Практика: учимся решать экономические ЗАДАЧИ!

Бархатова Валентина Викторовна
 Решение задач: от 5 класса к вершинам математики!
 
Коллеги! 
 
Поделюсь с вами ценным опытом: уверена, что учить решать задачи нужно начинать уже с 5 класса, вводя классификацию типов задач и различные подходы к их решению. 
 
На этой странице вы найдете:
 
* Материалы по классификации задач.
* Методические разработки по обучению различным способам решения задач (графическим, алгебраическим, логическим).
* Идеи для внеурочной работы по мотивации учеников к решению задач, развивающие их интерес и исследовательские навыки.
 
Почему это важно?
 
Решение задач – это не просто "механика", а ключ к глубокому пониманию математики, развитию логики, критического мышления и аналитических навыков. 
 
Чем раньше мы начнем прививать любовь к решению задач, тем успешнее наши ученики будут в будущем!
 
Приглашаю вас ознакомиться с материалами, которые буду постоянно обновлять!

Скачать:

Предварительный просмотр:


Подписи к слайдам:

Слайд 1

Экономические задачи Подготовка к ЕГЭ.

Слайд 2

Экономические задачи Под задачами с экономическим содержанием будем понимать задачи, поставленные в области экономики, решение которых требует использования математического аппарата.

Слайд 3

Содержание критерия Баллы Обоснованно получен верный ответ 2 Верно построена математическая модель 1 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл 2

Слайд 4

Вспомним основные понятия процента: Любое целое тело – 100% Чтобы найти r процентов от числа надо число умножить на r /100 Например, чтобы найти 3 % от 150 надо 150•0,03 = 4,5 3. Чтобы увеличить число на r %, надо число умножить на (1+ r /100) Например, чтобы 150 увеличить на 3 %, надо 150• (1+ 3/100) = 150 • 1,03 = 154,5

Слайд 5

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн. руб., где S - целое число. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей. Найдите наибольшее значение S , при котором каждая из выплат будет меньше 4 млн. рублей. Месяц и год Июль 2026 Июль 2027 Июль 2028 Июль 2029 Долг (в млн. рублей) S 0,8S 0,5 S 0 Задача 1

Слайд 6

год долг Долг с % выплата 1 2 3 4 Введем обозначения: n=3, r% = 25 % , 1+r/100 = 1+25/100 = 1,25 S наибольшее - ? Месяц и год Июль 2026 Июль 2027 Июль 2028 Июль 2029 Долг S 0,8S 0,5 S 0

Слайд 7

год долг Долг с % выплата 1 S 2 0,8 S 3 0,5S 4 0 Введем обозначения: n=3, r% = 25 % , 1+r/100 = 1+25/100 = 1,25 S наибольшее - ?

Слайд 8

год долг Долг с % выплата 1 S S •1,25=1,25 S 2 0,8 S 3 0,5S 4 0 Введем обозначения: n=3, r% = 25 % , 1+r/100 = 1+25/100 = 1,25 S наибольшее - ?

Слайд 9

год долг Долг с % выплата 1 S S •1,25=1,25 S 1,25 S - 0,8 S =0,45 S 2 0,8 S 3 0,5S 4 0 Введем обозначения: n=3, r% = 25 % , 1+r/100 = 1+25/100 = 1,25 S наибольшее - ?

Слайд 10

год долг Долг с % выплата 1 S S •1,25=1,25 S 1,25 S - 0,8 S =0,45 S 2 0,8 S 0,8 S •1,25 = S S – 0,5 S = 0,5 S 3 0,5S 0,5S •1,25 = 0,625 S 0,625 S – 0 = 0,625 S 4 0 Введем обозначения: n=3, r% = 25 % , 1+r/100 = 1+25/100 = 1,25 S наибольшее - ?

Слайд 11

год долг Долг с % выплата 1 S S •1,25=1,25 S 1,25 S - 0,8 S =0,45 S 2 0,8 S 0,8 S •1,25 = S S – 0,5 S = 0,5 S 3 0,5S 0,5S •1,25 = 0,625 S 0,625 S – 0 = 0,625 S 4 0 Введем обозначения: n=3, r% = 25 % , 1+r/100 = 1+25/100 = 1,25 S наибольшее - ?

Слайд 12

год долг Долг с % выплата 1 S S •1,25=1,25 S 1,25 S - 0,8 S =0,45 S 2 0,8 S 0,8 S •1,25 = S S – 0,5 S = 0,5 S 3 0,5S 0,5S •1,25 = 0,625 S 0,625 S – 0 = 0,625 S 4 0 Введем обозначения: n=3, r% = 25 % , 1+r/100 = 1+25/100 = 1,25 По условию, каждая из выплат должна быть меньше 4 млн. рублей. Это будет верно, если максимальная из выплат меньше 4 млн.рублей, т. е. 0, 6 25S< 4 ; S< 6,4 : S = 6 Наибольшее целое решение этого неравенства – число 6. Значит, искомый размер кредита 6 млн. рублей . Ответ: 6 млн рублей

Слайд 13

15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей. Найдите наибольшее значение r , при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей. Дата 15.01 15.02 15.03 15.04 15.05 15.06 15.07 Долг (в млн руб ) 1 0,6 0,4 0,3 0,2 0,1 0 Решим вместе. Вы комментируете, коллеги! Задача 2

Слайд 14

год долг Долг с % выплата 1 2 3 4 5 6 7 Введем обозначения: n = 6 , r% = ? % , 1+r/100 = m r наибольшее - ? Сумма выплат < 1,2 млн Какую составим таблицу?

Слайд 15

год долг Долг с % выплата 1 1 2 0,6 3 0,4 4 0,3 5 0,2 6 0,1 7 0 n = 6 , r% = ? % , 1+r/100 = m r наибольшее - ? Сумма выплат < 1,2 млн

Слайд 16

год долг Долг с % выплата 1 1 1• m m – 0,6 2 0,6 3 0,4 4 0,3 5 0,2 6 0,1 7 0 n = 6 , r% = ? % , 1+r/100 = m r наибольшее - ? Сумма выплат < 1,2 млн

Слайд 17

год долг Долг с % выплата 1 1 1• m m – 0,6 2 0,6 0,6 • m 0,6m – 0,4 3 0,4 0,4 • m 0,4m – 0,3 4 0,3 0,3 • m 0,3m – 0,2 5 0,2 0,2 • m 0,2m – 0,1 6 0,1 0,1 • m 0,1m 7 0 n = 6 , r% = ? % , 1+r/100 = m r наибольшее - ?

Слайд 18

год долг Долг с % выплата 1 1 1• m m – 0,6 2 0,6 0,6 • m 0,6m – 0,4 3 0,4 0,4 • m 0,4m – 0,3 4 0,3 0,3 • m 0,3m – 0,2 5 0,2 0,2 • m 0,2m – 0,1 6 0,1 0,1 • m 0,1m 7 0 n = 6 , r% = ? % , 1+r/100 = m r наибольшее - ? Сумма выплат < 1,2 млн Найдём общую сумму выплат, сложив ежемесячные выплаты: (m – 0,6)+(0,6m – 0,4)+(0,4m – 0,3)+(0,3m – 0,2)+(0,2m – 0,1)+ 0,1m общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.

Слайд 19

2,6 m - 1,6 < 1,2 2,6 m < 2,8 m < 14/13 1+ r/100 < 14/13 r < 7 ,692… Откуда наибольшее целое значение r = 7 Тем самым, ежемесячно остаток долга возрастал на 7%. Ответ: r = 7.

Слайд 20

Задача 3 В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 300 000 рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Найдите r , если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причем в первый год будет выплачено 260000 рублей, а во второй год – 169 000 рублей.

Слайд 21

год долг Долг с % выплата 1 S 2 3 Введем обозначения: S = 300 тыс.руб. , r% = ? % , 1+r/100 = m , 1 выплата = 260 т.р. = X, 2 выплата = 169 т.р. = Y

Слайд 22

год долг Долг с % выплата 1 S S•m X 2 Sm -X 3 Введем обозначения: S = 300 тыс.руб. , r% = ? % , 1+r/100 = m , 1 выплата = 260 т.р. = X, 2 выплата = 169 т.р. = Y

Слайд 23

год долг Долг с % выплата 1 S S•m X 2 Sm -X ( Sm –X) •m = Sm^2 – Xm Y 3 0 Введем обозначения: S = 300 тыс.руб. , r% = ? % , 1+r/100 = m , 1 выплата = 260 т.р. = X, 2 выплата = 169 т.р. = Y

Слайд 24

год долг Долг с % выплата 1 S S•m X 2 Sm -X ( Sm –X) •m = Sm^2 – Xm Y 3 0 Введем обозначения: S = 300 тыс.руб. , r% = ? % , 1+r/100 = m , 1 выплата = 260 т.р. = X, 2 выплата = 169 т.р. = Y Так как кредит будет выплачен полностью, то долг с % за 2 год = 2 выплате Sm^2 – Xm = Y По условию задачи надо найти r , эта величина содержится в m , то нам надо выразить m , но m выразить не можем, так как степени разных показателей. Тогда, подставив числа, составим квадратное уравнение

Слайд 25

Sm^2 – Xm = Y 300 m^2 – 260 m – 169 = 0 Ответ: 30%

Слайд 26

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 300 000 рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Найдите r , если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 160 000 рублей, а во второй год — 240 000 рублей. Ответ: 20% Решите самостоятельно сейчас Задача 4

Слайд 27

Задача 5 В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Если ежегодно выплачивать по 58 564 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r.

Слайд 28

год долг Долг с % выплата 1 S Sm x 2 Sm - x 3 4 5 Введем обозначения , r% = ? % , тело кредита – S, 1+r/100 = m ,

Слайд 29

год долг Долг с % выплата 1 S Sm x 2 Sm - x ( Sm – x)m = Sm^2 - xm x 3 Sm^2 – xm - x 4 5 Введем обозначения , r% = ? % , тело кредита – S, 1+r/100 = m ,

Слайд 30

год долг Долг с % выплата 1 S Sm x 2 Sm - x ( Sm – x)m = Sm^2 - xm x 3 Sm^2 – xm - x (Sm^2 – xm –x)m = Sm^3 – xm^2- xm x 4 Sm^3 – xm^2- xm -x 5 Введем обозначения , r% = ? % , тело кредита – S, 1+r/100 = m ,

Слайд 31

год долг Долг с % выплата 1 S Sm x 2 Sm - x ( Sm – x)m = Sm^2 - xm x 3 Sm^2 – xm - x (Sm^2 – xm –x)m = Sm^3 – xm^2- xm x 4 Sm^3 – xm^2- xm -x (Sm^3 – xm^2- xm –x)m x 5 0 Введем обозначения , r% = ? % , тело кредита – S, 1+r/100 = m , Долг за 4 года погашен. Значит (Sm^3 – xm^2- xm –x)m = x Sm ^ 4 – xm ^ 3 - xm^2 – xm – x = 0 Sm ^ 4 = xm ^ 3 + xm^2 + xm + x Выразим S

Слайд 32

Sm ^ 4 = x ( m^ 3 + m^2 +m + 1) Применим метод группировки и разложим на множители полученный многочлен Sm ^ 4 = x ( m^2 + 1)( m +1) S= x ( m^2 + 1)( m +1)/ m^ 4 Составим модель для второго условия

Слайд 33

год долг Долг с % выплата 1 S Sm y 2 Sm - x ( Sm – y)m = Sm^2 - ym y 3 0 Sm^2– ym = y Какие преобразования должны выполнить дальше? S = y (1+ m )/ m^2 Тело кредита одно и тоже. Приравняем S

Слайд 34

x ( m^2 + 1)( m +1)/ m^ 4 = y (1+ m )/ m^2 Так как m +1 положительно, то разделим обе части уравнения на него x ( m^2 + 1) = y m^2 Так как m положительно, то домножим обе части уравнения на m^ 4 x ( m^2 + 1)/ m^ 4 = y / m^2 x m^2 + x = y m^2 x = y m^2 - x m^2 x = m^2 ( y – x ) Раскроем скобки Надо выразить m x / ( y – x ) = m^2 Подставим значения

Слайд 35

58564/ (106964 – 58564) = m^2 58564/ (106964 – 58564) = m^2 58564/ 48400 = m^2 121/ 100 = m^2 11/ 10 = m 11/ 10 = 1+ r/100 r = 10 Ответ: 10 %

Слайд 36

Решите сами, комментируя Задача 6 В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 48 250 рублей больше суммы, взятой в кредит?

Слайд 37

год долг Долг с % выплата 1 S S m x 2 S m - x ( S m – x) m = Sm^2 – xm 3 4 Введем обозначения , r% = 20 % , 1+20/100 = 1,2 = m , тело кредита – S, сумма выплат = S + 48250

Слайд 38

год долг Долг с % выплата 1 S S m x 2 S m - x ( S m – x) m = Sm^2 – xm x 3 Sm^2 – xm - x (Sm^2 – xm –x)m = Sm^3 – xm^2- xm x 4 0 Введем обозначения , r% = 20 % , 1+20/100 = 1,2 = m , тело кредита – S, сумма выплат = S + 48250 Долг за 3года погашен. Значит Sm ^ 3 – xm^2- xm = x Sm^3 – xm^2 – xm – x = 0 Sm^3 = x(m^2+ m + 1) Выразим S S = x(m^2+ m + 1)/m^3 Сколько неизвестных? А значит нужно еще одно уравнение для системы

Слайд 39

С другой стороны: сумма выплат = S + 48250 Сумма выплат = 3х Тогда S =3х - 48250 Приравняем S 3x - 48250= x(m^2+ m + 1)/m^3 1,2 = m Ответ: 162000 рублей

Слайд 40

Как вы считаете чем отличаются и чем похожи задачи на вклады? Вот у вас в зачетной работе будет задача на вклады

Слайд 41

Спасибо за внимание) Отвечу на ваши вопросы


Предварительный просмотр:


Подписи к слайдам:

Слайд 1

Экономические задачи. Продолжение

Слайд 2

Введем обозначения: n= 24 , r% = 2 % , 1+r/100. S/24 = x S - ? Общая сумма выплат = 1 млн руб. год долг Долг с % выплата 1 S 2 3 4

Слайд 3

год долг Долг с % выплата 1 S S • ( 1+r/100) = S + Sr /100 X + Sr /100 2 S + Sr /100 – ( X + Sr /100)= S – x (S-x) • ( 1+r/100) = (S-x) + (S-x)r/100 X + ( S - x)r/100 3 S – 2x (S-2x) • ( 1+r/100) = (S-2x) + (S-2x)r/100 X + ( S - 2x)r/100 4 S – 3x S-3x) • ( 1+r/100) = (S-3x) + (S-3x)r/100 X + ( S - 3x)r/100 … … … … 24 S – 23x S-23x) • ( 1+r/100) = (S-23x) + (S-23x)r/100 X + ( S - 23x)r/100 Введем обозначения: n= 24 , r% = 2 % , 1+r/100. S/24 = x S - ? Общая сумма выплат = 1 млн руб.

Слайд 4

Общая сумма выплат = 1 млн руб. ( X + Sr /100) + ( X + ( S - x)r/100 ) + + ( X + ( S - 2x)r/100 ) + ( X + ( S - 3x)r/100 ) + … + (X + ( S - 23x)r/100 ) = 1000 24x + r/100 (S + (S – x)+(S-2x)+(S-3x)+…(S-23x) = 1000 Арифметическая прогрессия

Слайд 5

Введем обозначения: n= 24 , r% = 2 % , 1+r/100. S/24 = x S - ? Общая сумма выплат = 1 млн руб. 24x + r/100 (S + (S-23x ) ) • 24/2 = 1000 24x + 12 r/100 ( 2 S-23x) = 1000 Сколько неизвестных? 24S/24 + 12 •2 /100 ( 2 S-23(s/24)) = 1000 S + 24 /100 ( 2 5S/24) = 1000 S + 25S/100 = 1000 1 25S/100 = 1000 125S = 100000 S = 800 тысяч рублей Ответ: 800000 рублей

Слайд 6

Ответ: 2 млн рублей

Слайд 7

Ответ: 1 866 000 рублей

Слайд 8

Введем обозначения: n = 19 , r% = ? % , 1+r/100. S/ 19 = x S - ? Общая сумма выплат = 1,3 S . год долг Долг с % выплата 1 S 2 3 4

Слайд 9

год долг Долг с % выплата 1 S S • ( 1+r/100) = S + Sr /100 X + Sr /100 2 S + Sr /100 – ( X + Sr /100)= S – x (S-x) • ( 1+r/100) = (S-x) + (S-x)r/100 X + ( S - x)r/100 3 S – 2x (S-2x) • ( 1+r/100) = (S-2x) + (S-2x)r/100 X + ( S - 2x)r/100 4 S – 3x S-3x) • ( 1+r/100) = (S-3x) + (S-3x)r/100 X + ( S - 3x)r/100 … … … … 19 S – 18x S-18x) • ( 1+r/100) = (S-18x) + (S-18x)r/100 X + ( S - 18x)r/100 Введем обозначения: n = 19 , r% = ? % , 1+r/100. S/ 19 = x S - ? Общая сумма выплат = 1,3 S .

Слайд 10

Общая сумма выплат = 1,3 S . ( X + Sr /100) + ( X + ( S - x)r/100 ) + + ( X + ( S - 2x)r/100 ) + ( X + ( S - 3x)r/100 ) + … + (X + ( S - 18x)r/100 ) = 1,3S 19x + r/100 (S + (S – x)+(S-2x)+(S-3x)+…(S-18x) = 1,3S Арифметическая прогрессия

Слайд 11

Введем обозначения: n = 19 , r% = ? % , 1+r/100. S/ 19 = x S - ? Общая сумма выплат = 1,3 S . 19 x + r/100 (S + (S-18x ) ) • 19 /2 = 1,3S 19 x + 9,5 r/100 ( 2 S-18x) = 1,3S Сколько неизвестных? 19 S/19 + 9,5r /100 ( 2 S-18(s/19)) = 1,3S S + 9,5r/100 ( 2 0 S/19) = 1,3S S + 190Sr/1900 = 1,3S /: S 1 +r /10 = 1,3 r/10 = 1,3 – 1 r = 0,3 • 10 = 3 % Ответ: 3 %

Слайд 12

Ответ: 2 %

Слайд 13

Введем обозначения: n = 21 , r% = 3 % , 1+r/100. 30 = x S - ? Общая сумма выплат = 1604 тыс рублей.

Слайд 14

год долг Долг с % выплата 1 S S • ( 1+r/100) = S + Sr /100 X + Sr /100 2 S + Sr /100 – ( X + Sr /100)= S – x (S-x) • ( 1+r/100) = (S-x) + (S-x)r/100 X + ( S - x)r/100 3 S – 2x (S-2x) • ( 1+r/100) = (S-2x) + (S-2x)r/100 X + ( S - 2x)r/100 4 S – 3x S-3x) • ( 1+r/100) = (S-3x) + (S-3x)r/100 X + ( S - 3x)r/100 … … … … 21 S – 20 x S- 20 x) • ( 1+r/100) = (S- 20 x) + (S- 20 x)r/100 (S- 20 x) + ( S - 20 x)r/100 Введем обозначения: n = 21 , r% = 3 % , 1+r/100. 30 = x S - ? Общая сумма выплат = 1604 тыс рублей.

Слайд 15

Общая сумма выплат = 1604. ( X + Sr /100) + ( X + ( S - x)r/100 ) + + ( X + ( S - 2x)r/100 ) + ( X + ( S - 3x)r/100 ) + … + (S-20x + ( S - 20 x)r/100 ) = 1604 2 0x +S -20x + r/100 (S + (S – x)+(S-2x)+(S-3x)+…(S- 20 x) = 1604 Арифметическая прогрессия

Слайд 16

Введем обозначения: n = 21 , r% = 3 % , 1+r/100. 30 = x S - ? Общая сумма выплат = 1604 тыс рублей. S + r/100 (S + (S- 20 x ) ) • 21/2 = 1604 S + 21•3 ( 2 S- 20 x)/200 = 1604 S + (126S-1260•30)/200 = 1604 200S + 126S – 37800 = 1604 • 200 326S = 320800+37800 326S = 358600 S = 1100 Ответ: 1100000 рублей

Слайд 17

Ответ: 700 000 рублей

Слайд 18

Введем обозначения: n = 11 , r% = 3 % , 1+r/100. 80 = x S 11 - ? Общая сумма выплат = 1198тыс рублей.

Слайд 19

год долг Долг с % выплата 1 S S • ( 1+r/100) = S + Sr /100 X + Sr /100 2 S + Sr /100 – ( X + Sr /100)= S – x (S-x) • ( 1+r/100) = (S-x) + (S-x)r/100 X + ( S - x)r/100 3 S – 2x (S-2x) • ( 1+r/100) = (S-2x) + (S-2x)r/100 X + ( S - 2x)r/100 4 S – 3x S-3x) • ( 1+r/100) = (S-3x) + (S-3x)r/100 X + ( S - 3x)r/100 … … … … 10 S – 9 x 11 S – 10 x S- 10 x) • ( 1+r/100) = (S- 10 x) + (S- 10 x)r/100 (S- 10 x) + ( S - 10 x)r/100 Введем обозначения: n = 11 , r% = 3 % , 1+r/100. 80 = x S 11 - ? Общая сумма выплат = 1198тыс рублей.

Слайд 20

Общая сумма выплат = 1198. ( X + Sr /100) + ( X + ( S - x)r/100 ) + + ( X + ( S - 2x)r/100 ) + ( X + ( S - 3x)r/100 ) + … + (S- 1 0x + ( S - 1 0 x)r/100 ) = 1198 1 0x +S - 1 0x + r/100 (S + (S – x)+(S-2x)+(S-3x)+…(S- 1 0 x) = 1198 Арифметическая прогрессия

Слайд 21

Введем обозначения: n = 11 , r% = 3 % , 1+r/100. 80 = x S 11 - ? Общая сумма выплат = 1198тыс рублей. S + r/100 (S + (S- 1 0 x ) ) • 11/2 = 1198 S + 1 1•3 ( 2 S- 1 0 x)/200 = 1198 S + ( 6 6S- 330 • 8 0)/200 = 1198 200S + 6 6S – 264 00 = 198 • 200 266 S = 2396 00+ 264 00 26 6S = 266000 S = 100 0 S – 10 x = 1000 – 10 • 80 = 200 Ответ: 200 000 рублей

Слайд 22

Спасибо за внимание!



Предварительный просмотр:

https://nsportal.ru/node/2661340