Методические материалы к дополнительной общеразвивающей программе «Фрактал»
учебно-методический материал на тему

Учебно-исследовательская

                                               работа на тему:

«Исследование и моделирование фракталов».

(техническое направление)

Выполнила:

Ученик 11 класса Огурцов Денис

2016

Содержание.

Введение………………………………………………………….…………….3

1Теоритическая часть

1.1Рождение и развитие фрактальной геометрии………………………4

1.2Классификация фракталов ………………………………… ……… ..5

1.3Применение фракталов………………………………………………..7

2Практическая часть

2.1Способы построения фракталов……………………………………..8

2.2Моделирование фракталов на языке Паскаль АВС…………..…..12

Заключение……………………………………………………………………17

Литература……………………………………………………………………18

Приложение ………………………………………………………………….19

Введение

   Кто хотя бы раз видел фракталы – удивительно красивые и таинственные геометрические объекты, тот надолго заболел этим интересным и захватывающим научным явлением. Фрактальные рисунки – вершина вдохновения мастера на пути к совершенному единству математики, информатики и искусства. Такими представляются фракталы, которые строят современные компьютеры.

   До недавнего времени геометрические модели природных объектов изображались с помощью комбинаций простых фигур: прямых, треугольников, окружностей, сфер, многогранников. Правда, с помощью набора этих известных фигур трудно описать более сложные природные объекты: пористые материалы, формы облаков, кроны деревьев, др. Современная наука не может обойтись без новых компьютерных средств. Они выводят математику на чрезвычайно высокий уровень. Изучая фракталы, весьма трудно провести грань между математикой и информатикой – так тесно они переплелись в своём стремлении открыть уникальные модели, приближающие нас к пониманию некоторых природных процессов и явлений.

   Тогда возникает проблема: можно ли в школьных языках программирования смоделировать фракталы, и если можно, то в каких целях и где это можно применить?

   Гипотеза: если изучить закономерность построения фрактала, то его можно смоделировать на языке программирования PascalABC

    Материал: научная литература по истории открытия фракталов, данные исследований Б. Мандельброта и Е. Федера, программное обеспечение.

Методы исследования: сравнительный анализ, синтез, моделирование.
   Цель: исследовать фракталы в природе и математике и составить программы  моделирования сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные .

    Задачи: 
 • узнать, что такое фракталы;

 • изучить историю возникновения и развития фрактальной геометрии;

 • ознакомиться с биографией создателя фракталов –   Бенуа Мандельброта;

 • смоделировать фракталы на языке программирования –Pascal.

Актуальность: Интерес к проблеме обусловлен возросшей ролью фракталов в машинной графике. Они незаменимы при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря.

Результат исследования: разработка программ  построения фракталов, выпуск буклета.

Теоретическая и практическая значимость: использование программ построения фракталов на уроках и факультативных занятиях по математике, информатике и искусству.

1.1Рождение и развитие фрактальной геометрии

  Понятия «фрактал» и «фрактальная геометрия» возникли в 70-80-х годах прошлого века. Они прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово «фрактал» происходит от латинского fractus, что в переводе означает разбитый (поделённый на части). Оно было предложено американским математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных самоподобных структур. По определению, данному Мандельбротом,  «фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому». Свойство самоподобности отражает главную особенность природных объектов, когда отдельная клетка растения или животного несёт в себе полную информацию обо всём организме.

  С математической точки зрения фрактал – это прежде всего множество дробной размерности. Всем, кто изучает геометрию, известно, что размерность отрезка равна 1, квадрата-2, куба и параллелепипеда-3. Дробная размерность-основное свойство фракталов.

  Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта «Фрактальная геометрия природы». В ней использованы научные результаты учёных, работавших в период 1875-1925 гг. в той же области. Среди них Пуанкаре,  Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф. Только в наше время удалось объединить эти работы в единую систему.

   Фрактальная геометрия – это революция в математике и математическом описании природы. Вот как об этом пишет сам первооткрыватель фрактальной геометрии Бенуа Мандельброт: «Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в её неспособности описать форму облака, горы, дерева или моря. Облака -это не сферы, горы - это не конусы, линии берега - это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой… Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах бесконечно».

   Новая фигура – фрактал - может выступать моделью сложных природных систем, таких, как кроны деревьев, горные хребты, береговые линии, поверхность Луны, и т.д. Древовидные фракталы применяются  для моделирования не только растений, но и бронхиального дерева, работы почек, кровеносной системы.

   Если рассматривать фрактальные объекты в различном масштабе, то нетрудно обнаружить одни и те же основные элементы. Эти повторяющиеся закономерности определяют дробную (фрактальную) размерность необычной геометрической фигуры.

1.2 Классификация фракталов.

  Для их изучения фракталов следует разделить их на определенные классы. Одной из общепринятых классификаций является классификация фракталов на геометрические, алгебраические и стохастические.

                                    Фракталы 

Алгебраические                       Геометрические                      Стохастические

  Геометрические фракталы 

     История фракталов началась с геометрических фракталов, которые исследовались математиками в 19 веке. Это и есть те функции-монстры, которых так называли за недифференцируемость в каждой точке. Геометрические фракталы являются также самыми наглядными, так как сразу видна самоподобность. Вообще все геометрические фракталы обладают жесткой самоподобностью, не изменяющейся при изменении масштаба. Для построения геометрических фракталов характерно задание "основы" и "фрагмента", повторяющегося при каждом уменьшении масштаба. Поэтому эти фракталы иногда называют конструктивными или автомодельными. Примерами таких фракталов являются треугольник Серпинского, снежинка Коха, кривая Леви и многие  другие.  В графике геометрические фракталы применяются для получения изображений деревьев, кустов, береговых линий и т.д.

     Конструктивные фракталы строятся с помощью рекурсивных процедур, систем итерированных функций, L-систем, и др.

     Алгебраические фракталы

     Это самая крупная группа фракталов. Они оправдывают своё название, так как строятся на основе алгебраических формул, иногда довольно простых.

     Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. Состояние, в котором окажется динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от начальных условий. Поэтому каждое устойчивое состояние (аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, при которых система обязательно перейдет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом, фазовое пространство разбивается на области притяжения аттракторов.

     Самыми известными из них являются множества Мандельброта и Жюлиа, Бассейны Ньютона и т.д.

     Стохастические фракталы 

     Фракталы, при построении которых случайным образом изменяются какие-либо параметры, называют стохастическими. Термин стохастичность происходит от греческого слова, обозначающего «предположение».        

Стохастическим природным процессом является броуновское движение. С помощью компьютера такие процессы строить достаточно просто: надо просто задать последовательности случайных чисел и настроить соответствующий алгоритм. При этом получаются объекты, очень похожие на природные, - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и так далее. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря, процесса электролиза.

С помощью компьютерной программы можно построить какие-нибудь объекты живой природы, например, ветку дерева. Процесс конструирования этого геометрического фрактала задаётся более сложным правилом, нежели построение вышеописанных кривых. 

 Существует еще одна интересная классификация. Фракталы в этом случае классифицируются на два класса: рукотворные и природные. К рукотворным относятся те фракталы, которые были придуманы учеными, и он при любом масштабе обладают фрактальными свойствами. В действительности это не так, т.к. у дерева не бесконечное число ветвей, и берег имеет не бесконечную длину. Поэтому на природные фракталы накладывается ограничение на область существования. Вводится максимальный и минимальный размеры, при которых у объекта наблюдаются фрактальные свойства.

1.3Применение фракталов.

   Главное применение  фракталов - современная компьютерная графика. С их помощью можно создавать плоские множества и поверхности очень сложной формы, посредством изменения параметров в том или ином уравнении.

   Фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, морей, горных ландшафтов. Можно сказать, что учёные нашли простой способ представления сложных объектов, образы которых напоминают природные формы.

   Большой вклад в теорию фракталов вносят мощные современные компьютерные программы, рисующие листья деревьев и папоротника, искусственные горные цепи, облака и не существующие в природе планеты с вымышленными океанами и континентами.

    Наиболее полезным использованием фракталов в компьютерной науке является фрактальное сжатие данных. В основе этого вида сжатия лежит тот факт, что реальный мир хорошо описывается фрактальной геометрией. При этом картинки сжимаются гораздо лучше, чем это делается обычными методами. Другое преимущество фрактального сжатия состоит в том, что при увеличении картинки не наблюдается эффекта пикселизации. При фрактальном сжатии после увеличения картинка часто выглядит даже лучше, чем до него.

   Механика жидкостей и газов. Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под фракталы. Турбулентные потоки хаотичны, и поэтому очень сложно строить их модели. И здесь помогает переход к фрактальному представлению, что сильно облегчает работу инженерам и физикам, позволяя лучше понять динамику сложных потоков.

   Для передачи данных на расстояние используются антенны, имеющие фрактальные формы, что сильно уменьшает их размеры и вес.

   При помощи фракталов также можно моделировать языки пламени и другие, ещё более сложные, физические процессы. Фрактальные формы хорошо передают пористые материалы, которые имеют очень сложную геометрическую структуру. Эти знания используются в науке о нефти.

    Теория фракталов используется и при изучении структуры Вселенной.

    В биологии можно рассмотреть такие  примеры - биосенсорные взаимодействия и биения сердца, моделирование хаотических процессов, в частности, при описании моделей популяций.

     Ещё одной захватывающей, но спорной областью применения фракталов является компьютерное искусство. Фракталы не только служат учёным, но  и помогают художникам передавать их мысли, чувства и настроения, воплощая самые невероятные фантазии. В наше время живописец уже не может обойтись без компьютерной программы, которая строит причудливые картины-фракталы.

2.1Фракталы и способы их моделирования.

Геометрические фракталы

Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.

Рис 1. Построение триадной кривой Кох.

Рассмотрим один из таких фрактальных объектов - триадную кривую Кох. Построение кривой начинается с отрезка единичной длины (рис.1) - это 0-е поколение кривой Кох. Далее каждое звено (в нулевом поколении один отрезок) заменяется на образующий элемент, обозначенный на рис.1 через n=1. В результате такой замены получается следующее поколение кривой Кох. В 1-ом поколении - это кривая из четырех прямолинейных звеньев, каждое длиной по 1/3. Для получения 3-го поколения проделываются те же действия - каждое звено заменяется на уменьшенный образующий элемент. Итак, для получения каждого последующего поколения, все звенья предыдущего поколения необходимо заменить уменьшенным образующим элементом. Кривая n-го поколения при любом конечном n называется предфракталом. На рис.1 представлены пять поколений кривой. При n стремящемся к бесконечности кривая Кох становится фрактальным обьектом.

Рис 2. Построение "дракона" Хартера-Хейтуэя.

Для получения другого фрактального объекта нужно изменить правила построения. Пусть образующим элементом будут два равных отрезка, соединенных под прямым углом. В нулевом поколении заменим единичный отрезок на этот образующий элемент так, чтобы угол был сверху. Можно сказать, что при такой замене происходит смещение середины звена. При построении следующих поколений выполняется правило: самое первое слева звено заменяется на образующий элемент так, чтобы середина звена смещалась влево от направления движения, а при замене следующих звеньев, направления смещения середин отрезков должны чередоваться. На рис.2 представлены несколько первых поколений и 11-е поколение кривой, построенной по вышеописанному принципу. Предельная фрактальная кривая (при n стремящемся к бесконечности) называется драконом Хартера-Хейтуэя

В машинной графике использование геометрических фракталов необходимо при получении изображений деревьев, кустов, береговой линии. Двухмерные геометрические фракталы используются для создания объемных текстур (рисунка на поверхности объекта)

Алгебраические фракталы

Наиболее изучены двухмерные процессы. Интерпретируя нелинейный итерационный процесс, как дискретную динамическую систему, можно пользоваться терминологией теории этих систем: фазовый портрет, установившийся процесс, аттрактор и т.д.

Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или как говорят - аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом, фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.

Рис 3. Множество Мандельброта.

В качестве примера рассмотрим множество Мандельброта (см. pис.3 и рис.4). Алгоритм его построения достаточно прост и основан на простом итеративном выражении:

Z[i+1] = Z[i] * Z[i] + C,

где Zi и C - комплексные переменные. Итерации выполняются для каждой стартовой точки C прямоугольной или квадратной области - подмножестве комплексной плоскости. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока Z[i] не выйдет за пределы окружности радиуса 2, центр которой лежит в точке (0,0), (это означает, что аттрактор динамической системы находится в бесконечности), или после достаточно большого числа итераций (например, 200-500) Z[i] сойдется к какой-нибудь точке окружности. В зависимости от количества итераций, в течении которых Z[i] оставалась внутри окружности, можно установить цвет точки C (если Z[i] остается внутри окружности в течение достаточно большого количества итераций, итерационный процесс прекращается и эта точка растра окрашивается в черный цвет).

Рис 4. Участок границы множества Мандельброта, увеличенный в 200 pаз.

Вышеописанный алгоритм дает приближение к так называемому множеству Мандельброта. Множеству Мандельброта принадлежат точки, которые в течение бесконечного числа итераций не уходят в бесконечность (точки имеющие черный цвет). Точки принадлежащие границе множества (именно там возникает сложные структуры) уходят в бесконечность за конечное число итераций, а точки лежащие за пределами множества, уходят в бесконечность через 

2.2Моделирование фракталов на языке Паскаль АВС

Треугольник Серпинского    

Program Sierp10;

Uses CRT, Graphabc;

Var

  gd, gm: Integer;

  l, x, y: Real;

Begin

  While not Keypressed Do Begin

    l:=2/3*pi*random(3);

    x:=x/2+cos(l);

    y:=y/2+sin(l);

    PutPixel(220 + Round(x*100), 200 + Round(y*110), 14);

  End;

  Readkey;

  End.

Стохастический фрактал

uses GraphABC;

const

  n=255;

  max=10;

var

  x,y,x1,y1,cx,cy: real;

  i,ix,iy: integer;

begin

    SetWindowSize(600,600);

  cx:=0.14;

  cy:=+0.17;

  for ix:=0 to WindowWidth-1 do

  for iy:=0 to WindowHeight-1 do

  begin

    x:=0.005*(ix-200);

    y:=0.005*(iy-150);

    for i:=1 to n do

    begin

      x1:=x*x-y*y+cx; 

      y1:=x*y+1.4*y+cy;

      if (x1>max) or (y1>max) then break;

      x:=x1;       y:=y1;

    end;

    if i>=n then SetPixel(ix,iy,clRed)

      else SetPixel(ix,iy,RGB(255,255-i,255-i));

  end; end.

Треугольники

uses Crt,

GraphABC;

var i,j: integer;

begin

  SetWindowSize(800,600); {Установили окно размером 800 на 600 точек}

  for j:=0 to WindowHeight-1 do

     for i:=0 to WindowWidth-1 do

         SetPixel(i,j,RGB(i+j,i-j,i+2*j)); {RGB - функция, в которой указывается

                                            точные составляющие цвета - красный,зеленый и синий}

  for i:=0 to WindowWidth-1 do

  for j:=0 to WindowHeight-1 do

    SetPixel(i,j,RGB(2*i+j,i-2*j,i+2*j)); {другой вариант закраски}

  end.

Окружности

uses Crt,

GraphABC;

var i,j: integer;

begin

  SetWindowSize(800,600); {Установили окно размером 800 на 600 точек}

  { Круги - цветовые эффекты}

  for j:=0 to WindowHeight-1 do

  for i:=0 to WindowWidth-1 do

    SetPixel(i,j,RGB(0,0,i*i+j*j));

end.

Кривая дракона

program dracon;

uses GraphABC;

var

  x,y : integer;

  dx,dy: integer;

  turn: array [1..1000] of Boolean;

  a,b,d,t: integer;

  f: Boolean;

  i: integer;

begin

  SetWindowSize(790,500);

  TextOut(5,5,'Кривая дракона');

  f:=true;

  for a := 1 to 64 do

  begin

    turn[2*a-1]:=f;

    f:=not f;

    turn[2*a]:=turn[a];

  end;

  x:=200; dx:=0;

  y:=140; dy:=-4;

  b:=0;

  d:=1;

  f:=false;

  MoveTo(x,y);

  for a:=1 to 128 do

  begin

    for i:=1 to 127*4 do

    begin

      b := b+d; x:=x+dx; y:=y+dy;

      LineTo(x,y);

      if f and not turn[b] or not f and turn[b] then

      begin

        t:=dy;

        dy:=-dx;

      end

      else

      begin

        t:=-dy;

        dy:=dx;

      end;

      dx:=t;

    end;

    b:=b+d; d:=-d;

    f:=not f;

    x:=x+dx; y:=y+dy;

    LineTo(x,y);

    if turn[a] then

    begin

      t:=dy;

      dy:=-dx;

    end

    else

    begin

      t:=-dy;

      dy:=dx;

    end;

    dx:=t;

  end;

end.

Ковер Серпинского

program Serp;

uses GraphABC;

var

  a,b,x,y: integer;

  N: integer;

procedure lrel (dx,dy: integer);

begin

  x:=x+dx; y:=y+dy; LineTo(x,y);

end;

procedure BB(k: integer); forward;

procedure CC(k: integer); forward;

procedure DD(k: integer); forward;

procedure AA(k: integer);

begin

 if k>0 then

 begin

   AA(k-1); lrel(a,b);

   BB(k-1); lrel(a,0);

   DD(k-1); lrel(a,-b);

   AA(k-1);

 end;

end;

procedure BB(k: integer);

begin

 if k>0 then

 begin

   BB(k-1); lrel(-a,b);

   CC(k-1); lrel(0,b);

   AA(k-1); lrel(a,b);

   BB(k-1);

 end;

end;

procedure CC(k: integer);

begin

 if k>0 then

 begin

   CC(k-1); lrel(-a,-b);

   DD(k-1); lrel(-a,0);

   BB(k-1); lrel(-a,b);

   CC(k-1);

 end;

end;

procedure DD(k: integer);

begin

 if k>0 then

 begin

   DD(k-1); lrel(a,-b);

   AA(k-1); lrel(0,-b);

   CC(k-1); lrel(-a,-b);

   DD(k-1);

 end;

end;

begin

  N:=6;

  a:=3;

  b:=a;

  x:=10;

  y:=10;

    SetWindowSize(590,590);

  MoveTo(x,y);

  AA(N); lrel(a,b);

  BB(N); lrel(-a,b);

  CC(N); lrel(-a,-b);

  DD(N); lrel(a,-b);

end.

Множество Мандельброта

Program M2;

Uses Graphabc, Crt;

Type

   TComplex = Record

     X : Real;

     Y : Real;

   End;

Const

   iter = 50;

   max  = 16;

   GetMaxY = 600;

   GetMaxX = 800;

Var

   z, t, c : TComplex;

   x, y, n : Integer;

   Cancel  : Boolean;

   gd, gm  : Integer;

   mx, my  : Integer;

Begin

   Cancel := False;

   Randomize;

      Mx := GetMaxX div 2;

   My := GetMaxY div 2;

   For y := -my to my do

      For x := -mx to mx do Begin

         n := 0;

         C.X := X * 0.005;

         C.Y := Y * 0.005;

         z.X := 0;

         z.Y := 0;

         While (sqr(z.X) + sqr(z.Y) < max) and (n < iter) do Begin

            t := z;

            Z.X := sqr(t.X) - sqr(t.Y) + C.X;

            Z.Y := 2 * t.X * t.Y+ C.Y;

            Inc(n);

            If keypressed then cancel := true;

         End;

         If n < iter then Begin

            setPixel (mx + x,my + y,16 - (n mod 16));

         End;

         If cancel then exit;

      End;

   Readkey;

  end.

Снежинка Коха

Var

  gd, gm: Integer;

  i, j: Integer;

  x, y, l: Real;

  a: Real;

  n, m: Integer;

Begin

  gd:=0;

    x:=0;

  y:=300;

  l:=640/(exp(p*ln(3)));

  MoveTo(Round(x), Round(y));

  For i:=0 to Round(exp(p*ln(4)))-1 Do Begin

    a:=0;

    n:=i;

    Repeat

      m:=n mod 4;

      n:=n div 4;

      Case m of

        0: a:=a+0;

        1: a:=a-pi/3;

        2: a:=a+pi/3;

        3: a:=a+0;

      End;

    Until n<1;

    x:=x + l*cos(a);

    y:=y + l*sin(a);

    LineTo(Round(x), Round(y));

  End;

  ReadKey;

End.

 Компьютер - это новое средство познания. Он позволяет увидеть связи и значения, которые до сих пор были скрыты от нас. В истории открытия фракталов это относится к компьютерной графике, переживающей сегодня период интенсивного развития и обогатившей наши возможности в такой степени, которая редко достигалась другими средствами науки. Там, где предыдущие поколения ученых были вынуждены упрощать свои уравнения или вообще отказываться от них, мы можем увидеть их суть на экране дисплея. Естественные процессы, представленные графически, можно постичь во всей их сложности, опираясь на нашу интуицию. При этом стимулируются новые идеи, новые ассоциации, и у каждого, кто мыслит в образах, пробуждается творческий потенциал.

    Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика, и я убедилась в этом, выполняя исследовательскую работу, в ходе которой научилась строить некоторые виды фракталов, узнала, что существуют специальные программы для моделирования фракталов, убедилась в том, что область применения фракталов чрезвычайно велика.   Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.

    Компьютеры становятся все мощнее, и все более тонкие эффекты они позволяют нам наблюдать на экране дисплея. Нас ждет еще много интереснейших и необычайных находок.

      Данную работу можно использовать на уроках информатики при изучении графики в среде PascalABC, а так же на уроках геометрии и искусства.

      Составленные мною программы, служат положительным мотивом для учащихся, начинающих изучать языки программирования. Ведь когда из непонятных букв и цифр рождается фрактал. Это вызывает живой интерес попробовать самому.

      Нами также разработан буклет, который знакомит с понятием и видами фрактала.

      Цели, поставленные в начале работы были достигнуты. Но останавливаться на достигнутом мы не собираемся. Мне хотелось бы в дальнейшем изучить специализированные программы для создания фракталов.

Список литературы

1.Азевич А.И. Фракталы: геометрия и искусство./Математика в школе, №5/2015

2.«В мир информатики», журнал «Информатика»: №23, №24/2008, изд-во «1ое сентября»

3.Волошников А.В. Математика и искусство. М.: Просвещение, 2013

Тарасенко В. Супрематизм и фрактальная геометрия: радикальный конструктивизм наблюдаемых форм. // Малевич. Классический авангард. Витебск. Вып.9. Альманах. – Мн.: Экономпресс, 2014.

4. Тарасенко В.В. Человек Кликающий: фрактальные метаморфозы. http://www.synergetic.ru/fractal/chelovek-klikayuschiy-fraktalnye-metamorfozy.html 

5. Усеинов В. Поэтический манифест «Фрактального реализма». http://www.fractalrealism.sk.uz/project_r.html ; http://www.useinov.sk.uz/.

6.Рибас В. Фрактальная абстракция. http://artgals.info/afisha/details/2613-1 ; http://www.ribas.ru/index-rus.html.

7. http://fractalworld.xaoc.ru/ article/tree 3.html

8. http://www.fractals.nsu.ru/ 

9. http://fractals.narod.ru/ 

10. http://ru.wikipedia.org/wiki