Министерство общего и профессионального образования Ростовской области

Государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования

Каменский техникум строительства и автосервиса

Учебное пособие

 по математике

«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В СХЕМАХ»

(для студентов специальности  270103

 «Строительство и эксплуатация зданий  и сооружений»,  

специальности  190604

 «Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта»)                        

Г. Каменск-Шахтинский

2010г.

ОДОБРЕНО                                                  

Цикловой комиссией                                  

_____________________________            

                                                                                                                                              Протокол № ____ от

 «______________»______ г.

                                                                       Заместитель директора

Председатель:                                               по учебной работе:            

 ___________                                                 ___________ Золотарев А. С.

СОГЛАСОВАНО:

Методист: ________ Хопрячкова И. Г.

Автор: __________________ Мазуренко Н. И.,

                                                                 преподаватель первой категории

Рецензенты:

1. Филимонова Г. Н. – преподаватель математики КТС и А
2. Захарова Т. И. – преподаватель математики ПУ № 46

Пояснительная записка

Данное учебное пособие ставит, прежде всего, своей целью оказать помощь преподавателю при изложении материала студентам, которые изучают дисциплину «Математика», и в частности раздел «Математический анализ».

Схемы помогают и студентам в организации их самостоятельной работы по овладению системы знаний, умений и навыков в объеме действующей программы.

Конспекты студентов, таким образом, имеют определения, общие формулы, схемы, которые предназначены усилить внимание на главных понятиях, их последовательном размещении и связях.

Такие опорные конспекты помогают студентам провести логические связи между основными понятиями через всю тему, что, конечно, помогает студентам при подготовки к тематическим зачетам или к сессии.

Учебное пособие «Математический анализ в схемах» может быть использован как при изложении нового материала, то есть  на лекционных занятиях, так и на практических, при решении задач, а также при актуализации опорных знаний студентов в начале занятия.

Список схем

Тема: « Дифференциальное исчисление»

Схема №1. Понятие функции. Способы задания, классификация и свойства функций.

Схема №2.Предел функции. Замечательные пределы.

Схема №3. Производная функции. Правила и формулы дифференцирования.

Схема №4. Геометрический, физический и экономический смысл производной.

Схема №5.Дифференциал функции, его геометрический смысл. Таблица дифференциалов.

Схема №6. Монотонность функции. Экстремумы функции.

Схема №7. Выпуклость, вогнутость функции. Точки перегиба.

Схема №8. Схема исследования функции.

Схема №9. Функция нескольких переменных. Функция двух переменных.

Схема №10. Экстремумы функции двух переменных.

Тема: « Интегральное исчисление»

Схема №11. Понятие первообразной и неопределенного интеграла.

Схема №12. Таблица интегралов.

Схема №13. Методы интегрирования.

Схема №14. Понятие определенного интеграла.

Схема №15. Геометрический смысл определенного интеграла.

Схема №16. Применение определенного интеграла.

Тема: «Дифференциальные уравнения»

Схема № 17. Дифференциальные уравнения первого порядка.

Схема № 18. Дифференциальные уравнения второго порядка.

Тема: «Ряды»

Схема №19. Числовые ряды. Сходимость числовых рядов.

Схема №20. Положительные ряды. Знакопеременные ряды. Их сходимость.

Схема №21. Степенные ряды. Ряд Маклорена.

Схема №1

Понятие функции. Способы задания, классификация и свойства функций.

Схема №2

Предел функции. Замечательные пределы.

Схема №3

Производная функции. Правила и формулы дифференцирования

Схема №4

Геометрический, физический и экономический смысл производной

Схема №5

Дифференциал функции, его геометрический смысл.

Таблица дифференциалов.

Схема №6

Монотонность функции. Экстремумы функции

Схема №7

Выпуклость, вогнутость функции. Точки перегиба

Схема №8

Схема исследования функции

Схема №9

Функция нескольких переменных. Функция двух переменных

Схема №10

Экстремумы функции двух переменных

Схема №11

Понятие первообразной и неопределенного интеграла

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке  Х, если для каждого х є Х выполняется равенство:  .

Пример:

Дана первообразная F(x) = х2. Найти ее функцию.

         F(x) = х2 является первообразной для функции f(x) = 2х на промежутке              (-; ),

 т. о. х є R.   ;  (х2)´ = 2х.

Совокупность всех первообразных F(x) +С функции  f(x)  на рассмотренном промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается символом:

.

При этом:

функция f(x) называется подынтегральной функцией,

f (x)dx – подынтегральное выражение,

переменная х – переменной интегрирования.

Основные свойства неопределенного интеграла:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Схема №12

Таблица интегралов

Схема №13

Методы интегрирования

Методы интегрирования:

Метод подстановки состоит в том, что заменяют х на , где      - непрерывная дифференцированная функция, тогда  и получается:

        При этом получают искомую функцию, которая выражена через переменную t. Для того, чтобы вернуться к переменной х необходимо заменить t значением , которое находится из соотношения                  х =.

Эту формулу используют тоже и в обратном направлении:

где  - функция, обратная к  функции  х =.

Метод интегрирования по частям.

Интегрируя обе части уравнения , имеем

  или   ,

откуда имеем:

.

Благодаря этой формуле нахождение интеграла  приводится к нахождению интеграла , который может оказаться или более простым, или табличным.

Найти интеграл методом подстановки:

==

Применяя метод интегрирования по частям, найти неопределенный интеграл: 

Схема №14

Понятие определенного интеграла

Определенный интеграл:

Понятие определенного интеграла.

у                                

                        х

Пусть функция  определена на отрезке  . Разобьем этот отрезок на  произвольных частей точками . В каждом из полученных частичных отрезков  выберем произвольную точку  и составим сумму:

,             (1)

где . Сумма вида (1) называется интегральной суммой для функции  на .

Обозначим через  длину наибольшего частичного отрезка разбиения:  .

Определение. Если существует конечный предел І  интегральной суммы (1) при , тогда этот предел называется определенным интегралом от функции  на отрезке  и обозначается следующим образом:

   или   .

В этом случае функция  называется интегрированной на .

Числа  и  называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Формула Ньютона – Лейбница.

Если функция  непрерывна на отрезке  и функция  является некоторой ее первообразной на этом отрезке, тогда имеет место формула Ньютона – Лейбница:        

Свойства определенного интеграла.

1.                         2.

3. Каковы бы не были б числа,  всегда имеет место равенство:

4.                 5.

Схема №15

Геометрический смысл определенного интеграла

Геометрический смысл определенного интеграла

Определение.  Криволинейной трапецией называется Фигура, ограниченная графиком непрерывной и неотрицательной функции, х∈, прямыми  х = а,  х = b и отрезком оси ох.

             у

                                                   х

План вычисления площади криволинейной трапеции:

1. Схематический чертеж.
2. Представление искомой площади как суммы или разности площадей.
3. Записать каждую функцию в виде y = f(x).
4. Вычислить площадь каждой криволинейной трапеции или площади искомой фигуры.

Площади фигур.

              у                                                  у

                  S                                                                      х

                        х                                     S

        Если рассмотренная фигура не является криволинейной трапецией, тогда площадь нужно представить как сумму или разность криволинейных трапеций.                

                                                           m

                                                                               n

                 S1      S2

                                                                     a            b

               S =  S1 + S2                                  S = S amb – S anb

Формулы объемов тел вращения около:                                           оси Ох    ;        оси Оу    

Схема №16

Применение определенного интеграла

Применение определенного интеграла к решению физических задач

Нахождение пути, который прошло тело при прямолинейном движении.

Скорость прямолинейного движения тела:

, то есть     

Пример. Скорость тела задана уравнением . Найти уравнение движения, если за время с. Тело прошло путь м.

Решение:

Ответ:

Вычисление работы силы, при прямолинейном движении тела.

Работа переменной силы вычисляется по формуле:

                      - отрезок пути.

Пример. Какую работу осуществляет сила в 10 Н при растяжении пружины  на 2 см?

Решение.

По закону Гука сила F, которая растягивает пружину, пропорциональна растягиванию пружины, т. е. . Имеем:  . Т. е.     (Дж).

Определение силы давления вещества на вертикально размещенную пластинку.

Из физики известно, что сила Р давления вещества на горизонтально  размещенную площадку  S, глубина погружения которой равна h, определяется по формуле   где  - плотность вещества.        

а – верхний предел, b - нижний предел;

х – глубина погружения пластины; у – ширина пластины.

Пример. Вычислить силу давления воды на стенку коробка, длина которого 20 м, а высота 5м  (считая, что коробка доверху заполнена водой).

Решение:  у=20, а=0, b=5 (м),

(Н).

Схема №17

Дифференциальные уравнения І порядка

Дифференциальным уравнением называется уравнение, которое содержит производные искомой функции или ее дифференциалы.

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Уравнение вида:  где  и  - непрерывные функции, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Алгоритм решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:

1. Производную функции представить через ее дифференциалы.

2. Члены с одинаковыми дифференциалами перенести в одну сторону равенства и вынести дифференциалы за скобки, если это нужно.

3.Разделить переменные.

4. Проинтегрировать обе части уравнения и найти общее решение дифференциального уравнения (ОРДУ).

5. Если заданы начальные условия, то найти частное решение дифференциального уравнения (ЧРДУ).

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

Уравнение вида: , где  и  - непрерывные функции,  называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Линейное однородное уравнение, если

Линейное неоднородное уравнение, если

Метод Бернулли.

Для того, чтобы решить дифференциальное уравнение первого порядка с правой частью (), нужно привести его к уравнению с разделяющимися  переменными.

При решении таких уравнений применяют метод Бернулли. Для этого используют подстановку , в результате которой уравнение   приводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными:

Схема №18

Дифференциальные уравнения ІІ порядка

Уравнение, которое содержит производные и дифференциалы второго  порядка, называется дифференциальным уравнением второго порядка. 

Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид: .

Простейшим дифференциальным уравнением второго порядка является уравнение вида: .

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

 Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида:  где  і - постоянные величины.

Это уравнение решается двойным интегрированием:   

Схема №19

Числовые ряды. Сходимость числовых рядов

Схема №20

Положительные ряды. Знакопеременные ряды. Их сходимость

Схема №21

Степенные ряды. Ряд Маклорена

Министерство общего и профессионального образования Ростовской области

Государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования

Каменский техникум строительства и автосервиса

Домашняя контрольная работа

для студентов III курса

по разделу «Математический анализ»

 (для студентов специальности  270103

 «Строительство и эксплуатация зданий  и сооружений»,  

специальности  190604

 «Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта»)                        

Г. Каменск-Шахтинский

2010г.

Пояснительная записка

к домашней контрольной работе по математике

по разделу «Математический анализ»

Домашняя контрольная работа предусматривает своей целью проверку умений и навыков обучающихся в решении практических заданий по теме «Математический анализ».

Домашняя контрольная работа состоит из 28 вариантов и включает  4 задания: нахождение производных, исследование функции и построение графика функции, нахождение интегралов разными методами, решение дифференциальных уравнений.

Индивидуальный вариант домашней контрольной работы определяется по номеру списка журнала.

При выполнении контрольной работы необходимо выполнять следующие правила:

1. Контрольная работа выполняется в отдельной тетради, на титульном листе которой указывается предмет, номер варианта, фамилия, имя учащегося.
2. Контрольная работа должна быть написана аккуратно и разборчиво. Для замечаний должны быть оставлены поля 3-4 см. Чертежи выполняются с помощью чертежных инструментов.
3. Решение заданий необходимо сопровождать короткими пояснениями, для решения задания выбирать оптимальный метод решения.
4. Если работа оценена преподавателем  на «неудовлетворительно», то ее необходимо переделать соответственно с указаниями преподавателя.

1. Найти производную функции:

1)                 2)                           3)  

4)                      5)                                     6)  

7)             8)                     9)

10)                          11)                        12)

13)                       14)                                15)  

16)                          17)                  18)

19)             20)              21)

22)                                   23)                                 24)                                      

25)                        26)                    27)             

28)

2. Исследовать функцию и построить ее график

1.                                                     

2.                                                 

3.

4.                                 

5.                                                    

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13. 

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

3. Найти неопределенные интегралы: непосредственным интегрированием и методом подстановки

28 а)

     б)

25                                26                            27    

28    

Рецензия

на учебное пособие по математике «Математический анализ в схемах», разработанное преподавателем

Каменского техникума строительства и автосервиса Мазуренко Н. И.

«Математический анализ в схемах» - это учебное пособие, которое предназначено для студентов специальностей 270103 «Строительство и эксплуатация зданий и сооружений», 190604 «Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта» в организации их самостоятельной работы по математике по овладению системы знаний по разделу «Математический анализ».

Учебное пособие составлено в соответствии с рабочими программами по математике для студентов специальностей «Строительство и эксплуатация зданий и сооружений», «Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта», которые разработаны в соответствии с государственными требованиями к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников для специальностей среднего профессионального образования.  

Структурное построение пособия логическое: от характеристики основных математических понятий до раскрытия сущности поставленных вопросов. Пособие содержит 21 схему по разделам математического анализа: «Дифференциальное исчисление», «Интегральное исчисление», «Дифференциальные уравнения», «Ряды». Опорные схемы по темам включают математические определения, формулы, алгоритмы решения, таблицы, рисунки с пояснениями к определенному математическому понятию. Это помогает студентам усилить внимание на основных понятиях, их последовательном размещении и связях.

Учебное пособие может быть использовано не только в организации самостоятельной работы студентов по предмету, а также на занятиях по математике в качестве раздаточного материала, при подготовки студентов к тематическим зачетам, к сессии.

Изложение учебного материала выполнено на достаточно высоком научном уровне и в доступной для понимания форме. Содержание материала соответствует названию учебного пособия.

Методическая разработка только выиграет, если ее дополнить примерами выполнения тематических заданий, вопросами для самоконтроля, индивидуальными примерами для самостоятельной работы студентов.

Рецензированная работа может быть использована в учебном процессе преподавателями математики.

Рецензент:                                      

  Г. Н. Филимонова – председатель

цикловой комиссии

 естественнонаучных дисциплин КТС и А,

 специалист высшей категории.

Рецензия

на учебное пособие по математике «Математический анализ в схемах», разработанное преподавателем

 Каменского техникума строительства и автосервиса Мазуренко Н. И.

«Математический анализ в схемах» - это учебное пособие, которое предназначено для студентов специальностей 270103 «Строительство и эксплуатация зданий и сооружений», 190604 «Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта» в организации их самостоятельной работы по математике по овладению системы знаний по разделу «Математический анализ».

Учебное пособие составлено в соответствии с рабочими программами по математике для студентов специальностей «Строительство и эксплуатация зданий и сооружений», «Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта», которые разработаны в соответствии с государственными требованиями к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников для специальностей среднего профессионального образования.  

Структурное построение пособия логическое: от характеристики основных математических понятий до раскрытия сущности поставленных вопросов. Пособие содержит 21 схему по разделам математического анализа: «Дифференциальное исчисление», «Интегральное исчисление», «Дифференциальные уравнения», «Ряды». Опорные схемы по темам включают математические определения, формулы, алгоритмы решения, таблицы, рисунки с пояснениями к определенному математическому понятию. Это помогает студентам усилить внимание на основных понятиях, их последовательном размещении и связях.

Учебное пособие может быть использовано не только в организации самостоятельной работы студентов по предмету, а также на занятиях по математике в качестве раздаточного материала, при подготовки студентов к тематическим зачетам, к сессии.

Изложение учебного материала выполнено на достаточно высоком научном уровне и в доступной для понимания форме. Содержание материала соответствует названию учебного пособия.

Методическая разработка только выиграет, если ее дополнить примерами выполнения тематических заданий, вопросами для самоконтроля, индивидуальными примерами для самостоятельной работы студентов.

Рецензированная работа может быть использована в учебном процессе преподавателями математики.

Рецензент:                                      

Т. И. Захарова  – преподаватель

математики  ПУ № 46.