Повторение. Функции и их графики
материал

Тема: Степенная, показательная, логарифмическая функции, их графики и свойства.

Цель: повторить и обобщить знания обучающихся по степенным, показательным и логарифмическим функциям.

Лекционный материал

График функции – это множество точек, абсциссы которых являются значениями из области определения, а ординаты - значениями функции y= f(x). График любой функций строят по точкам. Но если мы точно не знаем, какой будет вид у графика, то точки надо выбирать обдуманно. Ребята, какие важные точки есть у функций?

Давайте, вспомним их:

а) Стационарные и критические точки. Такие точки мы научились находить при вычислении экстремумов функций. Это точки, в которой производная либо равна нулю, либо не существует.
б) Точки экстремума. Точки максимума и минимума функций. Точки, возле которых определяется характер монотонности.
в) Точки пересечения графика с осью абсцисс и осью ординат. Значения, в которых функция y= f(x)= 0 – точки пересечения с осью абсцисс. А если вычислить f(0) – то эта точка пересечения с осью ординат.
г) Точки разрыва функций. Эти точки ищутся для не непрерывных функций.

Правило построения графиков функций

Давайте запишем основные правила построения графиков функций:

• Если функция y= f(x) непрерывна на всей числовой прямой, то надо найти стационарные и критические точки, точки экстремума, промежутки монотонности, точки пересечения графика с осями координат и при необходимости выбрать еще несколько контрольных точек, в которых следует подсчитать значение нашей функции.
• Если функция y= f(x) определена не на всей числовой прямой, то начинать следует с нахождения области определения функции, с указания точек ее разрыва.
• Полезно исследовать функцию на чётность, поскольку графики четной или нечетной функций обладают симметрией (соответственно относительно оси y или относительно начала координат), и, следовательно, можно сначала построить только ветвь графика при x ≥ 0, а затем дорисовать симметричную ветвь.
• Еслито прямая y= b является горизонтальной асимптотой нашего графика функции. Асимптота - это некоторой ориентир для нашей функции. Это то, к чему стремится график функции в точке, но не достигает этого значения.
• Если f(x)=p(x)q(x)p(x)q(x); и при x= a знаменатель обращается в нуль, а числитель отличен от нуля, то x= a - это вертикальная асимптота.

1. Степенная функция.

Степенной называется функция вида , где  p – некоторое действительное число.

Вы уже знакомы с частными случаями степенных функций, когда  является натуральным или целым числом, например, с такими функциями, как , , ,  ….

Давайте вспомним, как выглядят графики этих функций.

Итак, если , то есть имеем функцию 

Графиком этой функции будет прямая, проходящая через начало координат.

Если  — чётное число (), то графиком функции является парабола.

Графиком функции , при нечётном  (), является кубическая парабола.

Если , то . Графиком этой функции является гипербола.

Свойства степенной функции напрямую зависят от свойств степени с действительным показателем и в частности от того, при каких значениях  и  имеет смысл .

Давайте рассмотрим некоторые свойствами функций, которыми обладают, в частности, отдельные степенные функции.

Итак, функция , определённая на множестве  большое, называется ограниченной снизу на множестве , если существует число  такое, что для любого  выполняется неравенство .

Как же это понимать? Это означает, что все точки графика ограниченной снизу функции, где , расположены выше прямой игрек равно  или на этой прямой.

Функция, определённая на множестве  большое, называется ограниченной сверху на множестве  большое, если существует число такое, что для любого , выполняется неравенство .

В этом случае все точки графика функции , где , лежат ниже прямой игрек равно  или на этой прямой.

Например:

Функция  является ограниченной снизу, так как . То есть парабола ограничена снизу прямой .

А функция  ограничена сверху, так как , то есть парабола ограничена сверху прямой .

Функцию, ограниченную и сверху, и снизу на множестве икс большое, называют ограниченной на этом множестве.

Функция  является ограниченной на множестве тогда и только тогда, когда существует положительное число   такое, что для любого большое, выполняется неравенство .

Ещё вам нужно знать, что если существует такое значение  из области определения множества  функции ‚ что для любого из этой области справедливо неравенство , то говорят, что функция  принимает наименьшее значение  при .

Например, функция  принимает при  наименьшее значение, равное .

Если же существует такое значение  из области определения множества  функции , что для любого  справедливо неравенство , то говорят,   принимает наибольшее значение   при ..  

Например, функция  принимает при  наибольшее значение, равное 5.

А теперь давайте более подробно рассмотрим свойства степенной функции в зависимости от показателя степени .

Случай 1. Показатель   — чётное натуральное число.

В этом случае степенная функция , где  — натуральное число, обладает следующими свойствами:

— область определения — все действительные числа, то есть множество действительных чисел ;

— множество значений — неотрицательные числа, то есть ;

— функция  чётная, так как ;

— функция является убывающей на промежутке   и возрастающей на промежутке ;

— функция ограничена снизу, так как   для любого ;

— функция принимает наименьшее значение  при .

График функции  имеет такой же вид, как, например, график функции  , или  и так далее. График этой функции называют параболой n-й степени.

Случай 2.  Показатель  — нечётное натуральное число.

В этом случае степенная функция, где — натуральное число, обладает следующими свойствами:

— область определения — множество действительных чисел;

— множество значений — множество действительных чисел;

— функция  нечётная, так как ;

— функция является возрастающей на всей действительной оси;

— функция не является ограниченной ни сверху, ни снизу;

— функция не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значения.

График функции имеет такой же вид, как, например, график функции . График этой функции называют кубической параболой.

Случай 3. Показатель , где — натуральное число.

В этом случае степенная функция, обладает следующими свойствами:

— область определения — множество действительных чисел, кроме ;

— множество значений — положительные числа ;

— функция , чётная, так как ;

— функция является возрастающей на промежутке   и убывающей на промежутке ;

— функция ограничена снизу, так как ;

— функция не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значения.

График функции имеет такой же вид, как, например, график функции .

Прямую  (ось абсцисс) называют горизонтальной асимптотой (от греческого слова asymptotes, что переводится как «несовпадающий») графика функции , при . Прямую   (ось ординат) называют вертикальной асимптотой графика этой функции, так как при значениях , близких к , расстояния от точек этого графика до оси  (прямой) становятся сколь угодно малыми.

Случай 4. Показатель , где  — натуральное число.

В этом случае степенная функция , где, обладает следующими свойствами:

— область определения — множество действительных чисел, кроме ;

— множество значений — множество действительных чисел, кроме ;

— функция , нечётная, так как как ;

— функция является убывающей на промежутках  и ;

— функция не является ограниченной;

— функция не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значения.

График функции, имеет такой же вид, как, например, график функции .

Ось абсцисс является горизонтальной асимптотой, а ось ординат — вертикальной асимптотой графика функции.

Случай 5. Показатель — положительное действительное нецелое число.

В этом случае функция  обладает следующими свойствами:

— область определения — множество неотрицательных чисел ;

— множество значений — множество неотрицательных чисел ;

— функция является возрастающей на промежутке ;

— функция не является ни чётной, ни нечётной;

— функция ограничена снизу, так как ;

— функция принимает наименьшее значение  при .

График функции , где  — положительное нецелое число, имеет такой же вид, как, например, график функции  (при ) или как, например, график функции  (при ).

Случай 6. Показатель  — отрицательное действительное нецелое число.

В этом случае функция  обладает следующими свойствами:

— область определения — множество положительных чисел ;

— множество значений — множество положительных чисел ;

— функция является убывающей на промежутке ;

— функция не является ни чётной, ни нечётной;

— функция ограничена снизу, так как .

График функции , где  — отрицательное нецелое число, имеет такой же вид, как, например, график функции .

2. Показательная функция.

В практике часто используются функции y=2x,y=10x,y=(12)x,y=(0,1)x и т. д., т. е. функция вида y=ax, где a — заданное число, x — переменная. Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени — заданное число.

Функция, заданная формулой y=ax (где a>0,a≠1), называется показательной функцией с основанием a.

Сформулируем основные свойства показательной функции:

1. область определения — множество R действительных чисел.

2. Область значений — множество R+ всех положительных действительных чисел.

3. При a>1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0

ax1x2, если x11);

ax1>ax2, если x1

Графики показательных функций изображены на рисунках:

1) для случая a>1:

2) для случая 0

Построим графики функций y=2x и y=()x, использовав рассмотренные свойства и найдя несколько точек, принадлежащих графику.

Пример:

отметим, что график функции y=2x проходит через точку (0;1) и расположен выше оси Ox.

Если x<0 и убывает, то график быстро приближается к оси Ox (но не пересекает её);

если x>0 и возрастает, то график быстро поднимается вверх.

Такой вид имеет график любой функции y=ax, если a>1.

Пример:

График функции y=()x также проходит через точку (0;1) и расположен выше оси Ox.

Если x>0 и возрастает, то график быстро приближается к оси Ox (не пересекая её);

если x<0 и убывает, то график быстро  поднимается вверх.

Такой же вид имеет график любой функции y=ax, если 0.

3. Логарифмическая функция.

Функцию, заданную формулой y=loga x, называют логарифмической функцией с основанием a.  (a>0,a≠1).

Основные свойства логарифмической функции:

1. область определения логарифмической функции — множество всех положительных чисел.

D(f)=(0;+∞);

2. множество значений логарифмической функции — множество R всех действительных чисел.

E(f)=(−∞;+∞);

3. логарифмическая функция на всей области определения возрастает при a>1 или убывает

 при 0

Пример:

1. y=log2 x, основание 2>1

Пример:

2. y=x основание 0<   <1

Логарифмическая функция y=logax и показательная функция y=ax, где (a>0,a≠1), взаимно обратны.

Требования к отчетности:

1. Ознакомиться с лекционным материалом, законспектировать в рабочей тетради;
2. Фотоотчет присылать на почту: vismyt89@mail.ru своевременно (подписывайте ФИО и номер группы), можно в ВКонтакте.