Открытый урок-зачет по математике
методическая разработка на тему

Е.П.КОВАЛЕВА

ПРИМЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ.

Методическая разработка  

открытого урока математики

Бутурлиновка

2009г.

Составитель: Е.П.Ковалева -  преподаватель математики БМТК

Методическая разработка открытого урока содержит развернутый план, мультимедийные презентации, разноуровневые задания для контроля знаний и умений по теме. Может быть использована в учебном процессе преподавателями математики.

Рассмотрена и одобрена на заседании цикловой комиссии общеобразовательных дисциплин

Протокол №       от                          2009г.

Председатель цикловой комиссии                                            О.Ю.Искра

Дисциплина: Математика

Тема:   Применение производной к исследованию функций.                                                                        Дифференциал функции.

Группа: ТХ-11

Дата проведения: 18.03.2009г.

Учебно-воспитательные задачи:

1. Обеспечить условия для контроля знаний и навыков по теме “Применение производной к исследованию функций” с помощью заданий, дифференцированных по степени сложности.
2. Развитие умений и навыков применения знаний в конкретной ситуации, логического мышления, умений сравнивать, обобщать, правильно излагать мысли, самостоятельной деятельности студентов.
3. Воспитание интереса и любви к предмету через содержание учебного материала, чувства коллективизма, культуры общения; воспитание таких качеств характера, как настойчивость в достижении цели.

Учебно-методическое обеспечение: 

1. Таблицы “Формулы дифференцирования”, “ Условие существования экстремумов функции, точки перегиба”, “Геометрический смысл производной”.
2. Плакат «Дифференциал функции».
3. Тестовые задания, дифференцированные по трём уровням степени сложности:
4. Мультимедийный проектор.
5. Проекционный экран.
6. Таблица учёта работы студентов в течение урока.

Тип урока: зачетный урок.

Межпредметные связи:

Биология: Скорость изменения численности популяции.

Химия: Скорость химической реакции.

      Физика:   1. Удельная теплоемкость вещества.

2.   Сила тока.

                        3. ЭДС индукции.

      География: Относительный прирост населения в данный момент времени.

Ход урока

I. Организационный момент. Мотивация учебной деятельности.

• Приветствие.
• Сообщение задач урока.
• Объявление этапов урока.

II. Основная часть.

Историческая справка о происхождении терминов и обозначений по теме.

Преподаватель: « Развитие любой науки, в том числе и математики, не происходит обособлено от жизни, от потребности практики.  Развитие производства в XVII веке потребовало изучения законов движения, и потребности практики привели к открытию дифференциального и интегрального исчислений».

Сообщения студентов: (Во время сообщений на экране показываются портреты ученых).

I студент: «Из истории дифференциального исчисления» (Учебник, стр. 160-163 п. 1) [2]

Термин производная является буквальным переводом на русский французского слова derivee, которое ввел в 1797г. Ж. Лагранж. Он же ввел современные обозначения y', f '.  Независимо друг от друга И. Ньютон и Г. Лейбниц разработали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время. И. Ньютон в основном опирался на физическое представление о мгновенной скорости движения, считая его очевидным и сводя к нему другие случаи производной, а Г. Лейбниц использовал понятие бесконечно малой. Исчисление созданное Ньютоном и Лейбницем, получило название дифференциального исчисления. С его помощью был решен целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии. В частности, используя методы дифференциального исчисления, ученые предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки XVII века. С помощью тех же методов математики изучали в XVII и XVIII веках различные кривые, нашли кривую, по которой быстрее всего падает материальная точка, научились находить кривизну линий. Большую роль в развитии дифференциального исчисления сыграл Л. Эйлер, написавший учебник “Дифференциальное исчисление”.

Основные понятия дифференциального исчисления долгое время не были должным образом обоснованы. Однако в начале XIX века французский математик О. Коши дал строгое определение дифференциального исчисления на основе понятия предела.

В настоящее время понятие производной находит большое применение в различных областях науки и техники.

 II студент: «Дифференциал функции» (Учебник, стр160 п. 1) [2]

Символ df  Лейбниц выбрал для обозначения дифференциала функции f. Дифференциал df функции f – это произведение производной f´(х0) на приращение аргумента , т.е. df=f´(x); заменяя обозначение на dx, это же можно записать так:. Геометрический смысл дифференциала ясен из рассмотрения рисунка на плакате. (Плакат готовит студент)

2) Работа с группой. (Преподаватель фиксирует в таблице активность работы студентов в течение всего урока).

а)   Фронтальный опрос по основным теоретическим положениям темы.

б)    Работа по схематичным графикам на доске.

1. Может ли значение функции в точке максимума быть меньше ее значения в точке минимума?

(ответ: да, может)

2.

По характеру изменения графика функции указать, на каких промежутках производная положительна, на каких - отрицательна (каждая из функций определена на R).

3. Дан график производной функции h(x). Найдите промежутки возрастания и убывания функции.

Ответ: h(x) возрастает на [-5;2]U [4;8],

h(x) убывает на (-;-5]U [2;4]U [8;+ ).

4. Даны графики производных функций. При каких значениях переменной x функции имеют точки максимума и минимума? Назовите эти точки.

Ответ:

а) x = -2 – точка минимума; x = 2 – точка максимума

              б) -4 и 1 – точки максимума; -1 и 3 – точки минимума

в) x = 2 – точка максимума

  в) Решение задач:

1.  Исследовать функцию y = 2x2-8x  по схеме и построить ее график (Схема   проецируется на экран).

                                 Схема полного исследования функции:

1. Найти область определения функции, область значений.
2. Проверить функцию на четность, нечетность.
3. Исследовать функцию на периодичность.
4. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
5. Найти интервалы знакопостоянства функции.
6. Найти асимптоты графика функции.
7. Исследовать функцию на монотонность.
8. Найти точки экстремума функции.
9. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости графика функции.
10. Построить график функции.

       2.Исследовать на экстремум функцию (при наличии времени).

3) Самостоятельная работа студентов (зачётное тестирование по теме)

Студентам предлагается самостоятельно выбрать уровень сложности тестовых заданий.

 (Тестовые задания дифференцированы на различные уровни глубины изучения темы). Преподаватель акцентирует внимание на то, что задания взяты из материалов ЕГЭ 2009г.

А – минимальный уровень

В – базовый уровень

С – углублённый уровень.

Тесты прилагаются.

    4)  Приложения производной (показ презентаций через мультимедийный проектор)

III. Заключительная часть. 

• Подведение итогов занятия
• Объявление оценок
• Задание на дом (Студентам предлагается самостоятельно изготовить кроссворды по теме «Производная и её применение»).

Литература

1. Математика для средних специальных учебных заведений. /А.А. Дадаян. Форум-Инфра-М, 2007
2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 - 11 классов средней школы. / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др., под редакцией А.Н. Колмогорова. - М., 1993
3. Сборник задач по математике./ А. А. Дадаян. Форум-Инфра-М, 2007
4. Зачеты в системе дифференцированного обучения математике: Библиотека учителя математики / Л.О. Денищева, Л.В. Кузнецова, И.Л. Лурье и др. - М., Просвещение, 1993
5. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. / Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд - М., Просвещение, 2000
6. Производная и её применение. Дидактические материалы по курсу алгебры и началам анализа (10 - 11 классы). / Санкт-Петербург. Издательство “Свет”, 1995
7. Математика.  ЕГЭ. Типовые тестовые задания. / Т.А. Корешкова, Ю.А. Глазков и др.- М., Экзамен, 2009

Приложение 1                                                                                                                                        Уровень А                                                 Вариант - 1

Найти производные функций:

а) y(x) = 2sinx + cosx – 3

1) y´(x) = tgx – 3;

2) y´(x) =1/sinx – 2;

3) y´(x) = 2 cosx – sinx;

4) y´(x) = 2 cosx – sinx – 3.

Номер правильного ответа:

б) y = 2x +  – sinx

1) y´ = 2x +  – cosx;

2) y´ = 2 x + + cosx;

3) y´ = 2 x ln x + + cosx;

4) y´ = 2x ln 2 +– cosx.

Номер правильного ответа:

в) y = 14x7 – ln x

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Номер правильного ответа:

Вариант - 2

Найти производные функций:

Вариант – 3

Найти производные функций

Уровень В

Вариант -  1

Найти промежутки возрастания и убывания функции. Записать правильный ответ.

Вариант - 2

Найти промежутки возрастания и убывания функции. Записать правильный ответ.

Вариант - 3

Найти промежутки возрастания и убывания функции. Записать правильный ответ.