Слайд 1

Графики с модулем

Слайд 2

Построить график функции ! 1* 2* 3 4 5 6 1* 2* 3 4 5 6 1* 2* 3 4 5 6 1* 2* 3 4 5 6

Слайд 3

Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс? 1* Алгоритм (2): -1 2. Определить наибольшее число общих точек. 0,5 2 Ответ: 4 1. Построить график функции у = х ² – х – 2 -2,25 2,25

Слайд 4

Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс? 2* Алгоритм (2): -3 2. Определить наибольшее число общих точек. -1 1 Ответ: 4 -4 4 1. Построить график функции у = х ² + 2х – 3

Слайд 5

Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс? 3 Проверка (2): 1 2. Определить наибольшее число общих точек. 2 3 Ответ: 4 -1 1 1. Построить график функции у = х ² – 4х + 3

Слайд 6

Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс? 4 Проверка (2): -4 2. Определить наибольшее число общих точек. -2,5 -1 Ответ: 4 -2,25 2,25 1. Построить график функции у = х ² + 5х + 4

Слайд 7

Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс? 5 Проверка (2): 1 2. Определить наибольшее число общих точек. 3 5 Ответ: 4 -4 4 1. Построить график функции у = х ² + 5х + 4

Слайд 8

Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс? 6 -1 Ответ: 4 -2 Ответ: 4 1 -2

Слайд 9

При каких значениях т прямая y = т не имеет с графиком ни одной общей точки 1* Алгоритм (3): 1. Упростить выражение 2. Раскрываем модуль по определению Ответ: т = - 9 Определить т -3

Слайд 10

При каких значениях т прямая y = т не имеет с графиком ни одной общей точки 2 * Алгоритм (3): 1. Упростить выражение 2. Раскрываем модуль по определению Ответ: т = 4 Определить т 4

Слайд 11

При каких значениях т прямая y = т не имеет с графиком ни одной общей точки 3 Проверка (3): 1. Упростить выражение 2. Раскрываем модуль по определению Ответ: т = 1 Определить т 1

Слайд 12

При каких значениях т прямая y = т не имеет с графиком ни одной общей точки 4 Проверка (3): 1. Упростить выражение 2. Раскрываем модуль по определению Ответ: т = 2 Определить т 2

Слайд 13

При каких значениях т прямая y = т не имеет с графиком ни одной общей точки 5 Проверка (3): 1. Упростить выражение 2. Раскрываем модуль по определению Ответ: т = -2 Определить т -2

Слайд 14

6 1 Ответ: т = 1 2 Ответ: т = - 0,5 -0,5 -1 При каких значениях т прямая y = т не имеет с графиком ни одной общей точки

Слайд 15

При каких значениях т . Алгоритм (3): -2 Ответ: 1. Упростить выражение прямая y = т имеет с графиком три общие точки. 2. Построим график 3

Слайд 16

3 . Определить т При каких значениях т . 1* Алгоритм (3): -2 Ответ: т = - 2 , 2 5 1. Упростить выражение прямая y = т имеет с графиком три общие точки. 2. Построим график т = 0 - 5 3

Слайд 17

При каких значениях т . Алгоритм (3): -2 Ответ: 1. Упростить выражение прямая y = т имеет с графиком три общие точки. 2. Построим график 3

Слайд 18

3 . Определить т При каких значениях т . 2 * Алгоритм (3): -2 Ответ: т = 2 , 2 5 1. Упростить выражение прямая y = т имеет с графиком три общие точки. 2. Построим график т = 0 - 5 3

Слайд 19

При каких значениях т . Алгоритм (3): 2 Ответ: 1. Упростить выражение прямая y = т имеет с графиком три общие точки. 2. Построим график 5

Слайд 20

3 . Определить т При каких значениях т . 3 Алгоритм (3): 2 Ответ: т = 4 1. Упростить выражение прямая y = т имеет с графиком три общие точки. 2. Построим график т = 0 -2 5

Слайд 21

При каких значениях т . Алгоритм (3): -6 Ответ: 1. Упростить выражение прямая y = т имеет с графиком три общие точки. 2. Построим график -1

Слайд 22

3 . Определить т При каких значениях т . 4 Алгоритм (3): -6 Ответ: т = - 2 , 2 5 1. Упростить выражение прямая y = т имеет с графиком три общие точки. 2. Построим график т = 0 -9 -1

Слайд 23

При каких значениях т . Алгоритм (3): 3 Ответ: 1. Упростить выражение прямая y = т имеет с графиком три общие точки. 2. Построим график 9

Слайд 24

3 . Определить т При каких значениях т . 5 Алгоритм (3): 3 Ответ: т = -1 1. Упростить выражение прямая y = т имеет с графиком три общие точки. 2. Построим график т = 0 1 9

Слайд 25

При каких значениях т прямая y = т имеет с графиком три общие точки. 6 т = 0 т = -1 Самостоятельно При каких значениях т прямая y = т имеет с графиком три общие точки. Ответ: т = 1 т = 0 Ответ: 3 9 9 3 5 9 4

Слайд 26

0; При каких значениях k прямая y = kx не имеет с графиком общих точек. 1* Алгоритм ( 2 ): -2 /3 1 . Преобразовать выражение Ответ: k = - 2, 2 5 ; 2/3 и/или 2, 2 5 2. Построить график и определить k

Слайд 27

0; При каких значениях k прямая y = kx не имеет с графиком общих точек. 2* Алгоритм ( 2 ): -1 /3 1 . Преобразовать выражение Ответ: k = -9; 1 /3 и/или 9 2. Построить график и определить k

Слайд 28

0; При каких значениях k прямая y = kx не имеет с графиком общих точек. 3 Проверка ( 2 ): -2 / 5 1 . Преобразовать выражение Ответ: k = -6 , 2 5 ; 2/ 5 и/или 6, 2 5 2. Построить график и определить k

Слайд 29

0; При каких значениях k прямая y = kx не имеет с графиком общих точек. 4 Проверка ( 2 ): -1 / 2 1 . Преобразовать выражение Ответ: k = -4; 1 / 2 и/или 4 2. Построить график и определить k

Слайд 30

При каких значениях k прямая y = kx не имеет с графиком общих точек. 5 Проверка ( 2 ): -2 / 7 1 . Преобразовать выражение Ответ: 2/ 7 и/или 12, 2 5 2. Построить график и определить k 0; k = -12 , 2 5 ;

Слайд 31

6 Самостоятельно При каких значениях k прямая y = kx не имеет с графиком общих точек. При каких значениях k прямая y = kx не имеет с графиком общих точек. Ответ: 16 0; k = -16; Ответ: 20,25 0; k = -20,25; и/или и/или

Слайд 32

Фон для слайдов Старшеклассники Открытый банк заданий ФИПИ ИСТОЧНИКИ

Слайд 33

Удачи на экзаменах!

Слайд 1

Решение задач на готовых чертежах. Геометрия. 9 класс. Итоговое повторение. Часть 2. Окружность. Многоугольники.

Слайд 2

8 9 10 11 12 14 15 16 17 18 20 21 22 23 24 30 29 28 27 26 1 2 3 4 5 6 13 19 25 7

Слайд 3

1. Дано: К А М О С N В Найти:

Слайд 4

2. Найти: Дано: ? C К А О B ? ?

Слайд 5

3. Найти: Дано: А О B С D 15

Слайд 6

4 . Найти: Дано: А B C D E 16 24

Слайд 7

5 . Найти: Дано: C D P K M

Слайд 8

6 . Найти: Дано: А B C D E ?

Слайд 9

7 . Найти: Дано: 126 0 A B O C ?

Слайд 10

8 . Найти: Дано: A В С О

Слайд 11

9 . Найти: Дано: C В М K А ? О ? ?

Слайд 12

10 . Найти: Дано: О R 1 R 2

Слайд 13

11 . Найти: Дано: О 120 0

Слайд 14

12 . Найти: Дано: О 150 0 А B

Слайд 15

13 . Найти: Дано: A B O C

Слайд 16

14 . Найти: Дано: O 2 O 1

Слайд 17

15 . Найти: Дано: . O 1 . O 2 . O 3

Слайд 18

16 . Найти: Дано: А B C D 60 0 М N 8

Слайд 19

17 . Найти: Дано: А B C D 75 0 K ?

Слайд 20

18 . Найти: Дано: А B C D 60 0 20

Слайд 21

19 . Найти: Дано: А C E D B 1 5 0 0 ?

Слайд 22

20 . Найти: Дано: C N B P A D M K 30 0

Слайд 23

2 1 . Найти: Дано: А В С D 10 8 8 Е К

Слайд 24

2 2 . Найти: Дано: А В С D

Слайд 25

2 3 . Найти: Дано: А B C D K

Слайд 26

2 4 . Найти: Дано: А B C D H 5 45 0

Слайд 27

2 5 . Найти: Дано: А B C D 9 7 12 11

Слайд 28

2 6 . Найти: Дано: 70 0 A B O C D ? ? ? ?

Слайд 29

2 7 . Найти: Дано: B С A О К N M D P 5 4

Слайд 30

2 8 . Найти: Дано: О A B С D 5

Слайд 31

2 9 . Найти: Дано: О A B С D E F 2

Слайд 32

30 . Найти: Дано: A B С D E F О

Слайд 1

1 © Богомолова ОМ

Слайд 2

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины принадлежат окружности Окружность при этом называется описанной около многоугольника Около всякого треугольника можно описать окружность Ее центром является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника 2 Богомолова ОМ

Слайд 3

Суммы противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равны 180 о 3 Богомолова ОМ

Слайд 4

Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности Сама окружность при этом называется вписанной в многоугольник В любой треугольник можно вписать окружность Ее центром будет точка пересечения биссектрис этого треугольника 4 Богомолова ОМ

Слайд 5

Суммы противоположных сторон четырехугольника, описанного около окружности, равны 5 Богомолова ОМ

Слайд 6

Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности Радиус r окружности, вписанной в треугольник, выражается формулой , где a , b , c – стороны треугольника S – его площадь Радиус R окружности, описанной около правильного треугольника, выражается формулой , где a , b , c – стороны треугольника S – его площадь. 6 Богомолова ОМ

Слайд 7

Сторона равностороннего треугольника равна . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник Ответ: 1 7 Богомолова ОМ

Слайд 8

Сторона равностороннего треугольника равна . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника Ответ: 2 8 Богомолова ОМ

Слайд 9

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см. Найдите радиус описанной окружности Ответ: 5 9 Богомолова ОМ

Слайд 10

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 4 и 3, считая от вершины. Найдите периметр треугольника Ответ: 20 10 Богомолова ОМ

Слайд 11

Одна сторона треугольника равна радиусу описанной окружности. Найдите угол треугольника, противолежащий этой стороне Ответ: 30 о 11 Богомолова ОМ

Слайд 12

Сторона AB треугольника ABC равна , угол C равен 60 о . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника Ответ: 1 12 Богомолова ОМ

Слайд 13

Найдите диагональ прямоугольника, вписанного в окружность радиуса 6 Ответ: 12 13 Богомолова ОМ

Слайд 14

Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, равной Ответ: 1 14 Богомолова ОМ

Слайд 15

Меньшая сторона прямоугольника равна 5 см. Угол между диагоналями равен 60 о . Найдите радиус описанной окружности Ответ: 5 15 Богомолова ОМ

Слайд 16

Около окружности радиуса, равного , описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанного около этого квадрата Ответ: 2 16 Богомолова ОМ

Слайд 17

Сторона ромба равна 4, острый угол – 30 о . Найдите радиус вписанной окружности Ответ: 1 17 Богомолова ОМ

Слайд 18

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 2 и 4. Найдите среднюю линию трапеции Ответ: 3 18 Богомолова ОМ

Слайд 19

Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 20, средняя линия 5 см. Найдите боковую сторону трапеции Ответ: 5 19 Богомолова ОМ

Слайд 20

Угол A четырехугольника ABCD , вписанного в окружность, равен 100 о . Найдите угол C Ответ: 80 о 20 Богомолова ОМ

Слайд 21

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 80 о и 60 о . Найдите больший из оставшихся углов Ответ: 120 о 21 Богомолова ОМ

Слайд 22

В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB = 11, CD = 17. Найдите периметр четырехугольника Ответ: 56 22 Богомолова ОМ

Слайд 23

Периметр четырехугольника, описанного около окружности, равен 20, две его стороны равны 4 и 5. Найдите большую из оставшихся сторон Ответ: 6 23 Богомолова ОМ

Слайд 24

В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB = 11, BC = 10 и CD = 15. Найдите четвертую сторону четырехугольника Ответ: 16 24 Богомолова ОМ

Слайд 25

Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса 5? Ответ: 5 25 Богомолова ОМ

Слайд 26

Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен Ответ: 3 26 Богомолова ОМ

Слайд 27

Сторона AB треугольника ABC равна , радиус описанной окружности равен 1. Найдите угол C Ответ: 45 о 27 Богомолова ОМ

Слайд 28

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 2, угол при вершине равен 120 о . Найдите диаметр описанной окружности Ответ: 4 28 Богомолова ОМ

Слайд 29

Сторона BC треугольника ABC равна , угол A равен 45 о . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника Ответ: 2 29 Богомолова ОМ

Слайд 30

Сторона AB треугольника ABC равна 10, радиус описанной окружности равен 10. Найдите угол C Ответ: 150 о 30 Богомолова ОМ

Слайд 31

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 40, основание равно 48. Найдите радиус описанной окружности Ответ: 25 31 Богомолова ОМ

Слайд 32

В треугольнике ABC AC = 8, BC = 6, угол C равен 90 о . Найдите радиус вписанной окружности Ответ: 2 32 Богомолова ОМ

Слайд 33

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 10, основание равно 12. Найдите радиус вписанной окружности Ответ: 3 33 Богомолова ОМ

Слайд 34

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно 6. Найдите радиус описанной окружности Ответ: 5 34 Богомолова ОМ

Слайд 35

Сторона AB треугольника ABC равна 10. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности, если противолежащий этой стороне угол C равен 150 о Ответ: 10 35 Богомолова ОМ

Слайд 36

Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 36. Найдите ее среднюю линию Ответ: 9 36 Богомолова ОМ

Слайд 37

В четырехугольнике ABCD , вписанном в окружность, угол A равен 75 о , угол B равен 90 о . Найдите разность двух других углов Ответ: 15 о 37 Богомолова ОМ

Слайд 38

Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60 о , большее основание равно 10. Найдите радиус описанной окружности Ответ: 5 38 Богомолова ОМ

Слайд 39

Углы A , B и C четырехугольника ABCD относятся как 2:3:4. Найдите угол D , если около данного четырехугольника можно описать окружность Ответ: 90 о 39 Богомолова ОМ

Слайд 40

Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6, высота равна 7. Найдите радиус описанной окружности Ответ: 5 40 Богомолова ОМ

Слайд 41

Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 20, ее большая боковая сторона равна 6. Найдите радиус окружности Ответ: 2 41 Богомолова ОМ

Слайд 42

Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:2:3. Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 24 Ответ: 9 42 Богомолова ОМ

Слайд 43

Угол между стороной правильного n -угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 72. Найдите n Ответ: 10 43 Богомолова ОМ

Слайд 44

Найдите диаметр окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной Ответ: 3 44 Богомолова ОМ

Слайд 45

Около окружности радиуса, равного , описан правильный шестиугольник. Найдите радиус окружности, описанного около этого шестиугольника Ответ: 2 45 Богомолова ОМ

Слайд 46

К окружности, вписанной в треугольник АВС , проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 3, 4, 5. Найдите периметр данного треугольника Ответ: 12 46 Богомолова ОМ

Слайд 47

В треугольнике ABC AC = 8, BC = 6, угол C равен 90 о . Найдите радиус описанной окружности Ответ: 5 47 Богомолова ОМ

Слайд 48

В равнобедренном треугольнике боковые стороны делятся точками касания вписанной в треугольник окружности в отношении 7:5, считая от вершины, противоположной основанию. Найдите периметр треугольника, если его основание равно 10 Ответ: 34 48 Богомолова ОМ

Слайд 49

Угол B четырехугольника ABCD , вписанного в окружность, равен 70 о . Найдите угол D Ответ: 110 о 49 Богомолова ОМ

Слайд 50

Меньшая сторона прямоугольника равна 36. Один из углов, образованных диагоналями 120 о . Найдите диаметр описанной окружности Ответ: 72 50 Богомолова ОМ

Слайд 51

Периметр правильного шестиугольника равен 36. Найдите диаметр описанной окружности Ответ: 12 51 Богомолова ОМ

Слайд 52

Три последовательные стороны четырехугольника, в который можно вписать окружность, равны 6 см, 8 см и 9 см. Найдите четвертую сторону Ответ: 7 52 Богомолова ОМ

Слайд 53

Сторона ромба равна 8 см, острый угол – 30 о . Найдите радиус вписанной окружности Ответ: 2 53 Богомолова ОМ

Слайд 54

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 4 и 6. Найдите среднюю линию трапеции Ответ: 5 54 Богомолова ОМ

Слайд 55

Основания равнобедренной трапеции равны 16 и 12, радиус описанной окружности равен 10. Найдите высоту трапеции Ответ: 14 55 Богомолова ОМ

Слайд 56

Угол между стороной правильного n -угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 70. Найдите n Ответ: 9 56 Богомолова ОМ

Слайд 1

Задание В4 Решение прямоугольных треугольников

Слайд 2

Часть 1 Теорема Пифагора

Слайд 3

Прямоугольный треугольник Теорему Пифагора при - меняют для прямоугольных треугольников, то есть для треугольников у которых один угол равен 90 градусов. Стороны прямоугольных треугольников имеют названия. Стороны, которые прилежат к прямому углу - КАТЕТЫ. Сторона, лежащая напротив прямого угла - ГИПОТЕНУЗА 90 ° С B A катет гипотенуза катет

Слайд 4

Найдите катеты и гипотенузу в данных треугольниках С Т В гипотенуза катет катет K D C катет катет гипотенуза C H B C P F СР – катет С F – катет PF - гипотенуза CH- катет С B – катет НВ - гипотенуза

Слайд 5

Теорема Пифагора Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов АС - катет ВС - катет АВ -гипотенуза AC 2 + CB 2 AB 2 = c B A катет катет гипотенуза

Слайд 6

Применение Теоремы Пифагора. Найти гипотенузу по двум катетам 3 4 ? 3 4 ? С В А К 2 + К 2 = Г 2 3 2 + 4 2 = Г 2 9 + 16 = Г 2 25 = Г 2 Г= АВ =5 АС 2 + С B 2 = A В 2

Слайд 7

Применение Теоремы Пифагора. Найти катет по гипотенузе и другому катету 8 ? 10 С В А ВС 2 = АВ 2 - АС 2 Г 2 – К 2 = К 2 10 2 – 8 2 = К 2 100 – 64 = К 2 36 = К 2 К = СВ = 6

Слайд 8

Применение Теоремы Пифагора К 2 + К 2 = Г 2 1 2 + 1 2 = Г 2 1 + 1 = Г 2 2 = Г 2 Г = Г 2 – К 2 =К 2 ( ) 2 – 2 2 = К 2 8 – 4 = К 2 4 = К 2 К = 2 1 1 ? С В А 2 ? С В А АВ = СВ = 2

Слайд 9

Упражнения 1 2 ? 5 3 ? 5 12 ? √ 10 √ 6 ? 4 13 2

Слайд 10

Часть 2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИНУСА, КОСИНУСА ТАНГЕНСА ОСТРОГО УГЛА В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ

Слайд 11

Синус, косинус, тангенс – это дроби, которые описывают величину угла. В числителе и в знаменателе такой дроби стоит длина одной из сторон. Как разобраться длину, какой стороны надо поставить в числитель или в знаменатель?

Слайд 12

Определение косинуса Просто косинуса не бывает!!!! Косинус описывает величину какого-то угла. Итак, надо, например, найти cos А (т.е. косинус угла А). Найдем этот угол в треугольнике. Обведем «пожирнее» его стороны. А С В

Слайд 13

Определим cos A Косинус этого угла – это отношение тех сторон, которые обвели. Это дробь в числитель, которой записана меньшая (из обведенных сторон) , а в знаменатель большая. Большая сторона треугольни- ка - это гипотенуза( сторона, которая лежит напротив прямого угла) А С В Прилежащий катет Гипотенуза cos A = AC AB

Слайд 14

Определим cos В. Повторяем предыдущий алгоритм. Нашли угол В, обвели его стороны. Записали дробь в числителе, которая меньшая из обведенных сторон, а в знаменателе большая cos B = A C B прилежащий катет Гипотенуза ВС АВ

Слайд 15

Определение синуса Определим sin A . Обведем стороны угла А. Синус этого угла - это дробь в числителе, которой та сторона, которую не обвели, а в знаменателе большая из обведенных. A C B Гипотенуза Противолежащий катет sin A = BC AB

Слайд 16

Определим sin В. Повторяем предыдущий алгоритм. Нашли угол В, обвели его стороны. Записали дробь в числителе, сторона, которую не обвели, а в знаменателе большая из обведенных. sin B = A C B Гипотенуза AC АВ Противолежещий катет

Слайд 17

Определение тангенса Определим tg A . Обведем стороны угла А. Тангенс этого угла - это дробь в числителе, которой та сторона, которую не обвели, а в знаменателе меньшая из обведенных. A C B Противолежащий катет tg A = BC AC Прилежащий катет

Слайд 18

Определим tg В. Обведем стороны угла В. Тангенс этого угла - это дробь в числителе, которой та сторона, которую не обвели, а в знаменателе меньшая из обведенных tg B = A C B AC BC Противолежещий катет Прилежащий катет

Слайд 19

Найдите sin, cos, tg выделенного угла M A D M C T M A D

Слайд 20

Найдите sin, cos, tg выделенного угла C D A C N M

Слайд 21

Н a йдите sin, cos, tg выделенного угла А T H P A T P H

Слайд 22

Н a йдите sin, cos, tg выделенного угла H A B T H A K B cos B = BH / BK sin B = HK/ BK tg B = HK/ BH cos B = BH / BT sin B = HT/ BT tg B = HT/ BH

Слайд 23

Два прямоугольных треугольника с общим острым углом Пусть дан прямоугольный треугольник, в котором проведена высота к гипотенузе. Угол D общий для ∆А DC и ∆ DCH Синус, косинус и тангенс угла А можно выразить через стороны одного и через стороны другого треугольника C D H A C D A H высота sin D=CH/ CD cos D= DH / CD tg D=CH/ DH sin D= AC/ AD cos D= DC / AD tg D=CA/ DH

Слайд 24

Найдите sin, cos, tg выделенного угла C B R H C B R H cos R = RC / BR sin R = BC/ BR tg R = BC/ RC cos R = RH / CR sin R = HC/ CR tg R = HC/ RH

Слайд 25

Часть 3 I и II тип задач

Слайд 26

I тип: найти sin (cos, tg) по двум данным сторонам Как решать: Выразить sin (cos, tg) через стороны треугольника по определению Подставить те стороны, которые даны в задаче При необходимости найти недостающую сторону по теореме Пифагора

Слайд 27

Пример Выразим sin A через стороны треугольника sin A = BC/AB AB=25, надо найти ВС, По теореме Пифагора. sin A = 20 /25=4/5=0,8 С А В 15 25 sin A = ? AC=15 AB=25

Слайд 28

,7 Упражнения С B A 20 12 sin B = ? C B A 25 20 tg C C A A B B 5 3 10 8 cos A = ? tg A = ? 0,8 0,75 0,8 0,75 g A = ?

Слайд 29

II тип: найти сторону треугольника по данному sin (cos, tg) и стороне Как решать: Выразить sin (cos, tg) через стороны треугольника по определению Подставить ту сторону, которая дана Приравнять к данному значению sin (cos,tg) Решить пропорцию. При необходимости найти недостающую сторону по теореме Пифагора

Слайд 30

Пример Выразим cosB через стороны треугольника cosB = CB/AB BC /13=5/13, значит ВС=5 надо найти A С, по теореме Пифагора ВС=12 С А В ? 13 cos B=5 /13 AB =13 AC = ?

Слайд 31

Упражнения С С С С A A A A B B B B 25 ? cos B = 4/5 4 ? cos A = 0,5 35 ? cos B = 0,8 15 8 ? 39 cos A =5/13 36 21

Слайд 32

Часть 4 Основное тригонометрическое тождество

Слайд 33

sin 2 A + cos 2 A = 1 Эта формула позволяет по данному значению синуса острого угла прямоугольного треугольника найти значение косинуса и наоборот sin A = √ 1 – cos 2 A cos A = √1 – sin 2 A

Слайд 34

Применение основного тригонометрического тождества sin A = 3/5 cos A = ? cos A = √1 – (3/5) 2 cos A = √1 - 9/25 cos A = √25/25 - 9/25 cos A = √16/25 cos A =4/5 cos A = √13/ 7 sin A = ? sin A = √1 – (√13/7) 2 sin A = √1- 13/49 sin A = √49/49 -13/49 sin A = √36/49 sin A = 6/7

Слайд 35

Упражнения sin A = 0,8 cos A = ? 0 ,6 cos A = 0,6 sin A = ? 0,8 sin A = 12/13 cos A = ? 5/13 √ 93/10 cos A = √7/10 sin A = ? sin A = 3/√34 cos A = ? 5/√34 cos A=√91/10 sin A = ? 0,3 sin A = 5/√41 cos A = ? 4/√41 cos A =5/13 sin A = ? 12/13

Слайд 36

Часть 5 III тип задач

Слайд 37

III тип: найти сторону треугольника по данному sin (cos) и стороне Как решать: Выразить sin (cos) через стороны треугольника Подставить ту сторону, которая дана , но такой стороны нет (в этом отличие от второго типа) По данному значению sin (cos) найти cos (sin) Выразить найденный cos (sin) через стороны Подставить ту сторону, которая дана в условии Приравнять к найденному значению Решить пропорцию. При необходимости найти недостающую сторону по теореме Пифагора

Слайд 38

Пример Выразить sin через стороны треугольника Подставить ту сторону, которая дана , но такой стороны нет По данному значению sinA найти cosA Выразить найденный cos через стороны Подставить ту сторону, которая дана в условии Приравнять к найден- ному значению cos Решить пропорцию: С A B 4 sin A = 3/5 ? sin A = BC/AB cos A = √ 1 – (3/5) 2 = 4/5 cos A = AC/AB cos A = 4 /AB 4/5 = 4 /AB АВ = 5

Слайд 39

Упражнение sin B = AC/AB cos B = √1 – (11/14) 2 cos B = √1 – 121/196 cos B = √75/14= 5√3/14 cos B = CB/AB cos B = 10√3 /AB AB = 28 С В А 10 √3 ? sin B =11/14

Слайд 40

Проверь себя С С А А В В 12 ? sin A = 3/5 √ 19 ? sin A = 0,9 Ответ: АВ = 10 Ответ: ВС = 9

Слайд 41

Проверь себя С С А А В В ? cos A = 0,4 ? cos A = 14/15 Ответ: АВ = 3 0 Ответ: AB = 5

Слайд 42

Часть 6 Свойства равнобедренного треугольника

Слайд 43

Равнобедренный треугольник Равнобедренный треуголь-ник - это треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми. Третья сторона называется основание. В равнобедренном треугольнике Углы при основании равны. основание Боковая сторона Боковая сторона А В С

Слайд 44

Упражнения Укажите в равнобедренных треугольниках основание и равные углы Важно помнить: основание не обязательно располагается горизонтально. A B C C A B A B C AB – основание CA - основание BC - основание

Слайд 45

Медиана, высота и биссектриса треугольника Высота треугольника – это отрезок, который соединяет вершину треугольника и точку противоположной стороны и является перпендикуляром к ней. Медиана треугольника – это отрезок, который соединяет вершину треугольника и середину противоположной стороны. Биссектриса треугольника – это отрезок, который соединяет вершину треугольника и точку противоположной стороны и лежит на биссектрисе угла, т. е. на луче который делит данный угол пополам. K A AK - биссектриса В H BH - высота С D - медиана С D

Слайд 46

Высота, проведенная к основанию в равнобедренном треугольнике Высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. Медиана, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой Биссектриса, проведенная к основанию, является высотой и медианой А B C H AH - высота, биссектриса, медиана. AC = CB

Слайд 47

Часть 7 Равнобедренный треугольник , в котором проведена высота

Слайд 48

Равнобедренный треугольник, в котором проведена высота к основанию Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, разбивает его на два равных треугольника. При решении задач вместо данного равнобедренного треугольника можно рассматривать его половину – прямоугольный треугольник. Фактически решение задачи сводится к решению прямоугольного треугольника (смотри I, II, III тип задач) H C A D C H A H C D

Слайд 49

Пример . Задача, сводимая к задаче I типа Рассмотрим ∆ BAH. Это прямоугольный треугольник, в котором даны две стороны и надо найти косинус угла. Это задача I типа. Выразим косинус угла через стороны. Подставим данные значения. Очевидно , надо найти AH. По теореме Пифагора найдем: AH = 1 B А C H 2√6 AB = BC AB = 5 BH =2 √6 cosA = ? H B A 2 √6 cosA = AH/AC cosA = AH/ 5 5 5 cosA = 1/5 =0,2

Слайд 50

Пример . Задача, сводимая к задаче II типа AH = HB = 16 CH – высота, значит и медиана. Рассмотрим ∆ CAH. Это прямоугольный треугольник, в котором дана сторона и косинус угла надо найти сторону. Это задача II типа. Найдем АС По теореме Пифагора найдем С H : С А В H ? AC = BC AB = 32 cosA = 4/5 CH =? H C A ? 16 cosA = 4/5 cosA = AH/AC AH/AC = 4/5 16/AC = 4/5 AC = 20

Слайд 51

Решить задачи В треугольнике АВС АС=ВС=4 АВ=6 Найдите cos А. В треугольнике АВС АС=ВС= АВ= 10 Найдите tg А. В треугольнике АВС АС=ВС= 15 АВ= 18 Найдите sin А. В треугольнике АВС АС=ВС , АВ=24 , cos А = Найдите высоту С H В треугольнике АВС АС=ВС= 8, sin B= Найдите АВ В треугольнике АВС АС=ВС , АВ= 2, sin A= Найдите А C .

Слайд 52

Проверь себя С А В С А В H С А В H H 4 3 cos A = ¾=0,75 5 CH = 6 tg A = 6/5 = 1,2 15 9 CH = 12 sin A=12/15= 0,75 A C B A C B A C B 12 H ? AC= CH= 15 H 8 CH = HB = 6 AB = 12 1 ? cos A = ¼ AC = 4

Слайд 53

Равнобедренный треугольник, в котором высота проведена к боковой стороне Высота, проведенная к боковой стороне треугольник, в общем случае, не является медианой и биссектрисой. Но! Эта высота разбивает данный треугольник на два прямоугольных. Каждый из получившихся прямоугольных треугольников можно рассматривать отдельно . ( I, II, III тип задач ) Важно помнить, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны , Поэтому вместо синуса одного из углов при основании можно рассматривать синус другого угла при основании. Это замечание верно для cos, и tg . B B H A C H H H H A A C C C C B

Слайд 54

Пример В треугольнике АВС АС=ВС, АВ=6 cosA=3/5 , АН –высота Найдите ВН. Очевидно, что Значит cosA = cosB = 3/5 Данная задача сводится к задаче II типа: найти сторону прямоугольного треугольника по известному косинусу и стороне В А Н С 6 ? 6 ? В Н А Н В А ? 6 BH = 3,6

Слайд 55

Упражнения В треугольнике АВС АС=ВС, АВ=20, высота АН=5. Найдите sinA В треугольнике АВС АС=ВС, АВ=2 5 , высота АН= 1 5. Найдите cosA В треугольнике АВС А B =ВС, А C = 16 , высота C Н= 4 . Найдите синус угла АСВ В А С Н 1задача sinA= sinB= AH/AB sin A=5/20= 0,25 2 задача cosA=cosB=HB/AB HB= 20 ( т.Пифагора) cos A=20/25=0,8 B A C H 3 задача sin ACB=sin A= =CH/AC=4/16=0,25

Слайд 56

Тупоугольный равнобедренный треугольник, в котором высота проведена к боковой стороне Сумма углов треугольника 180 ° . Поэтому в равнобедренном треугольнике тупым углом может быть только угол, образованный боковыми сторонами. Высота, опущенная из вершины основания образует прямой угол с продолжением боковой стороны . Она лежит вне треугольника На чертеже два прямоугольных треугольника. Прямой угол у них общий. Один треугольник лежит внутри другого. Эти треугольники можно рассматривать отдельно ( I, II, III тип задач ) A H B C A H C B H B

Слайд 57

Пример В тупоугольном треугольнике АВС АВ = ВС, АС=5, sin C=0,6 CH – высота. Найдите АН. Угол АСВ равен углу А, значит sin ACB= sin A Задача сводится к решению прямоугольного АСН ( II тип) sin A = CH/AC CH/5=0,6=3/5 CH=3 по теореме Пифагора АН=4 A H С В 5 A H С 5 ?

Слайд 58

Упражнения В тупоугольном треугольнике АВС АВ=ВС, АС=25, СН - высота, АН = 24 Найдите синус угла АСВ В тупоугольном треугольнике АВС АВ=ВС, АС=2, СН - высота, АН = √3 Найдите синус угла АСВ 0,28 0,5

Слайд 59

Часть 8 Применение формул приведения при решении прямоугольного треугольника

Слайд 60

Использование формул приведения при решении прямоугольного треугольника Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90 ° . Значит, синус одного равен косинусу другого и тангенс одного равен котангенсу другого Внешним углом треугольника называется угол смежный с одним из внутренних углов. При каждой вершине образуется два внешних угла Сумма смежных углов равна 180 ° . Значит, синус внутреннего угла и внешнего угла равны, а косинусы и тангенсы отличаются знаком С А В α β α + β = 90° sin α = cos β sin β = cos α tg α =ctg β tg β =ctg α α β C A B α + β = 180 ° sin α = sin β cos α = - cos β tg α = - tg β

Слайд 61

Пример использование формул приведения В треугольнике АВС угол С равен 90 ° , cos B =4/5 . Найдите косинус внешнего угла при вершине А В треугольнике АВС АС=ВС=25, АВ=30. Найдите синус внешнего угла при вершине В Проведем высоту СН. НВ=15 По теореме Пифагора СН=20 A С В cosB=sinA=4/5 Используя основное тригонометрическое тождество cos A= 3/5 С А В 25 Н 15 sin B =20 /25=4/5 - 3/5 = - 0,6 4/5=0,8

Слайд 62

Упражнения В ∆ АВС угол С=90 ° , cos В= 0,8. Найти sin A В ∆ АВС угол С=90 ° . cos В= 0,8. Найти cos A В треугольнике АВС угол С=90 ° . cos B = Найти косинус внешнего угла при вершине А С А В 0,8 0,6 С А В - 0,5

Слайд 63

Упражнения В треугольнике АВС угол С=90 ° . АВ= ВС=6. Найти тангенс внешнего угла при вершине А В треугольнике АВС угол С=90 ° . AB =5. Косинус внеш-него угла при вершине В равен -0,6. Найти АС С A B 6 - 0,6 С B A 5 4

Слайд 64

Упражнения В ∆АВС АС=ВС=10, АВ= Найти синус внешнего угла при вершине В. В ∆АВС угол С равен 90 ° , АВ= , ВС=8. Найдите тангенс внешнего угла при вершине А С A B 8 - 2 С А В Н 0,7 10

Слайд 65

Обобщение и систематизация изученного материала

Слайд 66

Прямоугольный треугольник Равнобедренный треугольник Найти sin (cos, tg) Найти сторону Найти прямоугольный треугольник. Провести высоту при необходимости Даны 2 стороны Дана одна из сто - рон и cos (sin, tg) Дан sin (cos, tg) cos 2 α +sin 2 α =1 tg α =sin α /cos α Формулы Приведения I тип задач Теорема Пифагора II тип задач III тип задач Высота к боко- вой стороне Высота к основанию α = β тупой Делит основание пополам I, II, III тип задач

Слайд 1

ГИА - 2012 Открытый банк заданий по математике. Задача №16

Слайд 2

Прямоугольный треугольник. Равносторонний треугольник. Прямоугольник. Ромб. Равнобедренный треугольник. Произвольный треугольник. Параллелограмм. Трапеция. Круг. Круговой сектор. Вашему вниманию представлены тридцать шесть прототипов задачи № 16 Открытого банка заданий по математике. ГИА – 2012 .

Слайд 3

В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол, лежащий напротив него, равен 30 0 . Найдите площадь треугольника. Задание 16 (№ 169838) А В С S- ? Подсказка (3): 10 30 0 АВ АС

Слайд 4

В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а острый угол, прилежащий к нему, равен 30 0 . Найдите площадь треугольника. Задание 16 (№ 169839) А В С S- ? Подсказка (3): 10 30 0 АВ ВС

Слайд 5

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, а один из острых углов равен 30 0 . Найдите площадь треугольника. Задание 16 (№ 169844) Подсказка (3): А В С S- ? 10 30 0

Слайд 6

В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол, лежащий напротив него, равен 45 0 . Найдите площадь треугольника. Задание 16 (№ 169840) А В С S- ? Подсказка (2): 10 45 0

Слайд 7

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, а один из острых углов равен 45 0 . Найдите площадь треугольника. Задание 16 (№ 169846) А В С S- ? Подсказка (3): 10 45 0 АС 2

Слайд 8

В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол, лежащий напротив, равен 60 0 . Найдите площадь треугольника. Задание 16 (№ 169842) Подсказка (3): А В С S- ? 10 60 0 АВ

Слайд 9

В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а острый угол, прилежащий к нему, равен 60 0 . Найдите площадь треугольника. Задание 16 (№ 169843) Подсказка (4): А В С S- ? 10 60 0 АВ

Слайд 10

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, а один из острых углов равен 60 0 . Найдите площадь треугольника. Задание 16 (№ 169845) Подсказка (3): А В С S- ? 10 60 0 АС ВС

Слайд 11

Сторона равностороннего треугольника равна 10. Найдите его площадь. Задание 16 (№ 169847) А В С 10 Подсказка (4): S- ? Н

Слайд 12

Периметр равностороннего треугольника равен 30. Найдите его площадь. Задание 16 (№ 169848) А В С Подсказка (3): S- ? Н

Слайд 13

Высота равностороннего треугольника равна 10. Найдите его площадь. Задание 16 (№ 169849) А В С Подсказка (3): S- ? Н 10

Слайд 14

В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, а угол, лежащий напротив основания равен 120 0 . Найдите площадь треугольника. Задание 16 (№ 169850) А В С Подсказка (4): S- ? Н 10 120 0

Слайд 15

Периметр равнобедренного треугольника равен 16, а боковая сторона — 5. Найдите площадь треугольника. Задание 16 (№ 169851) А В С Подсказка (4): S- ? Н 5 ВС

Слайд 16

Периметр равнобедренного треугольника равен 16, а основание — 6. Найдите площадь треугольника. Задание 16 (№ 169852) А В С Подсказка (4): S- ? Н АВ

Слайд 17

В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, основание — , а угол, лежащий напротив основания, равен 135 0 . Найдите площадь треугольника. Задание 16 (№ 169896) А В С Подсказка (2): S- ? 135 0 10

Слайд 18

В треугольнике одна из сторон равна 10, другая равна , а угол между ними равен 60 0 . Найдите площадь треугольника. А В С ? Задание 16 (№ 169854) 10 60 0 S- ? Подсказка: 75

Слайд 19

В треугольнике одна из сторон равна 10, другая равна 12, а косинус угла между ними равен . Найдите площадь треугольника. А В С ? Задание 16 (№ 169860) 10 S- ? Подсказка (2): 12 20

Слайд 20

В треугольнике одна из сторон равна 10, другая равна 12, а тангенс угла между ними равен . Найдите площадь треугольника. А В С ? Задание 16 (№ 169861) 10 S- ? Подсказка (3): 12 20

Слайд 21

В прямоугольнике одна сторона 6, а диагональ 10. Найдите площадь прямоугольника. А В С Задание 16 (№ 169866) 6 Подсказка ( 3 ): S- ? 10 D В C 48

Слайд 22

В прямоугольнике диагональ равна 10, а угол между ней и одной из сторон 30 0 . Найдите площадь прямоугольника. А В С Задание 16 (№ 169867) Подсказка (4): S- ? 10 D 30 0 В C АВ

Слайд 23

В прямоугольнике диагональ равна 10, угол между ней и одной из сторон равен 30 0 , длина этой стороны . Найдите площадь прямоугольника. А В С Задание 16 (№ 169898) Подсказка (2): S- ? 10 D 30 0

Слайд 24

Задание 1 6 (№ 169868) Сторона ромба равна 5, а диагональ равна 6. Найдите площадь ромба. А В С D Подсказка (4): 5 S- ? 6 Н АН 24

Слайд 25

Задание 1 6 (№ 169868) Периметр ромба равен 40, а один из углов равен 30 0 . Найдите площадь ромба. А В С D Подсказка (4): S- ? 30 0 АВ 50

Слайд 26

Задание 1 6 (№ 169874) Периметр ромба равен 24, а тангенс одного из углов равен . Найдите площадь ромба. А В С D Подсказка (4): S- ? 12

Слайд 27

Задание 1 6 (№ 169901) В ромбе сторона равна 10, одна из диагоналей — , а угол, лежащий напротив этой диагонали, равен 45 0 . Найдите площадь ромба. А В С D Подсказка (2): S- ? 45 0 10

Слайд 28

Задание 1 6 (№ 169906) В ромбе сторона равна 10, одна из диагоналей — , а угол, из которого выходит эта диагональ, равен 150 0 . Найдите площадь ромба. А В С D Подсказка (3): 10 S- ? 150 0 50

Слайд 29

Задание 1 6 (№ 169876) Одна из сторон параллелограмма равна 12, другая равна 5, а один из углов — 45 0 . Найдите площадь параллелограмма. А В С D Подсказка (3): 12 5 45 0 S- ? Н АН

Слайд 30

Задание 1 6 (№ 169878) Одна из сторон параллелограмма равна 12, другая равна 5, синус одного из углов равен . Найдите площадь параллелограмма. А В С D Подсказка: 12 5 S- ? 20

Слайд 31

Задание 1 6 (№ 169879) Одна из сторон параллелограмма равна 12, другая равна 5, косинус одного из углов . Найдите площадь параллелограмма. А В С D Подсказка (2): 12 5 S- ? 20

Слайд 32

Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна , а угол между ней и одним из оснований равен 135 0 . Найдите площадь трапеции. Задание 16 (№ 169881) С D А В Подсказка (3): 60 S- ? 12 18 135 0 Н ВН

Слайд 33

Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 6, а синус угла между ней и одним из оснований равен . Найдите площадь трапеции. Задание 16 (№ 169883) С D А В Подсказка (5): 30 S- ? 12 18 Н ВН 6

Слайд 34

Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 6, а косинус угла между ней и одним из оснований равен . Найдите площадь трапеции. Задание 16 (№ 169884) С D А В Подсказка (5): 30 S- ? 12 18 Н ВН 6

Слайд 35

Радиус круга равен 1. Найдите его площадь Задание 16 (№ 169886) Подсказка: 3,14 S- ? 1 О

Слайд 36

Найдите площадь кругового сектора, если радиус круга равен 3, а угол сектора равен 120 0 . Задание 16 (№ 169887) Подсказка: 10,42 S- ? 3 О 120 0

Слайд 37

Найдите площадь кругового сектора, если длина ограничивающей его дуги равна , а угол сектора равен 120 0 Задание 16 (№ 16988 8 ) Подсказка (5): 9,68 S- ? 6 π О 120 0 R

Слайд 38

Радиус круга равен 3, а длина ограничивающей его окружности равна 6 π . Найдите площадь круга. Задание 16 (№ 169 912 ) Подсказка (3) : 28 , 26 S- ? 3 О R

Слайд 39

http://www.mathgia.ru:8080/or/gia12/Main.html?view=Pos При создании презентации были использованы задачи с сайта «Открытый банк заданий по математике» ГИА – 2012. Спасибо за проявленный интерес к данной разработке! ВСЕМ ТВОРЧЕСКИХ УСПЕХОВ И УСПЕШНЫХ УЧЕНИКОВ!

Слайд 1

Решение задач на готовых чертежах. Геометрия. 9 класс. Итоговое повторение. Часть 2. Окружность. Многоугольники.

Слайд 2

8 9 10 11 12 14 15 16 17 18 20 21 22 23 24 30 29 28 27 26 1 2 3 4 5 6 13 19 25 7

Слайд 3

1. Дано: К А М О С N В Найти:

Слайд 4

2. Найти: Дано: ? C К А О B ? ?

Слайд 5

3. Найти: Дано: А О B С D 15

Слайд 6

4 . Найти: Дано: А B C D E 16 24

Слайд 7

5 . Найти: Дано: C D P K M

Слайд 8

6 . Найти: Дано: А B C D E ?

Слайд 9

7 . Найти: Дано: 126 0 A B O C ?

Слайд 10

8 . Найти: Дано: A В С О

Слайд 11

9 . Найти: Дано: C В М K А ? О ? ?

Слайд 12

10 . Найти: Дано: О R 1 R 2

Слайд 13

11 . Найти: Дано: О 120 0

Слайд 14

12 . Найти: Дано: О 150 0 А B

Слайд 15

13 . Найти: Дано: A B O C

Слайд 16

14 . Найти: Дано: O 2 O 1

Слайд 17

15 . Найти: Дано: . O 1 . O 2 . O 3

Слайд 18

16 . Найти: Дано: А B C D 60 0 М N 8

Слайд 19

17 . Найти: Дано: А B C D 75 0 K ?

Слайд 20

18 . Найти: Дано: А B C D 60 0 20

Слайд 21

19 . Найти: Дано: А C E D B 1 5 0 0 ?

Слайд 22

20 . Найти: Дано: C N B P A D M K 30 0

Слайд 23

2 1 . Найти: Дано: А В С D 10 8 8 Е К

Слайд 24

2 2 . Найти: Дано: А В С D

Слайд 25

2 3 . Найти: Дано: А B C D K

Слайд 26

2 4 . Найти: Дано: А B C D H 5 45 0

Слайд 27

2 5 . Найти: Дано: А B C D 9 7 12 11

Слайд 28

2 6 . Найти: Дано: 70 0 A B O C D ? ? ? ?

Слайд 29

2 7 . Найти: Дано: B С A О К N M D P 5 4

Слайд 30

2 8 . Найти: Дано: О A B С D 5

Слайд 31

2 9 . Найти: Дано: О A B С D E F 2

Слайд 32

30 . Найти: Дано: A B С D E F О

Слайд 1

Решение задач на готовых чертежах. Окружность. Центральные и вписанные углы. Геометрия. 8 класс. Каратанова Марина Николаевна МОУ СОШ №256 г.Фокино

Слайд 2

8 9 10 11 12 14 15 16 17 18 20 21 22 23 24 30 29 28 27 26 1 2 3 4 5 6 13 19 25 7 31 32

Слайд 3

1. Найти: Дано: B О А 2 1,5

Слайд 4

2. Дано: Найти: А О С B К 4,5 ?

Слайд 5

3 . Дано: Найти: С B О А ?

Слайд 6

4 . Дано: Найти: А О С B 16

Слайд 7

5. Дано: Найти: B О А 12 60 0

Слайд 8

6. Дано: Найти: С B О А

Слайд 9

7 . Найти: Дано: B О А 12 13

Слайд 10

8 . Найти: Дано: А О С B 2 ? 4

Слайд 11

9 . Дано: Найти: А О B 16 Доп.

Слайд 12

10 . Дано: Найти: К А B 4 М О С N 8 5

Слайд 13

11 . Найти: Дано: C D А О B 4 E Доп.

Слайд 14

12 . Найти: Дано: M О N E K

Слайд 15

1 3. Найти: Дано: A О K E P

Слайд 16

1 4. Дано: Найти: О С B ? A ? ?

Слайд 17

15 . Дано: Найти: M О N K E

Слайд 18

16 . Дано: Найти: 3 0 0 A B O C

Слайд 19

1 7 . Дано: Найти: 4 0 0 5 0 0 A B O C D ?

Слайд 20

1 8 . Дано: Найти: A B O C ?

Слайд 21

19 . Найти: Дано: A B O C ?

Слайд 22

20 . Найти: Дано: 8 0 0 A B O C ?

Слайд 23

21 . Найти: Дано: 5 0 0 A B O C ?

Слайд 24

22 . Найти: Дано: 37 0 A B O C ? ?

Слайд 25

23 . Найти: Дано: 40 0 A B O C ? ? D

Слайд 26

2 4 . Найти: Дано: 12 0 0 A B O C ?

Слайд 27

25 . Найти: Дано: 2 0 0 A B O C ? D

Слайд 28

2 6 . Найти: Дано: 4 0 0 A B O C ? D 2 0 0

Слайд 29

2 7 . Найти: Дано: 3 0 0 A B O C ? D

Слайд 30

2 8 . Найти: Дано: 2 0 0 A B O C ? D E 6 0 0

Слайд 31

2 9 . Найти: Дано: A B O C D E 2,5 5 2

Слайд 32

30 . Найти: Дано: B О А 12 32 0 100 0 C D E

Слайд 33

31 . Найти: Дано: B О А 52 0 70 0 C D E ?

Слайд 34

32 . Найти: Дано: ? ? ? B О А 60 0 C

Слайд 1

Нахождение знаков коэффициентов квадратичной функции по графику (подготовка к ГИА)

Слайд 2

Введение Данный материал поддерживает изучение основного курса математики и способствует лучшему усвоению базового курса . Материал можно использовать как на уроках математики, так и на дополнительных занятиях при подготовке к ГИА. Квадратичная функция является одной из главных функций школьной математики и от учащегося требуется четкое понимание и знание всех ее свойств. По знакам коэффициентов можно воспроизвести схематический график квадратичной функции, по знаку выражения ( b 2 – 4ac) определить существование и число корней. Ученику надо понимать, как коэффициенты квадратичной функции, их знаки, соотношения между ними определяют свойства функции влияют на расположение графика. Так же важно уметь определять знаки коэффициентов по графику квадратичной функции.

Слайд 3

Цели : выработать умение исследования и чтения графиков; формировать математическое мышление, необходимые человеку в современном обществе.

Слайд 4

Задачи : Научиться находить знаки коэффициентов по графику; овладеть рядом технических и интеллектуальных математических умений; приобрести определенную математическую культуру;

Слайд 5

Квадратичная функция Квадратичной функцией называется функция вида: y=aх 2 +bx+c , где а – коэффициент при старшей степени неизвестной х ( первый коэффициент), b – коэффициент при неизвестной х (второй коэффициент), с - свободный член.

Слайд 6

Для определения знака коэффициентов квадратичной функции по графику воспользуемся теоремой Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену.

Слайд 7

Квадратное уравнение называется приведенным , если его старший коэффициент равен единице. Чтобы уравнение aх 2 +bx+c =0 стало приведенным, нужно обе части уравнения разделить на старший коэффициент. Получим приведенное уравнение х 2 +b/ax+c/a =0 . Для него справедливы соотношения: х 1 + х 2 = - b / а х 1 • х 2 = с/а И эти же соотношения справедливы для уравнения aх 2 +bx+c=0

Слайд 8

Определение знака коэффициента а по графику квадратичной функции 1. если ветви параболы направлены вверх, то а>0 , 2. если ветви параболы направлены вниз, то а<0 .

Слайд 9

Определение знака корней квадратного трехчлена по графику квадратичной функции Корни квадратного трехчлена aх 2 +bx+c – это абсциссы точек пересечения графика функции y=aх 2 +bx+c с осью абсцисс Если оба корня положительны , то х 1 + х 2 = - b / а >0 Если оба корня отрицательны , то х 1 + х 2 = - b / а <0 Если корень с большим модулем положителен , то х 1 + х 2 = - b / а >0 . Если корень с большим модулем отрицателен , то х 1 + х 2 = - b / а <0 . Если корни имеют одинаковые знаки, то х 1 • х 2 = с/а >0 Если корни имеют разные знаки, то х 1 • х 2 = с/а <0 . Во всех случаях, определив знак коэффициента а по направлению ветвей параболы, мы легко найдем знаки коэффициентов b и c

Слайд 10

Пример №1 Определить знаки коэффициентов квадратичной функции , если график функции имеет вид: 1. Ветви параболы направлены вниз, следовательно, а <0 . 2. Корни имеют одинаковые знаки, следовательно, их произведение положительно: х 1 • х 2 = с/а >0 . Так как а <0 , следовательно, с <0 . 3. Оба корня отрицательны, следовательно, их сумма отрицательна: х 1 + х 2 = - b / а <0 . Так как а <0 , следовательно, b<0 . Ответ: а <0 , b<0 , с <0 .

Слайд 11

Пример №2 Определить знаки коэффициентов квадратичной функции , если график функции имеет вид: 1. Ветви параболы направлены вверх, следовательно, а>0. 2. Корни имеют разные знаки, следовательно, их произведение отрицательно: х 1 • х 2 = с/а <0 . Так как а>0 , следовательно, с<0. 3. Корень с большим модулем положителен, следовательно, сумма корней положительна: х 1 + х 2 = - b / а >0 . Так как а>0 , следовательно, b<0 . Ответ: а>0. b<0 , с<0 .

Слайд 12

Модуль «Алгебра» прототип задания 5 График какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке? 1. У= -х 2 -6х-5 2. У= х 2 +6х+5 3. У= х 2 -6х+5 4. У= -х 2 +6х-5 Решение: Ветви направлены вверх, следовательно а>0. Сумма корней отрицательна, х 1 + х 2 = -6, а=1>0,следовательно, b >0, b =6 Ответ: 2

Слайд 13

Найдите знаки коэффициентов а; b и с по графику функции, изображенному на рисунке.

Слайд 14

Литература 1. "Алгебра. Учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений" Ю.Н. Макарычев и др., изд-во «Просвещение», 2010.; 2. "Алгебра. Учебник для 9 кл. общеобразовательных учреждений" Ю.Н. Макарычев и др., изд-во «Просвещение», 2011.; 3. ГИА, Математика, 3000 задач с ответами, Часть 1, Семенов А.Л., Ященко И.В., 2013.

Слайд 1

Подготовка к ОГЭ модуль «Геометрия» Средняя линия треугольника. Средняя линия трапеции.

Слайд 2

Определение. Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины сторон треугольника. MN - средняя линия треугольника Теорема . Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Слайд 3

10 клеток Средняя линия треугольника : 10 : 2 = 5 На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC . Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC .

Слайд 4

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC . Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC . 6 клеток Средняя линия треугольника : 6 : 2 = 3

Слайд 5

Тест «Средняя линия треугольника»

Слайд 6

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC . Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC .

Слайд 7

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC . Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC .

Слайд 8

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC . Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC . С В А

Слайд 9

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC . Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC .

Слайд 10

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC . Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC .

Слайд 11

Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC , сторона AB равна 48, сторона BC равна 57, сторона AC равна 72. Найдите MN . 72

Слайд 12

Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC , сторона AB равна 83, сторона BC равна 62, сторона AC равна 104. Найдите MN . 104

Слайд 13

Определение. Средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. EF - средняя линия трапеции Теорема . Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равна их полусумме .

Слайд 14

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии. 10 клеток 2 клетки Средняя линия трапеции :

Слайд 15

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии. 7 клеток 3 клетки Средняя линия трапеции :

Слайд 16

Тест «Средняя линия трапеции»

Слайд 17

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Слайд 18

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Слайд 19

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Слайд 20

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Слайд 21

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Слайд 22

Отрезки средней линии Больший Меньший

Слайд 23

Основания трапеции равны 1 и 11. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей. 11 1 Больший из отрезков:

Слайд 24

Основания трапеции равны 14 и 19. Найдите меньший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей. 14 19 Меньший из отрезков:

Слайд 25

Тест «Отрезки средней линии трапеции»

Слайд 26

Основания трапеции равны 17 и 19. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей. 19 17

Слайд 27

Основания трапеции равны 2 и 9. Найдите меньший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей. 9 2

Слайд 28

Основания трапеции равны 1 и 17. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей. 1 17

Слайд 29

Основания трапеции равны 8 и 17. Найдите меньший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей. 17 8

Слайд 30

Источники: Шаблон презентации: http://powerpointstore.com/286-treugolniki-v-pautine.html Задания: http://www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-oge

Слайд 1

Решение задач на готовых чертежах. Четырёхугольники. Геометрия. 8 класс.

Слайд 2

8 9 10 11 12 14 15 16 17 18 20 21 22 23 24 30 29 28 27 26 32 33 34 35 36 1 2 3 4 5 6 13 19 25 31 7

Слайд 3

1. Доказать: D С В А Дано:

Слайд 4

2. Дано: D С В А Доказать: O

Слайд 5

3 . Дано: Доказать: А B C D 2 1 3 4

Слайд 6

4 . Дано: Доказать: М N P Q

Слайд 7

5 . Дано: Доказать: А B C D 1 2 3

Слайд 8

6 . Вопрос: Дано: А B C D 1 2 3 4

Слайд 9

7 . Найти: Дано: А B C D 3 2 0 ? ?

Слайд 10

8 . Найти: Дано: М N K P 60 0 2 см 10 см ? ?

Слайд 11

9 . Найти: А B C D 40 0 25 0

Слайд 12

10 . Дано: Найти: А B C D 2 3

Слайд 13

11 . Найти: Дано: А B C D 2 8 ? K

Слайд 14

12 . Найти: Дано: А B C D 5 E ?

Слайд 15

13 . Найти: Дано: А B C D 4 см 5 см F N ? ?

Слайд 16

14 . Найти: D А B М N K P C 7 см Дано:

Слайд 17

1 5. Найти: M А B C D N Дано: ? ?

Слайд 18

1 6. Найти: А B C ? D Дано: O

Слайд 19

1 7. Найти: А B C D Дано:

Слайд 20

1 8. Найти: 75 0 40 0 Дано: А B C D E

Слайд 21

19 . Найти: А B C D Дано: 135 0 45 0 30 ?

Слайд 22

20. Найти: А B C 5 D E Дано:

Слайд 23

21. Найти: Дано: 60 0 30 0 А D E B C 5

Слайд 24

2 2 . Найти: K ? 60 0 5 Дано: А B C M P 60 0

Слайд 25

2 3 . Найти: ? 50 0 А B C D Дано:

Слайд 26

24 . Найти: А ? B 1 Дано: А 1 А 2 А 3 А 4 B 2 B 3 B 4

Слайд 27

25 . А E В С Дано: Найти: F 5 4 12

Слайд 28

26 . B А C D M K E 10 Дано: Найти: ?

Слайд 29

27 . B А C D E F 40 0 ? Дано: Найти:

Слайд 30

28 . А B C D E F K M Дано: Найти:

Слайд 31

29 . B А C D O 60 0 ? ? Дано: Найти:

Слайд 32

30 . Дано: Найти: B А C D O 60 0 E 3

Слайд 33

31 . B А C D 75 0 6 см 4 см Дано: Найти: ?

Слайд 34

32 . А B C D 60 0 6 см М N Дано: Найти: ?

Слайд 35

33 . А B C D 75 0 E ? Дано: Найти:

Слайд 36

34 . А B C D 55 0 E ? Дано: Найти:

Слайд 37

35 . А C E D B 35 0 ? Дано: Найти:

Слайд 38

36 . C N B P A D M K Дано: Найти:

Слайд 1

Решение задач на готовых чертежах. Прямоугольный треугольник. Геометрия. 8 класс.

Слайд 2

8 9 10 11 12 14 15 16 17 18 20 21 22 23 24 30 29 28 27 26 1 2 3 4 5 6 13 19 25 7

Слайд 3

1. Найти: Дано: А C B 3 4

Слайд 4

2. Дано: Найти: А D С B 35 0

Слайд 5

3 . Дано: Найти: А D С В 4 β

Слайд 6

4 . Дано: Найти: B C D 4 3 А 150 0

Слайд 7

5. Дано: Найти: А B C D 2 15 15 20 ? ?

Слайд 8

6. Дано: Найти: А С В L 20 15 0

Слайд 9

7 . Найти: Дано: А B C D 2 6 1 2 0 0

Слайд 10

8 . Найти: Дано: B C A b D β

Слайд 11

9 . Дано: Найти: B C D 6 А 1 2 0 0

Слайд 12

10 . Дано: Найти: А B C K H

Слайд 13

11 . Найти: Дано: K А B D C 4 30 0

Слайд 14

12 . Найти: Дано: C А D B α β

Слайд 15

1 3. Найти: Дано: B А C 8 30 0

Слайд 16

1 4. Дано: Найти: M N K 4 45 0

Слайд 17

15 . Дано: Найти: M E P А

Слайд 18

16 . Дано: Найти: А С В F a

Слайд 19

1 7 . Дано: Найти: B А C D O α a

Слайд 20

1 8 . Дано: Найти: B А C D K

Слайд 21

19 . Найти: Дано: А B C K M N

Слайд 22

20 . Найти: Дано: B А М Н K 8

Слайд 23

21 . Найти: Дано: А C D 5 В К 3 12 О

Слайд 24

22 . Найти: Дано: А B C M D F

Слайд 25

23 . Найти: Дано: А B C K D F E 4 2 2

Слайд 26

2 4 . Найти: Дано: P A M K B O K 1 M 1

Слайд 27

25 . Найти: Дано: B А C x 60 0 x + 1

Слайд 28

2 6 . Найти: Дано: B C D А 8

Слайд 29

2 7 . Найти: Дано: B C D А a φ

Слайд 30

2 8 . Найти: Дано: B C D А 8 φ 3a a

Слайд 31

2 9 . Найти: Дано: B C D А a

Слайд 32

30 . Найти: Дано: А O A 1 B B 1 5 8 30 0

Слайд 1

Решение задач на готовых чертежах. Теорема Пифагора. Геометрия. 8 класс.

Слайд 2

8 9 10 11 12 14 15 16 17 18 20 21 22 23 24 30 29 28 27 26 1 2 3 4 5 6 13 19 25 7

Слайд 3

1. Найти: С В А Дано: 8 см 6 см ?

Слайд 4

2. Дано: С В Найти: А 5 см 7 см ?

Слайд 5

3 . Дано: Найти: А B C D ? 12 см 13 см

Слайд 6

4 . Дано: Найти: В А С О D 2 ?

Слайд 7

5. Дано: А B C D Найти: 5 см ?

Слайд 8

6. Дано: Найти: А B C 13 5 0 13 5 0 6 см ?

Слайд 9

7 . Найти: Дано: А B C D Е 45 0 6 ?

Слайд 10

8 . Найти: Дано: А B C D 10 6 Е ?

Слайд 11

9 . Дано: Найти: А B C D E F 30 0 4

Слайд 12

10 . Дано: Найти: А B C D 6 8

Слайд 13

11 . Найти: Дано: А B C D a O ?

Слайд 14

12 . Найти: Дано: А B C D 4 30 0

Слайд 15

1 3. Найти: Дано: А B C 8 D 6

Слайд 16

1 4. Дано: А B C D E 8 45 0 Найти: 30 0

Слайд 17

15 . Дано: Найти: А C B D O E 4

Слайд 18

16 . Дано: А B C 20 Найти: 45 0 45 0

Слайд 19

1 7 . А B C D Дано: Найти: О ?

Слайд 20

1 8 . Дано: Найти: B C 6 30 0 А

Слайд 21

19 . Найти: Дано: B C D 13 5 17 А Доп. Е

Слайд 22

20 . Найти: Дано: B C D 15 9 20 А К Доп.

Слайд 23

21 . Найти: Дано: А B C D 45 0 Доп. 12 10

Слайд 24

22 . Найти: Дано: А B C Н 60 0 8 12 Доп.

Слайд 25

23 . Найти: Дано: А C В D 24 1

Слайд 26

2 4 . Найти: Дано: А C В М 12 9

Слайд 27

25 . Найти: Дано: А B C D О К

Слайд 28

2 6 . Найти: Дано: А B C М K 17 N Доп. 17

Слайд 29

2 7 . Найти: Дано: А B C D H 27 13 10 30 0 Доп.

Слайд 30

2 8 . Найти: А B C 14 Дано: 13 15

Слайд 31

2 9 . Найти: Дано: А B C D 9 12 1 5

Слайд 32

30 . Найти: Дано: А B C D H 11 7 9 12 Доп.