Конкурсы, Олимпиады

Дистанционная олимпиада по математике 7 класс

Рекомендуемое время выполнения заданий — 90 минут.

1. (3 балла) Установите соответствие между указанными утверждениями и формулами, задающими их, где n и к – целые числа:

Ответ запишите в виде комбинации цифр и букв без пробелов между знаками и без каких-либо знаков препинания; цифры должны идти в порядке возрастания. Например, 1а2в3б4е

Ответ: ____________

2. (3 балла) Найдите значение выражения наиболее удобным способом:

А = 2,49 · 1,63 – 2,12 · 1,63 + 1,632

а) 3,26                  б) 1,63                   в) 2                  г) 0,37                    

3. (3 балла) Найдите значение выражения наиболее удобным способом:

А = а(а + 2)(а – 2) – (а – 3)(а2 + 3а + 9) при а = ¾

В ответе укажите только число без каких-либо знаков препинания. Например, 70

Ответ: ____________

4. (по 2 балла за каждый пункт) Найдите два натуральных числа, сумма которых равна 85, а НОК 102. В ответе укажите только числа без каких-либо знаков препинания. Например, 10

а) запишите меньшее число

Ответ: ____________

б) запишите большее число

Ответ: ____________

5. (4 балла) Найдите наибольшее натуральное число, которое при делении на 13 с остатком дает частное, равное 17. В ответе укажите только число без каких-либо знаков препинания. Например, 150

Ответ: ____________   

6. (4 балла) Сумма цифр двузначного числа равна 7. Если цифру десятков увеличить на 3, а цифру единиц уменьшить на 3, то полученное число будет записано теми же цифрами, что и исходное. Найдите исходное число. В ответе укажите только число без каких-либо знаков препинания. Например, 15

Ответ: ____________   

7. (по 2 балла за каждый пункт) В 6 «А» классе 12 учеников ходят на обеды, а в 7 «А» – 14. Как разделить между учениками 6 «А» и 7 «А» классов 130 апельсинов? В ответе укажите только числа без каких-либо знаков препинания. Например, 44

а) запишите количество апельсинов для учеников 6 «А» класса

Ответ: ____________

б) запишите количество апельсинов для учеников 7 «А» класса

Ответ: ____________

8. (5 баллов) Абрикос содержит 75% воды, а полученная из него курага содержит 20% воды. Сколько кураги получится из 320 кг абрикоса?

а) 100 кг    б)  120 кг   в) 200 кг     г) 240 кг      

9. (5 баллов) Высота треугольника делит угол, из вершины которого она опущена, на части, равные соответственно 30о и 40о. Определите градусную меру меньшего угла этого треугольника. В ответе укажите только число без единиц измерения и каких-либо знаков препинания. Например, 7

Ответ: ____________

10. (5 баллов) В сквере посажены 72 дерева – липы и березы. Липы составляют 62,5% всех деревьев. Сколько лип надо еще посадить в сквере, чтобы они составляли 70% всех деревьев? В ответе укажите только число без единиц измерения и каких-либо знаков препинания. Например, 7

Ответ: ____________

Всего 40 баллов.

Пример №1. 
Код для открывания сейфа состоит из 4 цифр. Сколько существует различных вариантов кода для этого сейфа? 

Пример №2. 
Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, если цифры в записи числа не повторяются? 

Пример №3. 
Десять участников конференции обменялись визитными карточками. Сколько всего карточек было роздано? 

Пример №6. 
Сколькими способами из семи бусинок разных цветов можно составить ожерелье ( с застежкой)? 

Пример №5. 
В среду в 5 классе пять уроков: математика, физкультура, история, русский язык и природоведение. Сколько различных вариантов расписания на среду можно составить? 

Пример №7. 
В клетке находятся фазаны и кролики. Всего 6 голов и 20 ног. Сколько кроликов и сколько фазанов в клетке? 

Пример №1. 
Код для открывания сейфа состоит из 4 цифр. Сколько существует различных вариантов кода для этого сейфа? 

Пример №2. 
Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, если цифры в записи числа не повторяются? 

Пример №3. 
Десять участников конференции обменялись визитными карточками. Сколько всего карточек было роздано? 

Пример №6. 
Сколькими способами из семи бусинок разных цветов можно составить ожерелье ( с застежкой)? 

Пример №5. 
В среду в 5 классе пять уроков: математика, физкультура, история, русский язык и природоведение. Сколько различных вариантов расписания на среду можно составить? 

Пример №7. 
В клетке находятся фазаны и кролики. Всего 6 голов и 20 ног. Сколько кроликов и сколько фазанов в клетке? 

Задача А.   Эйнштейна

Эту задачу придумал А. Эйнштейна в прошлом веке и полагал, что  98% жителей    Земли будут не в состояние ее решить. Принадлежите ли вы (по мнению А. Эйнштейна) к 2% самых умных людей планеты? Мы сохранили условие задачи в том виде, в котором оно родилось в голове великого ученого. Но это ни в коей мере не означает, что мы призываем вас курить или пить пиво. Отнеситесь к этому, как к маленькой частичке истории.

Условия.

1. Есть 5     домов пяти цветов.

2. В каждом доме живёт  один человек : немец, англичанин, швед , датчанин  и норвежец. 3. Каждый пьёт только один определенный напиток,  курит определённую марку сигарет и держит определённое животное.

4. Никакие два человека из этих пяти не пьют одинаковые напитки, не курят одинаковые сигареты и не держат одинаковых животных.

 ВОПРОС. У кого живёт рыба?

Подсказки.

1.Англичанин живёт в красном доме.

2.Швед держит собаку.

3.Датчанин пьет чай.

4.Зелёный дом стоит слева от белого.

5.Человек, который курит «Pall Mall», держит птицу.

6. Жилец зелёного дома пьет кофе.

7. Жилец среднего дома пьет молоко.

8. Жилец из желтого дома курит «Dunhill».

9. Норвежец живет в первом доме.

10. Курильщик «Marlboro» живет около того, кто держит кошку.

11. Человек, который содержит лошадь, живет около того, кто курит «Dunhill».

12. Курильщик «Winfield» пьет пиво.

13. Норвежец живет около голубого дома.

14. Немец курит «Rothmans».

15.Курильщик «Marlboro» живет по соседству с человеком, который пьет воду.

Задача А.   Эйнштейна

Эту задачу придумал А. Эйнштейна в прошлом веке и полагал, что  98% жителей    Земли будут не в состояние ее решить. Принадлежите ли вы (по мнению А. Эйнштейна) к 2% самых умных людей планеты? Мы сохранили условие задачи в том виде, в котором оно родилось в голове великого ученого. Но это ни в коей мере не означает, что мы призываем вас курить или пить пиво. Отнеситесь к этому, как к маленькой частичке истории.

Условия.

1. Есть 5     домов пяти цветов.

2. В каждом доме живёт  один человек : немец, англичанин, швед , датчанин  и норвежец. 3. Каждый пьёт только один определенный напиток,  курит определённую марку сигарет и держит определённое животное.

4. Никакие два человека из этих пяти не пьют одинаковые напитки, не курят одинаковые сигареты и не держат одинаковых животных.

 ВОПРОС. У кого живёт рыба?

Подсказки.1.Англичанин живёт в красном доме.

2.Швед держит собаку.

3.Датчанин пьет чай.

4.Зелёный дом стоит слева от белого.

5.Человек, который курит «Pall Mall», держит птицу.

6. Жилец зелёного дома пьет кофе.

7. Жилец среднего дома пьет молоко.

8. Жилец из желтого дома курит «Dunhill».

9. Норвежец живет в первом доме.

10. Курильщик «Marlboro» живет около того, кто держит кошку.

11. Человек, который содержит лошадь, живет около того, кто курит «Dunhill».

12. Курильщик «Winfield» пьет пиво.

13. Норвежец живет около голубого дома.

14. Немец курит «Rothmans».

15.Курильщик «Marlboro» живет по соседству с человеком, который пьет воду.

ЗАОЧНАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 5-6 КЛАССОВ

Примерные варианты задач для олимпиады 5 классов

1. В трехзначном числе зачеркнули цифру сотен, затем полученное двузначное число умножили на 7 и получили вновь исходное трехзначное число. Какое это число?

Решение. Пусть xyz = 100x+ 10y + z - данное число. По условию 7(10y + z) = 100x+ 10y + z. Отсюда

100x = 6(10y + z) и 10y + z = 100/6 x 

Следовательно, 100/6 x - двузначное число, причем, x - цифра. Ясно, что x < 6, иначе число будет не двузначное. 100x делится нацело на 6 только при x = 3. Итак, x = 3, 10y + z =50, а искомое число 350.

Ответ: 350

2. Найдите наименьшее натуральное число, при делении которого на каждую из дробей 28/297 и 35/396 получаются целые числа.

Решение. Поделим натуральное число n на данные дроби: n : 28/297 = 297n :28; n : 35/396 = 396n : 35. Нужно, чтобы при подстановке n в обе дроби получались целые числа. Наименьшее n, удовлетворяющее данному условию, n = 4* 5 *7 = 140. Это наименьшее общее кратное чисел 28 и 35.

Ответ: 140

3. Даны 2000 произвольных натуральных чисел и известно, что произведение всех этих чисел нечетно. Какой будет их сумма: четной или нечетной?

Анализ. Обозначим любое четное число буквой ч , а нечетное - буквой н и составим <таблицу умножения> для двух чисел таблицу умножения:

ч * ч =ч ; ч * н =ч ; н * н = н

и для трех чисел:

ч * ч * ч =ч ; ч * ч * н =ч ; н * н * н = н .

Становится ясно, что если в произведении хоть одно число - четное, то все произведение будет четным.

Решение. Так как по условию произведение 2000 чисел нечетно, то все они - нечетные. А сумма 2000 нечетных чисел будет, очевидно, четной.

Ответ: четной

4. Запиши число 100 девятью различными цифрами, соединенными знаками действий.

Решение. 1+2+3+4+5+6+7+8*9

5 класс

Чулков Павел Викторович 

Задача 1. Расстояние между двумя машинами, едущими по шоссе, равно 200 км. Скорости машин - 60 км/ч и 80 км/ч. Чему будет равно расстояние между ними через 1 час?
Решение. Возможны четыре случая (сделайте рисунок!):
1) Машины едут навстречу друг другу: 200-(60+80)=60 км;
2) Машины едут в разные стороны: 200+(60+80)=340 км;
3) Машины едут в одну сторону, вторая догоняет первую: 200+(60-80)=180 км;
4) Машины едут в одну сторону, вторая впереди: 200+(80-60)=220 км.
Ответ. Возможны четыре случая: 60, 180, 220 и 340 км.

Задача 2. Как при помощи только пяти цифр 5, знаков арифметических действий и скобок представить каждое из чисел от 0 до 10 включительно?
Решение. Например:
0=(5-5)*(5+5+5)
1=5:5+(5-5)*5
2=(5+5):5+5-5
3=(5*5-5-5):5
4=5-5:5+5-5
5=5+(5-5)*(5+5)
6=5+5:5+5-5
7=5+5:5+5:5
8=5+(5+5+5):5
9=(5*5-5):5+5
10=5+5+(5-5)*5

Задача 3. Ученик написал на доске пример на умножение двузначных чисел. Затем он стёр все цифры и заменил их буквами. Получилось равенство:

AB * CD = MLNKT

Докажите, что ученик ошибся.
Решение. Равенство AB*CD=MLNKT получиться не может, так как наибольшее возможное произведение двузначных чисел 99*99<100*100=10000.

Задача 4. В трёх ящиках лежат орехи. В первом орехов на 6 меньше, чем в двух других вместе, а во втором - на 10 меньше, чем в первом и третьем вместе. Сколько орехов в третьем ящике?
Решение. Обозначим через x, y и z количества орехов в каждом из трех ящиков. Сложив два равенства x+6=y+z и y+10=x+z, получим, что 2z=16, откуда z=8.
Ответ. В третьем ящике 8 орехов.

Задача 5. После 7 стирок длина, ширина и высота куска хозяйственного мыла, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, уменьшились вдвое. На сколько еще стирок хватит оставшегося мыла?
Решение. Нарисовав кусок мыла и поделив каждую сторону пополам, видим, что получится 8 маленьких кусочков, каждый из которых равен оставшемуся поcле 7 стирок. То есть на 7 стирок ушло мыла столько, сколько было в остальных 7 кусочках, поэтому остатка хватит ровно на одну стирку.
Ответ. Оставшегося мыла хватит на одну стирку.

6 класс

Блинков Александр Давидович 

Задача 1. Вася задумал число и разделил его на 100. В результате получилось число, которое на 34,65 меньше задуманного. Какое число задумал Вася?
Решение. Пусть x - число, полученное в результате деления, тогда задуманное число - 100*x. Так как задуманное число на 34,65 больше, то составляем уравнение: 100*x-x=34,65. Дальше можно заметить, что 34,65=35-0,35 и получить ответ x=0,35.
Ответ. 35.

Задача 2. Найдите площадь фигуры, составленной из девяти квадратов, если периметр этой фигуры равен 32 см.

   _ _

 _|_|_|_

|_|   |_|

|_|_ _|_|

  |_|_|

Решение. Пусть а - сторона маленького квадрата, тогда периметр фигуры равен 16а. Значит, сторона маленького квадрата равна 2 см. Сторона центрального квадрата в два раза больше стороны маленького, поэтому искомая площадь равна 48 см2.
Ответ. 48 см2.

Задача 3. Папа Карло сделал Буратино за 5 дней. На сколько процентов он должен повысить производительность своего труда, чтобы на создание Буратино ушло 4 дня?
Решение. За 20 дней, работая с прежней производительностью, Папа Карло смог бы сделать четыре деревянные куклы, а, работая с новой производительностью, - пять. То есть, за одно и то же время, он сможет сделать на одну куклу больше. Если 4 куклы составляют 100%, то одна кукла - 25%.
Ответ. На 25%.

Задача 4. В озере водятся караси и окуни. Два рыбака поймали 70 рыб, причём 5/9 улова первого рыбака составляли караси, а 7/17 улова второго - окуни. Сколько рыб поймал каждый рыбак?
Решение. Количество рыб, пойманных вторым рыбаком, кратно 17, следовательно, оно может быть равно: 17, 34, 51 или 68. Количество рыб, пойманных первым, может равняться (соответственно) 53, 36, 19 или 2. Но количество рыб, пойманных первым, должно быть кратно 9, откуда получим ответ: первый рыбак поймал 36 рыб, второй - 34.
Заметим, что для данного решения несущественно, что в озере не водится иных рыб, кроме карасей и окуней.
Ответ. Улов 36 рыб и 34 рыбы.

Задача 5. Между городами А и В по горной дороге через перевал регулярно ходит автобус. При подъёме на перевал он идет со скоростью 25 км/ч, а при спуске - 50 км/ч. Время его движения от А до В - 3,5 часа, а от В до А - 4 часа. Найдите расстояние от А до В.
Решение. Рейс автобуса туда и обратно продолжается 7,5 часов, при этом, так как в гору он идёт в два раза медленнее, чем под гору, то на все подъёмы автобус тратит в два раза больше времени, чем на спуски. Таким образом, на спуски он тратит 2,5 часа, а на подъёмы - 5 часов. Следовательно, расстояние от А до В равно (25*5 + 50*2,5)/2=125 км.
Ответ. 125 км.

7 класс

Ковальджи Александр Кириллович, Ященко Иван Валерьевич 

Задача 1. Найдите четырёхзначное число, у которого сумма первых трёх цифр равна 19, а сумма последних трёх цифр равна 27.
Решение. Из того, что сумма трёх цифр равна 27 следует, что все они - девятки.
Ответ. 1999.

Задача 2. В одной четверти леса срубили 20% деревьев, а в остальной части леса - 10% деревьев. Какой процент деревьев срубили во всем лесу?
Решение. Подсчитаем долю деревьев, срубленных во всём лесу: (1/4)*(1/5)+(3/4)*(1/10)=(2/40)+(3/40)=5/40=1/8.
Ответ. 12,5%.

Задача 3. Расположите на плоскости 6 прямых и отметьте на них 7 точек так, чтобы на каждой прямой было отмечено 3 точки.
Решение. Одним из вариантов ответа являются 6 прямых, содержащих 4 стороны произвольного четырёхугольника (не параллелограмма и не трапеции!) и 2 его диагонали, на которых отмечены все 7 точек их пересечения.

Задача 4. Приведите пример дроби, которая больше 11/19, но меньше 7/12. Ответ обоснуйте.
Решение. Приведём дроби к общему знаменателю, получим (11*12)/(12*19)=132/228 и (7*19)(19*12)=133/228. Для получения ответа можно удвоить знаменатель. Конечно, есть много других способов, например, рассмотреть полусумму данных дробей.
Ответ, полученный вычислением на калькуляторе, не засчитывать. Вычисления в столбик до четвёртого знака достаточно. Например, 265/456.

Задача 5. Куб покрасили со всех сторон и распилили на равные кубики. Оказалось, что кубиков, у которых покрашена ровно одна грань, столько же сколько не покрашенных кубиков. На сколько кубиков распилили куб?
Решение. Пусть каждую сторону куба распилили на n частей. Тогда кубиками, у которых оказалась покрашена ровно одна грань, будут те и только те кубики, которые прилегают к граням исходного куба, но не содержат его рёбер. Нетрудно понять, что таких кубиков у каждой грани (n-2)2, а всего кубиков, у которых покрашена ровно одна сторона 6*(n-2)2.
Непокрашенными останутся те кубики, которые не имеют "выхода" на поверхность исходного куба, то есть все кубики, кроме слоя толщиной в один маленький кубик. Таких кубиков будет (n-2)3. Аккуратное решение уравнения 6*(n-2)2=(n-2)2 приводит к двум ответам n=2 или n=8. Соответственно, куб распилили на 8 или 512 кубиков.
Ответ. 8 или 512.

8 класс

Уединов Андрей Борисович 

Задача 1. Найдите наибольшее значение выражения xy, если известно, что x+2y=1.
Решение. x=1-2y, получаем:
xy=(1-2y)y=y-2y2=(1/8)-(y1/2-(1/(2*21/2))2.
Ответ. 1/8.

Задача 2. Постройте график функции

y=x3((1-x2)1/2+(x2-1)1/2).

Решение. С учётом области определения (1<x2<1 получаем, что график функции будет состоять из двух точек: (1;0) и (-1;0).

Задача 3. На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC выбрана произвольная точка M и из неё опущены перпендикуляры MK и MP на катеты этого треугольника. При каком положении точки M длина отрезка PK будет наименьшей?
Решение. Учитывая равенство диагоналей MC и PK, получаем, что длина отрезка PK будет наименьшей при условии, что CM - высота треугольника ABC. При выборе любой другой точки M1 на гипотенузе AB, получим прямоугольный треугольник CMM1, в котором CM - катет, а CM1 - гипотенуза.
Ответ. M - основание высоты CM.

Задача 4. В шкатулке разбойника лежит несколько драгоценных камней (но не больше 1000). Известно, что 2/9 всех камней составляют алмазы, 4/11 - рубины, 1/7 - сапфиры, а остальные - изумруды. Сколько изумрудов в этой шкатулке?
Решение. (2/9)+(4/11)+(1/7)=505/693. Число 693 - единственное возможное среди чисел, не превосходящих 1000. Поэтому, общее число камней - 693. Доля изумрудов составляет 1-(505/693)=188/693.
Ответ. 188 изумрудов.

Задача 5. На плоскости отмечены 6 точек (как на рисунке), причём АВ=АF; BC=CD; DE=EF. Верно ли, что биссектрисы углов A, C и Е пересекаются в одной точке?

Решение. Верно, так как биссектрисы углов A, C и E являются высотами и медианами треугольников ABF, BCD и DEF, а значит серединными перпендикулярами треугольника BDF.
Ответ. Верно.

Задача 6. Является ли число
44...4 + 11...1 - 66...6
(2002 цифр '4', 1001 цифра '1', 1000 цифр '6')
квадратом натурального числа?
Решение.
44...4+11...1-66...6=
=(4/9)*(102000-1)+(1/9)*(101001-1)-(6/9)*(101000-1)=
=(4/9)*102000-(4/9)+(10/9)*101000-(1/9)-(6/9)*101000+(6/9)=
=(4/9)*102000+(4/9)*101000+(1/9)=
=(1/9)*(4*102000+4*101000+1)=
=(1/9)*(2*101000+1)2=
=((2*101000+1)/3)2 
Сумма цифр числа 2*101000+1 равна 3, а поэтому оно делится на 3.
Ответ. Верно.

9 класс

Блинков Александр Давидович 

Задача 1. Найдите значение x, при котором функция y=(x-a)2+(x-b)2 принимает своё наименьшее значение.
Решение. Приведём уравнение к виду: y=2x2-2(a+b)x+(a2+b2). Квадратичная функция с положительным первым коэффициентом свое наименьшее значение принимает в "вершине", то есть при x=-(-2(a+b)/4)=(a+b)/2.
Ответ. При x=(a+b)/2.

Задача 2. АВС - равносторонний треугольник со стороной а. На расстоянии а от вершины А взята точка D. Найдите величину угла BDC.
Решение. Рассмотрим окружность с центром в точке А и радиусом а. Точки В, С и D лежат на этой окружности, следовательно, /BDC - вписанный. Значит, в зависимости от расположения точки D, величина этого угла равна 30o или 150o.
Ответ. 30o или 150o.

Задача 3. Решите систему уравнений для положительных x, y и z:
x+(1/y)=2-(y-z)2 
y+(1/z)=2-(x-y)2 
z+(1/x)=2-(z-x)2 
Решение. Сложив почленно все уравнения системы, получим уравнение:
x+y+z+(1/x)+(1/y)+(1/z)=6-(x-y)2-(y-z)2-(z-x)2. Известно, что при любом положительном значении а выполняется неравенство: а+(1/a)>2. Применяя это свойство положительных взаимно обратных чисел, получим, что при любых положительных x, y и z левая часть уравнения принимает значения большие или равные шести, а правая часть, очевидно, - меньшие или равные шести. Следовательно, равенство возможно тогда и только тогда, когда обе части уравнения принимают значение 6. Это произойдет, если x=y=z. Подставив это в любое из уравнений системы, имеем, что x=y=z=1.
Ответ. x=y=z=1.

Задача 4. Ваня предлагает Вите выписать N различных двузначных чисел. При каком наименьшем N Ваня всегда сможет выбрать среди выписанных Витей чисел такие два, что их разность записывается двумя одинаковыми цифрами?
Решение. Если разностью двух чисел является число, записываемое двумя одинаковыми цифрами, то эта разность делится без остатка на число 11. Чтобы это выполнялось, среди выписанных должны быть обязательно два числа, имеющие одинаковые остатки от деления на 11. Так как существует 11 различных остатков от деления различных натуральных чисел на 11, то (по принципу Дирихле) необходимо выписывать 12 чисел.
Ответ. 12 чисел.

Задача 5. В выпуклом четырёхугольнике ABCD: AB=CD, /A=/С. Верно ли, что этот четырёхугольник - параллелограмм?
Решение. Рассмотрим две окружности одинакового радиуса, пересекающиеся в точках В и D. В одной из них проведём хорду АВ на некотором расстоянии от её центра О, а в другой - хорду CD на таком же расстоянии от центра О1, причём в одном случае точки О и О1 должны лежать в одной полуплоскости относительно хорды, а в другом случае - в разных полуплоскостях.

Получим, что АВ=CD, так как это хорды в равных окружностях, которые расположены на равном расстоянии от их центров, и /ВАD=/ВCD, так как эти углы вписаны в равные окружности и опираются на равные дуги. При этом, AB и CD - не параллельны, так как во второй окружности существует хорда DE, параллельная АВ (DE=DC и лежит по другую сторону от точки О1). Следовательно, четырёхугольник ABCD - не параллелограмм.
Ответ. Неверно.

Задача 6. Выписаны в ряд числа от 1 до 2000. Играют двое, делая ходы поочередно. За один ход разрешается вычеркнуть любое из записанных чисел вместе со всеми его делителями. Выигрывает тот, кто зачеркнёт последнее число. Докажите, что у первого игрока есть способ играть так, чтобы всегда выигрывать.
Решение. По правилам игры ничьих не бывает, поэтому либо первый игрок, либо второй имеет выигрышную стратегию. Первый игрок может "передать ход" второму, вычеркнув первым ходом 1. Действительно, пусть второй вычёркивает число x и все его делители. После этого хода вычеркнуты те числа, какие были бы вычеркнуты, если бы первый игрок первым своим ходом вычеркнул x (и все его делители). Поэтому у второго игрока не может быть выигрышной стратегии: первый игрок, "передав ход", может играть, следуя любой стратегии второго игрока. Значит, выигрышная стратегия есть у первого игрока.

10 класс

Юрченко Евгений Владимирович 

Задача 1. Решить уравнение

|x+4|+|x|+|x-4|=8-x2.

Решение. Минимум левой части совпадает с максимумом правой, и достигаются они в одной точке x=0, что проще всего увидеть, построив графики правой и левой части.
Ответ. x=0.

Задача 2. Найти все числа x, принадлежащие отрезку [0;1], и удовлетворяющие уравнению

sin4(cos43x)+cos4(cos43x)=1.

Решение. Сравнивая данное уравнение с основным тригонометрическим тождеством, заключаем, что оно может иметь решения лишь при условии cos43x=πn/2, где nCN, но, учитывая область значений функции cos(x), получаем, что n=0.
Ответ. x=π/6.

Задача 3. На плоскости заданы шесть точек, являющихся вершинами выпуклого шестиугольника. Доказать, что отношение наибольшего расстояния между двумя из заданных точек к наименьшему не менее 31/2.
Решение. Один из углов шестиугольника не менее 120o. Рассмотрим вершину этого угла и две соседние с ней. В полученном треугольнике наибольшая сторона превосходит наименьшую не менее, чем в 31/2 раз, что следует непосредственно из теоремы косинусов, записанной для выделенного треугольника.

Задача 4. На доске записаны два числа a и b (a>b). Их стирают и заменяют числами (a+b)/2 и (a-b)/2. С вновь записанными числами поступают аналогичным образом. Верно ли, что после нескольких стираний разность между записанными на доске числами станет меньше 1/2001?
Решение. Записанные на доске числа будут иметь вид: a/(2k1), b/(2k1), (a-b)/(2k2), (a+b)/(2k2), где числа k1, k2 - неограниченно возрастают и, следовательно, сами записанные числа стремятся к нулю, то есть разность между ними может быть сделана как угодно малой.
Ответ. Да, верно.

Задача 5. В пространстве задан параллелограмм с острым углом α. Через вершины данного параллелограмма проведено 4 луча, не лежащие в плоскости параллелограмма и имеющие общую точку. Существует ли плоскость, пересекающая эти лучи в вершинах параллелограмма с другим острым углом?
Решение. Противолежащие стороны параллелограмма параллельны линии пересечения плоскостей, которым они принадлежат (эти плоскости образованы парами лучей, проходящих через смежные вершины параллелограмма). Поскольку таких плоскостей две пары, то острый угол параллелограмма равен острому углу между линиями пересечения данных плоскостей.
Ответ. Получить параллелограмм с другим острым углом нельзя.

Задача 6. К окружности (R1=4) строится окружность, касающаяся её внешним образом (R2=2), затем строится окружность, касающаяся этих двух внешним образом (R3=1). На каждом следующем шаге строится окружность радиуса вдвое меньше предыдущей, касающаяся внешним образом двух окружностей, построенных на двух предшествующих шагах. Доказать, что:
а) все построенные окружности поместятся в квадрат со стороной 10(1+(1/21/2));
б) все построенные окружности поместятся в круг радиуса 22/3.
Решение. Пусть О1, O2, O3, ... - центры построенных окружностей, тогда треугольники O1O2O3,
O4O5O6 и т. д. подобны с k=0,25, причём стороны O1O2, O4O5 и т. д. параллельны, а точки O1, O3, O5, O7,... лежат на одной прямой, и длина отрезка O1S есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, равная 20/3. (S - предельная точка последовательности O1, O2, O3, ...). Строится квадрат с наименьшей стороной, вмещающий окружности O1 и O2, он имеет сторону, указанную в условии задачи (O1 и O2 лежат на диагонали этого квадрата), в него войдут все окружности.
Для ответа на второй вопрос построим окружность с диаметром O1S и, прибавив к её радиусу 2, и сместив центр на 2 вдоль линии O1S в сторону точки O1, получим круг с R=22/3.

11 класс

Чулков Павел Викторович 

Задача 1. Решите уравнение

(sin x - (sin x + cos x)1/2)1/2 = cos x.

Решение. Заметим, что cos x > 0 и sin x >(sin x + cos x)1/2, но учитывая, что sin x <(sin x)1/2, а значит и sin x <(sin x + cos x)1/2 получим, sin x =(sin x + cos x)1/2, откуда cos x = 0 и sin x = 1, следовательно x=(π/2)+2πn, nCZ.
Ответ. x=(π/2)+2πn, nCZ.

Задача 2. На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC выбрана произвольная точка M и из нее опущены перпендикуляры MK и MP на катеты этого треугольника. При каком положении точки M длина отрезка PK будет наименьшей?
Решение. Учитывая равенство диагоналей MC и PK, получаем, что длина отрезка PK будет наименьшей при условии, что CM - высота треугольника ABC. При выборе любой другой точки M1 на гипотенузе AB, получим прямоугольный треугольник CMM1, в котором CM - катет, а CM1 - гипотенуза.
Ответ. M - основание высоты CM.

Задача 3. Найдите наименьшее расстояние между точками прямой y=x-1 и параболы y=x2.
Решение. Искомое расстояние - это расстояние от прямой y=x-1 до касательной к параболе, параллельной этой прямой. Уравнение касательной: y=x-(1/4). Искомое расстояние - расстояние между данными прямыми - равно высоте в прямоугольном равнобедренном треугольнике со стороной 3/4, то есть 3/(4*21/2).
Ответ. 3/(4*21/2).

Задача 4. Можно ли разбить куб на шесть равных тетраэдров?
Решение. Разобьём куб ABCDA1B1C1D1 на три равных четырёхугольных пирамиды AA1BCD, A1CDD1C1 и A1BCC1B1, каждую из которых затем разобьём на две равные треугольные пирамиды диагональю боковой грани.
Ответ. Да.

Задача 5. Может ли сумма 1000 последовательных нечётных чисел быть седьмой степенью натурального числа?
Решение. Пусть (n-999), (n-997), ..., (n-1), (n+1), ..., (n+999) - тысяча последовательных нечётных чисел. Тогда их сумма S=(n-999)+(n-997)+...+(n-1)+(n+1)+...+(n+999)=1000n. Если n=104, то S=1000n=107, то есть седьмой степени натурального числа.
Ответ. Да.

Задача 6. Из произвольной точки круглого бильярдного стола пущен шар. Докажите, что внутри стола найдётся такая окружность, что траектория шара её ни разу не пересечёт.
Решение. Заметим, что при отражении от "круглой стенки" угол падения шара (то есть угол между звеном и перпендикуляром к касательной к окружности бильярда в точке падения шара) равен углу отражения (то есть угол между следующим звеном и тем же перпендикуляром). Заметим, что расстояние от центра круга до звена ломаной из траектории не меняется.
Если это расстояние R>0, то годится любая окружность с центром в центре бильярдного стола и радиусом rЕсли R=0, то траекторией шара является один из диаметров стола, всё остальное пространство свободно и там можно разместить какую-нибудь окружность

5 класс

5.1. В примере на сложение двух чисел первое слагаемое меньше суммы на 2000, а сумма больше второго слагаемого на 6. Восстановите пример.

5.2. Составьте квадрат, используя ровно четыре из пяти изображенных ниже фигур. Каждую из четырех выбранных Вами фигур можно использовать только один раз.

5.3. Без ореха (от дупла до орешника) белка бежит со скоростью 4 м/сек, а с орехом (от орешника до дупла) — со скоростью 2 м/сек. На путь от дупла до орешника и обратно она тратит 54 секунды. Найдите расстояние от дупла до орешника. Ответ обоснуйте.

5.4. В день рождения дяди Федора почтальон Печкин хочет выяснить, сколько тому лет. Шарик говорит, что дяде Федору больше 11 лет, а кот Матроскин утверждает, что больше 10 лет. Сколько лет дяде Федору, если известно, что ровно один из них ошибся? Ответ обоснуйте.

5.5. В забеге от Воробьевых гор до Красной площади приняли участие три спортсмена. Сначала стартовал Гриша, затем — Саша, и последней — Лена. После финиша выяснилось, что во время забега Гриша обгонял других 10 раз, Лена — 6 раз, Саша — 4 раза, причем все трое ни разу не оказывались в одной точке одновременно. В каком порядке финишировали спортсмены, если известно, что они пришли к финишу в разное время? Ответ обоснуйте.

Решения.

5.1. Ответ: 6+2000 = 2006.

Если из суммы двух чисел вычесть одно из слагаемых, то получится другое слагаемое. Из условия следует, что второе слагаемое равно 2000, а первое - равно 6.

5.2. Ответ: cм. рисунок.

Можно определить длину стороны искомого квадрата. Общее количество клеток пяти фигур равно 4+5+6+6+9=30. Значит, если можно составить квадрат, то только со стороной 5. Таким образом, лишней является фигура из пяти клеток.

5.3. Ответ: 72 метра.

Поскольку обратно белка бежит в два раза медленнее, то время, затраченное белкой на обратную дорогу, в два раза больше времени, которое она тратит на дорогу от дупла до орешника. Поэтому, время, затраченное на дорогу от дупла до орешника, в три раза меньше времени, затраченного на всю дорогу, то есть, равно 54 : 3 = 18 секунд. Следовательно, расстояние от дупла до орешника равно 18*4 = 72 метра.

5.4. Ответ: дяде Федору 11 лет.

Заметим, что если не ошибся Шарик, то не ошибся и Матроскин, что противоречит условию. Значит, Шарик сказал неправду, в отличие от кота Матроскина. Таким образом, дяде Федору больше 10 лет, но не меньше 11. Следовательно, дяде Федору исполнилось 11 лет.

5.5. Ответ: первым финишировал Гриша, затем - Саша, и последней - Лена.

Гриша стартовал первым. Чтобы он смог совершить 10 обгонов, необходимо чтобы Саша и Лена обогнали его хотя бы 10 раз. Так как общее количество обгонов Саши и Лены равно 6 + 4 = 10, то они обгоняли только Гришу и не обгоняли друг друга. После того, как Гриша совершил все 10 обгонов, он опять оказался первым. Значит, спортсмены финишировали в том же порядке, в котором и стартовали.

6 класс

6.1. В саду у Ани и Вити росло 2006 розовых кустов. Витя полил половину всех кустов, и Аня полила половину всех кустов. При этом оказалось, что ровно три куста, самые красивые, были политы и Аней, и Витей. Сколько розовых кустов остались не политыми?

6.2. Цифры трёхзначного числа A записали в обратном порядке и получили число B. Может ли число, равное сумме A и B, записываться только нечётными цифрами?

6.3. В стране Полосатии произошёл переворот и новый лидер приказал перекроить старый флаг на новый (см. рисунки). Как выполнить такой приказ, если разрешается разрезать старый флаг ровно на четыре части?

6.4. Чтобы испечь сто блинов, маме требуется 30 минут, а Ане — 40 минут. Андрюша готов съесть 100 блинов за час. Мама с Аней пекут блины без остановки, а Андрюша непрерывно их поедает. Через какое время после начала этого процесса на столе окажется ровно сто блинов?

6.5. В норке живёт семья из 24 мышей. Каждую ночь ровно четыре из них отправляются на склад за сыром. Может ли так получиться, что в некоторый момент времени каждая мышка побывала на складе с каждой ровно по одному разу?

Решения.

6.1.Ответ: 3 куста.

Витя полил 1003 куста, из них 1000 он поливал один, а три вместе с Аней. Точно так же Аня полила 1003 куста, из них 1000 она поливала в одиночку, а три ╕ с Витей. Значит, вместе они полили 1000+1000+3=2003 куста. Следовательно, остались не политыми 2006-2003=3 розовых куста.

6.2.Ответ: да, может.

Пусть, например, A=219. Тогда B=912, A+B=1131.

6.3.Ответ: cм. рисунок.

6.4.Ответ: через 24 минуты.

Первый способ. Мама печёт сто блинов за полчаса, значит, за два часа она испечёт 400 блинов. Аня печёт сто блинов за сорок минут, поэтому, за два часа она испечёт 300 блинов. Андрюша за эти два часа съест двести блинов. Получается, что через два часа на столе окажется 400 + 300 - 200 = 500 блинов. Следовательно, для того, чтобы на столе оказалось сто блинов, потребуется времени в пять раз меньше, то есть 120 : 5 = 24 минуты.
Второй способ. Производительность мамы при выпекании блинов равна 100/30= 3 1/3 блина в минуту. Производительность Ани равна 100/40=2 1/2 блина в минуту. Производительность Андрюши при поедании блинов равна 100/60=1 2/3 блина в минуту. За каждую минуту стараниями мамы, Ани и Андрюши на столе появляется 3 1/3 + 2 1/2 - 1 2/3 = 4 1/6 блина. Следовательно, сто блинов появятся на столе за 100 : 4 1/6 = 24 минуты.

6.5.Ответ: нет, такого быть не может.

Каждая мышка за одну ночь может побывать на складе с тремя другими мышками. Чтобы побывать на складе с каждой из 23 других мышек по одному разу, ей необходимо 23:3 ночей. Но число 23 не делится нацело на три. Поэтому такая ситуация невозможна.

7 класс

7.1. У двузначного числа первая цифра вдвое больше второй. Если к этому числу прибавить квадрат его первой цифры, то получится квадрат некоторого целого числа. Найдите исходное двузначное число.

7.2. Петя тратит 1/3 своего времени на игру в футбол, 1/5 — на учебу в школе, 1/6 — на просмотр кинофильмов, 1/70 — на решение олимпиадных задач, и 1/3 — на сон. Можно ли так жить?

7.3. Отметьте на плоскости 6 точек так, чтобы на расстоянии 1 от каждой из них находилось ровно 3 из отмеченных точек.

7.4. В магическом квадрате суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и на обеих диагоналях равны. Можно ли составить магический квадрат 3x3 из первых девяти простых чисел? Число называется простым, если у него ровно два делителя — единица и само число. 

7.5. На физическом кружке учитель поставил следующий эксперимент. Он разложил на чашечные весы 16 гирек массами 1, 2, 3, ..., 16 грамм так, что одна из чаш перевесила. Пятнадцать учеников по очереди выходили из класса и забирали с собой по одной гирьке, причем после выхода каждого ученика весы меняли свое положение и перевешивала противоположная чаша весов. Какая гирька могла остаться на весах?

Решения.

7.1. Ответ: 21.

Первая цифра в два раза больше второй только у следующих двузначных чисел: 21, 42, 63 и 84. Проверкой убеждаемся, что условию задачи удовлетворяет только число 21.

7.2.Ответ: нет, так жить нельзя.

Поскольку 1/5+1/6>1/3, то, сумма данных дробей 1/3+1/5+1/6+1/70+1/3>1, что противоречит здравому смыслу.

7.3. Ответ: например, см. риcунок.

Рассмотрим квадрат ABCD со стороной 1. Построим на стороне AB во внешнюю сторону и на стороне CD во внутреннюю сторону равносторонние треьники ABE и CDF. Точки A, B, C, D, E и F - искомые.

7.4. Ответ: нельзя.

Пусть первые девять простых чисел как-то расставлены в клетках квадрата. Среди них есть ровно одно четное число - 2. Сумма чисел в строке, содержащей двойку, - четная (сумма двух нечетных и одного четного чисел). В строках, не содержащих двойку, сумма чисел нечетна, следовательно суммы чисел в каких-то двух строках разные и получить магический квадрат нельзя.

7.5. Ответ: на весах осталась гиря массой 1 грамм.

Поскольку в каждый момент времени массы на чашах весов отличались хотя бы на 1 грамм, то для того, чтобы перевесила противоположная чаша, необходимо забрать гирю массой не менее двух грамм. Следовательно, выходя из класса, ни один ученик не мог забрать гирю массой 1 грамм.

8 класс

8.1. Решите уравнение: |x-2005|+|2005-x|=2006.

8.2. Боковая сторона трапеции равна одному из оснований и вдвое меньше другого. Докажите, что другая боковая сторона перпендикулярна одной из диагоналей трапеции.

8.3. На вопрос о возрасте его детей математик ответил: "У нас с женой трое детей. Когда родился наш первенец, суммарный возраст членов семьи был равен 45 годам, год назад, когда родился третий ребёнок — 70 годам, а сейчас суммарный возраст детей — 14 лет". Сколько лет каждому ребенку, если известно, что у всех членов семьи дни рождения в один и тот же день?

8.4. В треьнике ABC проведены биссектрисы AA1 и CC1. M и K — основания перпендикуляров, опущенных из точки B на прямые АА1 и СС1. Докажите, что MK || AC.

8.5. Маша задумала натуральное число и нашла его остатки при делении на 3, 6 и 9. Сумма этих остатков оказалась равна 15. Найдите остаток от деления задуманного числа на 18.

8.6. На клетчатой бумаге нарисован прямоьник 5x9. В левом нижнем углу стоит фишка. Коля и Серёжа по очереди передвигают ее на любое количество клеток либо вправо, либо вверх. Первым ходит Коля. Выигрывает тот, кто поставит фишку в правый верхний. Кто выигрывает при правильной игре?

Решения.

8.1. Ответ: 1002; 3008.

Первый способ. Используя равенство модулей противоположных чисел, получим, что |x-2005|=1003. Отсюда x-2005=+-1003 , то есть x=1002 или x=3008.

Второй способ. Если x>=2005, то 2(x-2005)=2006, откуда x=3008. Если x<2005, то 2(2005-x)=2006, откуда x=1002.

8.2. Первый способ. Пусть ABCD - трапеция, AB = BC = 1/2 AD. Рассмотрим точку E - середину AD (см. рис.). Тогда ABCE - параллелограмм, так как AE и BC равны и параллельны. Поэтому EC = AB = 1/2 AD. Следовательно, в треугольнике ACD медиана CE равна половине стороны AD, к которой она проведена. Поэтому, ACD равен 90o.

Второй способ. Достроим трапецию ABCD до параллелограмма ABMD (см. рис.). Тогда ABC + CMD = 180o. Поскольку треугольники ABC и CMD - равнобедренные, то BCA=90o-ABC/2 и MCD=90o-CMD/2, следовательно, BCA + MCD=180o-(ABC + CMD)/2=90o.

Третий способ. Достроим трапецию до треугольника AFD (см. рис.). Поскольку BC:AD=1:2, то и BF:AF=FC:FD=1:2, следовательно, BC - средняя линия этого треугольника. Также CAD=BCA=BAC, то есть, AC - биссектриса и медиана треугольника AFD, следовательно, она является и высотой.

8.3. Ответ: 8 лет, 5 лет, 1 год.

Из условия задачи следует, что третьему ребенку 1 год. Пусть год назад первому и второму ребенку было x и y лет соответственно. В это же время суммарный возраст родителей был равен 45 + 2x. По условию, суммарный возраст семьи в это время равняется 70 годам, следовательно, 70 - 45 = 3x + y. Сейчас суммарный возраст детей - 14 лет, поэтому (x + 1) + (y + 1) + 1 = 14. Решая систему уравнений, получим x = 7, y = 4. Следовательно, первому ребенку сейчас 8 лет, второму - 5 лет.

8.4. 

Первый способ. Продолжим BM и BK до пересечения с AC в точках D и F соответственно (см. рис.). Так как AM - биссектриса и высота треугольника ABD, то этот треьник - равнобедренный. Следовательно, M - середина DB. Аналогично, K - середина BF. Следовательно, MK - средняя линия треугольника BDF, поэтому MK || DF, то есть MK || AC.

В приведенном способе решения не существенно, где располагаются точки K и M - вне треугольника ABC или внутри него. 

Второй способ. Пусть O - точка пересечения биссектрисс треугольника ABC (см. рис. 8.4), а углы A и C треугольника ABC равны 2a и 2b соответственно. Тогда BA1M=OA_1C=180o-a-2b, а A1BM=90o-(180o-a-2b)=a+2b-90o. Поскольку OBC=90o-a-b, то OBM = OBC+A1BM=90o-a-b+a+2b-90o =b=OCA. Четырехугольник KBMO - вписанный (так как сумма его противоположных углов равна 180o), следовательно, OKM = OBM=b, следовательно, KM || AC.

8.5. Ответ: 17.

Первый способ. Остаток при делении числа на 3 не превосходит 2, при делении на 6 - не превосходит 5, при делении на 9 - не превосходит 8. Так как сумма этих остатков равна 15 = 2 + 5 + 8, они равны соответственно 2, 5 и 8.
Дальнейшее рассуждение можно проводить по-разному.
1) Так как задуманное число дает остаток 8 при делении на 9 , то при делении на 18 оно может давать остаток 8 или остаток 17 . В первом случае остаток при делении на 6 равен 2 , что противоречит условию. Во втором случае условие задачи выполняется.
2) Задуманное число, увеличенное на 1, делится на 3, 6 и 9, следовательно, оно делится и на 18. Следовательно, задуманное Машей число при делении на 18 дает остаток 17.

Второй способ. По остатку от деления числа на 18 можно определить остатки от деления этого числа на 3, 6 и 9. Таким образом, для решения задачи достаточно перебрать все возможные остатки при делении на 18, и для каждого из них проверить сумму остатков при делении на 3, 6 и 9. Перебор можно оформить в виде таблицы:

Из таблицы видно, что при делении на 18 может получиться только остаток 17.

8.6. Ответ: выигрывает Коля.

Каждым своим ходом Коля ставит фишку на одну из клеток отмеченной диагонали (см. рисунок). Сережа своим ходом ее оттуда убирает. Поскольку они ходят только вправо или вверх, то когда-нибудь игра закончится.

Задачу можно также решать с конца при помощи анализа выигрышных и проигрышных позиций. 

9 класс

9.1. Решите уравнение .

9.2. Один из углов треугольника на 120o больше другого. Докажите, что биссектриса треугольника, проведённая из вершины третьего угла, вдвое длиннее, чем высота, проведенная из той же вершины.

9.3. Сравните без помощи калькулятора числа:

.

9.4. 20 шахматистов сыграли турнир в один круг (каждый сыграл с каждым по одной партии). Корреспондент "Спортивной газеты" написал в своей заметке, что каждый участник этого турнира выиграл столько же партий, сколько и свёл вничью. Докажите, что корреспондент ошибся.

9.5. Гриша едет по маршруту длиной 100 км. В его автомобиле имеется компьютер, дающий прогноз времени, оставшегося до прибытия в конечный пункт. Это время рассчитывается исходя из предположения, что средняя скорость автомобиля на оставшемся участке пути будет такой же, как и на уже пройденном.

Сразу же после старта компьютер показал "2 часа" и всё дальнейшее время показывал именно это число (компьютер исправен). Найдите x(t) — зависимость пути, который проехал Гриша, от времени с момента старта. Постройте график этой зависимости.

9.6. В окружности с центром O проведены три равные хорды AB, CD и PQ (см. рисунок). Докажите, что MOK равен половине угла BLD.

Решения.

9.1. Ответ: -2.

На области определения уравнение можно привести к виду x+1+x/(x+1)=1. Умножим обе части уравнения на x + 1. После упрощения получим: x2 + 2x = 0$, то есть, x = 0 или x = -2. Корнем уравнения является только x = -2.

9.2. Пусть ABC - данный треугольник, B = a, A = 120o + a. Тогда C = 60o - 2a. Если CL - биссектриса данного треугольника, то CLA = LCB + LBC = (30o - a)+a = 30o. Пусть CH - высота треугольника АВС, тогда в треугольнике CLH катет CH, лежащий против угла в 30o, в два раза меньше, чем гипотенуза CL.

9.3. Ответ: первое число больше.

Первый способ. Рассмотрим разность между данными числами: ==,
так как первая дробь больше второй. Действительно, числитель первой дроби больше числителя второй, а знаменатель - меньше.

Второй способ. Пусть n=2005, тогда требуется сравнить следующие числа: A= и B=. Поскольку оба числа положительны, то достаточно сравнить их квадраты:

A2=2n+1++2,

B2=2n+1++2.

Поскольку ()2=n(n+1)+(n+1) >(n+1)n+n =()2, то и >. Также >, cледовательно, квадрат первого числа больше квадрата второго, то есть, A>B.

9.4. Пусть корреспондент прав, и i-ый шахматист выиграл ni партий, и столько же свел вничью. Поскольку он сыграл 19 партий, то остальные 19 - 2ni партий он проиграл. Так как партия, выигранная одним из участников, является проигранной для другого, то суммарное количество выигранных партий равно суммарному количеству проигранных: n1 + n2 + ... + n20 = (19 - 2n1) + (19 - 2n2) + ... + (19 - 2n20). То есть, 3(n1 + n2 + ... + n20) = 19*20, откуда n1 + n2 + ... + n20 = 19*20/3, но это невозможно, так как в левой части равенства стоит целое число, а в правой - не целое.

9.5. Через t часов с момента старта Гриша проедет x(t) километров. Его средняя скорость составит x(t)/t км/ч. Оставшиеся 100 - x(t) км Гриша, по мнению компьютера, будет двигаться с той же средней скоростью, то есть проедет этот участок за (100-x(t))/(x(t)/t) ч, что по условию всегда составляет 2 ч. Тогда (100-x(t))(x(t)/t)=2, то есть, x(t)=100t/(t+2), t > 0. Это и есть искомая зависимость.

Для построения графика преобразуем: 100t/(t+2)=(100(t+2)-200)/(t+2)=100-200/(t+2), t > 0. Графиком функции x(t)=100-200/(t+2), где t>0, является часть гиперболы x(t)=-200/t, смещённой на 2 влево и на 100 вверх. Схематичный график зависимости пройденного расстояния от времени приведён на рисунке.

9.6. Докажем вспомогательное утверждение: через точку внутри окружности, отличную от центра, можно провести не более двух хорд равной длины.

"Алгебраическое доказательство". Пусть через точку Z проходят три хорды длины a. Для каждой из них произведение отрезков, на которые их делит точка Z, постоянно и равно, допустим, m. Расмотрим одну из хорд. Пусть точка Z делит эту хорду на отрезки длины x1 и x2. Тогда x1+x2=a, x1*x2=m, следовательно, числа x1 и x2 - корни уравнения x2 - ax + m = 0. Корнями того же уравнения будут длины отрезков, на которые точка Z разбивает остальные две хорды. Но у этого уравнения только два корня, а это означает, что каждая из хорд точкой Z разбивается в точности на отрезки длиной x1 и x2. Это значит, что окружность с центром Z радиуса x1 имеет с данной окружностью по крайней мере три общие точки. Тогда она обязана с ней совпадать, но Z - не центр исходной окружности. Противоречие.

"Геометрическое доказательство". Равные хорды одной окружности опираются на равные дуги, поэтому они переводятся друг в друга поворотом вокруг центра O этой окружности. Следовательно, эти хорды равноудалены от точки O, поэтому, касаются некоторой окружности с центром О. Из данной точки к данной окружности можно провести не более двух касательных.

Теперь обратимся к нашей задаче (см. рисунок). Рассмотрим симметрию относительно прямой OM. При этой симметрии окружность перейдёт сама в себя, а хорда AB - в некоторую хорду той же длины, проходящую через точку M. Этой хордой, в силу доказанного утверждения, является хорда QP. Из симметрии следует равенство углов: OMA = OMQ =a. Аналогично, рассматривая симметрию относительно OK , получим, что OKP = OKD=b. Тогда KOM = 180o - a - b и KLB = LMK + LKM = 180o - 2a + 180o - 2b= 360o - 2(a + b) = 2KOM, что и требовалось.

10 класс

10.1. Один градус шкалы Цельсия равен 1,8 градусов шкалы Фаренгейта, при этом 0o по Цельсию соответствует 32o по шкале Фаренгейта. Может ли температура выражаться одинаковым числом градусов как по Цельсию, так и по Фаренгейту?

10.2. Даны квадратные трехчлены f и g с одинаковыми старшими коэффициентами. Известно, что сумма четырех корней этих трехчленов равна р . Найдите сумму корней трехчлена f + g, если известно, что он имеет два корня.

10.3. Дан равносторонний треьник АВС. Точка К — середина стороны АВ, точка М лежит на стороне ВС, причем ВМ : МС = 1 : 3. На стороне АС выбрана точка P так, что периметр треугольника РКМ — наименьший из возможных. В каком отношении точка Р делит сторону АС?

10.4. Найдите все простые числа р, для каждого из которых существует натуральное число m такое, что  — также натуральное число.

10.5. Укажите все выпуклые четырехугольники, у которых суммы синусов противолежащих углов равны.

10.6. В кубе АВСDА1В1С1D1 площадь ортогональной проекции грани АА1В1В на плоскость, перпендикулярную диагонали АС1, равна 1. Найдите площадь ортогональной проекции куба на эту плоскость.

Решения.

10.1. Ответ: да, может.

Из условия следует, что температура по Фаренгейту выражается через температуру по Цельсию следующим образом: TF = 1,8TC + 32o. Если TF = TC = x, то x = 1,8x + 32, то есть, x = - 40.

Заметим, что корень уравнения можно было и не находить. Достаточно указать, что графики линейных функций с неравными угловыми коэффициентами пересекаются.

10.2. Ответ: p/2.

Пусть f(x) = ах2 + b1x + c1; x1, x2 - его корни, g(x) = ax2 + b2x + c2; x3, x4 - его корни. Тогда, по теореме Виета, x1 + x2 = -b1/a; x3 + x4 = -b2/a. По условию, x1 + x2 + x3+ x4 = -(b1+b2)/a=p. Так как f(x) + g(x) = 2ах2 + (b1 + b2)х + (c1 + c2), то сумма корней этого трехчлена равна: -(b1+b2)/2a=p/2.

10.3. Ответ: AP : PC = 2 : 3.

Так как отрезок КМ зафиксирован, то периметр треугольника PKM наименьший из возможных тогда и только тогда, когда длина ломаной KPM - наименьшая из возможных (см. рисунок). Для того, чтобы построить такую точку P достаточно рассмотреть точку M', симметричную точке М относительно прямой АС. Тогда Р - точка пересечения KМ' и АС. Действительно, длина ломаной KPM равна KP + PM = KP + PM' = KM'. Для любой точки Q отрезка АС, отличной от P, KQ + QM = KQ + QM' > KM'. Так как MPC = M'PC = KPA, то треугольники МРС и КPA подобны по двум углам. Следовательно, AP : CP = АК : CM = 1/2 : 3/4 = 2 : 3.

10.4. Ответ: р - любое нечетное простое число.

Пусть p - нечетное, то есть, р = 2t + 1, где t - натуральное число. Тогда условие задачи выполняется для m = t2.

Осталось рассмотреть случай p=2. Пусть для некоторого m + - натуральное число. Тогда =y-, то есть, = y2-2y+m. Следовательно, =(2-y2)/2y, то есть, - рациональное число. Тогда - целое число. В этом случае также должен быть целым числом. Но квадратов натуральных чисел, различающихся на 2, не существует.

10.5. Ответ: параллелограмм или трапеция.

Рассмотрим четырехугольник АВСD (см. рисунок). Проведем диагональ ВD и введем обозначения: АВD = a; CBD = b; ADB = g; CDB = d. Тогда BАD = 180o - (a + g), BCD = 180o - (b + d).

Тогда, по условию sin(a + g) + sin(b + d) = sin(a + b) + sin(g + d). Применяя формулу преобразования суммы синусов в произведение, получаем: 2sin(a+b+g+d)/2*cos(a-b+g-d)/2= 2sin(a+b+g+d)/2*cos(a+b-g-d)/2. Разделив обе части равенства на выражение, отличное от нуля, получим: cos(a-b+g-d)/2= cos(a+b-g-d)/2. Тогда по формуле разности косинусов -2sin(a-d)/2sin(g-b)/2=0. Следовательно, a = d или b = g, это означает, что хотя бы две стороны данного четырехугольника параллельны.

10.6. Ответ: 3.

Первый способ. Выберем плоскость проекции так, чтобы она проходила через центр куба. Сечением куба этой плоскостью является правильный шестиугольник MNKLPQ (см. рисунок слева). Проекцией куба на эту плоскость является шестиугольник A1'B1'B'C'D'D1' (см. рисунок в центре), вершины которого являются центрами правильных треугольников, построенных на сторонах шестиугольника MNKLPQ, поэтому полученный шестиугольник также является правильным, причем вершины A и C1 куба проектируются в его центр. Проекцией грани АА1В1В является параллелограмм A'A1'B1'B'. Его площадь в три раза меньше площади проекции куба.

Второй способ. Грани A1B1C1D1, BCC1B1 и CDD1C1 образуют одинаковый угол с диагональю AC1 (см. рисунок слева), поэтому они образуют равные углы и с плоскостью, перпендикулярной этой диагонали. Тогда проекции этих граней на плоскость, перпендикулярную диагонали AC1, равны. Таким образом, проекция куба выглядит так, как показано на рисунке справа, следовательно, ее площадь равна 3.