г. Старый Оскол

2021г

Содержание

Введение……………………………………………………………………………2

• Актуальность
• Цель
• Задачи

1. Основная часть………………………………………………………………….3

1.1Этьен Безу………………………………………………………………….3

1.2История теоремы Безу…………………………………………………….3

1.3Основные понятия теоремы………………………………………………5

1.4Доказательство теоремы Безу…………………………………………….5

1.5Следствия теоремы Безу………………………………………………….6

1.6Применение теоремы Безу на практике………………………………….9

 Заключение…………………………………………………………………………..13

Список используемой литературы………………………………………………..14

Введение

Объектом проектной работы является теорема Безу.

Актуальность -  на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением квадратных уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно, и рационально решать квадратные уравнения, что также пригодится и при решении более сложных задач, в том числе и при сдаче экзаменов. Так же, выбранная тема мне очень интересна.

Гипотеза:

Существует много различных видов и методов решения уравнений высших степеней, о которых не рассказывается в школьной программе 9 класса.

Цель работы:

Выявить способы решения уравнений высших степеней,  рассмотреть применение данных способов решений уравнений на конкретных примерах.

Задачи исследовательской работы:

1) Проследить историю развития теории и практики решения уравнений высших степеней;

2) Описать технологии различных существующих способов решения уравнений высших степеней;

3) Выявить наиболее удобные способы решения  уравнений высших степеней;

Методы исследования:

изучение и анализ литературы, сравнение, обобщение, практический метод

Объект проектной работы:

Теорема Безу.

Предмет исследования:

Изучение способов решения уравнений с помощью теоремы Безу.

1.Основная часть

1.1.Этьен Безу

Этье́н Безу́ 31 марта 1730, Немур — 27 сентября 1783, Бас-Лож близ Фонтенбло) — французский математик, член Французской академии наук.

Преподавал математику в Училище гардемаринов (1763) и Королевском артиллерийском корпусе (1768). Основные его работы относятся к алгебре (исследование систем алгебраических уравнений высших степеней, исключение неизвестных в таких системах и др.). Автор шеститомного «Курса математики» (1764—1769), неоднократно переиздававшегося. Имя учёного присвоено астероиду 17285 Безу.

Этьен Безу. Биография

Этьен Безу — французский математик, член Парижской Академии Наук (с 1758 года).

Родился в Немуре 31 марта 1730 года и умер 27 сентября 1783 года.

С 1763 года Безу преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768 года и в королевском артиллерийском корпусе.

Основные работы Этьена Безу относятся к высшей алгебре, они посвящены созданию теории решения алгебраических уравнений.

В теории решения систем линейных уравнений он содействовал возникновению теории определителей, развивал теорию исключения

неизвестных из систем уравнений высших степеней. Безу писал “Курс математики" пять лет с 1764 по 1769 год. Также, он развил метод неопределённых множителей: в элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе.

1.2.История теоремы Безу

Теорема Безу довольно просто в своем использовании, но при этом она является одной из базовых теорем теории многочлена.

Она гласит, что остаток от деления многочлена f(x) на многочлен (x-c) - это f(c).f(x) – многочлен с коэффициентами из кольца P.

Теорема Безу была, по существу, сформулирована Исааком Ньютоном в его доказательстве 28-й леммы первого тома его Начал в 1687 году, где он утверждает, что число точек пересечения двух кривых задаётся произведением их степеней. Эта теорема была позднее опубликована Этьеном Безу в 1779 году в его Théorie générale des équations algébriques. Безу, который не имел в своём распоряжении современных алгебраических обозначений уравнений от нескольких переменных, дал доказательство, основанное на манипуляциях с громоздкими алгебраическими выражениями. С современной точки зрения, подход Безу был довольно эвристическим, так как он не сформулировал точные условия, в которых теорема имеет место. Это привело к чувству, выраженному некоторыми авторами, что его доказательство не было корректным и не было первым доказательством этого факта

Теорема Безу утверждает, что

Остаток от деления многочлена  P(x)  на двучлен  (x−a)  равен  P(a).

При делении многочлена n-й степени относительно x на двучлен x-a остаток равен значению делимого при x=a. (Буква a может обозначать любое действительное или мнимое число, т.е. любое комплексное число.)

Прежде чем доказывать теорему, сделаю несколько пояснений.

Мы знаем, что существуют такие алгебраические выражения, которые теряют смысл при некоторых отдельных значениях входящих в него букв.

Например, 1/x теряет смысл при x=0; выражение 1/(x2-25) теряет смысл при x=5 и при x=-5.

Заметим, что многочлен любой целой положительной степени никогда не теряет смысла. При всяком значении переменной он принимает определенное значение.

Произведение двух множителей, из которых один обращается в нуль, а другой принимает определенное значение, всегда равно нулю. Если же один множитель обращается в нуль, а другой теряет смысл, то о таком произведении нельзя говорить, что оно равно нулю. О таком произведении ничего определенного сказать нельзя. В каждом отдельном случае необходимо особое исследование.

Пусть f(x) обозначает собой произвольный многочлен n-й степени относительно переменной x и пусть при его делении на двучлен (x-a) получилось в частном q(x), а в остатке R. Очевидно, что q(x) будет некоторый многочлен (n-1)-й степени относительно x, а остаток R будет величиной постоянной, т.е. не зависящей от x.

Если бы остаток R был многочленом хотя бы первой степени относительно x, то это означало бы, что деление не выполнено. Итак, R от x не зависит.

По определению деления (делимое равно произведению делителя на частное плюс остаток) получаю тождество

f(x) =(x-a)q(x)+R.

Это равенство справедливо при всяком значении x, значит, оно справедливо и при x=a.

1.3Основные понятия теоремы Безу

1. Теорема Безу — это утверждение в алгебраической геометрии, описывающее число общих точек, или точек пересечения, двух плоских алгебраических кривых, не имеющих общей компоненты (то есть не имеющих бесконечно много общих точек).

2. Многочлен - алгебраическое выражение, представляющее сумму или разность нескольких одночленов.

3. Двучлен - представляющее сумму или разность двух одночленов.

4. Кривые линии, все точки которых принадлежат одной плоскости, называются плоскими.

5. Алгебраическая кривая или плоская алгебраическая кривая — это геометрическое место (множество) точек на плоскости , которое определяется как множество нулей многочлена от двух переменных

1.4.Доказательство теоремы Безу

При делении произвольного многочлена f(x) n-й степени относительно переменной х на двучлен (х-а), получаем в частном q(х), а в остатке R. Q(х) будет являться некоторым многочленом (n-1)-й степени относительно х, а остаток R будет постоянной величиной, которая не зависит от х.

В случае, если остаток R является многочленом хотя бы первой степени относительно x, то деление выполнено не будет. Следовательно R от x не зависит.

Из определения деления мы знаем, что делимое равно произведению делителя на частное плюс остаток. Исходя из этого, получаем тождество:

f(x) =(x-a)q(x)+R.

Зная, что равенство справедливо при любом значении x, определяем, что оно справедливо и при x=a.

Подставив вместо переменной х число а в правую и левую части равенства мы получим следующее тождество:

f(a)=(a-a)q(a)+R. (1)

Многочлен f(а) является не многочленом относительно х, то есть f(х), а значением многочлена при значении х=а. Соответственно q(а) - й(х) при х=а.

Остаток R не меняется, так как R независим от x.

Произведение (a-a)q(a) равно нулю, так как множитель (a-a) равен нулю, а множитель q(a) есть определенное число. (Многочлен q(x) ни при каком определенном значении x не теряет смысла.)

Поэтому из равенства (1) получим:

f(a)=R, что и требовалось доказать.

1.5.Следствия теоремы Безу

Следствие 1.

Остаток от деления полинома f(x) на двучлен (ax+b) равен значению

этого полинома при x=-b/a, т.е. R=f(-b/a).

Доказательство:

Согласно правилу деления многочленов:

f(x)= (ax+b)*q(x)+R.

При x=-b/a:

f(-b/a)=(a(-b/a)+b)q(-b/a)+R=R. Значит, R=f(-b/a),

что и требовалось доказать.

Следствие 2:

Если число a является корнем многочлена f(x), то этот многочлен делится на (x-a) без остатка.

Доказательство:

По теореме Безу остаток от деления многочлена f(x) на (x-a) равен f(a), а по условию a является корнем f(x), а это значит, что f(a)=0, что и требовалось доказать.

Из данного следствия теоремы Безу видно, что задача решения уравнения f(x)=0 равносильна задаче выделения делителей многочлена f, имеющих первую степень (линейных делителей).

Следствие 3:

Если многочлен f(x) имеет попарно различные корни a1, a2 ,… ,an ,то он делится на произведение (x-a1)…(x-an) без остатка.

Следствие 4:

Многочлен степени n имеет не более n различных корней.

Доказательство:

Воспользуемся методом от противного: если бы многочлен f(x) степени n имел бы более n корней - n+k (a1, a2,..., an+k - его корни), тогда бы по ранее доказанному следствию 3 он бы делился на произведение (x-a1)...(x-an+k), имеющее степень (n+k), что невозможно.

Мы пришли к противоречию, значит наше предположение неверно, и многочлен степени n не может иметь более, чем n корней, что и требовалось доказать.

Следствие 5:

Для любого многочлена f(x) и числа a разность (f(x)-f(a)) делится без остатка на двучлен (x-a).

Доказательство:

Пусть f(x) - данный многочлен степени n, a - любое число.

Многочлен f(x) можно представить в виде: f(x)=(x-a)q(x)+R, где q(x) - многочлен, частное при делении f(x) на (x-a), R - остаток от деления f(x) на (x-a).

Причём по теореме Безу:

R=f(a), т.е.

f(x)=(x-a)q(x)+f(a).

Отсюда

f(x)-f(a)=(x-a)q(x),

а это и означает делимость без остатка (f(x)-f(a))

на (x-a), что и требовалось доказать.

Следствие 6:

Число a является корнем многочлена f(x) степени не ниже первой только тогда, когда f(x) делится на (x-a) без остатка.

Доказательство:

Чтобы доказать данную теорему требуется рассмотреть необходимость и достаточность сформулированного условия.

1. Необходимость.

Пусть a - корень многочлена f(x), тогда по следствию 2 f(x) делится на (x-a) без остатка.

Таким образом делимость f(x) на (x-a) является необходимым условием для того, чтобы a являлось корнем f(x), т.к. является следствием из этого.

2. Достаточность.

Пусть многочлен f(x) делится без остатка на (x-a),

тогда R=0, где R - остаток от деления f(x) на (x-a), но по теореме Безу R=f(a), откуда выходит, что f(a)=0, а это означает, что a является корнем f(x).

Таким образом, делимость f(x) на (x-a) является и достаточным условием для того, чтобы a являлось корнем f(x).

Делимость f(x) на (x-a) является необходимым и достаточным условием для того, чтобы a являлось корнем f(x), что и требовалось доказать.

Следствие 7:

Многочлен, не имеющий действительных корней, в разложении на множители линейных множителей не содержит.

Доказательство:

Воспользуемся методом от противного: предположим, что не имеющий корней многочлен f(x) при разложении на множители содержит линейный множитель

(x-a):

f(x)=(x-a)q(x),

тогда бы он делился на (x-a), но по следствию 6 a являлось бы корнем f(x), а по условию он действительных корней не содержит. Мы пришли к противоречию, значит наше предположение неверно и многочлен, не имеющий действительных корней, в разложении на множители линейных множителей не содержит, что и требовалось доказать.

1.6.Применение теоремы Безу на практике

Рассмотрим некоторые примеры применения теоремы Безу к решению практических задач.

При решении уравнений с помощью теоремы Безу необходимо совершить следующие шаги:

· найти все целые делители свободного члена;

· из этих делителей найти хотя бы один корень уравнения (a);

· левую часть уравнения разделить на (x-a);

· записать в левой части уравнения произведение делителя и частного;

· решить полученное уравнение.

Пример 1

Найдите остаток от деления многочлена x^3−5 на многочлен x−5.

Решение

По теореме Безу остаток от деления многочлена P(x) на x−x0 равен P(x0), следовательно, остаток от деления многочлена x^3−5 на x−5 равен 5^3−5=120.

Ответ: 120

Пример 2

Найдите остаток от деления многочлена  x^216+x^36+x^6−6  на многочлен  x+1.

Решение

По теореме Безу остаток от деления многочлена P(x) на x−x0 равен P(x0), следовательно, остаток от деления многочлена  x^216+x^36+x^6−6 на x+1 равен (−1)^216+(−1)^36+(−1)^6−6=−3.

Ответ: -3

          Пример 3

При каких a и b многочлен  P(x) = (a + b)x5 + abx² + 1  делится на  x² – 3x + 2?

         Решение

x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2).  Поэтому должны выполняться равенства  P(1) = P(2) = 0,  то есть  (a + b) + ab + 1 = (a + 1)(b + 1) = 0,  32(a + b) + 4ab + 1 = =0.  Из первого равенства видим, что одно из чисел a, b равно –1. Подставляя во второе равенство, находим, что второе число равно 31/28.

Ответ: {a, b} = {–1, 31/28}.

Пример 4

При каких значениях a и b многочлен ax3 +bx2 –73x+102 делится на трёхчлен x2 –5x+6 без остатка?

Решение

Разложим делитель на множители: x2 –5x+6=(x–2)(x–3).

Поскольку двучлены x–2 и x–3 взаимно просты, то данный многочлен делится на x–2 и на x–3, а это значит, что по теореме Безу:

R1 =f(2)=8a+4b–146+102=8a+4b–44=0

R2 =f(3)=27a+9b–219+102=27a+9b-117=0

Решу систему уравнений:

8a+4b–44=0

2a+b=11

27a+9b–117=0

3a+b=13

Отсюда получаем: a=2, b=7.

Ответ: a=2, b=7.

Пример 5

Известно, что P(x) – многочлен. а) Верно ли, что при любом a∈R многочлен P(x)−P(a) делится без остатка на (x−a)? б) Может ли быть так, что при любом a∈R многочлен P(x)−P(a) делится без остатка на (x+a)?

Решение

а) Зафиксируем произвольное a∈R. По теореме Безу остаток от деления многочлена P(x) на x−a равен P(a), следовательно, существует многочлен Q(x) такой, что

P(x)=(x−a)Q(x)+P(a)⇔P(x)−P(a)=(x−a)Q(x) – делится на (x−a).

 б) Достаточно рассмотреть P(x)=x2, тогда

 P(x)−P(a)=x2−a2=(x−a)(x+a) – делится на (x+a).

Ответ: а) Да б) ДА

Пример 6

Составить кубический многочлен, имеющий корень 4 кратности 2 и корень -2.

Решение

По следствию 3, если многочлен f(x) имеет корень 4 кратности 2 и корень -2, то он делится без остатка на (x–4)2 (x+2), значит:

f(x)/(x–4)2 (x+2)=q(x), т.е.

f(x)=(x–4)2 (x+2)q(x),

f(x)=(x2 –8x+16)(x+2)q(x),

f(x)=(x3 –8x2 +16x+2x2 –16x+32)q(x),

f(x)=(x3 –6x2 +32)q(x).

(x3 –6x2 +32) - кубический многочлен, но по условию f(x) – также кубический многочлен, следовательно, Q(x) – некоторое действительное число. Пусть Q(x)=1, тогда f(x)=x3 –6x2 +32.

Ответ: x3 –6x2 +32.

Пример 7

1. Решить уравнение 2х3-3х2+5х-14=0

Возможные рациональные корни: ±; ±1; ±2; ±; ±7; ±14.

P(x)=2х3-3х2+5х-14 = 0

P(1)= 2 – 3 + 5 – 140

P(-1)= -2 – 3 – 5 - 140

P(2)=16 – 12 + 10 - 14 = 0

(x-2)( 2х2+х+7)=0

x = 2D=1-56=-55

корней нет

Ответ: 2.

Заключение

Теория уравнений занимает ведущее место в математике. Изучив учебную и научную литературу, интернет-ресурсы удалось выяснить, что современной науке известно множество способов решения уравнений. В ходе исследовательской работы я познакомилась с теоремой Безу. Теорема Безу - одна из основных теорем алгебры, названная именем французского ученого Этьена Безу. Теорема Безу и следствия из неё позволяют легко находить рациональные корни полиномиальных уравнений с рациональными коэффициентами. Существует несколько следствий из теоремы, которые помогают при решении практических задач. Из рассмотренных примеров можно сделать вывод, что теорема Безу находит применение при решении задач, связанных с делимостью многочленов, например, нахождение остатка при делении многочленов, определение кратности многочленов и т.д. Также, теорема работает при разложении многочленов на множители, при определении кратности корней и многих других.

         Выдвинута гипотеза о существовании иных способов решений уравнений, о которых не рассказывают в школьной программе . Действительно - существуют такие теоремы, как теорема Безу. В данной работе достигнута цель и выполнены основные задачи: показаны и изучены новые, ранее неизвестные формулы. Рассмотрено много примеров. Исследованы различные методы решения уравнений высших степеней.

        Предлагаемая работа рассчитана на учеников 9 - 11 классов, желающих повысить уровень математической подготовки, узнать больше о способах решения уравнений высших степеней.

Практическая значимость: учащиеся интересуются различными стандартными методами замены переменных, которые позволяют существенно упрощать вид задачи, а также учатся правильно применять выбранный метод.

Список используемой литературы

1.Алгебра: учеб. для учащихся 9 кл. с углубл. изучением математики / [Н. Я. Виленкин, Г. С. Сурвилло, А. С. Симонов, А. И. Кудрявцев]; под ред. Н. Я. Виленкина. – М.: Просвещение, 2005.

2.Биографический словарь деятелей в области математики. А. И. Бородин, А. С. Бугай. Пер. с укр. – К.: Радянська школа, 1979.

3.Мерзляк А.Г. Алгебраический тренажер: Пособия для школьников и абитуриентов. – М: Илекса, 2001 г.

4.Журнал «Все для учителя математики», статья Ю. А. Захарченко: Алгебраические уравнения высших степеней. От простого к сложному. 1.2017.

5.Электронная энциклопедия «Википедия». [Электронный ресурс]:-Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B5%D0%B7%D1%83

6. Теорема Безу и разложение многочлена на множители[Электронный ресурс]:-Режим доступа :https://www.youtube.com/watch?v=w9ZZvMB07hE&t=100s