Занимательная математика

Вступление

Античные математики считали очень важным рассматривать вместе с каждым числом все его делители, отличные от самого этого числа. Такие делители называют собственными. Числа, имеющие много собственных делителей, назывались abundant (избыточными), а имеющие мало, – defizient(недостаточными). При этом в качестве меры использовалось не количество, а сумма собственных делителей, которую сравнивали с самим числом. Так например, для 10 сумма делителей

1 + 2 + 5 = 8 < 10,

так что делителей «недостаток». Для 12 же

1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12,

т.е. делителей «избыток». Поэтому 10 – «недостаточное», а 12 – «избыточное» число.

Встречается и «пограничный» случай, когда сумма собственных делителей равна самому числу. Например, для 6

1 + 2 + 3 = 6.

То же для 28:

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Такие числа древние греки особенно ценили и назвали их совершенными. Точно неизвестно, когда и где впервые обратили внимание на совершенные числа. Предполагают, что они были известны уже в древнем Вавилоне и древнем Египте. Во всяком случае, вплоть до V века н.э. в Египте сохранялся пальцевый счет, при котором рука с загнутым безымянным пальцем и выпрямленными остальными изображала число6 – первое совершенное число.

Распространённый в средневековой Европе и на Ближнем Востоке пальцевый счёт.
Из книги «Сумма арифметики» итальянского математика Луки Пачоли, 1494 год.

 Тем самым этот палец как бы сам стал причастен к совершенству и потому получил привилегию нести на себе кольцо. Таково одно из объяснений того отмечаемого специалистами по истории культуры факта, что почти у всех цивилизованных народов существует обычай носить кольцо именно на безымянном пальце.

Первое доказанное утверждение о совершенных числах принадлежит Евклиду (III век до н.э.). В его «Началах», выдержавших после Библии, пожалуй, наибольшее число изданий, мы находим в книге IX теорему 36, устанавливающую способ получения совершенных чисел. На современном языке она звучит так:

Теорема Евклида. В тех случаях, когда число

2n – 1

— простое, число

2n–1 · (2n – 1)

является совершенным.

Для доказательства этого утверждения Евклид использует формулу суммы членов геометрической прогрессии. Ниже мы рассмотрим доказательство этой теоремы, но прежде познакомимся с историей поиска совершенных чисел.

В начале было 6

Никомах Герасский (I–II век н.э.), знаменитый греческий философ и математик, писал:

Совершенные числа красивы. Красивые вещи редки и немногочисленны, безобразные же встречаются в изобилии. Избыточными и недостаточными бывают все числа, в то время как совершенных чисел немного. 

Сколько же их? Никомах этого не знал. Первым прекрасным совершенным числом, о котором знали математики Древней Греции, было число 6. На шестом месте на званом пиру возлежал самый уважаемый, самый знаменитый и самый почетный гость. Особыми мистическими свойствами обладало число 6 в учении пифагорейцев, к которым принадлежал и Никомах. Много внимания уделяет этому числу великий Платон (V–IV век до н.э.) в своих «Диалогах». Недаром и в библейских преданиях утверждается, что мир создан был в шесть дней, ведь более совершенного числа среди совершенных чисел, чем 6, нет, поскольку оно первое среди них.

Следующим совершенным числом, известным древним, было число 28. В Риме в 1917 году при подземных работах было открыто странное сооружение: вокруг большого центрального зала были расположены 28 келий. Это было здание неопифагорейской академии наук. В ней было двадцать восемь членов. До последнего времени столько же членов, часто просто по обычаю, причины которого давным-давно забыты, полагалось иметь во многих ученых обществах.

Древних математиков удивляло особое свойство этих двух чисел. Каждое из них, как уже было отмечено, равно сумме всех своих собственных делителей:

6 = 1 + 2 + 3   и   28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

До Евклида были известны только эти два числа, и никто не знал, существуют ли еще совершенные числа и сколько их вообще может быть. Великий основатель геометрии много занимался изучением свойств чисел; конечно, его не могли не интересовать совершенные числа. Евклид доказал, что

всякое число, которое может быть представлено в виде произведения множителей

2 p–1   и   2 p – 1,

где 2 p – 1   –   простое число, является совершенным числом, –

эта теорема теперь носит его имя. Если в формулу Евклида

2p–1 · (2p – 1)

подставить p = 2, то получим

22–1 · (22 – 1) = 21 · (22 – 1) = 2 · 3 = 6  

– первое совершенное число, а если p = 3, то

23–1 · (23 – 1) = 22 · (23 – 1) = 4 · 7 = 28

– второе.  

Благодаря своей формуле Евклид сумел найти еще два совершенных числа: третье при p = 5 и четвертое при p = 7. Вот эти числа:

25–1 · (25 – 1) = 24 · (25 – 1) = 16 · 31 = 496

и

27–1 · (27 – 1) = 26 · (27 – 1) = 64 · 127 = 8 128.

Почти полторы тысячи лет люди знали только четыре совершенных числа, не зная, есть ли таковые еще и возможны ли совершенные числа, не удовлетворяющие формуле Евклида. Неразрешимая загадка совершенных чисел, бессилие разума перед их тайной, их непостижимость привели к признанию божественности этих удивительных чисел.

Один из наиболее выдающихся ученых средневековья, друг и учитель Карла Великого, аббат Алкуин (ок.735–804), один из виднейших деятелей просвещения, организатор школ и автор учебников по арифметике, был твердо убежден, что человеческий род только потому несовершенен, и в нем только потому царит зло, горе и насилие, что он произошел от восьми людей, спасшихся в ноевом ковчеге, а 8 – число несовершенное. До потопа род людской был более совершенен – он происходил от одного Адама, а единица может быть причислена к совершенным числам: она равна самой себе, своему единственному делителю. Алкуин жил в VIII веке. Но даже в XII веке церковь учила, что для спасения души вполне достаточно изучать совершенные числа, и тому, кто найдет новое божественное совершенное число, уготовано вечное блаженство. Но и жажда этой награды не смогла помочь математикам средневековья.

Следующее, пятое совершенное число обнаружил немецкий математик Региомонтан (1436–1476) лишь в XV веке. Оказалось, что и пятое совершенное число также подчиняется условию Евклида. Не удивительно, что его так долго не могли найти. Гораздо более поражает то, что в пятнадцатом веке вообще смогли его обнаружить. Пятое совершенное число равно

33 550 336,

ему соответствует значение р = 13 в формуле Евклида.

Еще через двести лет Марен Мерсенн (1588–1648) французский богослов, математик и теоретик музыки, один из основателей Парижской академии наук, друг Декарта и Ферма, без всяких доказательств заявил, что следующие шесть совершенных чисел должны также иметь евклидовскую форму со значениями pравными 17, 19, 31, 67, 127, 257.

Современникам Мерсенна было совершенно очевидно, что сам Мерсенн никак не мог проверить непосредственным вычислением свое утверждение, ведь для этого он должен был предварительно доказать, что числа 2p – 1 с указанными значениями p действительно являются простыми. Вычислить любое из них совсем нетрудно, но выяснить, простые все эти числа или нет, – это выходило далеко за пределы человеческих сил. Так и оставалось неизвестным, прав был Мерсенн или нет.

Позднее было обнаружено, что итальянец Пьетро Антонио Катальди (1548–1626), бывший профессором математики во Флоренции и Болонье, который первый дал способ извлечения квадратных корней, тоже для спасения своей души, занимался поисками совершенных чисел. В его записках были указаны значения шестого и седьмого совершенных чисел, найденные за сотню лет до Мерсенна:

8 589 869 056 – шестое число,

и

137 438 691 328 – седьмое число.

Оказалось, что оба этих числа совпадают с теми, на которые указывал Мерсенн:

216 · (217 – 1)

и

218 · (219 – 1).

Но оставалось еще не доказанным, действительно ли эти числа являются совершенными; для этого необходимо, чтобы множители

217 – 1   и   219 – 1

были простыми.

Швейцарский математик, петербургский академик, основатель современной математики, непревзойденный вычислитель, великий Леонард Эйлер (1707–1783) сумел найти новую теорему о таинственных числах. Он доказал, что

все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом:

2 p–1 · (2 p – 1),

и только такой.

Ниже нас ожидает доказательство не только теоремы Евклида, но и этого утверждения Эйлера.

Эйлер выяснил, что первые три числа из указанных Мерсенном:

217 – 1,   219 – 1   и   231 – 1

– действительно являются простыми.

Шестое и седьмое совершенные числа, найденные Катальди, оказались верными. И навсегда осталась в истории загадочная тайна, как он сумел найти их. До сих пор предложено только одно объяснение этой загадке – оно было дано еще его современниками: помощь божественного провидения, подсказавшего своему избраннику верные значения двух совершенных чисел.
Таким образом, восьмое совершенное число, которому соответствует р = 31 в формуле Евклида равно

2 305 843 008 139 952 128.

Снова в течении целого столетия это число оставалось наибольшим из совершенных чисел. Но в 1878 году француз Эдуард Люка (1842–1891) дал критерий, с помощью которого можно установить, является ли число Мерсенна 2р – 1 простым или нет, не производя прямых вычислений. Оказалось, что далеко не все предсказания Мерсенна были верны. Он правильно предсказал значение p = 127, но числа со значениями p = 67 и p = 257, вопреки Мерсенну, не являются совершенными. Зато должны быть совершенными числа со значениями p = 61, p = 89 и p = 107, пропущенные Мерсенном.

Девятое совершенное число было вычислено только в 1883 году. В нем оказалось тридцать семь значащих цифр. Этот вычислительный подвиг совершил сельский священник из-под Перми Иван Михеевич Первушин (1821–1900). Он сумел вычислить для того времени самое большое простое число вида 2p – 1 при p = 61:

2 305 843 009 213 693 951,

и соответствующее ему совершенное число

2 305 843 009 213 693 951 · 260.

Первушин, вычислив девятое совершенное число, поистине совершил настоящий подвиг. Мерсенн в свое время говорил, что вечности не хватит для проверки простоты числа, имеющего 15–20 десятичных знаков. Первушин считал без всяких вычислительных приборов, и в его числе оказалось тридцать семь цифр!

В начале двадцатого столетия появились первые механические счетные машины, что ускорило поиски новых совершенных чисел. Десятое было найдено в 1911 году, в нем оказалось 54 цифры:

618 970 019 642 137 449 562 111 · 288.

Одиннадцатое, имеющее 65 цифр, открыли в 1914 году:

162 259 276 829 213 363 391 578 010 288 127 · 2106.

Двенадцатое нашли тогда же, в 1914 году, оно состоит уже из 77 цифр:

2126 · (2127-1).

В дальнейшем успешные поиски затормозились вплоть до середины XX века, когда с появлением ЭВМ стали возможными вычисления, превосходящие человеческие возможности.

В 1932 году американский математик Деррик Генри Лемер (1905–1991) решил найти тринадцатое совершенное число, а именно последнее из чисел вида 2р – 1, где р – простое число, которое Мерсенн считал простыми, а именно число:

2257 – 1.

Ему пришлось работать целый год, пользуясь известными тогда счетными приборами, но в результате он убедился, что это число составное, и двенадцатое совершенное число оставалось наибольшим до 1952 года.

Тринадцатое совершенное число нашла электронная счетная машина. 30 января 1952 года американский математик Рафаэль Митчел Робинсон (1911–1995) в Калифорнийском университете применил электронную счетную машину для изучения простоты чисел 2р – 1. Робинсон решил для начала еще раз убедиться в том, что число 2257 – 1 не является простым. Он пригласил присутствовать при этой проверке Лемера, который двадцать лет тому назад потратил целый год на это вычисление. Лемер получил большое удовольствие, когда увидел, что машина получила тот же самый результат. При этом она выполнила его годовую работу за восемнадцать секунд. Для того чтобы найти новое совершенное число, нужно было, следовательно, найти новое простое число. Машина продолжала поиски новых простых чисел. Она проверила за два часа 42 числа, самое меньшее из которых имело более 80 цифр! Все эти числа оказались составными. Новое совершенное число машина обнаружила к вечеру 30 января:

2520 · (2521 – 1)  при  p = 521.

Тринадцатое совершенное число оказалось состоящим из  314  цифр.

Четырнадцатое совершенное число машина нашла в тот же день к полуночи. Перебрав и проверив еще тринадцать евклидовских чисел, она нашла простое число

2607 – 1,

которое в десятичной системе имеет всего сто восемьдесят три цифры, и соответствующее совершенное число

2606 · (2607 – 1) )  при  р = 607.

Четырнадцатое совершенное число имеет 366 значащих цифр.

Пятнадцатое совершенное число машина нашла только в июне 1952 года. Она была занята в других проектах и могла использоваться для поиска совершенных чисел только эпизодически. Продолжая поиски новых простых чисел, она доказала простоту числа

21279 – 1

и нашла совершенное число из семисот семидесяти цифр:

21278 · (21279 – 1)  при  р = 1279.

Шестнадцатое и семнадцатое совершенные числа были открыты в октябре 1952 года. Машина к этому времени нашла еще два евклидовских простых числа:

22203 – 1   и   22281 – 1

и вычислила два соответствующих совершенных числа:

22202 · (22203 – 1)  при  р = 2203,

состоящее всего из тысячи трехсот двадцати семи цифр, и

22280 · (22281 – 1)  при  р = 2281,

в котором 1373 цифры.

Восемнадцатое совершенное число было найдено в сентябре 1957 года шведским математиком Хансом Иваром Ризелем (1929–2014). При помощи электронно-счетной машины он за пять с половиной часов установил простоту числа

23217 – 1

и получил восемнадцатое совершенное число:

23216 · (213217 – 1)  при  р = 3217.

В нем около 2000 цифр.

Поиски последующих совершенных чисел требовали все большего и большего объема вычислений. Но вычислительная техника непрерывно совершенствовалась, и в 1962 году было найдено два новых совершенных числа, а в 1965 году – еще три. Этим числам соответствуют в формуле Евклида значения простого числа р, равные соответственно

4 253,  4 423, 9 689, 9 941  и  11 213.  

Совершенное   число  

2 11 212 · (2 11 213 – 1)

имеет 3 376 цифр.

Конечно, только благодаря такому помощнику, как вычислительная машина, человек сумел установить, что такое огромное число является совершенным.

На февраль 2013 года известно 48 простых чисел Мерсенна и соответствующих им чётных совершенных чисел. История поисков совершенных чисел наглядно показывает, как сильно увеличивает машина возможности человека. Однако, по словам немецкого математика Эдмунда Ландау (1877–1938), одного из крупнейших специалистов в области теории чисел:

...Две проблемы остаются нерешенными до сих пор:

– Имеется ли бесконечное множество четных совершенных чисел? – Не знаю.

– Имеется ли бесконечное множество нечетных совершенных чисел? – Я даже не знаю, существует ли одно такое число.

Доказательство теоремы Евклида

В конце IX книги своих «Начал» – последней из трех, посвященных арифметике, – Евклид, доказав неограниченность ряда простых чисел способом, рассматриваемым на нашем сайте в статье«Бесконечность ряда простых чисел», переходит затем к так называемым совершенным числам. 

Первые два числа найти не сложно, воспользовавшись простым перебором чисел. Это числа:

6 = 1 + 2 + 3   и   28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

Следующее совершенное число, которым, как мы уже знаем, является 496, встречается уже не так скоро. Да и с ростом чисел поиск всех их делителей становится все более трудоемким. Поставим перед собой задачу найти все дальнейшие совершенные числа не путем проб, а систематически. 

Ясно, что

ни одно простое число не может быть совершенным.

Ведь простое число р делится лишь на 1 и на р, а так как, согласно определению совершенного числа, само число не включается в число его делителей, то сумма всех собственных делителей оказывается здесь всегда равной 1 и потому ни в коем случае не может быть равна р. 

Исходя из этого чрезвычайно простого факта, будем осторожно продвигаться дальше. Число 9 не простое, но представляет собой квадрат простого числа; оно делится на 1 и на 3 и, кроме этих чисел, никаких других собственных делителей не имеет (в этом легко убедиться, испытав все числа от 1 до 8). А поскольку сумма этих делителей

1 + 3 = 4

много меньше 9, данное число также не является совершенным.

Абсолютно ясно, что подобным же образом и квадрат всякого другого простого числа р2 делится на 1 и нар. Однако тот факт, что двумя этими числами исчерпываются все собственные делители числа р2, уже не представляется возможным проверить для всех р так же, как это мы сделали для 9; удостовериться в этом можно только путем доказательства. Это обстоятельство было замечено Евклидом, и он рассмотрел все необходимые вспомогательные теоремы. Мы приводим здесь его доказательство в несколько иной формулировке, основываясь на теореме о единственности разложения на простые множители. Действительно, если бы р2 делилось на какое-либо иное число, кроме р, его можно было бы разложить иначе, т.е. с использованием иных простых множителей, чем в непосредственно данном нам разложении

р2 = р · р.

Вообще говоря, никакая другая более высокая степень простого числа также не может быть числом совершенным.

Действительно, все делители ра также являются степенями р, только более низкими, чем ра:

1,  р1,  р2,  … ,  ра–1;                                                                                   (1)

их сумма, согласно правилу сложения членов геометрической прогрессии, которое, кстати сказать, Евклид и выводит как раз по этому поводу, равна

1 + р1 +  р2 + … + ра–1 = ра – 1/p –1                                                              (1а)

Встречающийся здесь знаменатель р – 1 для простейшего случая р = 2 равен 1, для всякого же р > 2, превышает 1; значит, (р – 1)-я доля разности ра – 1 или равна самой разности ра – 1, или меньше ее, но во всяком случае не может быть больше ее; поэтому сумма всех делителей ра может быть равна, самое большее, ра – 1 и, следовательно, обязательно меньше чем ра. Таким образом,

число вида  ра  не может быть совершенным.

После этих предварительных замечаний уже нетрудно исследовать вопрос,

может ли быть совершенным число, разлагающееся на произведение степеней двух простых чисел,

как, например,

72 = 23 · 32

или, в более общей форме, число вида р3q2. Прежде всего, непосредственно ясно, что наше число делится на следующие числа:

1,  р,  р2,  р3;

q,  рq,  р2q,  р3q;                                                                                         (2)        

q2,  рq2,  р2q2,  р3q2;

т.е. на все числа вида  рaqb, где a изменяется от 0 до 3, a b – от 0 до 2.

На основании теоремы о единственности разложения на простые множители, этим исчерпываются все его делители. Чтобы образовать сумму этих делителей, заметим, что в строках нашей таблицы (2) стоят произведения величин первой строки: во второй строке – на q, в третьей строке – на q2. Сумма же делителей, помещенных в первой строке, равна сумме четырех первых членов геометрической прогрессии:

1 + р + р2 + р3;

таким образом, для получения искомой суммы Т делителей нужно взять сумму этой геометрической прогрессии, затем произведение ее на q и, наконец, произведение ее на q2, т.е.

Т = (1 + q + q2) · ( 1 + р + р2 + р3).

Аналогично, если взять за начальное число N = рaqb, то получим сумму

Т = (1 + q + … + qb) · ( 1 + р + р2 + … + рa) = (qb+1 – 1/q –1) · (ра+1 – 1/p –1).    (2a)

При этом мы должны обратить внимание на тот факт, что в отличие от предыдущих случаев само N = рaqbвходит здесь в число делителей, а значит и в сумму Т.

Обобщение этих выводов на числа N, состоящие из степеней более чем двух различных простых чисел, не вызывает никаких затруднений. Для N = рaqbrc… , кроме таблицы (2), мы получим еще таблицу, члены которой увеличены соответственно в r раз, в r2 раз и т.д. до rc раз; следовательно, сумма всех делителей увеличится в

(1 + r + r2 + … + rc)

раз, а для каждого следующего простого множителя будет возникать необходимость в новом соответствующем умножении (число N снова засчитывается в совокупность своих делителей):

Т = ( 1 + р + р2 + … + рa) · (1 + q + … + qb) · ( 1 + r + r2 + … + rc) · … =

   = (ра+1 – 1/p –1) · (qb+1 – 1/q –1) · (rc+1 – 1/r –1) · … .                                         (3)

Все это в основном имеется у Евклида, однако он рассматривает только число вида

р · 2b,

т.е. случай двух простых множителей, из которых один q = 2, а другой входит лишь в степени а = 1. Для этого частного случая из нашей общей формулы (2а) получаем:

Т = (2b+1 – 1/2 –1) · (р2 – 1/p –1).

Число N будет совершенным, если сумма всех его делителей Т, в которую входит и само N, будет равнаN + N, т.е. 2 · N:

Т = (2b+1 – 1) · (р + 1) = 2 · N,

или, если вставить значение N = р · 2b:

(2b+1 – 1) · (р + 1) = 2 · р · 2b = 2b+1 · р.

Отсюда мы тотчас же получаем, что

2b+1 · (р + 1) – (р + 1) = 2b+1 · р

или

2b+1 = р + 1,

или, наконец,

p = 2b+1 – 1.                                                                                                (4)

Если, следовательно, число р есть не произвольное простое число, а имеет вид  2b+1 – 1,  то N – совершенное число. При тех или иных определенных значениях b число  2b+1 – 1  не всегда будет простым. Таким образом, после формальной замены в обозначениях  n = b+1,  вместе с Евклидом мы получили следующий результат:

Число   N = (2n – 1) · 2n–1   является совершенным числом всякий раз, когда  2n – 1  – число простое. 

А это ни что иное, как теорема Евклида о совершенных числах. И мы ее доказали.

2 000  лет быстрым шагом

Теперь, после того, как мы прошли по следам Евклида и доказали его теорему, попробуем повторить путь первооткрывателей совершенных чисел. Будем придавать n последовательно значения 1, 2, 3, ... и постараемся получить первые пять совершенных чисел:

n = 1,  21 – 1 = 1 – не является простым числом;

n = 2,  22 – 1 = 3 – простое число,  N = 3 · 22–1 = 3 · 2 = 6;

n = 3,  23 – 1 = 7 – простое число,  N = 7 · 23–1 = 7 · 4 = 28;

n = 4,  24 – 1 = 15 = 3 · 5 – не является простым числом;

n = 5,  25 – 1 = 31 – простое число,  N = 31 · 25–1 = 31 · 16 = 496;

n = 6,  26 – 1 = 63 = 32 · 7 – не является простым числом;

n = 7,  27 – 1 = 127 – простое число,  N = 127 · 27–1 = 127 · 64 = 8 128;

n = 8,  28 – 1 = 255 = 3 · 5 · 17 – не является простым числом;

n = 9,  29 – 1 = 511 = 7 · 73 – не является простым числом;

n = 10,  210 – 1 = 1 023 = 3 · 11 · 31 – не является простым числом;

n = 11,  211 – 1 = 2 047 = 23 · 89 – не является простым числом;

n = 12,  212 – 1 = 4 095 = 32 · 5 · 7 · 13 – не является простым числом;

n = 13,  213 – 1 = 8 191 – простое число,  N = 8 191 · 213–1 = 8 191 · 4 096 = 33 550 336.

Сегодня в это трудно поверить, но открытие Региомонтаном в XV веке пятого совершенного числа – 33 550 336 отделяло от открытия греками четвёртого – 8 128, временное расстояние длиною более тысячи лет. Да и в последующие пять веков совершенные числа собирались буквально «по крупицам». Нахождение каждого из них было событием в мире математики. В чем же дело? 

Все просто, полученный Евклидом результат порождает новую проблему:

для каких чисел n число  2n – 1  простое?

Один шаг к решению этой проблемы можно сделать тотчас же:

n должно быть во всяком случае простым числом.

Действительно, если бы n было составным числом, например, если бы n = uv, то мы имели бы

2n – 1 = 2uv – 1 = (2u)v – 1,   

и, подставляя  х = 2u  в следующее алгебраическое тождество:

xv – 1 = (xv–1 + xv–2 + … + x + 1) · (x – 1),

мы получили бы, что

(2u)v – 1 = ((2u)v–1 + (2u)v–2 + … + 2u + 1) · (2u – 1),

т.е. наше число разлагалось бы на два множителя и, таким образом, не было бы простым числом. Оно может быть простым, следовательно, только в том случае, если n – число простое.

При продолжении нашей таблицы, следующими пятью за 13 простыми значениями n являются 17, 19, 23, 29 и 31. Как показал Леонард Эйлер, числа

217 – 1,  219 – 1  и  231 – 1

– являются простыми и им соответствуют шестое, седьмое и восьмое совершенные числа. А вот

223 – 1 = 8 388 607 = 47 · 178 481

и

229 – 1 = 536 870 911 = 233 · 1 103 · 2 089

– составные.

Сегодня, с помощью компьютерной техники математики находят все новые совершенные числа. По своей величине они колоссальны. Но все же, в некотором смысле, мы все там же где Никомах и Евклид, ведь

какие из последующих чисел являются совершенными, имеет ли их последовательность конец или допускает неограниченное продолжение

– все это проблемы, к решению которых так и не смогла подойти и современная математика.

Доказательство утверждения Эйлера

О том, что древние имели об этом предмете более обширные сведения, свидетельствуют разнообразнейшие источники. Прежде всего, античный философ Ямвлих (III–IV в.) в трактате "Изложение пифагорейского учения" без всяких дальнейших пояснений сообщает о том, что,

кроме указанных Евклидом, никаких других четных совершенных чисел быть не может.

Было ли это доказано древними и каким именно способом – мы не знаем. Доказательство этого утверждения, данное Эйлером, опирается целиком на формулу (3), имеющуюся в своей основе уже у Евклида, и осуществляется посредством несложных рассуждений.

Пусть N – произвольное четное число; в таком случае 2 в какой-либо степени, например 2m, непременно имеется среди его простых множителей, все же остальные простые множители дают в произведении нечетное число. Число N, значит, можно представить в форме:

N = 2m · u,

где u – нечетное число. Образуем для этого N по формуле (3) сумму его делителей Т; первый множитель в этой формуле будет иметь вид:

2m+1 – 1/2 – 1 = 2m+1 – 1.

Второй множитель будет равен сумме U делителей числа u, т.е.

T = (2m+1 – 1) · U.                                                                                        (5)

Чтобы N было совершенным числом, это выражение, в котором N само участвует в качестве делителя, должно дать в сумме 2 · N:

(2m+1 – 1) · U = 2 · N,

(2m+1 – 1) · U = 2 · 2m · u,

(2m+1 – 1) · U = 2m+1 · u.

Раскрывая скобки, получаем:

2m+1 · U – U = 2m+1 · u,

или

2m+1 · (U – u) = U,

2m+1 · (U – u) = (U – u) + u,

2m+1 · (U – u) – (U – u) = u

или, наконец,

(2m+1 – 1) · (U – u) = u.                                                                                 (6)

U есть сумма всех делителей числа u, включая само u. Следовательно,  U – u  есть сумма всех делителейu, не считая самого u. Формула (6) говорит, что если N есть число совершенное, то u делится на  U – u.

Но если  U – u  само является делителем u и в то же время суммой всех делителей u, оно должно быть единственным делителем u. Среди же делителей u должна быть во всяком случае 1. Значит, U – u должно быть равно 1, а u – быть простым числом. Тогда формула (6) принимает более простой вид:

u = 2m+1 – 1,

так что

N = 2m · (2m+1 – 1).

Обозначим n = m+1, тогда

N = 2n–1 · (2n – 1).

А это значит, что из всех четных чисел совершенными являются только те, которые указаны Евклидом.

Здесь мы сталкиваемся со второй проблемой, связанной с нашей темой и еще не преодоленной современной наукой:

существуют ли нечетные совершенные числа?

До сих пор не было найдено ни одного такого числа, и представляется весьма невероятным, чтобы таковые существовали; однако никто еще не смог доказать, что это действительно так.

Некоторые свойства совершенных чисел

Формула Евклида позволяет доказывать ряд свойств совершенных чисел:

Все четные совершенные числа, кроме 6, являются суммой кубов последовательных нечётных натуральных чисел:

28 = 13 + 33;

496 = 13 + 33 + 53 + 73;

8 128 = 13 + 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153.

Все четные совершенные числа являются треугольными числами. Это значит, что взяв совершенное число одинаковых монет, мы всегда сможем сложить из них равносторонний треугольник:

Все четные совершенные числа являются шестиугольными числами и, значит, могут быть представлены в виде n · (2n−1) для некоторого натурального числа n:

6 = 2 · 3,   n = 2;

28 = 4 · 7,   n = 4;

496 = 16 · 31,   n = 16;

8 128 =  64 · 127,   n = 64.

Сумма всех чисел, обратных делителям совершенного числа, равна 2. Это прямое следствие определения совершенных чисел, в чем легко убедиться, умножив обе части каждого следующего равенства на соответствующее совершенное число и осуществив сокращение дробей в левой части:

1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/6 = 2;

1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 = 2;

1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/31 + 1/62 + 1/124 + 1/248 + 1/496 = 2;

1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/127 + 1/254 + 1/508 + 1/1016 +

                                                                                 + 1/2032 + 1/4064 + 1/8128 = 2.

Все четные совершенные числа в двоичной записи содержат сначала p единиц, за которыми следует p – 1 нулей (следствие из их общего представления):

6 = 1102    p = 2;

28 = 111002    p = 3;

496 = 1111100002    p = 5;

8128 = 11111110000002    p = 7.

Остаток от деления четного совершенного числа, отличного от 6, на 9 равен 1. В следствие этого – сумма всех цифр чётного совершенного числа, кроме 6, равна 1:

2 + 8 = 10,   1 + 0 = 1;

4 + 9 + 6 = 19,   1 + 9 = 10,   1 + 0 = 1;

8 + 1 + 2 + 8 =  19,   1 + 9 = 10,   1 + 0 = 1;

3 + 3 + 5 + 5 + 0 + 3 + 3 + 6 = 28,   2 + 8 = 10,   1 + 0 = 1.

Источники: И. Депман. Совершенные числа (журнал «Квант», № 5, 1991), Г. Радемахер, О. Тепліц. Числа і фігури (Тернопіль, «Навчальна книга – Богдан», 2010), В. Боро, Д. Цагир, Ю. Рольфс, Х. Крафт, Е.К. Янцен. Живые числа. Пять экскурсий (Москва, «Мир», 1985), и Википедия.

Сайт: http://math4school.ru/

Для решения многих задач "на максимум и минимум", т.е. на разыскание наибольшего и наименьшего значений переменной величины, можно успешно пользоваться некоторыми алгебраическими утверждениями, с которыми мы сейчас познакомимся.

x · y

Рассмотрим следующую задачу:

На какие две части надо разбить данное число, чтобы произведение их было наибольшим?

Пусть данное число а. Тогда части, на которые разбито число а, можно обозначить через

а/2 + x  и  a/2 – x;

число х показывает, на какую величину эти части отличаются от половины числа а. Произведение обеих частей равно

(а/2 + x) · (a/2 – x) = a2/4 – x2.

Ясно, что произведение взятых частей будет увеличиваться при уменьшении х, т.е. при уменьшении разности между этими частями. Наибольшим произведение будет при x = 0, т.е. в случае, когда обе части равны a/2.

Итак,

произведение двух чисел, сумма которых неизменна, будет наибольшим тогда, когда эти числа равны между собой.

x · y · z

Рассмотрим тот же вопрос для трех чисел.

На какие три части надо разбить данное число, чтобы произведение их было наибольшим?

При решении этой задачи будем опираться на предыдущую.

Пусть число а разбито на три части. Предположим сначала, что ни одна из частей не равна a/3.Тогда среди них найдется часть, большая a/3 (все три не могут быть меньше a/3); обозначим ее через  a/3 + x.

Точно так же среди них найдется часть, меньшая a/3 ; обозначим ее через

a/3 – y.

Числа х и у положительны. Третья часть будет, очевидно, равна

a/3 + y – x.

Числа a/3 и a/3 + x – y имеют ту же сумму, что и первые две части числа а, а разность между ними, т.е. х – y, меньше, чем разность между первыми двумя частями, которая была равна х + y. Как мы знаем из решения предыдущей задачи, отсюда следует, что произведение

a/3 · (a/3 + x – y)

больше, чем произведение первых двух частей числа а.

Итак, если первые две части числа а заменить числами

a/3  и  a/3 + x – y,

а третью оставить без изменения, то произведение увеличится.

Пусть теперь одна из частей уже равна a/3. Тогда две другие имеют вид

a/3 + z  и  a/3 – z.

Если мы эти две последние части сделаем равными a/3 (отчего сумма их не изменится), то произведение снова увеличится и станет равным

a/3 · a/3 · a/3 = a3/27.

Итак,

если число а разбито на 3 части, не равные между собой, то произведение этих частей меньше чем а3/27, т.е. чем произведение трех равных сомножителей, в сумме составляющих а.

Подобным же образом можно доказать эту теорему и для четырех множителей, для пяти и т.д.

xp · yq

Рассмотрим теперь более общий случай.

При каких значениях х и y выражение хpуq наибольшее, если х + y = а?

Надо найти, при каком значении х выражение

хр · (а – х)q

достигает наибольшей величины.

Умножим это выражение на число 1/рpqq. Получим новое выражение

xp/pp · (a – x)q/qq,

которое, очевидно, достигает наибольшей величины тогда же, когда и первоначальное.

Представим полученное сейчас выражение в виде

x/p · x/p · ... · x/p · (a – x)/q · (a – x)/q · ... · (a – x)/q ,

где множители первого вида повторяются p раз, а второго – q раз.

Сумма всех множителей этого выражения равна

 x/p + x/p + ... + x/p + (a – x)/q + (a – x)/q + ... + (a – x)/q =

= px/p + q(a – x)/q = x + a – x = a ,

т.е. величине постоянной.

На основании ранее доказанного заключаем, что произведение

x/p · x/p · ... · x/p · (a – x)/q · (a – x)/q · ... · (a – x)/q

достигает максимума при равенстве всех его отдельных множителей, т.е. когда

x/p = (a – x)/q .

Зная, что а – х = y, получаем, переставив члены, пропорцию

x/y = p/q .

Итак,

произведение  хpyq  при постоянстве суммы  х + у  достигает наибольшей величины тогда, когда  

x : y = p : q.

Таким же образом можно доказать, что

произведения

xpyqzr,  xpyqzrtu  и  т.п.

при постоянстве сумм x + y + z, x + y + z + t и т.д. достигают наибольшей величины тогда, когда

х : у : z = p : q : r,  х : у : z : t = p : q : r : u  и  т.д.

Источник: Я.И. Перельман. Занимательная алгебра (Москва, "Наука", 1970).

http://math4school.ru/kogda_proizvedenie_naibolshee.html