Повторение геометрии: Готовые презентации для успешного начала учебного года!
Скачать:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
ОСНОВНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ А В а С Р Т β М N f
А О В АОВ – развернутый угол M N K MNK – прямой угол АОВ = 180 MNK = 9 0 P S H PSH – острый угол PSH < 9 0 X Y Z XYZ – тупой угол XYZ > 9 0 УГЛЫ
Смежные углы О А В С АО B + ВОС = 180 Смежные углы имеют общую сторону и общую вершину.
А С В О Найдите угол АОВ , если известно, что ВОС = 48 . Задача №1
А С В О Найдите углы АОВ и ВОС , если известно, что один из них больше другого на 48 . Задача №2
Вертикальные углы При пересечении двух прямых образуются две пары равных углов. О А С D В АО B = COD Эти пары – вертикальные углы Стороны одного из них являются продолжением сторон другого. Вертикальные углы не имеют общих сторон. У них общая вершина.
А С В О D Найдите углы 1, 2, 3 , если известно, что 4 = 35 . Задача №3 1 2 3 4
ДВЕ ПРЯМЫЕ НАЗЫВАЮТСЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ЕСЛИ ОНИ НЕ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ. а b а II b ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ Две прямые называются перпендикулярными , если они пересекаются под прямым углом. а в а | в
Треугольник А В С А, В, С Вершины треугольника: АВ, ВС, СА Стороны треугольника: А, В, С Углы треугольника: , , АВС
Остроугольный < 90 ° < 90° < 90° Тупоугольный < 90 ° > 90° < 90° Прямоугольный < 90 ° < 90° = 90° Классификация треугольников по углам: ГИПОТЕНУЗА КАТЕТ КАТЕТ
Разносторонний Равнобедренный Равносторонний а b c Классификация треугольников по сторонам: Правильный треугольник
Признаки равенства треугольников В А С А 1 В 1 С 1 АС = А 1 С 1 ; АВ = А 1 В 1 ; 3) А = А 1 ∆АВС = ∆А 1 В 1 С 1 Первый признак равенства треугольников
Признаки равенства треугольников Второй признак равенства треугольников В А С А 1 В 1 С 1 1)АВ = А 1 В 1 ; 2) А = А 1 ; 3) В = В 1 ∆АВС = ∆А 1 В 1 С 1
Признаки равенства треугольников Третий признак равенства треугольников В А С А 1 В 1 С 1 1) АВ = А 1 В 1 ; 2) АС = А 1 С 1 ; 3) ВС = В 1 С 1 ∆АВС = ∆А 1 В 1 С 1
По двум сторонам и углу между ними По стороне и двум прилежащим углам По трем сторонам Признаки равенства треугольников:
Докажите равенство : АВ = CD . О B А С D Назовите равные элементы ∆ АОВ и ∆ СО D Задача №5
Докажите равенство : ВО = C О . О B А С D Задача №6
Докажите равенство : А = D . B А С D Задача №7
Какие свойства для углов и сторон треугольника вам известны? А С В А + В + C = 180 АС + ВС > AB ; AB + BC > AC ; AC + AB > BC
23 Свойства треугольника Сумма углов треугольника равна 180°. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Против большей стороны треугольника лежит больший угол. Против большего угла треугольника лежит большая сторона Напротив равных сторон лежат равные углы
А В С А В С А В С D CD Т АВ С D - высота D L АС D = L ВС D CD - биссектриса D AD = D В С D - медиана ВЫСОТА, БИССЕКТРИСА, МЕДИАНА Сколько высот, биссектрис, медиан можно провести в треугольнике?
Проведите медиану, биссектрису, высоту в тупоугольном треугольнике из вершины острого угла А А В С
Самостоятельно:
Свойства равнобедренного треугольника АМ – медиана, высота, биссектриса ∆ АВС В = С В А С М
Сумма двух углов равнобедренного треугольника равна 140°. Найдите все углы такого треугольника. В А С Задача №9
Признак равнобедренного треугольника В = С В А С ABC – равнобедренный
Равносторонний треугольник 60 60 60
Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежным с углом треугольника при этой вершине. Внешний угол Углы 5 и 6 внешние Внешний угол треугольника
ПОВТОРИМ ! Назовите внешние углы треугольника: а) б) в) Проверка!
ПРОВЕРИМ! Назовите внешние углы треугольника: а) б) в) 1 и 3 - внешние 2, 4, 5, 7 - внешние DAB, BCF - внешние
Повторим! Найти величины углов, обозначенных знаком? а) ? 57 0 ? 140 0 60 0 110 0 ? Проверка! б) в)
Проверим! Найти величины углов, обозначенных знаком? а) ? 57 0 ? 140 0 60 0 110 0 ? б) в) а) 180 0 -90 0 -57 0 =33 0 – неизвестный угол; б) 140 0 :2=70 0 – неизвестный угол; в) 180 0 -110 0 =70 0 – угол смежный с углом 110 0 60 0 +70 0 =130 0 – неизвестный угол.
а b с с ∩ а с ∩ b с – секущая а и b 1 2 3 4 5 6 7 8 УГЛЫ, ОБРАЗОВАННЫЕ ПРИ ПЕРЕСЕЧЕНИИ ДВУХ ПРЯМЫХ СЕКУЩЕЙ
1) 2) 3) 4) накрест лежащие соответственные вертикальные односторонние 5) смежные ОПРЕДЕЛИТЬ ВИД УГЛОВ
Назовите: a c b 1 2 3 4 5 6 7 8 1) накрест лежащие углы 2) односторонние углы 3) соответственные углы 4) вертикальные углы Сформулируйте признаки параллельности прямых, свойства параллельных прямых
Найдите углы 2 ‒ 8 , если известно, что a ∥ b. a c b 2 3 4 5 6 7 8 127 Задача №11
Назовите элементы прямоугольного треугольника А С В катет Назовите свойства прямоугольного треугольника 1) А + В = 90 катет гипотенуза
Назовите элементы прямоугольного треугольника А С В катет Назовите свойства прямоугольного треугольника 2) Если В = 30 , то АС = ½ АВ катет гипотенуза 30
Назовите элементы прямоугольного треугольника А С В катет Назовите свойства прямоугольного треугольника 3) Если АС = ½ АВ , то В = 30 катет гипотенуза
4) Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы . С В А М Назовите свойства прямоугольного треугольника Запишите это свойство на языке геометрии
40 м 30 м С В Где нужно поставить фонарный столб, чтобы освещённость точек А, В, С была одинакова? А Практическая задача: М
Если медиана треугольника равна половине стороны , к которой проведена, то такой треугольник – прямоугольный . С В А М Признак прямоугольного треугольника Запишите эту теорему на языке геометрии
Треугольник Гипотенуза Катеты Назовите прямоугольные треугольники и заполните таблицу В А С D ABC ABD CBD AC AB BC AB CB B D DA BD CD
№3. Дано: ∆АВС, B Н= AC , A Н=Н C , BC =6, Найдите A С. 30 0 А В С Н 6 Решите задачу:
№1. Найдите угол между медианой и высотой прямоугольного треугольника, проведённых из вершины прямого угла, если один из углов этого треугольника равен 20°. ? 20 0 А В С М Н Решите задачу:
Признак равенства прямоугольных треугольников (по двум катетам) Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого треугольника, то такие треугольники равны .
Признак равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету) Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны . Нарисуйте другой случай расположения равных элементов
Признак равенства прямоугольных треугольников (по катету и прилежащему углу) Если катет и прилежащий угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему углу другого треугольника, то такие треугольники равны Нарисуйте другой случай расположения равных элементов
Признак равенства прямоугольных треугольников ( по катету и противолежащему углу ) Если катет и противолежащий угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого треугольника, то такие треугольники равны Нарисуйте другой случай расположения равных элементов
Признаки равенства прямоугольных треугольников ( по гипотенузе и острому углу) Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны Нарисуйте другой случай расположения равных элементов
Найдите равные прямоугольные треугольники 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) с a a с a a b b 6 6 60° 60° 20 ° 20 ° 1 и 8; 3 и 4; 6 и 7; 2 и 5. ОТВЕТ:
Определите признаки равенства прямоугольных треугольников 1 вариант 2 вариант 1 ) 2) 3 ) 1) 2) 3)
Расстояние между двумя точками. • • А В Как найти расстояние между точками А и В ? Чему равно расстояние между точками А и В ? АВ = 9,5 см ǀ ǀ
Расстояние между двумя точками. • • А В Что называется расстоянием между точками А и В ? Расстоянием между двумя точками А и В называется длина отрезка АВ . ǀ ǀ ? Расстоянием между точками называется длина отрезка , заключенного между этими точками.
А В С Расстояние между двумя точками. • • • 1см Ответ: АВ = 6 см; ВС = 5 см. Можно ли используя клетку найти расстояние между точками А и С? 6 см 5 см № 1
А В С На клетчатой бумаге с размером клетки 1см 1см отмечены точки А , В и С. Найдите расстояние от точки А до середины отрезка ВС . Ответ дайте в см. • • • • М Ответ: АМ = 6 см 6 см № 2
А В С На клетчатой бумаге с размером клетки 1см 1см отмечены точки А , В и С. Найдите расстояние от точки А до середины отрезка ВС . Ответ дайте в см. • • • • D AD = 6 см № 3
А В С На клетчатой бумаге с размером клетки 1см 1см отмечены точки А , В и С. Найдите расстояние от точки А до середины отрезка ВС . Ответ дайте в см. • • • • К АК = 3 см № 4
Расстояние от точки до прямой. а • А • Н А Н – расстояние от точки А до прямой а, АН = 5, АН – перпендикуляр к прямой а, Н – основание перпендикуляра. М АМ - наклонная 5 Как найти расстояние от точки до прямой?
Расстояние от точки до прямой. а • А • Н Определение. Длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой. М наклонная перпендикуляр
Расстояние от точки до прямой. а • А • Н Сравните длину наклонной АМ с длиной перпендикуляра АН . М наклонная перпендикуляр АМ АН
А В С На клетчатой бумаге с размером клетки 1см 1см отмечены точки А , В и С. Найдите расстояние от точки А до прямой ВС . Ответ дайте в см. • • • • D Ответ: AD = 5 см № 5
А В С На клетчатой бумаге с размером клетки 1см 1см отмечены точки А , В и С. Найдите расстояние от точки А до прямой ВС . Ответ дайте в см. • • • • D Ответ: AD = 2 см № 6
А В С На клетчатой бумаге с размером клетки 1см 1см отмечены точки А , В и С. Найдите расстояние от точки А до прямой ВС . Ответ дайте в см. • • • Ответ:1 см № 7
Расстояние между параллельными прямыми. а b • А В Длина перпендикуляра , проведенного от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой называется расстоянием между этими прямыми. 3 3 3 3
Расстояние между параллельными прямыми. а b • А В Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены друг от друга. 3 3 3 3
Расстояние между параллельными прямыми. а b • А В № 8
Расстояние между параллельными прямыми. а b • А В 4,3 см
ОКРУЖНОСТЬ О А В С D х о р д а радиус д и а м е т р О – центр окружности Окр (О; ОА) а а - касательная Назовите дуги данной окружности
Задача №1 (устно): Вычислите периметр треугольника АОВ
Задача №2 (устно): Вычислите длину диаметра окружности
Задача №3: Угол 1 равен углу 2. Докажите, что АВ=С D
Задача №4:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
ОСНОВНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ А В а С Р Т β М N f
А О В АОВ – развернутый угол M N K MNK – прямой угол АОВ = 180 MNK = 9 0 P S H PSH – острый угол PSH < 9 0 X Y Z XYZ – тупой угол XYZ > 9 0 УГЛЫ
Смежные углы О А В С АО B + ВОС = 180 Смежные углы имеют общую сторону и общую вершину.
А С В О Найдите угол АОВ , если известно, что ВОС = 48 . Задача №1
А С В О Найдите углы АОВ и ВОС , если известно, что один из них больше другого на 48 . Задача №2
Вертикальные углы При пересечении двух прямых образуются две пары равных углов. О А С D В АО B = COD Эти пары – вертикальные углы Стороны одного из них являются продолжением сторон другого. Вертикальные углы не имеют общих сторон. У них общая вершина.
А С В О D Найдите углы 1, 2, 3 , если известно, что 4 = 35 . Задача №3 1 2 3 4
А С В О D Найдите углы 1, 2, 3, 4 , если известно, что один из них больше другого в 3 раза . Задача №4 1 2 3 4
ДВЕ ПРЯМЫЕ НАЗЫВАЮТСЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ЕСЛИ ОНИ НЕ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ. а b а II b ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ Две прямые называются перпендикулярными , если они пересекаются под прямым углом. а в а | в
Треугольник А В С А, В, С Вершины треугольника: АВ, ВС, СА Стороны треугольника: А, В, С Углы треугольника: , , АВС
Остроугольный < 90 ° < 90° < 90° Тупоугольный < 90 ° > 90° < 90° Прямоугольный < 90 ° < 90° = 90° Классификация треугольников по углам: ГИПОТЕНУЗА КАТЕТ КАТЕТ
Разносторонний Равнобедренный Равносторонний а b c Классификация треугольников по сторонам: Правильный треугольник
Признаки равенства треугольников В А С А 1 В 1 С 1 АС = А 1 С 1 ; АВ = А 1 В 1 ; 3) А = А 1 ∆АВС = ∆А 1 В 1 С 1 Первый признак равенства треугольников
Признаки равенства треугольников Второй признак равенства треугольников В А С А 1 В 1 С 1 1)АВ = А 1 В 1 ; 2) А = А 1 ; 3) В = В 1 ∆АВС = ∆А 1 В 1 С 1
Признаки равенства треугольников Третий признак равенства треугольников В А С А 1 В 1 С 1 1) АВ = А 1 В 1 ; 2) АС = А 1 С 1 ; 3) ВС = В 1 С 1 ∆АВС = ∆А 1 В 1 С 1
По двум сторонам и углу между ними По стороне и двум прилежащим углам По трем сторонам Признаки равенства треугольников:
Докажите равенство : АВ = CD . О B А С D Назовите равные элементы ∆ АОВ и ∆ СО D Задача №5
Докажите равенство : ВО = C О . О B А С D Задача №6
Докажите равенство : А = D . B А С D Задача №7
Какие свойства для углов и сторон треугольника вам известны? А С В А + В + C = 180 АС + ВС > AB ; AB + BC > AC ; AC + AB > BC
А В С А В С А В С D CD Т АВ С D - высота D L АС D = L ВС D CD - биссектриса D AD = D В С D - медиана ВЫСОТА, БИССЕКТРИСА, МЕДИАНА Сколько высот, биссектрис, медиан можно провести в треугольнике?
Проведите медиану, биссектрису, высоту в тупоугольном треугольнике из вершины острого угла А А В С
Самостоятельно:
Свойства равнобедренного треугольника АМ – медиана, высота, биссектриса ∆ АВС В = С В А С М
Сумма двух углов равнобедренного треугольника равна 140°. Найдите все углы такого треугольника. (2 случая) В А С Задача №9
Признак равнобедренного треугольника В = С В А С ABC – равнобедренный
Равносторонний треугольник 60 60 60
Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежным с углом треугольника при этой вершине. Внешний угол Углы 5 и 6 внешние Внешний угол треугольника
ПОВТОРИМ ! Назовите внешние углы треугольника: а) б) в) Проверка!
ПРОВЕРИМ! Назовите внешние углы треугольника: а) б) в) 1 и 3 - внешние 2, 4, 5, 7 - внешние DAB, BCF - внешние
Повторим! Найти величины углов, обозначенных знаком? а) ? 57 0 ? 140 0 60 0 110 0 ? Проверка! б) в)
Проверим! Найти величины углов, обозначенных знаком? а) ? 57 0 ? 140 0 60 0 110 0 ? б) в) а) 180 0 -90 0 -57 0 =33 0 – неизвестный угол; б) 140 0 :2=70 0 – неизвестный угол; в) 180 0 -110 0 =70 0 – угол смежный с углом 110 0 60 0 +70 0 =130 0 – неизвестный угол.
а b с с ∩ а с ∩ b с – секущая а и b 1 2 3 4 5 6 7 8 УГЛЫ, ОБРАЗОВАННЫЕ ПРИ ПЕРЕСЕЧЕНИИ ДВУХ ПРЯМЫХ СЕКУЩЕЙ
1) 2) 3) 4) накрест лежащие соответственные вертикальные односторонние 5) смежные ОПРЕДЕЛИТЬ ВИД УГЛОВ
Назовите: a c b 1 2 3 4 5 6 7 8 1) накрест лежащие углы 2) односторонние углы 3) соответственные углы 4) вертикальные углы Сформулируйте признаки параллельности прямых, свойства параллельных прямых
Найдите углы 2 ‒ 8 , если известно, что a ∥ b. a c b 2 3 4 5 6 7 8 127 Задача №11
Назовите элементы прямоугольного треугольника А С В катет Назовите свойства прямоугольного треугольника 1) А + В = 90 катет гипотенуза
Назовите элементы прямоугольного треугольника А С В катет Назовите свойства прямоугольного треугольника 2) Если В = 30 , то АС = ½ АВ катет гипотенуза 30
Назовите элементы прямоугольного треугольника А С В катет Назовите свойства прямоугольного треугольника 3) Если АС = ½ АВ , то В = 30 катет гипотенуза
4) Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы . С В А М Назовите свойства прямоугольного треугольника Запишите это свойство на языке геометрии
40 м 30 м С В Где нужно поставить фонарный столб, чтобы освещённость точек А, В, С была одинакова? А Практическая задача: М
Если медиана треугольника равна половине стороны , к которой проведена, то такой треугольник – прямоугольный . С В А М Признак прямоугольного треугольника Запишите эту теорему на языке геометрии
Треугольник Гипотенуза Катеты Назовите прямоугольные треугольники и заполните таблицу В А С D ABC ABD CBD AC AB BC AB CB B D DA BD CD
№3. Дано: ∆АВС, B Н= AC , A Н=Н C , BC =6, Найдите A С. 30 0 А В С Н 6 Решите задачу:
№1. Найдите угол между медианой и высотой прямоугольного треугольника, проведённых из вершины прямого угла, если один из углов этого треугольника равен 20°. ? 20 0 А В С М Н Решите задачу:
Признак равенства прямоугольных треугольников (по двум катетам) Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого треугольника, то такие треугольники равны .
Признак равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету) Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны . Нарисуйте другой случай расположения равных элементов
Признак равенства прямоугольных треугольников (по катету и прилежащему углу) Если катет и прилежащий угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему углу другого треугольника, то такие треугольники равны Нарисуйте другой случай расположения равных элементов
Признак равенства прямоугольных треугольников ( по катету и противолежащему углу ) Если катет и противолежащий угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого треугольника, то такие треугольники равны Нарисуйте другой случай расположения равных элементов
Признаки равенства прямоугольных треугольников ( по гипотенузе и острому углу) Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны Нарисуйте другой случай расположения равных элементов
Найдите равные прямоугольные треугольники 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) с a a с a a b b 6 6 60° 60° 20 ° 20 ° 1 и 8; 3 и 4; 6 и 7; 2 и 5. ОТВЕТ:
Определите признаки равенства прямоугольных треугольников 1 вариант 2 вариант 1 ) 2) 3 ) 1) 2) 3)
Теорема Пифагора c 2 = a 2 + b 2 c b В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. a
Теорема, обратная теореме Пифагора Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.
Египетский треугольник Землемеры Древнего Египта для построения прямого угла пользова-лись следующим приемом. Бечевку узлами делили на 12 равных частей и концы связывали. Затем бечевку растягивали на земле так, что получался треугольник со сторонами 3 , 4 и 5 делений. Угол треугольника, противолежащий стороне с 5 делениями, был прямой (3 2 + 4 2 = 5 2 ) . Назовите еще примеры таких троек чисел
Ответ: 3,9 Точка крепления троса находится на высоте 3,6 м от земли. Расстояние от основания флагштока до крепления троса- 1,5 м. Найдите длину троса. 5 8 Расстояние от основания флагштока до места крепления троса на земле 6 м. Длина троса равна 10 м. Найдите расстояние от земли до точки крепления троса. Ответ:
Подобные треугольники Даны два треугольника A Β C и A 1 Β 1 C 1 , у которых A = A 1 , Β = Β 1 , C = C 1 . Стороны, лежащие против равных углов, называют сходственными. Назовите их. C Β A C 1 A 1 Β 1
Подобные треугольники Два треугольника называются подобными , если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. А = А 1 ; В = В 1 ; С = С 1 А 1 С 1 = = = k А 1 В 1 АВ В 1 С 1 ВС А C А 1 В 1 С 1 А С В (1) (2)
k – коэффициент подобия А = А 1 ; В = В 1 ; С = С 1 А 1 С 1 = = = k А 1 В 1 АВ В 1 С 1 ВС А C ∆ АВС ∾ ∆ А 1 В 1 С 1 ⇒ А 1 В 1 С 1 А С В Подобные треугольники
Дополнительные свойства Отношение высот подобных треугольников, проведенных к сходственным сторонам, равно коэффициенту подобия. Отношение медиан подобных треугольников, проведенных к сходственным сторонам, равно коэффициенту подобия. Отношение биссектрис подобных треугольников, проведенных к сходственным сторонам, равно коэффициенту подобия.
Отношение периметров подобных треугольников Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициента подобия. P ∆ АВС P ∆ А 1 В 1 С 1 = k C Β A C 1 A 1 Β 1
Отношение площадей подобных треугольников Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. S ∆ АВС S ∆ А 1 В 1 С 1 = k 2 C Β A C 1 A 1 Β 1
Свойство биссектрисы треугольника C B A Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. D или
Свойство биссектрисы треугольника Дано: Δ ABC AD – биссектриса AB = 14 см BC = 20 см AC = 21 см Найти: BD , CD . B A C D 1 2 14 см 2 1 см 2 0 см
Свойство биссектрисы треугольника Решение: Пусть BD = x см, тогда CD = (2 0 – x ) см. По свойству биссектрисы треугольника имеем B A C D 1 2 14 см 2 1 см 2 0 см Решая уравнение, получим х = 8 BD = 8 см, CD = 12 см.
Вариант 1 ( работа с классом) Дано: ∆ АВС ∾ ∆ KMN ; В = М; С = N ; А = 30°; АС = 3см; MN = 4см; KN = 6см. Найти: а) ВС; К; б) в) отношение, в котором биссектриса угла С делит сторону АВ. S ∆ KMN S ∆ АВС Вариант 2 (самостоятельно) Дано: ∆ АВС ∾ ∆ PQR ; В = Q ; С = R ; А = 4 0°; AB = 6см; PR = 4см; PQ = 3см. Найти: а) A С; P ; б) в) отношение, в котором биссектриса угла P делит сторону RQ . S ∆ ABC S ∆ PQR
Первый признак подобия треугольников Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны . Теорема ∆ АВС ∾ ∆ А 1 В 1 С 1 1) А = А 1 ; 2) В = В 1 А 1 В 1 С 1 А С В
А С В Второй признак подобия треугольников Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны . Теорема ∆ АВС ∾ ∆ А 1 В 1 С 1 1) А = А 1 ; А 1 В 1 С 1 = А 1 В 1 АВ А 1 С 1 А С
А С В Третий признак подобия треугольников Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны . Теорема ∆ АВС ∾ ∆ А 1 В 1 С 1 А 1 В 1 С 1 А 1 С 1 = = А 1 В 1 АВ В 1 С 1 ВС А C
Задача №1 Дано: ∆ АВС ; ∆ А 1 В 1 С 1 ; А = А 1 ; В = В 1 ; АВ = 14; АС = 24; А 1 В 1 = 21. А С В 14 24 А 1 В 1 С 1 21 х Найти: х.
Дано: ∆ АВС ; ∆ АКР ; Р = С; АК = 18; АР = 20; КР = 12; ВК = 9. Задача №2 Найти: х , у. А В С у х Р К 18 20 9 12
Определить высоту фонарного столба. 2,1 4,2 1,7 ? А В С А 1 С 1 Решите задачу
Алгоритм (2): Ответ: 1,5 На рисунке изображен колодец с "журавлем". Короткое плечо имеет длину 4 м, а длинное плечо - 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1 м? Изобразить схематично колодец, когда конец короткого плеча поднимется на 1 м Стороны пропорциональны. Найдём х (искомую величину) 2. Получили два подобных треугольника (по двум углам) 2*
1,5 На рисунке изображен колодец с "журавлем". Короткое плечо имеет длину 3 м, а длинное плечо - 4 м. На сколько метров нужно поднять конец короткого плеча, чтобы конец длинного опустился на 2 м? 5 Ответ: 2 7 На рисунке изображен колодец с "журавлем". Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо - 7 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1 м? Ответ: 3,5
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия треугольника А В С М К МК – средняя линия ∆АВС
На каком рисунке изображена средняя линия треугольника ? а) г) б) в) Устно: г
С колько средних линий имеет треугольник ? DF, DE, EF –средние линии ∆ АВС
1. Сколько треугольников вы видите? 2. Есть ли равные треугольники? Почему? Устно: 3. Сколько параллелограммов на рисунке? ∆ ADF, ∆ DBE, ∆ ECF, ∆ DEF, ∆ ABC ∆ ADF= ∆ DBE= ∆ ECF= ∆ DEF ADEF, DBEF, ECFD
Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна его половине. Т еорема о средней линии треугольника А С В М К МК ∥ АС , МК = ½ АС. 1 2
Задача Средняя линия равностороннего треугольника АВС равна 8 см. Найти периметр этого треугольника. А В С Р ∆ АВС = 48 см
A B C M Дано: S ∆ ABC = 40 см² Найти: S MNK K N Задача S MNK = 10 см²
Найти площадь треугольника, если высота, проведенная к одной из его сторон, равна 10, а средняя линия, параллельная этой стороне, равна 5. Задача А В С М К Н S АВС = 5 0 см²
A B C M K N Какую часть от площади ∆ АВС составляет площадь каждого из треугольников? Какую часть от периметра ∆ АВС составляет периметр каждого из треугольников?
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1 считая от вершины. А В С В 1 А 1 АА 1 ∩ ВВ 1 ∩ СС 1 = О; 2) СО : ОС 1 = АО : ОА 1 = ВО : ОВ 1 = 2 : 1. С 1 О
Закрепление Задание: Медианы АА 1 и В В 1 ∆АВС пересекаются в точке О. Найдите АО, если АА 1 =6. Решение: Ответ: 4.
Закрепление Задание: Периметр треугольника равен 39 . найдите его стороны, если стороны подобного ему треугольника равны 3, 4 и 6. Решение: ∆АВС~∆А 1 В 1 С 1 по условию k –коэффициент подобия Тогда стороны равны 3 k , 4 k и 6 k . Р= 3 k +4 k +6 k =39 13 k =39 k =3 – коэффициент подобия 3·3=9 4·3=12 6·3=18 Ответ:9, 12, 18.
Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Равновеликие треугольники- это треугольники, площади которых равны. ВМ- медиана треугольника АВС АМ=МС S∆АВМ= S∆ СВМ
Медианы треугольника делят его на 6 равновеликих треугольников.
∆АВС, С = 90 , СН ⊥ АВ . ∆АВС ∾ ∆АСН ∾ ∆СВН . Свойство высоты, проведенной из вершины прямого угла треугольника А В С Н 3 4 2 1
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике А В С Н b c a c a b c a c – проекция катета а на гипотенузу с , b c – проекция катета b на гипотенузу с . h h = a • b c
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике А В С Н Утверждение 1 b c a c a b h c
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике Утверждение 2 А В С Н b c a c a b h c
· Реши задачу 5 2 ?
Реши задачу 9 4 ?
Реши задачу ? 1 8
Реши задачу ? 3 4
Синус острого угла прямоугольного треугольника Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. c b a α А В С (1)
А В С Ответ: 0 , 96 24 25 В треугольнике АВС угол С равен 90 º , АС = 24, АВ = 25. Найдите sin В . В треугольнике АВС угол С равен 90 º , АС = 6 , АВ = 20 . Найдите sin В . А С В 3 6 2 0 Ответ: 0 , 3
Косинус острого угла прямоугольного треугольника Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. c b a α А В С (2)
А В С Ответ: 0 , 45 9 20 В треугольнике АВС угол С равен 90 º , B С = 9 , АВ = 20 . Найдите cos В . В треугольнике АВС угол С равен 90 º , B С = 72 , АВ = 75 . Найдите cos В . А С В 3 14 20 Ответ: 0 , 7
Тангенс острого угла прямоугольного треугольника Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету. c b a α А В С (3)
А В С Ответ: 0 , 7 10 7 В треугольнике АВС угол С равен 90 º , B С = 10 , А C = 7 . Найдите tg В . В треугольнике АВС угол С равен 90 º , B С = 10 , А C = 8 . Найдите tg В . А С В 3 10 8 Ответ: 0 , 8
Основное тригонометрическое тождество α ° 30° 45° 60° sin α cos α tg α
Дано: ∆ АВС – п/у, С = 90 АВ = 10 , ВС = 6. А В С 6 10 Найти: cos A . Решите задачу
Дано: ∆ АВС – п/у, С = 90 АВ = 1 3 , АС = 12 . А В С 12 1 3 Найти: tg A . Решите задачу
Дано: ∆ АВС – п/у, С = 90 CH – высота, АС = 10 , АН = 8. Найти: cos B . А В С H 1 0 8 Решите задачу
Дано: ∆ АВС – р/б, АС = ВС = 10, АВ = 12. Найти: cos А. А В С 1 0 12 Решите задачу
Расстояние между двумя точками. • • А В Как найти расстояние между точками А и В ? Чему равно расстояние между точками А и В ? АВ = 9,5 см ǀ ǀ
Расстояние между двумя точками. • • А В Что называется расстоянием между точками А и В ? Расстоянием между двумя точками А и В называется длина отрезка АВ . ǀ ǀ ? Расстоянием между точками называется длина отрезка , заключенного между этими точками.
А В С Расстояние между двумя точками. • • • 1см Ответ: АВ = 6 см; ВС = 5 см. Можно ли используя клетку найти расстояние между точками А и С? 6 см 5 см № 1
А В С На клетчатой бумаге с размером клетки 1см 1см отмечены точки А , В и С. Найдите расстояние от точки А до середины отрезка ВС . Ответ дайте в см. • • • • М Ответ: АМ = 6 см 6 см № 2
А В С На клетчатой бумаге с размером клетки 1см 1см отмечены точки А , В и С. Найдите расстояние от точки А до середины отрезка ВС . Ответ дайте в см. • • • • D AD = 6 см № 3
А В С На клетчатой бумаге с размером клетки 1см 1см отмечены точки А , В и С. Найдите расстояние от точки А до середины отрезка ВС . Ответ дайте в см. • • • • К АК = 3 см № 4
Расстояние от точки до прямой. а • А • Н А Н – расстояние от точки А до прямой а, АН = 5, АН – перпендикуляр к прямой а, Н – основание перпендикуляра. М АМ - наклонная 5 Как найти расстояние от точки до прямой?
Расстояние от точки до прямой. а • А • Н Определение. Длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой. М наклонная перпендикуляр
Расстояние от точки до прямой. а • А • Н Сравните длину наклонной АМ с длиной перпендикуляра АН . М наклонная перпендикуляр АМ АН
А В С На клетчатой бумаге с размером клетки 1см 1см отмечены точки А , В и С. Найдите расстояние от точки А до прямой ВС . Ответ дайте в см. • • • • D Ответ: AD = 5 см № 5
А В С На клетчатой бумаге с размером клетки 1см 1см отмечены точки А , В и С. Найдите расстояние от точки А до прямой ВС . Ответ дайте в см. • • • • D Ответ: AD = 2 см № 6
А В С На клетчатой бумаге с размером клетки 1см 1см отмечены точки А , В и С. Найдите расстояние от точки А до прямой ВС . Ответ дайте в см. • • • Ответ:1 см № 7
Расстояние между параллельными прямыми. а b • А В Длина перпендикуляра , проведенного от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой называется расстоянием между этими прямыми. 3 3 3 3
Расстояние между параллельными прямыми. а b • А В Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены друг от друга. 3 3 3 3
Расстояние между параллельными прямыми. а b • А В № 8
Расстояние между параллельными прямыми. а b • А В 4,3 см
ОКРУЖНОСТЬ О А В С D х о р д а радиус д и а м е т р О – центр окружности Окр (О; ОА) а а - касательная Назовите дуги данной окружности
Задача №1 (устно): Вычислите периметр треугольника АОВ
Задача №2 (устно): Вычислите длину диаметра окружности
Задача №3: Угол 1 равен углу 2. Докажите, что АВ=С D
Задача №4:
Касательная к окружности Дано: окр . (О, r ), р – касательная, А – точка касания Теорема Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. р А О r р ⊥ ОА.
3 4 Касательная к окружности Дано: окр . (О, r ), А – общая точка АВ и АС – касательные, С, В – точки касания Свойство касательных Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. А О АВ = АС, 3 = 4 . В С
Градусная мера дуги окружности А О В М Р Обозначают: АРВ и АМВ или АВ А В С О АВ – полуокружность АВ – диаметр АСВ = 180°
Угол с вершиной в центре окружности называют центральным углом. Градусная мера дуги окружности А О В А В С О Р АОВ – центральный, опирается на дугу АРВ, АРВ = АОВ АОВ – центральный, опирается на дугу АСВ, АСВ = 360° – АОВ
А О В С D 120° 30° Дано: АВ = 12 0° , AC = 30° Найти: А D В , CDB, DB. Задача
Вписанный угол Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом . АВС – вписанный В О А С
Теорема о вписанном угле Теорема Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Дано: АВС – вписанный В О А С АВС = ½ АС
3 Вписанный угол Следствие 1 Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. О В А 1 2
Следствие 2 Вписанный угол, опирающиеся на полуокружность, – прямой. О Вписанный угол В А С
АВС = ? ВАС = ? АС D = ? А OD = ?
Теорема Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд В А АЕ · ВЕ = СЕ · DE C D E
Найти: длину А D В . На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что АОВ = 140° . Длина меньшей дуги равна 98 . Найдите длину большей дуги. А О В 1 4 0° D Задача 140 – 98 220 - х Х = 154
Задача Найти: АВС . Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна 13/36 длины окружности. Ответ дайте в градусах. А О В С 360 : 36 • 13 = 130 – дуга АВС 130 : 2 = 65 - АВС