 баллов. 4 балла – «5» 3 балла – «4» 2 балла – «3» 0-1 баллов – «2».
Если отметка 4 или 5,то данный материал усвоен на хорошем уровне. Если отметка ниже 3, то необходимо вернуться к изучению этой темы еще раз.