Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение  

Самарской области   

 «Сызранский медико-гуманитарный колледж»

Методические рекомендации по организации

самостоятельной работы учащихся.

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Производная функций и ее приложения

Составил преподаватель математики Н.Л. Косырева  

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия.

 Производная функций  и ее приложения

Пособие разработано в соответствии с «Рекомендациями по реализации образовательной программы среднего (полного) образования в образовательных учреждениях начального профессионального и среднего профессионального образования в соответствии с федеральным базисным учебным планом и примерными учебными планами для образовательных учреждений Российской Федерации, реализующих программы общего образования» (письмо Департамента государственной политики и нормативно-правового регулирования в сфере образования Минобрнауки России от 29.05.2007 № 03-1180) и предназначено для самостоятельной работы обучающихся колледжа по дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия.

»

ОГЛАВЛЕНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

Настоящее учебное пособие по дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия». предназначено для самостоятельной работы обучающихся первого курса (на базе основного общего образования) и второго курса по разделу «Производная функций  и  ее приложения». 

         Целью данного методического пособия является повышение эффективности процесса обучения, формирование умения самостоятельно решать типовые задачи и применять полученные знания при решении прикладных задач.

       Пособие включает в себя необходимый теоретический  материал по разделу, образцы решения примеров и типовых задач, контрольные задания для самостоятельного решения.  Контрольные задания содержат задачи разного уровня сложности.

Раздел 1.         Производная функции.   Приложение производной к исследованию и построению графиков функций.

Определение: Производной функции называется  предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Приращение аргумента – это разность между новым значением аргумента и первоначальным. Приращение функции - это разность между новым значением функции и первоначальным.

 приращение аргумента

 приращение функции

lim

х           0

Если точка не входит в область определения функции, то в этой точке производной функции нет. Необходимым условием существования производной функции в точке является непрерывность функции в этой точке.

Пример.

1. Правила дифференцирования.

1. Производная алгебраической суммы нескольких функций равна алгебраической сумме этих функций.

2. Производная произведения двух функций равна производной первого сомножителя, умноженной на второй, плюс производная второго сомножителя, умноженная на первый.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

4.  Производная дроби равна дроби, знаменатель которой равен квадрату знаменателя данной дроби, а числитель равен производной числителя данной дроби, умноженной на ее знаменатель, минус производная знаменателя, умноженная на числитель.

5. Производная степени  равна произведению показателя степени на то же основание с показателем на единицу меньше.

Пример 1: Найти производную функции у = 2х

Решение: Пользуясь правилами дифференцирования, получаем

Пример 2: Найти производную функции у =

Решение:

Пример 3: Найти производную функции у =

Решение: = =

Задания для самостоятельного решения

Используя определение производной, найти производную заданной функции

1.                2.

Найти производную функции

2. Геометрический смысл производной и физический смысл производной.

Геометрический смысл производной.

Тангенс угла наклона касательной (угловой коэффициент наклона касательной), проведенной к графику функции у= f(х)    в точке  х0 равен производной функции у= f(х)   в этой точке:

Заметим, что угол  – это угол между прямой и положительным направлением оси ОХ:

Уравнение касательной к графику функции у= f(х)    в точке  х0 имеет вид:

В этом уравнении:

х0 – абсцисса точки касания,

f(x0) – значение функции 

у= f(х)   в точке касания,

f ' (x0) – значение производной функции  у= f(х)   в точке касания. 

Алгоритмсоставления уравнения касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой х0

1. Вычислить f(х0).
2. Найти f ´(x)
3.  Вычислить f ´(х0).
4. Составить уравнение касательной, подставив найденные числа f(х0), f `( х0) и  (х0) в формулу уравнения касательной к графику функции. Уравнение касательной:    y=f (х0)+ f `( х0)(x - х0)

Приведем несколько примеров решения задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике, в которых используется знание  геометрического смысла производной.

Пример 1. Задание В8 (№ 27504) На рисунке изображены график функции у= f(х)  и касательная к нему в точке с абcцисcой х0 .  Найдите значение производной функции у= f(х)   в точке f(x0) .

Значение производной функции у= f(х)   в точке х0 равно тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси ОХ. Чтобы его найти, выделим прямоугольный треугольник, гипотенуза которого лежит на касательной, а катеты параллельны осям координат. Обозначим точки с целыми координатами буквами  А и В – эти точки выделены на касательной:

Проведем через точку А прямую параллельно оси ОХ, а через точку В – параллельно оси OY. Получим прямоугольный треугольник ABC:

 Угол А  треугольника  АВС равен углу между касательной и положительным направлением оси ОХ.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

Длины катетов считаем по количеству клеточек.

Ответ: 0,25

Пример 2. Задание В8 (№ 27506) На рисунке изображены график функции у= f(х)    и касательная к нему в точке с абцисоой f(x0) . Найдите значение производной функции у = f(х)   в точке f(x0).

Эта задача очень похожа на предыдущую, за исключением того, что здесь касательная  наклонена влево, и угол между касательной и положительным направлением оси ОХ расположен так:

Построим, как предыдущей задаче, прямоугольный треугольник АВС:

Угол А треугольника ABC и угол  – смежные, то есть их сумма равна 180 градусов. Значит,

Запомните, если прямая наклонена влево, то коэффициент наклона прямой отрицателен.

Ответ: -0,25

Пример 3. Задание В8 (№ 40129)  На рисунке изображен график функции у= f(х)  . Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсцссой 8. Найдите значение производной функции в точке х0 = 8.

Соединим  отрезком точку начала координат с точкой касания:

Производная функции в точке касания равна тангенсу угла  между касательной и положительным направлением оси ОХ: 

Чтобы найти тангенс , рассмотрим прямоугольный треугольник АВС:

Ответ: 1,25

Задания для самостоятельного решения.

Записать уравнение касательной к графику функции у= f(х)  в точке с абсциссой х0

1.        2.

3.           4.

5.              6.

3. Физический смысл производной.

Выше было сказано, что средней скоростью изменения функции  при переходе независимой переменной от значения  к значению  называется отношение приращения  функции к приращению независимой переменной, то есть

Истинной или мгновенной скоростью изменения функции  при заданном значении независимой переменной  называется предел, к которому стремится средняя скорость изменения функции при стремлению к нулю приращения аргумента :

Пусть задан путь  движения материальной точки. Скорость данной материальной точки в момент времени  есть производная от пути  по времени :

Задача.  Тело движется прямолинейно по закону  (м). Определить скорость его движения в момент  с.

Решение. Искомая скорость - это производная от пути, то есть

В заданный момент времени

 (м/с).

Ответ.  (м/с).

Раздел 2.  Приложение производной к исследованию и построению графиков функций 

1. Монотонность функции, основные понятия и определения.

Функция  называется строго возрастающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции, т.е.

Пример. Функция  является возрастающей на промежутке , так как:

для 

Функция  называется строго убывающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции, т.е.

Пример. Функция  является строго убывающей на промежутке , так как:

для 

Функция  строго возрастающая или строго убывающая на промежутке называется монотонной на этом промежутке.

Функция  называется неубывающей на промежутке, если из неравенства  следует неравенство .

Функция  называется невозрастающей на промежутке, если из неравенства  следует неравенство .

2. Связь монотонности функции с ее производной.

Теорема. (Об условии возрастания/убывания монотонной функции)

Если производная функции  на некотором промежутке , то функция  возрастает на этом промежутке; если же  на промежутке , то функция  убывает на этом промежутке.

Обратное утверждение формулируется несколько иначе. Если функция возрастает на промежутке, то или не существует.

Пример. Исследовать функцию  на монотонность на всей числовой прямой.

Решение. Найдем производную заданной функции:

Для любого действительного : , а поэтому делаем вывод, что заданная функция возрастает на всей действительной оси.

Ответ. Функция  возрастает на всей действительной оси.

3. Понятие экстремума функции.  

Точка  называется точкой локального максимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех  из этой окрестности выполняется неравенство: .

Точка  называется точкой локального минимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех  из этой окрестности .

Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума -локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум функции называются локальными экстремумами.

Точка  называется точкой строгого локального максимума функции , если для всех  из окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство .

Точка  называется точкой строгого локального минимума функции , если для всех  из окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство .

Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом.

Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.

 Необходимое условие экстремума.

Теорема. (Необходимое условие экстремума)

Если функция  имеет экстремум в точке , то ее производная  либо равна нулю, либо не существует.

Точки, в которых производная равна нулю: , называются стационарными точками функции.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называютсякритическими точками этой функции. То есть критические точки - это либо стационарные точки (решения уравнения ), либо это точки, в которых производная  не существует.

Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.

 Первое достаточное условие экстремума.

Теорема. (Первое достаточное условие экстремума)

Пусть для функции  выполнены следующие условия:

1. функция непрерывна в окрестности точки ;
2.  или  не существует;
3. производная  при переходе через точку  меняет свой знак.

Тогда в точке  функция  имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку  производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку  производная меняет свой знак с плюса на минус.

Если производная  при переходе через точку  не меняет знак, то экстремума в точке  нет.

Таким образом, для того чтобы исследовать функцию  на экстремум, необходимо:

1.    найти производную ;
2.    найти критические точки, то есть такие значения , в которых  или  не существует;
3.    исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки;
4.    найти значение функции в экстремальных точках.

Прмер. Исследовать функцию  на экстремум.

Решение. Находим производную заданной функции:

Далее ищем критические точки функции, для этого решаем уравнение :

Первая производная определена во всех точках. Таким образом, имеем одну критическую точку . Наносим эту точку на координатную прямую и исследуем знак производной слева и справа от этой точки (для этого из каждого промежутка берем произвольное значение и находим значение производной в выбранной точке, определяем знак полученной величины):

Так как при переходе через точку  производная сменила свой знак с "-" на "+", то в этой точке функция достигает минимума (или минимального значения), причем .

Замечание. Также можно определить интервалы монотонности функции: так как на интервале производная , то на этом интервале функция  является убывающей; на интервале  производная , значит заданная функция возрастает на нем.

Ответ. 

Второе достаточное условие экстремума

Теорема.  (Второе достаточное условие экстремума)

Пусть для функции  выполнены следующие условия:

1. она непрерывна в окрестности точки ;
2. первая производная  в точке ;
3.  в точке  .

Тогда в точке  достигается экстремум, причем, если , то в точке  функция имеет минимум; если , то в точке  функция  достигает максимум.

Пример.  Исследовать функцию  на экстремум с помощью второй производной.

Решение. Находим первую производную заданной функции:

Находим точки, в которых первая производная равна нулю:

Вторая производная заданной функции:

В стационарной точке  вторая производная , а значит, в этой точке функция достигает минимум, причем .

Ответ. 

3. Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке.

Если функция  определена и непрерывна на отрезке  , то она на этом отрезке достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Если свое наибольшее значение  функция  принимает в точке , то  будет локальным максимумом функции , так как в этом случае существует окрестность точки , такая, что  .

Однако свое наибольшее значение  функция  может принимать и на концах отрезка  . Поэтому, чтобы найти наибольшее значение  непрерывной на отрезке  функции , надо найти все максимумы функции на интервале  и значения  на концах отрезка , то есть  и , и выбрать среди них наибольшее. Вместо исследования на максимум можно ограничиться нахождением значений функции в критических точках.

Наименьшим значением  непрерывной на отрезке  функции  будет наименьший минимум среди всех минимумов функции  на интервале  и значений  и .

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке  .

Решение. Находим производную функции:

Находим точки, в которых производная равна нулю:

Из полученных значений нам надо оставить лишь те, которые принадлежат заданному промежутку . Оба значения лежат в этом промежутке.

Находим значения функции в полученных стационарных точках из промежутка и на концах промежутка:

Таким образом,

Ответ. 

4. Выпуклость функции, точки перегиба.

График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале выпуклым, если график этой функции в пределах интервала  лежит не выше любой своей касательной (рис. 1).

График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале вогнутым, если график этой функции в пределах интервала  лежит не ниже любой своей касательной (рис. 2).

Теоремы о выпуклости функции и точках перегиба.

Теорема.  (Об условиях выпуклости или вогнутости графика функции)

Пусть функция  определена на интервале  и имеет непрерывную, не равную нулю в точке  вторую производную. Тогда, если  всюду на интервале , то функция имеет вогнутость на этом интервале, если , то функция имеет выпуклость.

Точкой перегиба графика функции  называется точка , разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.

Теорема.  (О необходимом условии существования точки перегиба)

Если функция  имеет перегиб в точке , то  или не существует.

Теорема.  (О достаточном условии существования точки перегиба)

Если:

1. первая производная    непрерывна в окрестности точки  ;
2. вторая производная   или не существует в точке  ;
3.  при переходе через точку  меняет свой знак,

тогда в точке  функция  имеет перегиб.

Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость

1. Найти вторую производную функции.
2. Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.
3. Исследовать знак производной слева и справа от каждой найденной точки и сделать вывод об интервалах выпуклости и точках перегиба.

Пример. Найти интервалы выпуклости/вогнутости функции 

Решение. Найдем вторую производную заданной функции:

Находим точки, в которых вторая производная равна нулю, для этого решаем уравнение :

Исследуем знак второй производной слева и справа от полученной точки:

Так как на промежутке  вторая производная , то на этом промежутке функция выпукла; в силу того, что на промежутке  вторая производная  - функция вогнута. Так как при переходе через точку  вторая производная сменила знак, то эта точка является точкой перегиба графика функции.

Ответ. Точка  - точка перегиба графика функции.

На промежутке  функция выпукла, на промежутке  функция вогнута.

4. Асимптоты графика функции.

Виды асимптот.

Прямая  называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений  или  равно  или  .

Замечание. Прямая  не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке  . Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.

Прямая  называется горизонтальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений  или  равно  .

Замечание. График функции может иметь только правую горизонтальную асимптоту или только левую.

Прямая   называется наклонной асимптотой  графика функции , если

Нахождение наклонной асимптоты.

Теорема.  ( Об условиях существования наклонной асимптоты)

Если для функции  существуют пределы  и , то функция имеет наклонную асимптоту  при  .

Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при  .

Если при нахождении горизонтальной асимптоты получается, что , то функция может иметь наклонную асимптоту.

Кривая  может пересекать свою асимптоту, причем неоднократно.

Пример. Найти асимптоты графика функции 

Решение. Область определения функции:

а) вертикальные асимптоты: прямая  - вертикальная асимптота, так как

б) горизонтальные асимптоты: находим предел функции на бесконечности:

то есть, горизонтальных асимптот нет.

в) наклонные асимптоты :

Таким образом, наклонная асимптота:  .

Ответ. Вертикальная асимптота - прямая  .

Наклонная асимптота - прямая  .

5. Исследование функции и построение ее графика.  

При построении графика функции необходимо провести ее предварительное исследование. Примерная схема исследования функции с целью построения ее графика имеет следующую структуру:

Схема исследования функций

1. Область определения  и область допустимых значений  функции.
2. Четность, нечетность функции.
3. Точки пересечения с осями.
4. Асимптоты функции.
5. Экстремумы и интервалы монотонности.
6. Точки перегиба и промежутки выпуклости, вогнутости.
7. Сводная таблица.

Для уточнения графика можно найти некоторые дополнительные точки, но иногда удается обойтись и без них.

Рекомендуется строить график одновременно с исследованием функции, нанося на координатную плоскость информацию по завершении каждого пункта исследования.

Пример. Исследовать функцию  и построить ее график.

Решение. 1) Область определения функции.

2) Четность, нечетность.

Функция общего вида.

3) Точки пересечения с осями.

а) с осью  :

то есть точки 

б) с осью  : в данной точке функция неопределенна.

4) Асимптоты.

а) вертикальные: прямые  и  - вертикальные асимптоты.

б) горизонтальные асимптоты:

то есть прямая  - горизонтальная асимптота.

в) наклонные асимптоты  :

Таким образом, наклонных асимптот нет.

5) Критические точки функции, интервалы возрастания, убывания.

Найдем точки, в которых первая производная равна нулю или не существует:  для любого  из области определения функции;  не существует при  и  .

Таким образом, функция убывает на всей области существования. Точек экстремума нет.

6) Точки перегиба, интервалы выпуклости, вогнутости.

Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует:  ; при  и  вторая производная не существует.

Таким образом, на промежутках  и  функция вогнута, а на промежутках  и  - выпукла. Так как при переходе через точку  вторая производная поменяла знак, то эта точка является точкой перегиба.

7) Эскиз графика.

Задания для самостоятельного решения.

Найти точки экстремума

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

2. Открытая сверху коробка объемом 36 дм2  имеет форму прямоугольного параллелепипеда с отношением сторон основания 1: 2. Какой должна быть меньшая сторона основания коробки, чтобы на изготовление коробки ушло наименьшее количество материала?

3. Найти интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз функции f(x)

1)                   2)

4. Найти точки перегиба функции f(x)

1)       2)

5. Исследовать функцию и построить ее график.

1)              2)

Используемые источники:

1. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10-11кл.общеобразоват.учреждений/А.Н.Колмогоров,   А.М.Абрамов и др; под ред.А.Н. Колмагорова –   М.:Просвящение.
2. Апанасов П.Т., Орлов М.И. Сборник задач по математике:  Учеб.пособие для техникумов- М.:Высш.шк.
3. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10- 11кл.общеобразоват. учреждений Ш.А.Алимов,   Ю.М.Колягин и др.- М.:Просвещение.
4. Дадаян А.А.Математика: Учебник.- М.: ФОРУМ.
5. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика: учеб.  для студ. Высш. учеб.заведений -М.: Гуманит. Изд.центр  ВЛАДОС.
6. Справочник по математике для средних учебных заведений.  Цыпкин А.Г./под ред С.А.Степанова – М.: Наука. Гл. ред.  Физ. - мат. Лит.
7. Зайцев И.Л. Курс высшей математики для техникумов. - М.:   Физматгиз.
8. Валуцэ И.И.,Дилигул Г.Д.Математика для техникумов на  базе средней школы:  учеб. пособие. – М.: Наука. Гл. ред.  Физ. - мат. Лит.  
9. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика: учеб.  для студ. Высш. учеб.заведений -М.: Гуманит. Изд.центр  ВЛАДОС.
10. 7 http://www.math.md/school/praktikum/
11. http://uztest.ru/
12. http://tatschool1186.ru/
13. http://pedsovet.su/
14. http://www.ege.edu.ru/
15. http://mathege.ru/
16. http://reshuege.ru/