олимпиада Ломоносова
статья

Олимпиада школьников «Ломоносов».

Основными целями олимпиады «Ломоносов» по математике являются выявление и развитие у учащихся общеобразовательных учреждений творческих способностей и интереса к научно-исследовательской деятельности, создание необходимых условий для поддержки одаренных школьников, популяризация научных знаний среди молодежи. К этому можно добавить также расширение кругозора школьников, развитие их интереса к изучению математики, повышение интеллектуального уровня учащихся. Для того чтобы достичь успеха на олимпиаде, необходимо владеть предусмотренными школьной программой знаниями и продемонстрировать умение решать задачи разного уровня сложности.

Как и во всяком состязании, на олимпиаде «Ломоносов» по математике бывают победители, хотя большая часть участников, к нашему сожалению, так и остается в статусе «участник». Но при этом отметим, что, в отличие от рыцарских турниров, на этой олимпиаде не бывает побежденных. Ведь выигрывают все! Школьник сталкивается с трудными, но очень интересными математическими задачами, которые совершенно не похожи на привычные школьные. Они открывают перед ним новые горизонты. И даже если не удалось добиться больших успехов, разбор решений задач, возникшие в связи с этим идеи и размышления дают новые импульсы и, в конечном итоге, не пропадают зря. Для кого-то это станет важным стимулом для развития, а кому-то небесполезно будет узнать пределы своей компетенции.

Популярность олимпиады школьников «Ломоносов» по математике объясняется прежде всего оригинальным стилем задач, отчетливо выделяющим ее из перечня всех олимпиад и отличающим от традиционных вступительных испытаний. Работа по составлению задач для данной олимпиады требует высокой квалификации исполнителей: как математической, так и педагогической. Именно поэтому ее выполняют сотрудники университета и имеющие большой опыт преподавания математики в средней школе руководители школьных математических кружков, преподаватели университетских школьных курсов и т.п.

Основное задание

1.1. Проезд в Москве по карте «Тройка» в 2016 году стоит 32 рубля за одну поездку на метро и 31 рубль за одну поездку на наземном транспорте. Какое наименьшее суммарное число поездок можно совершить по этим тарифам, потратив ровно 5000 рублей? Ответ. 157. Решение. Если x — число поездок на наземном транспорте, а y — на метро, то получаем 31x + 32y = 5000, откуда 32(x + y) = 5000 + x > 5000. Следовательно, x + y > 5000/32 = 156 1 4 . Наименьшее целое значение x + y равно 157, оно достигается при x = 24, y = 133.

1.2. Проезд в Москве по карте «Тройка» в 2015 году стоил 30 рублей за одну поездку на метро и 29 рублей за одну поездку на наземном транспорте. Какое наименьшее суммарное число поездок можно было совершить по этим тарифам, потратив ровно 4300 рублей? Ответ. 144.

1.3. Проезд в Москве по карте «Тройка» в 2014 году стоил 28 рублей за одну поездку на метро и 26 рублей за одну поездку на наземном транспорте. Какое наименьшее суммарное число поездок можно было совершить по этим тарифам, потратив ровно 3800 рублей? Ответ. 136.

1.4. Проезд в московском метро по карте «Тройка» в 2015 году стоил 30 рублей за одну поездку, а с 1 января 2016 года подорожал на 2 рубля. Какое наименьшее число поездок в метро можно было совершить по этим тарифам суммарно в 2015 и 2016 годах, потратив на это ровно 4700 рублей? Ответ. 147.

1.5. Проезд в Москве на наземном транспорте по карте «Тройка» в 2015 году стоил 29 рублей за одну поездку, а с 1 января 2016 года подорожал на 2 рубля. Какое наименьшее число поездок на наземном транспорте можно было совершить по этим тарифам суммарно в 2015 и 2016 годах, потратив на это ровно 3700 рублей? Ответ. 120.

2.1. Определите количество кратных трём натуральных делителей числа 11! = 1·2·. . .·10·11. Ответ. 432.

Решение. Разложение данного числа на простые множители имеет вид 11! = 28 ·3 4 ·5 2 ·7·11. Все кратные трём делители этого числа имеют вид 2 α ·3 β ·5 γ ·7 δ ·11φ , где α ∈ [0; 8], β ∈ [1; 4], γ ∈ [0; 2], δ ∈ [0; 1], φ ∈ [0; 1]. Общее количество таких делителей равно (8+1)·4·(2+1)(1+1)(1+1) = 432.