Методика изучения понятия "Математическое выражение"
статья

Изучение понятия "математическое выражение"

Алгебраический материал изучается, начиная с 1 класса в тесной связи с арифметическим материалом и геометрическим. Введение элементов алгебры способствует общению понятий о числе, арифметических действиях, математических отношениях и вместе с тем готовит детей к изучению алгебры в следующих классах.

Основными алгебраическими понятиями курса являются "равенство", "неравенство", "выражение", уравнение". Определений данных понятий в курсе математики начальных классов нет. Учащиеся уясняют эти понятия на уровне представлений в процессе выполнения специально подобранных упражнений.

Программой по математике в 1-4 классах предусматривается научить детей читать и записывать магматические выражения: ознакомить с правилами порядком выполнения действий и научить ими пользоваться при вычислениях, ознакомить учащихся с тождественными преобразованиями выражений.

При формировании у детей понятия математического выражения необходимо учитывать, что знак действия, поставленный между числами имеет двоякий смысл; с одной стороны, он обозначает действие, которое надо выполнить над числами (например, 6+4 - прибавить 4); с другой стороны, знак действия служит для

обозначения выражения (6+4 - это сумма чисел 6 и 4).

В методике работы над выражениями предусматривается два этапа. На первом из них формируется понятие о простейших выражениях (сумма, разность, произведение, частное двух чисел), а на втором – о сложных (сумма про, изведения и числа, разность двух частных и т.д.).

Знакомство с первым выражением - суммой двух; чисел происходит в 1 классе при изучении сложения в вычитания в пределах 10. Выполняя операции над множествами, дети, прежде всего, усваивают конкретный смысл сложения и вычитания, поэтому в записях вида 5+1, 6-2 знаки действий осознаются ими как краткое обозначение слов "прибавить", "вычесть". Это находит отражение в чтении (к 5 прибавить 1 равно 6, из 6 вычесть 2 равно 4). В дальнейшем понятия об этих действиях углубляются. Учащиеся узнают, что, прибавляя несколько единиц, увеличиваем число на столько же единиц, а вычитая - уменьшаем его на столько же единиц. Это также находит отражение в новой форме чтения записей (4 увеличить на 2 равно 6, 7 уменьшить на 2 равно 5), Затем дети узнают названия знаков действий: "плюс", "минус" и читают примеры, называя знаки действий (4+2=6, 7-3 =4),

Ознакомившись с названиями компонентов и результатом действия сложения, учащиеся используют термин "сумма" для обозначения числа, являющегося результатом сложения. Опираясь на знания детей о названиях чисел при сложении, учитель поясняет, что в примерах на сложение запись, состоящая из двух чисел, соединенных знаком "плюс", называется так же, как и число, стоящее по другую сторону от знака "равно" (9 сумма" 6+3 - тоже сумма). Наглядно изображается это так:

Чтобы дети усвоили новое значение термина "сумма" как название выражения, даются такие упражнения: "Запишите сумму чисел 7 и 2; вычислите, чему равна сумма чисел 3 и 4; прочитайте запись (6+3), скажите, чему равна сумма; замените число суммой чисел (9= ?+?); сравните суммы чисел (6+3 и 6+2), скажите, какая из них больше, запишите со знаком "больше" и

прочитайте запись". В процессе таких упражнений учащиеся постепенно осознают двоякий смысл термина "сумма": чтобы записать сумму чисел, надо их соединить знаком "плюс"; чтобы найти значение суммы, надо сложить заданные числа.

Примерно в таком же плане идет работа над следующими выражениями: разностью, произведением и частным двух чисел. Однако теперь каждый из этих терминов вводится сразу и как название выражения, и как название результата действия. Умение читать и записывать выражения, находить их значение с помощью соответствующего действия вырабатывается в процессе многократных упражнений, аналогичных упражнениям с суммой.

При изучении сложения и вычитания в пределах 10 включаются выражения, состоящие из трех и более чисел, соединенных одинаковыми или различными знаками действий вида: 3+1+1, 4-1-1, 2+2+2. Вычисляя значения этих выражений, дети в выражениях овладевают правилом о порядке выполнения Действий в выражениях без скобок, хотя и не формулируют его. Несколько позднее детей учат преобразовывать выражения в процессе вычислений: например: 7+5=3+5=8. Такие записи являются первым шагом в выполнении тождественных преобразований.

Знакомство первоклассников с выражениями вида: 10 – (6+2), (7-4)+5 и т.п. готовит их к изучению правил прибавления числа к сумме, вычитания числа из суммы и др., к записи решения составных задач, а также способствуют более глубокому усвоению понятия выражения.

Методика ознакомления учащихся с выражением вида: 10+(6-2), (7+4)+5 и т.п. готовит их к изучению правил прибавления числа к сумме, вычитания числа из суммы и др., к записи решения составных задач, а также способствуют более глубокому усвоению понятия выражения.

Методика ознакомления учащихся с выражением вида: 10+(6-2), (5+3) -1 может быть различной. Можно сразу учить читать готовые выражения по аналогии с образцом и вычислять значения выражений, поясняя последовательность действий. Возможен и другой путь ознакомления детей с выражениями данного вида – составление этих выражений учащимися из заданного числа и простейшего выражения.

Умение составлять и находить значение выражений используется учащимися при решении составных задач, вместе с тем здесь происходит дальнейшее овладение понятием выражения, усваивается конкретный смысл выражений в записях решений задач. Полезно в этом плане упражнение: дается условие задачи, например, "У мальчика было 24 рубля. Мороженое стоит 12 рублей, а конфета - 6 рублей". Дети должны объяснить, что в этом случае показывают следующие выражения:

Во втором классе вводятся термины "математическое выражение" и "значение выражения" (без определения). После записи нескольких примеров в одно действие учитель сообщает, что эти примеры иначе называются математическими выражениями.

По заданию учителя дети сами составляют различные выражения. Учитель предлагает вычислить результаты и поясняет, что результаты иначе называют значениями математических выражений. Затем рассматриваются и более сложные математические выражения.

В дальнейшем при выполнении различных упражнений сначала учитель, а затем и дети употребляют новые термины (запишите выражения, найдите значение выражения, сравните выражения и т.п.).

В сложных выражениях знаки действий, соединяющие простейшие выражения, также имеют двоякий смысл, что постепенно раскрывается учащимися. Например, в выражении 20+(34-8) знак "+" обозначает действие, которое надо выполнить над числом 20 и разностью чисел 34 и 8 (к 20 прибавить разность чисел 34 и 8). Кроме того, знак "плюс" служит для обозначения суммы - это выражение есть сумма, в которой первое слагаемое 20, а второе слагаемое выражено разностью чисел 34 и 8.

После того как дети ознакомятся во втором классе с порядком выполнения действий в сложных выражениях, приступают к формированию понятий суммы, разности, произведения, частного, в которых отдельные элементы заданы выражениями.

В дальнейшем, в процессе многократных упражнений в чтении,

составлении и записи выражений, учащиеся постепенно овладевают умением устанавливать вид сложного выражения (в 2-3 действия).

Значительно облегчает детям работу схема, которая составляется коллективно и используется при чтении выражений:

1. установить, какое действие выполняется последним;
2. вспомнить, как называются числа при выполнении этого действия;
3. прочитать, чем выражены эти числа.

Упражнения в чтении и записи сложных действий, простейшими выражениями, помогают детям усвоить правила порядка действий.

1.2 Изучение правил порядка действий

Правила порядка выполнения действий в сложных выражениях изучаются во 2 классе, но практически некоторые из них дети используют еще в 1 классе.

Сначала рассматривается правило о порядке выполнения действий в выражениях без скобок, когда над числами производят либо только сложение и вычитание, либо только умножение и деление. Необходимость введения выражений, содержащих два и более арифметических действий одной ступени, возникает при знакомстве учеников с вычислительными приемами сложения и вычитания в пределах 10, а именно:

Аналогично: 6 – 1 – 1, 6 – 2 – 1, 6 – 2 – 2.

Так как для нахождения значений этих выражений школьники обращаются к предметным действиям, которые выполняются в определенном порядке, то они легко усваивают тот факт, что арифметические действия (сложение и вычитание), которые имеют место в выражениях, выполняются последовательно слева направо.

С числовыми выражениями, содержащими действия сложения и вычитания, а также скобки, учащиеся впервые встречаются в теме "Сложение и вычитание в пределах 10". Когда дети встречаются с такими выражениями в 1 классе, например: 7 – 2 + 4, 9 – 3 – 1 , 4 +3 – 2; во 2 классе, например: 70 – 36 +10, 80 – 10

– 15, 32+18 – 17; 4•10:5, 60:10•3, 36:9•3, учитель показывает, как читают и записывают такие выражения и как находят их значение (например, 4•10:5 читают: 4 умножить на 10 и полученный результат разделить на 5). К моменту изучения во 2 классе темы "Порядок действий" учащиеся умеют находить значения выражений этого вида. Цель работы на данном этапе - опираясь практические умения учащихся, обратить их внимание на порядок выполнения действий в таких выражениях и сформулировать соответствующее правило. Учащиеся самостоятельно решают подобранные учителем примеры и объясняют, в каком порядке выполняли; действия в каждом примере. Затем формулируют сами или читают по учебнику вывод: если в выражении без скобок указаны только действия сложения и вычитания (или только действия умножения и деления), то их выполняют в том порядке, в каком они записаны (т.е. слева направо).

Несмотря на то, что в выражениях вида а+в+с, а+(в+с) и (а+в)+с наличие скобок не влияет на порядок выполнения действий в силу сочетательного закона сложения, на этом этапе учащихся целесообразнее сориентировать на то, что сначала выполняется действие в скобках. Это связано с тем, что для выражений вида а – (в+с) и а – (в – с) такое обобщение неприемлемо и учащимся на начальном этапе довольно трудно будет сориентироваться в назначении скобок для различных числовых выражений. Использование скобок в числовых выражениях, содержащих действия сложения и вычитания, в дальнейшем получает свое развитие, которое связано с изучением таких правил, как прибавление суммы к числу, числа к сумме, вычитание суммы из числа и числа из суммы. Но при первом знакомстве со скобками важно нацелить учащихся на то, что сначала выполняется действие в скобках.

Учитель обращает внимание детей на то, как важно соблюдать это правило при вычислениях, иначе можно получить неверное равенство. Например, учащиеся объясняют, каким образом, получены значения выражений: 70 – 36 +10=24, 60:10 – 3 =2, почему они неверны, какие значения в действительности имеют эти выражения. Аналогично изучают порядок действий в выражениях со скобками вида: 65 – (26 – 14), 50:(30 – 20), 90:(2 • 5). С такими

выражениями учащиеся также знакомы и умеют их читать, записывать и вычислять их значение. Объяснив порядок выполнения действий в нескольких таких выражениях, дети формулируют вывод: в выражениях со скобками первым выполняется действие над числами, записанными в скобках. Рассматривая эти выражения нетрудно показать, что действия в них выполняются не в том порядке, в каком записаны; чтобы показать другой порядок их выполнения, и использованы скобки.

Следующим вводится правило порядка выполнения действий в выражениях без скобок, когда в них содержатся действия первой и второй ступени. Поскольку правила порядка действий приняты по договоренности, учитель сообщает их детям или же учащиеся знакомятся с ними по учебнику. Чтобы учащиеся усвоили введенные правила, наряду с тренировочными упражнениями включают решение примеров с пояснением порядка выполнения их действий. Эффективны также упражнения в объяснении ошибок на порядок выполнения действий. Например, из заданных пар примеров предлагается выписать только те, где вычисления выполнены по правилам порядка действий:

После объяснения ошибок можно дать задание: используя скобки, изменить порядок действий так, чтобы выражение имело заданное значение. Например, чтобы первое из приведенных выражений имело значение, равное 10, надо записать его так: (20+30):5=10.

Особенно полезны упражнения на вычисление значения выражения, когда ученику приходится применять все изученные правила. Например, на доске или в тетрадях записывается выражение 36:6+3•2. Учащиеся вычисляют его значение. Затем по заданию учителя дети изменяют с помощью скобок порядок действий в выражении:

36:6+3–2

36:(6+3–2)

36:(6+3)–2

(36:6+3)–2

Интересным, но более трудным является обратное упражнение: расставить скобки так, чтобы выражение имело заданное значение:

72–24:6+2=66

72–24:6+2=6

72–24:6+2=10

72–24:6+2=69

Также интересными являются упражнения следующего вида:

1.        Расставьте скобки так, чтобы равенства были верными:

25–17:4=2 3•6–4=6

24:8–2=4

2.        Поставьте вместо звездочек знаки "+" или "-" так, чтобы получились верные равенства:

38*3*7=34

38*3*7=28

38*3*7=42

38*3*7=48

3.        Поставьте вместо звездочек знаки арифметических действий так, чтобы равенства были верными:

12*6*2=4

12*6*2=70

12*6*2=24

12*6*2=9

12*6*2=0

Выполняя такие упражнения, учащиеся убеждаются в том, что значение выражения может измениться, если изменяется порядок действий.

Для усвоения правил порядка действий необходимо в 3 и 4 классах включать все более усложняющиеся выражения, при вычислении значений которых ученик применял бы каждый раз не одно, а два или три правила порядка выполнения действий, например:

90•8– (240+170)+190,

469148–148•9+(30 100 – 26909).

При этом числа следует подбирать так, чтобы они допускали выполнение действий в любом порядке, что создает условия для сознательного применения изученных правил.

1.3 Ознакомление с преобразованием выражений

Преобразование выражения - это замена данного выражения другим, значение

которого равно значению данного выражения. Учащиеся выполняют такие образования выражений, опираясь на свойства арифметических действий и следствия, вытекающие из них.

При изучении каждого правила учащиеся убеждаются в том, что в выражениях определенного вида можно выполнять действия по-разному, но значение выражения при этом не изменяется. В дальнейшем знания свойств действий учащиеся применяют для преобразования заданных выражений в равные им выражения. Например, предлагаются задания вида: продолжить запись так, чтобы знак "=" сохранился:

56– (20+1)=56–20...

(10+5) • 4=10•4...

60:(2•10)=60:10...

Выполняя первое задание, учащиеся рассуждают так: слева из 56 вычитают сумму чисел 20 и 1, справа из 56 вычли 20; чтобы справа получилось столько же, сколько слева, надо справа еще вычесть 1. Аналогично преобразуются другие выражения, т.е., прочитав выражение, ученик вспоминает соответствующее правило и, выполняя действия по правилу, получает преобразованное выражение. Чтобы убедиться в правильности преобразования, дети вычисляют значения заданного и преобразованного выражений и сравнивают их. Применяя знания свойств действий для обоснования приемов вычислений, учащиеся 2-4 классов выполняют преобразования выражений вида:

54+30=(50+4)+20=(50+20)+4=70+4=74

72:3=(60+12):3=60:3+12:3=24

16 • 40=16 • (3 • 10)=(16 • 3) • 10=540

Здесь также необходимо, чтобы учащиеся не только поясняли, на основе чего получают каждое последующее выражение, но и понимали, что все эти выражения соединены знаком " = ", потому что имеют одинаковые значения. Для этого иногда следует предлагать детям вычислять значения выражений и сравнивать их. Это предупреждает ошибки вида:

75–30=70–30=40+5=45,

24•12=(10+2)=24•10 +24•2=288.

Учащиеся 2 – 3 классов выполняют преобразование выражений не только на основе свойств действии, но и на основе определений действий. Например, сумму одинаковых слагаемых заменяют произведением: 6+6+6=6 • 3, и наоборот: 9 •

4=9+9+9+9. Опираясь также на смысл действия умножения, преобразуют более сложные выражения: 8 • 4+8=8 • 5, 7 • 6 – 7 =7 • 5.

На основе вычислений и анализа специально подобранных выражений учащихся 3 класса подводят к выводу о том, что если в выражениях со скобками скобки не влияют на порядок действий, то их можно не ставить: (30+20)+10=30+20+10, (10-6):4=10-6:4 и т.д. В дальнейшем, используя изученные свойства действий и правила порядка действий, учащиеся упражняются в преобразовании выражений со скобками в тождественные им выражения без скобок. Например, предлагается записать данные выражения без скобок так, чтобы их значения не изменились:  (65+30) – 20        (20+4) • 3

96 – (46+30)

(40+24):4

Объясняя решение первого из заданных выражений на основе правила вычитания числа из суммы, дети заменяют его выражениями: 65+30 – 20, 65 – 20+30, 30 – 20+65, поясняя порядок выполнения действий в них. Выполняя такие упражнения, учащиеся убеждаются, что значение выражения не меняется при изменении порядка действий только в том случае, если при этом применяются свойства действий.

Таким образом, знакомство школьников начальных классов с понятием выражение тесно связано с формированием вычислительных умений и навыков. В то же время введение понятия выражения позволяет организовать соответствующую работу по развитию математической речи учащихся.