Готовимся к ОГЭ

ТЕСТЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ

(минимальный уровень)

ВАРИАНТ № 1

МОДУЛЬ «АЛГЕБРА»

1. Найдите значение выражения 24,2:( - 1).
2. На координатной прямой отмечены числа а и b. Какое из следующих утверждений верное?

               а                  b

1. – b > – а
2.  4 – b > 4  – а

3. 
4. b + 1 > а + 1

3. Решите уравнение  5х + 9 = 34.
4. График какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке

1.  у = 2х – 4
2. у = – 2х + 4
3. у = 2х + 4
4. у =  – 2х – 4

5. Решите неравенство 2(х – 5)(х + 1)  0.

МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ»

6. Периметр параллелограмма равен 26. Одна сторона параллелограмма на 5 см больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма.
7. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если один из катетов равен 6см, а гипотенуза – 10см.
8. Укажите номера верных утверждений:

1. Площадь треугольника равна произведению его основания на высоту.
2. Гипотенуза равна сумме квадратов катетов.
3. Если два угла одного треугольника равны двум углам второго треугольника, то эти треугольники подобны.
4. Диагонали квадрата равны.

МОДУЛЬ «РЕАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА»

9. В таблице приведены нормативы по бегу на 30 м для учащихся 9 класса. Определите результат девочки, пробежавшей эту дистанцию за 5, 22 с.

1. отметка «5»
2. отметка «4»
3. отметка «3»
4. норматив не выполнен

10.  На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трёх суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали - значение температуры в градусах Цельсия. Определите разность между наибольшей и наименьшей температурами воздуха 19 декабря.

11.  Стоимость установки входной двери в квартире составляет 5% от ее цены. Определите цену двери, если известно, что ее установка стоит 342 рубля.
12.  На диаграмме показан возрастной состав населения России.

Определите по диаграмме, население какого возраста преобладает.

1. 0 – 14 лет
2. 15 – 50 лет
3. 51 – 64 лет
4. 65 лет и более

13.  У бабушки 10 чашек: 7 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

ВАРИАНТ № 2

МОДУЛЬ «АЛГЕБРА»

1. Укажите верное неравенство:

        1) 4,8 < 4,08 < 4,18                2) 4,18 < 4,08 < 4,8

        3) 4,08 < 4,18 < 4,8                4) 4,08 < 4,8 < 4,18

2.  На координатной прямой отмечены числа  и .

                   a                    b                    c

          Из следующих утверждений выберите верное.

1.           2)         3)         4)

3. Решите уравнение  .
4.  График какой квадратичной функции изображен на рисунке?

5. Решите неравенство  .

МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ»

6. Угол ромба равен 44°. Найдите тупой угол ромба.
7. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны 5 и 8.
8. Укажите номера верных утверждений:

1. Вертикальные углы равны.
2. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
3. В треугольнике против большей стороны лежит меньший угол.
4. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

МОДУЛЬ «РЕАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА»

9. В таблице приведены нормативы по бегу на 30 м для учащихся 9 класса. Определите результат мальчика, пробежавшего эту дистанцию за 4,78 с.

1. отметка «5»
2. отметка «4»
3. отметка «3»
4. норматив не выполнен

10. Транспортная компания предлагает два тарифа: А и В. Сколько рублей  надо заплатить за доставку посылки массой 8 кг по тарифу В?

11. Спортивный костюм стоит 2250 рублей. Во время распродажи магазин делает скидку 18%. Сколько рублей будет составлять скидка магазина на этот спортивный костюм?
12. На диаграмме показан возрастной состав населения России.

Определите по диаграмме, в каких пределах находится доля населения от 0 до 14 лет.

1. 0 – 25%
2. 25 – 50%
3. 50 – 75%
4. 75 – 100%

13. На тарелке 12 слоек: 9 с фруктовой начинкой, 2 с картофелем и 1 с печенью. Миша наугад выбирает одну слойку. Найдите вероятность того, что она окажется с фруктовой начинкой.

В.К. Кузнецова,

учитель математики ГБОУ «Школа № 329» г.  Москва

кандидат педагогических наук

Готовимся к ОГЭ

Пособие для учащихся

 «Алгоритм решения дробного рационального уравнения»

1. Определение дробного рационального уравнения.

Дробно-рациональным уравнением называется уравнение, обе части которого являются рациональными выражениями, причем хотя бы один из них – дробным выражением.

Наличие дроби в выражении не свидетельствует о том, что это дробное выражение (уравнение), необходимо присутствие переменной в знаменателе дроби.

2. Алгоритм решения дробного рационального уравнения:

Пример 1.

     Р е ш е н и е:

1). Общий знаменатель (у + 3).

2). Умножим обе части на общий знаменатель дробей.

    ▪ (у + 3).

3). Получим:

у2 = у;

у2 – у = 0;

у (у – 1) = 0;

у = 0     или        у – 1 = 0;

                        у = 1.

4). При обоих значениях у знаменатель не обращается в нуль.

Ответ: 0; 1.

Пример 2.

     Р е ш е н и е:

 ;

1). Общий знаменатель дробей (х – 2).

2). Умножим обе части на общий знаменатель дробей.

3). Получим:

2х2 = 7х – 6;

2х2 – 7х + 6 = 0,

D = (–7)2 – 4 · 2 · 6 = 49 – 48 = 1, D> 0, 2 корня.

x1 = = 2; x2 = = 1,5.

Если х = 2, то х – 2 = 0.

Если х = 1,5, то х – 2 ≠ 0.

Ответ: 1,5.

Пример 3.

   .

   Р е ш е н и е:

   1).  Общий знаменатель дробей (х + 7) (х – 1).

   2). Умножим обе части на общий знаменатель

   3). Получим:

(2х – 1) (х – 1) = (3х + 4) (х + 7);

2х2 – 2х – х + 1 = 3х2 + 21х + 4х + 28 = 0;

2х2 – 2х – х + 1 – 3х2 – 21х – 4х – 28 = 0;

–х2 – 28х – 27 = 0;

х2 + 28х + 27 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х1 = –27, х2 = –1.

Если х = –27, то (х + 7) (х – 1) ≠ 0.

Если х = –1, то (х + 7) (х – 1) ≠ 0.

Ответ: –1

Другой способ исключения посторонних корней.

1. Сначала определить ОДЗ (любые числа, кроме тех, которые обращают знаменатель в нуль).
2.  В конце проверить, входят ли полученные корни в ОДЗ или нет.

Например,

1. Решить уравнение:

 – 4 = 0;                          ОДЗ:         х + 5 ≠ 0, х ≠ –5.

1). Общий знаменатель (х + 5)

2). Умножим обе части уравнения на общий знаменатель

3). Получим:                                                

2х – 5 – 4 (х + 5) = 0;

2х – 5 – 4х – 20 = 0;

–2х – 25 = 0;

–2х = 25;

х = –12,5.

4). Учитывая ОДЗ, получим

Ответ: –12,5.

2. Решить уравнение:

                ОДЗ: х.

1). Общий знаменатель 4х

2). Умножим обе части уравнения на общий знаменатель

3). Получим:

х2 – 4 = 2 (3х – 2);

х2 – 4 = 6х – 4;

х2 – 6х = 0;

х (х – 6) = 0;

х = 0     или        х – 6 = 0; х = 6.

4). Учитывая ОДЗ, получим

Ответ: 6.

В.К. Кузнецова,

учитель математики ГБОУ «Школа № 329» г.  Москва

кандидат педагогических наук

Готовимся к ОГЭ

Пособие для учащихся

Примеры решения неполных квадратных уравнений

1. Рассмотрим случай, когда b=0, c=0

П р и м е р 1.1

Решить уравнение: 5,4х2 = 0.

Р е ш е н и е

 Разделим обе части уравнения на 5,4 (число, не равное нулю) и получим уравнение, равносильное исходному:

х2 = 0.

Мы знаем, что существует только одно число – нуль, квадрат которого равен нулю, следовательно, уравнение имеет единственный корень х0 = 0.

О т в е т: 0.

В ы в о д: уравнение вида ах2 = 0 (а ≠ 0) имеет единственный корень х0 = 0.

2. Рассмотрим случай, когда b=0

П р и м е р 2.1

Решить уравнение: –4х2 + 28 = 0.

Р е ш е н и е

Перенесём свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части получившегося уравнения на –4:

–4х2 = –28;

х2 = 7.

Отсюда х = или х = –.

О т в е т: х =; х = –.

П р и м е р 2.2

Решить уравнение: 4х2 + 12 = 0.

Р е ш е н и е

Перенесём свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части получившегося уравнения на 4:

4х2 = –12;

х2 = –3.

Так как квадрат числа не может быть отрицательным числом, то уравнение не имеет корней.

О т в е т: нет корней.

В ы в о д: для решения уравнения вида ах2 + с = 0 (с ≠ 0) воспользуемся алгоритмом:

1) Перенесём свободный член с в правую часть уравнения  ах2 = - с

2) Делим обе части уравнения на а (с ≠ 0, а ≠ 0), получаем уравнение х2 =.

3) Если> 0, то уравнение имеет два корня:

.

Если <0, то уравнение не имеет корней.

3. Рассмотрим случай, когда c=0

П р и м е р 3.1

Решить уравнение: 5х2 + 7х = 0.

Р е ш е н и е

Разложим левую часть уравнения на множители:

х (5х + 7) = 0.

Отсюда: х = 0   или        5х + 7 = 0;

                                5х = –7;

                                х = ;

                                х = –1,4.

О т в е т: 0; –1,4.

В ы в о д: для решения уравнения вида ах2 + bx = 0 (b ≠ 0) воспользуемся алгоритмом:

1) Разложим левую часть уравнения на множители, получим

     x(ax+b)=0

2) Получаем два уравнения: x=0  и  ах + b = 0

3) Решаем уравнение ах + b = 0; х =.

4) Уравнение имеет два корня: x=0; х =.

4. Приведённые примеры показывают, что неполное квадратное уравнение может иметь один или два корня, а может и не иметь корней.

Обобщая полученные результаты, составим таблицу.

С помощью этой таблицы можно определить каким образом решать неполное квадратное уравнение.

В.К. Кузнецова,

учитель математики ГБОУ «Школа № 329» г.  Москва,

кандидат педагогических наук

Готовимся к ОГЭ

Тренировочные тесты по алгебре для 9 класса.

Вариант 1.

1. Найдите значение выражения: (39) : 3.    

а) - ;  б) 1;  в) -1.

2. Вычислите: ;          

 а) 3;          б)  0;  в)  1.

3. Упростите: .                

а) ;          б) ;          в) .

4. По рисунку определите, при каких х выполняется неравенство у<0.

а)  (-∞; -2]v[2; +∞);     б) (-2; 2);     в) [-2; 2].

5. Вычислите значение выражения:  при х = -3.

 а)81;        б)9;         в)8.

6.Какая пара чисел является решением системы

 а). (2;1)         б). (1;-2)         в). (-2;1).

  7. Найдите область определения функции у =.

      а). [-4;4];                 б). (-∞;-4) v (4;+∞);                 в). (-4;4).

8. Выразите b из формулы   =.  

  а)         б)        в) 

9.График какой функции построен?    а) у= - х+2;         б) у=х+2;         в) у=2х².

10.Решите уравнение х²+х-6=0.  

 а)-2 и -3;                 б)2 и 3;         в)2 и -3.

11.Какие из чисел 0;-1;4;20  являются решением неравенства х-2(х-3)<2?

 а). 20;         б). -1 и 0;         в). 4 и 20;

12.Упростите выражение (1-2х)(х+3)-3(2-х)².  

а)-5х²+7х-9; б)-х²+6х+9; в)5х²-7х+10.

13.Упростите выражение и найдите его значение:

  при х = - 4,97.

  а)-1,97;                 б)-7,97;                 в)1,97.

14.Чётной или нечётной является функция у = х ³-.

     а). чётной;         б). нечётной;         в). ни чётной, ни нечётной.  

15.Длина окружности равна 28см. Найдите её радиус.

Ответ округлите до сотых.  π ≈ 3,14.                          

 а)4,46;            б)8,92;            в)6,68.

Вариант 2

1.Упростите выражение (a-b)²+(3a-b)(b+3a) .  

а)10a²-ab+2b²;                   б)10a²-2ab;                  в)10a².

2.Решите уравнение .  

    а). -2;                  б). 0;                    в). 2,5.

3.Решите систему уравнений:
 

 а). (-3;4);                    б). (-1;0);             в). (-3;- 4).

4. Вычислите .           

а)7;                      б)0;             в).

5.В кошельке 33 двухрублёвых и трехрублёвых монеты на сумму 81 рубль.

Найдите число монет каждого вида.                            

а). 12 двухрублёвых, 19 трёхрублёвых;    

б). 19 двухрублёвых,12 двухрублёвых;    

в). 18 двухрублёвых,15 трёхрублёвых.

6. Вычислите (1,6*0.215-0,215) : (0,345-0,375).  

 а)-0,43 ;                  б)-4,3;            в)4,3.

7. Найдите область определения функции у = .  

 а)х ≠ ±2; х ≠ -1;                   б)х ≠ 2;            в)х ≠ -1 .

8. Упростите выражение .    

 а). b ;     б). -b;              в). 1.

9. Упростите выражение (2b-3)²-(2b+1)(2b-1).    

а). 8-12b;            б). 9b²-12b+10;            в). 10-12b.

10. Выберите рисунок, наиболее точно соответствующий графику

функции у = 4х-3.

а)                                            б)                                в)

11.Решите уравнение 3у + у² = у.

 а)0 ;   б)-2 ;    в)0 и -2.

12. Найдите значение выражения 12 *  + 1,25.      

 а)1,15;   б)2,5;    в)-2,3.

13. За 3,5 часа корабль прошёл 238км. За какое время корабль пройдёт 578км,если будет двигаться с той же средней скоростью?    

а)8,3ч;     б)8,4ч;     в)8,5.

14. Найдите число, 37% которого равны 518.

 а). 576,65;   б). 1400;     в). 14.

15.Длина окружности равна 14см. Найдите её радиус.

 Ответ округлите до сотых.  π ≈ 3,14.                        

  а)2,23;            б)4,46;            в)3,34 .

Советы выпускникам 

Специалисты Федеральной службы по надзору в сфере образования науки – службы, которая отвечает за организацию и проведение выпускных экзаменов, – дают советы о том, как правильно подготовиться и с лучшим результатом сдать экзамены.

Если школьник хорошо знает предмет, никаких трудностей с экзаменом у него не возникнет.

 Нелишним будет ознакомиться с разными стратегиями решения тестов, которые хорошо описываются в методической литературе, подготовленной сотрудниками Федерального института педагогических измерений (сайт www.fipi.ru) – теми, кто разрабатывал экзаменационные задания.

 Можно попробовать свои силы на вариантах прошлого года – их тоже можно найти в Интернете. Например, на портале информационной поддержки Единого государственного экзамена –www.fipi.ru/oge-i-gve-9. Как правило, меняются только формулировки заданий, а их уровень и тип остаются прежними.

Единый экзамен сложен для многих ребят еще и потому, что нужно не только правильно ответить на тот или иной вопрос, но еще и аккуратно заполнить бланки. Поэтому лучше всего заранее потренироваться. На это уйдет не больше трех-четырех занятий.

Научитесь аккуратно писать печатными буквами, внимательно изучите, как устроены документы, подробно узнайте, как исправлять ошибки.

Экзамен состоит из трех частей и включает в себя задания разных типов. В первой части нужно выбрать единственный правильный вариант из четырех предложенных или дать короткий ответ на вопрос. Это может быть одно слово или цифра, которая вписывается без всяких пояснений и комментариев. Наконец, самая сложная часть – «С» – предполагает, что школьник даст подробный, развернутый ответ, включающий словесное обоснование или математический вывод.

Самый простой и общий совет, который можно дать всем ребятам: для начала пробегитесь по вопросам и ответьте на самые легкие, не останавливаясь на сложных.

Сайт www.fipi.ru/oge-i-gve-9 советует ребятам: для получения тройки достаточно успешно выполнить только первую часть. При этом хватит примерно 50 - 60 процентов решенных заданий Но лучше не бросать тест и не уходить из аудитории раньше времени, даже не попробовав решать третью часть. Кто знает, может быть, вам не хватает до заветной четверки всего-то пары баллов и вы сможете решить задание!

 Первое, что нужно сделать, пытаясь найти правильный ответ из нескольких предложенных отсечь абсурдные ответы.

 И только потом анализировать оставшиеся варианты и выбирать правильный вариант.

.

Бывает, что на экзамене ребята так нервничают, что начинают щелкать задания, не дочитав до конца вопрос. Не спешите и, прежде чем выбирать один из вариантов или

вписывать в клеточки слово, внимательно ознакомьтесь с заданием. Другая проблема – попав на сложный вопрос, некоторые юноши и девушки зависают на нем, впадают в ступор, начинают паниковать. Бросьте каверзное задание и переходите к следующему. Потратите время на трудные задания -  не успеете выполнить те, которые знаете. Ваша цель – набрать как можно больше баллов.

   Время, которое требуется на проведение экзамена, рассчитывается экспертами. Как минимум треть из них – учителя и методисты. Они не понаслышке знакомы с учебными буднями и могут просчитать, сколько времени понадобится среднестатистическому школьнику на выполнение теста. Плюс – работы инспектируют не менее девяти независимых экспертов. Они и выносят вердикт – можно ли за предложенное количество минут справиться с 30 заданиями по математике и 50 – по географии. Надо учитывать, что в мировой практике принято: максимальные 100 баллов должны набрать не более 0,1% от общего количества участников.

   При подготовке материалов и определения продолжительности экзамена учитывается и это.

   Так или иначе, опыт проведения ОГЭ показывает, что время, устанавливаемое для выполнения тестов, соответствует этим требованиям. И ты должен успеть не только ответить на вопросы, но и проверить свою работу.

Сначала подготовь место для занятий: убери со стола лишние вещи, удобно расположи нужные учебники, пособия, тетради, бумагу, карандаши и т.п.

Можно ввести в интерьер комнаты желтый и фиолетовый цвета, поскольку они повышают интеллектуальную активность. Для этого бывает достаточно какой-либо картинки в этих тонах или эстампа.

Составь план занятий. Для начала определи: кто ты - "сова" или "жаворонок", и в зависимости от этого максимально используй утренние или вечерние часы. Составляя план на каждый день подготовки, необходимо четко определить, что именно сегодня будет изучаться. Не вообще: "немного позанимаюсь", а какие именно разделы и темы.

Начни с самого трудного, с того раздела, который знаешь хуже всего. Но если тебе трудно "раскачаться", можно начать с того материала, который тебе больше всего интересен и приятен. Возможно, постепенно войдешь в рабочий ритм, и дело пойдет.

Чередуй занятия и отдых, скажем, 40 минут занятий, затем 10 минут - перерыв. Можно в это время помыть посуду, полить цветы, сделать зарядку, принять душ.

Не надо стремиться к тому, чтобы прочитать и запомнить наизусть весь учебник. Полезно структурировать материал за счет составления планов, схем, причем желательно на бумаге. Планы полезны и потому, что их легко использовать при кратком повторении материала.

Выполняй как можно больше различных опубликованных тестов по этому предмету. Эти тренировки ознакомят тебя с конструкциями тестовых заданий.

Готовясь к экзаменам, никогда не думай о том, что не справишься с заданием, а напротив, мысленно рисуй себе картину триумфа.

Оставь один день перед экзаменом на то, чтобы вновь повторить все планы ответов, еще раз остановиться на самых трудных вопросах.

Многие считают: для того, чтобы полностью подготовиться к экзамену, не хватает всего одной, последней перед ним ночи. Это неправильно. Ты уже устал, и не надо себя переутомлять. Напротив, с вечера перестань готовиться, прими душ, соверши прогулку. Выспись как можно лучше, чтобы встать отдохнувшим, с ощущением своего здоровья, силы, "боевого" настроя. Ведь экзамен - это своеобразная борьба, в которой нужно проявить себя, показать свои возможности и способности.

В пункт сдачи экзамена ты должен явиться, не опаздывая, лучше за полчаса до начала тестирования. При себе нужно иметь пропуск, паспорт (если паспорт еще не получил, то свидетельство о рождении) и несколько (про запас) гелевых или капиллярных ручек с черными чернилами.

Если в школе холодно, не забудь тепло одеться, ведь ты будешь сидеть на экзамене 3 часа.

Будь усердным, у тебя все получится!

.

В.К. Кузнецова,

учитель математики ГБОУ «Школа № 329» г.  Москва,

кандидат педагогических наук

Готовимся к ОГЭ

Тематические тесты по алгебре

Тест 1. Действительные числа.

1. Представьте обыкновенную дробь 3/7 в виде десятичной с точностью до сотых.

А. 0,40         Б. 0,41           В. 0,42            Г. 0,43

2.  Соедините чертой обыкновенную дробь с равной ей  десятичной дробью.

0,15         0,2             0,16         0,125          0,7

3.  На координатной прямой найдите координату середины отрезка с концами в точках А(-7) и В(2).

Ответ:

4.  Соедините чертой каждое выражение из верхней строки с равным ему выражением из нижней строки.

                     0,25+

0,8+                0,75         +0,3

5.  Продавец утверждает, что масса растительного масла в бутылке равна 1+0,02 л.  Какое из значений массы, не удовлетворяет этому утверждению?

А. 1010 мл     Б.  980 мл     В.995 мл       Г.  975 мл  

6.  Выберите наибольшее из чисел:  3,833;  3,38;  3; 3.

         А.  3,833               Б.  3,38        В.   3                 Г.  3

 7.  Укажите наименьшее из чисел:  ; 0,7; ; 0,8

А.         Б.  0,7          В.          Г. 0,8

 8.  Расположите числа , , 0,7 и 0,3 в порядке возрастания.

А.  0,3;   ;   ;   0,7             Б.   0,3;   ; ;  0,7

В.  0,7;   ;   ;   0,3              Г.   0,3;   0,7; ; ;  

9.  Найдите значение выражения  .

А.  70           Б.  7            В.  0,7          Г.  0,07

10. На координатной прямой отмечены противоположные числа: p и q. Сравните с нулём число r.

  А.  Сравнить нельзя           Б.  r >0

В. r =0                                 Г.  r<0

11.  Найдите наименьшее из следующих чисел

0,9;  ;  ;  .

А.  0,9              Б.             В.                  Г.  

12.  Десятичная запись некоторого натурального числа   содержит 6 цифр. Найдите порядок этого числа.

А.  6                           Б.  7

В.  5                           Г.  60

 13. Известно, что t2-1=0. Сравните числа t и  .

14.  О числах m, n, k, p известно, что m>n, p>k, k=m.

      Сравните числа  p и n.

15.  Расположите в порядке возрастания числа  2√10; 6,5; √41.

16.  Сравните числа  

Ответы

В.К. Кузнецова,

учитель математики ГБОУ «Школа № 329» г.  Москва,

кандидат педагогических наук

Готовимся к ОГЭ

Тематический тренажер. Модуль «Геометрия»

Тема 1 «Нахождение углов и сторон  многоугольников»

Ответы. Тема  1  «Углы».

В-1.   1. 1110   2.  1400   3.  60      4.  1340 

В-2.   1. 1130   2.  550     3.  1260  4.  380 

В-3.   1. 1550   2.  240     3.  1250  4.  900 

В-4.   1. 1240   2.  900     3.  330    4.  1080 

Ответы. Тема  1  «Стороны».

В-1.   1.  45     2.  49      3.  12  4.  20

В-2    1.  15     2.  52      3.  78       4.  33

В-3    1.  6       2.  32      3.  94       4.  66

В-4    1.  3       2.  137    3.  4    4.  21

В.К. Кузнецова,

учитель математики ГБОУ «Школа № 329» г.  Москва,

кандидат педагогических наук

Готовимся к ОГЭ

Тематические таблицы по повторению курса геометрии 7-9 классов

Таблица 1

Углы. Параллельные прямые.
Перпендикулярные прямые

Углы. Определение.

Внутренние накрест лежащие углы – 3 и 5, 4 и 6, односторонние углы – 4 и 5, 3 и 6, соответственные углы – 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 2.

Таблица 2

Параллельные прямые

Определение: a и b не пересекаются.                                                                  

Таблица 3

Перпендикулярные прямые

Определение: АВ ⊥ СD : ∠АОD = ∠СОВ = ∠АОС = ∠DОВ = 90°.

АВ – наклонная,

АН – перпендикуляр;

ВН – проекция;

Н – основание перпендикуляра;

В – основание наклонной.

АН – расстояние от точки A до прямой а.

Свойство:

Треугольники

 Таблица 1

Таблица 2

Таблица 3

Таблица 4

Таблица 5

В.К. Кузнецова,

учитель математики ГБОУ «Школа № 329» г.  Москва,

кандидат педагогических наук

Готовимся к ЕГЭ

ПЛАНИМЕТРИЯ

Теория: Подобие треугольников

Для доказательства подобия произвольных треугольников в школьном курсе используют три признака.

I. Признак подобия треугольников по двум углам.

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

II. Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

III. Признак подобия треугольников по трем сторонам.

Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Признак подобия прямоугольных треугольников.

Для подобия прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по одному острому углу.

Из подобия треугольников следует равенство соответствующих углов и пропорциональность сторон:

Периметры подобных треугольников пропорциональны:

k — коэффициент подобия.

Свойства подобных треугольников.

Все линейные размеры подобных треугольников также пропорциональны,

то есть отношение соответствующих биссектрис, высот, медиан также

 равно k.

Углы между соответствующими линиями подобных треугольников равны.

Площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров:

1.Задачи на подобие треугольников

I. В треугольнике проведен отрезок, параллельный стороне. Концы отрезка лежат на других сторонах треугольника.

Рассмотрим треугольники ABC и.B

Решать задачи на подобие треугольников удобнее, используя цветовую визуализацию, поэтому выделим данные треугольники разными цветами:

1) ∠B — общий;

2)∠ BAC=∠B (как соответственные углы при AC∥и секущей AB).

Следовательно, треугольники ABC и  B подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

Задача 1.1

Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает сторону АВ в точке , а сторону ВС — в точке . Найти длину отрезка , если АС=35, : В=2:5.

Решение:

Доказываем подобие треугольников ABC и B. 

Ответ: 25.

II. В треугольник вписан ромб.

Рассмотрим треугольники AFK и BFC.

Выделим данные треугольники в цвете.

1) ∠F — общий;

2)∠ FAK=∠FBC (как соответственные углы при AD∥BC и секущей AB).

Следовательно, треугольники AFK и BFC подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

Задача 1.2

В треугольник AFK вписан ромб ABCD так, что угол A у них общий, в вершина C принадлежит стороне FK. Найти сторону ромба, если

AF=21 см, AK=24 см.

Решение.

Доказываем подобие треугольников AFK и BFC. Из трех соотношений выбираем те, в которых нам что-либо известно:

Примем сторону ромба за x: AB=AD=BC=x. Тогда BF=AF-AB=(21-x) см.

Отсюда:  

Разделив обе части уравнения на 3, получаем:

  ; ;  

Ответ: 11,2 см.

2.Подобные треугольники в трапеции

I. Точка пересечения диагоналей трапеции — вершина подобных треугольников.

Рассмотрим треугольники AOD и COB.

Визуализация облегчает решение задач на подобие. Поэтому подобные треугольники в трапеции выделим разными цветами.

1) ∠AOD=∠COB (как вертикальные);

2)∠DAO=∠BCO (как внутренние накрест лежащие при AD∥ BC и секущей AC).

Следовательно, треугольники AOD и COB подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

Задача 2.1

Одна из диагоналей трапеции равна 28 см и делит другую диагональ на отрезки длиной 5 см и 9 см. Найти отрезки, на которые точка пересечения диагоналей делит первую диагональ.

Решение:

AO=9 см, CO=5 см, BD=28 см. BO =? DO -?

Доказываем подобие треугольников AOD и COB. Отсюда

Выбираем нужные отношения:

Пусть BO=x см, тогда DO=(28-x) см.

Следовательно,

 ;

  ;

 BO=10 см, DO=28-10=18 см.

Ответ: 10 см, 18 см.

Задача 2.2

Известно, что О — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD (AD ∥ BC). Найти длину отрезка BO, если AO: OC=7:6 и BD=39 см.

Решение:

Аналогично, доказываем подобие треугольников AOD и COB. Значит,

Пусть BO=x см, тогда DO=(39-x) см. Таким образом,

  ; BO=18 см

Ответ: 18 см.