Практическая работа №3

Построение графиков и решение нелинейных уравнений.

Тема 1. Построение графика. Работа с мастером функций и мастером диаграмм. 

Внимательно прочитать и выучить все рекомендации!!!

Пример.

Рассмотрим процедуру построения графика функции у=cos2(πх)

при х ∈[0,1].

Выполнить все указанные действия!!!

Для построения графика функции необходимо сначала построить таблицу значений при различных значениях аргумента, причем обычно аргумент изменяется с фиксированным шагом. Шаг выбирают небольшим, чтобы таблица значений функций отражала ее поведение на интервале табуляции. В нашем случае будем считать, что шаг изменения аргумента равен 0,1. Необходимо найти у(0), у(0,1), у(0,2), …у(1). С этой целью в диапазон ячеек А1:А11 введем следующие значения переменной х: 0, 0.1, 0.2, …1. Отметим, что выбранные нами значения переменной образуют арифметическую прогрессию. Заполнение ячеек членами арифметической прогрессии можно осуществить двумя способами:

1. В ячейки А1 и А2 вводим первый и второй члены арифметической прогрессии и выделяем эти ячейки. После этого устанавливаем указатель мыши на маркере заполнения выделенного диапазона и протаскиваем его вниз до тех пор, пока не получится числовой ряд нужной длины.
2. В ячейку А1 вводим первый член арифметической прогрессии. Выбираем команду Правка, Заполнить, Прогрессия и в открывшемся диалоговом окне Прогрессия в группе Расположение устанавливаем переключатель в положение По столбцам, а в группе Тип – в положение арифметическая. В поле Шаг вводим значение 0.1, а в поле Предельное значение – 1. После нажатия кнопки ОК будет выполнено построение прогрессии.  

С помощью команды Правка, Заполнить, Прогрессия можно также создавать  геометрические прогрессии.

В ячейку В1 введем формулу =COS(ПИ()*А1)^2.

Ввод формул в ячейку можно производить с клавиатуры или с помощью диалогового окна Мастер функций, вызываемого командой Вставка, Функция или нажатием кнопки панели инструментов Стандартная. На экране появится первое диалоговое окно Мастер функций. Это окно содержит два списка:

1. Категория – это список, включающий 11 категорий функций.
2. Функция – список имен функций, входящих в выбранную категорию.

Категория Полный алфавитный перечень содержит все встроенные функции, имена которых упорядочены в алфавитном порядке. Категория 10 недавно использовавшихся содержит имена десяти недавно использовавшихся функций.  Она ускоряет вызов функций, постоянно используемых пользователем.

Функция COS относится к категории Математические. Выберем эту функцию и нажмем кнопку Далее. На экране появится второе диалоговое окно Мастер функций.

        В поле число второго диалогового окна Мастер функций вводится аргумент функции. В нашем примере это ПИ()*А1. Конечно, его можно ввести с клавиатуры. Однако этот аргумент содержит встроенную функцию ПИ(), поэтому лучше, нажав кнопку,           расположенную перед полем число, еще раз вызвать мастер функций (эта кнопка предназначена для построения суперпозиций функций).

        В первом диалоговом окне Мастер функций выберем функцию ПИ() из категории Математические. Так как функция ПИ() не имеет аргументов, то нет необходимости переходить ко второму шагу мастера функций. Достаточно, нажав кнопку Готово, вернуться в диалоговое окно функции COS.

        Появившееся окно отличается от предыдущего окна тем, что в поле число введена функция ПИ(). С помощью клавиатуры введем в это поле * и, щелкнув ячейку А1 рабочего листа, введем А1. Конечно, ссылку на ячейку можно ввести также с помощью клавиатуры, однако, такой способ ввода (щелчком по соответствующей ячейке) дает дополнительную проверку правильности ввода. После нажатия кнопки Готово в ячейку В1  ввести формулу =сos ((ПИ()*А1. Затем при помощи клавиатуры добавить в эту формулу операцию возведения в квадрат. В итоге в ячейку В1 будет введена формула =cos (ПИ()*А1)^2.

        Для того, чтобы завершить процесс табулирования функции, выделить ячейку В1, установить указатель мыши на маркере заполнения этой ячейке и протащить его вниз до ячейки В11. Таким образом, таблица значений создана.

        Для построения графика функции выделить диапазон ячеек А1:В11, содержащий таблицу значений функции и ее аргумента, вызвать мастера диаграмм. Вызов мастера диаграмм осуществляется с помощью команды Вставка, Диаграмма, На этом листе или команды Вставка, Диаграмма, На новом листе, либо нажатием кнопки  на панели инструментов Стандартная.

Протащить указатель мыши на рабочем листе, выделить прямоугольную область, где будет построен график. Проверить, правильно ли введен  в поле ввода Диапазон первого диалогового окна Мастер диаграмм диапазон ячеек, по которому строится график. На втором шаге мастера диаграмм выбрать тип диаграммы – График. На третьем шаге мастера диаграмм выбираем вид графика, например, 10 – сглаженный график. На четвертом шаге мастера диаграмм заполнить диалоговое окно: в группе Ряды данных находятся установить переключатель в положение В столбцах. В поле Считать метками оси Х ввести 1 (номер столбца, из которого берутся метки оси Х), а в поле Считать метками легенды – 0 (т.к. легенда – обозначение графиков различных функций разными цветами не нужна). На пятом шаге мастера диаграмм заполнить диалоговое окно: в группе Добавить легенду? Установить переключатель в положение Нет. В поле Название диаграммы ввести График функции, а в группе Название по оси в поля Категорий (Х) и Значений (У) ввести х и у соответственно. Нажать кнопку Готово.

        Построение графика закончено.

Наиболее часто используемые стандартные математические функции:

Тема 2.  Построение графика функции

с одним условием.

Пример. Построение графика функции:

       ⎧ 1+ ⎪0,2 - х⎪,  х < 0,5

        У = ⎨  1+ х + х2

       ⎩ х1/3,                х ≥ 0,5       при х ∈ [0,1].

Этот график строится, как и предыдущий, за одним исключением – в ячейку В1 вводится формула:

=ЕСЛИ(А1<0.5; (1+АВS(0.2-А1))/(1+А1+А1^2); А1^(1/3)).

        Синтаксис логической функции ЕСЛИ (IF):

ЕСЛИ(лог_выражение;значение_если_истина; значение_если_ложь).

Функция ЕСЛИ используется для проверки значений формул и организации переходов в зависимости от результатов этой проверки.

Другими логическими функциями являются:

Тема 3.  Построение графика функции

с двумя условиями.

Пример. Построение графика функции:

          ⎧ 1+ ln(1+х),     х < 0,2

        У =    ⎭  1+ х1/2

          ⎫  1+х     ,  при х ∈ [0.2, 0.8],

1. 2е-2х,          х > 0.8                         при  х ∈ [0,1].

График строится так же, как и в предыдущих примерах, только в ячейку В1 вводится формула:

=ЕСЛИ(А1<0.2;1+LN(1+А1);ЕСЛИ(И(А1>=0.2;А1<=0.8);(1+А1^(1/2))/(1+А1);

2* ЕХР(-2*А1))).

В ячейку В1 можно ввести и более простую формулу, которая приведет к тому же результату

= ЕСЛИ(А1<0.2;1+LN(1+А1); ЕСЛИ(А1<=0.8;(1+А1^(1/2))/(1+А1);

2*ЕХР(-2*А1))).

Тема 4.  Построение двух графиков в одной системе координат.

Пример. Построение двух графиков в одной системе координат:

у = 2sin(x) и z = 3cos(2x) – sin(x) при х ∈ [-3,0]    

1. В диапазон ячеек А26А17 ввести значения переменной х от –3 до 0 с шагом 0,2.
2. В ячейки В1 и С1 ввести соответственно у и z.
3. В ячейку В2 ввести формулу: =2*SIN(А2).
4. В ячейку С2 ввести формулу: = 3*COS(2*A2)-SIN(A2).
5. Выделить диапазон В2:С2, установить указатель мыши на маркер заполнения и протащить его вниз так, чтобы заполнить диапазон В2:С17.
6. Выделить диапазон ячеек А1:С17, в который внесены: таблица значений двух функций, их общий аргумент и заголовки столбцов В и С, вызвать мастера диаграмм.
7. С помощью мыши на рабочем листе выделить прямоугольную область, где будет построен график.
8. Проверить, правильно ли введен в первом диалоговом окне Мастер диаграмм диапазон ячеек, по которому строится график.
9. На втором шаге Мастера диаграмм выбрать тип диаграммы – График.
10. На третьем шаге мастера диаграмм выбрать тип графика – 1 (разновидность точечного графика).
11. На четвертом шаге мастера диаграмм заполнить диалоговое окно следующим образом: в группе Ряды данных находятся устанавливаем переключатель в положение В столбцах.
12. В поле Считать метками оси Х ввести 1 (номер столбца), а в поле Считать метками легенды – 1 (номер строки).
13. На пятом шаге мастера диаграмм заполнить диалоговое окно следующим образом:
14. В группе Добавить легенду? Установить переключатель в положение Да.
15. В поле Название диаграммы ввести Графики функций, а в  группе Название по оси в поле Категорий (х) ввести х, а в поле Значений (у) ввести у и z.
16. Для того, чтобы графики функций у и z различались по типу линий нужно выделить график, внешний вид которого нужно изменить, и с помощью контекстного меню вызвать диалоговое окно Форматирование элемента данных, которое позволит изменить толщину, тип, цвет и фон маркера

Тема 5.  Построение поверхности.

Пример. Построение поверхности:

Z = х2 + у2 при х, у ∈ [-1, 1]

1. В диапазон ячеек B1:L1 ввести последовательно значения: -1; -0.8; …….1 переменной Х, а в диапазон ячеек А2:А12 – последовательность значений: -1;         -0.8;…; 1  переменной У.
2. В ячейку В2 ввести формулу =$A2^2-B$1^2.
3. Выделить эту ячейку, установить указатель мыши на ее маркере заполнения и протащить его так, чтобы заполнить диапазон B2:L12. Знак $, стоящий перед буквой в имени ячейки, дает абсолютную ссылку на столбец с данным именем, а знак $, стоящий перед цифрой – абсолютную ссылку на строку с этим именем. Поэтому при протаскивании ячейки В2 в ячейки диапазона В2:L12 в них будет найдено значение Zпри соответствующих значениях Х и У. Т.о. таблица значений функции Z при различных значениях переменных Х и У.
4. Перейдем к построению поверхности. Выделите диапазон ячеек A1:L12, содержащий таблицу значений функции и ее аргументов.
5. Вызовите мастер диаграмм.
6. С помощью мыши на рабочем столе выделить прямоугольную область, где будет построен график.
7. Проверить, правильно ли введен в первом диалоговом окне Мастер диаграмм диапазон ячеек, по которому будет строиться поверхность.
8. На втором шаге диаграмм выбрать тип диаграммы – Поверхность.
9. На третьем шаге мастера диаграмм выбрать тип поверхности – например, 1.
10. На четвертом шаге мастера диаграмм заполнить диалоговое окно следующим образом: в группе Ряды данных находятся установить переключатель в положение В столбцах. В поле Считать метками оси Х ввести 1 (номер столбца), а в поле Считать метками оси Значений – 1 номер строки).
11. На пятом шаге мастера диаграмм заполнить диалоговое окно следующим образом: в группе Добавить легенду? Установить переключатель в положение Нет. В поле Название диаграммы ввести Поверхность, а в группе Название по оси в поля Категорий (Х), Значений (Z) и Рядов (У) ввести Х, Z, У соответственно.
12. Нажать кнопку Готово.

Тема 6.  Нахождение корней уравнения.

Пример. Найти корни уравнения:

Х3 – 0,01Х2 – 0,7044Х + 0,139104 = 0.

У полинома третьей степени имеется не более 3-х вещественных корней!!!

1. Для нахождения корней их предварительно нужно локализировать. С этой целью необходимо построить график функции и его протабулировать. Например, протабулируем наш полином на отрезке [-1,1] с шагом 0,2.
2. В столбец А ввести значения Х - -1,0; -0,8; …1,0.
3. В ячейку В1 ввести формулу:

=A1^3-0.01*A1^2-0,7044*A1+0,139104;

Из таблицы видно, что полином меняет знак на интервалах: [-1, -0.8], [0.2, 0.4] и [0.6, 0.8]. Это означает, что на каждом из них имеется корень данного полинома. Поскольку полином третьей степени имеет не более трех действительных корней, значит мы локализовали все его корни.

Будем искать корни полинома методом последовательных приближений с помощью команды Сервис, Подбор параметра. Относительная погрешность вычислений и предельное число итераций задаются на вкладке вычисления диалогового окна Параметры, открываемого командой Сервис, Параметры.

1. Зададим относительную погрешность и предельное количество итераций, равными 0.00001 и 1000, соответственно.
2. В качестве начальных значений приближений к корням можно взять любые точки из отрезков локализации корней. Например, их средние точки: -0.9, 0.3 и 0.7 и введем их в диапазон ячеек С2:С4.
3. В ячейку Д2 введем формулу

=C2^3-0,01*C2^2-0,7044*C2+0,139104

4. Выделить эту ячейку и с помощью маркера заполнения протащить введенную формулу на диапазон Д2:Д4. Т. о., в ячейках Д2:Д4 вычисляются значения полинома при значениях аргумента, введенного в ячейки С2:С4, соответственно.
5. Выбрать команду Сервис, Подбор параметра и заполнить диалоговое окно Подбора параметра.

6. в поле Установить в ячейке ввести Д2. В этом поле дается ссылка на ячейку, в которую введена формула, вычисляющая значение левой части уравнения. Для нахождения корня уравнения с помощью средства подбора параметров надо записать уравнение так, чтобы его правая часть не содержала переменную.
7. В поле Значение ввести 0 (в этом поле указывается правая часть уравнения). В поле Изменяя значение ячейки ввести С2 (в этом поле дается ссылка на ячейку, отведенную под переменную).
8. Вводить ссылки на ячейки в поля диалогового окна Подбор параметра удобнее не с клавиатуры, а щелчком на соответствующей ячейке. При этом автоматически программа будет превращать их в абсолютные ссылки.
9. После нажатия кнопки ОК средство подбора параметров найдет приближенное значение корня, которое поместит в ячейку С2
10. Аналогично находятся два оставшихся корня.

Тема 7.  Нахождение корней уравнения методом деления отрезка пополам.

Пример. Найти корни уравнения:

Х2 – 2 = 0 с точностью до 0,001 методом деления отрезка пополам.

Пусть непрерывная функция F(x) имеет значения разных знаков на концах отрезка [a, b], т. е.

F(a) F(b)<0,

Тогда уравнение F(x)=0 имеет корень внутри этого отрезка, который называется отрезком локализации корня.

        Пусть с = (a+b)/2 – середина отрезка [а, б]. Если F(а) F(с)≤0, то корень находится на отрезке  [а, с], который примем за новый отрезок локализации корня. F(a) F(с)>0, то за новый отрезок локализации корня возьмем [с, б]. Новый отрезок локализации корня в два раза меньше перврначального.

        Процесс деления отрезка локализации корня продолжаем до тех пор, пока его длина не станет меньше ε - точности нахождения корня. В этом случае любая точка отрезка локализации отличается от корня не более чем на ε/2.

Х2 – 2 = 0

1. В ячейку Е1 ввести погрешность нахождения корня – 0.001.
2. За первона чальный отрезок локализации корня выбран отрезок [0, 2].
3. В ячейку Д10 ввести формулу = ЕСЛИ(G9<=0;D9;F9).
4. В ячейку Е10 ввести формулу = ЕСЛИ(G9<=0;F9;E9 ).
5. В ячейку F9 ввести формулу =(Д9+Е9)/2.
6. В ячейку G9 ввести формулу = (Д9^2-2)*(F9^2-2).
7. В ячейку H9 ввести формулу =F9^2-2.
8. В ячейку I9 ввести формулу =ЕСЛИ(E9-D9<$E$7;”корень найден и равен “&ТЕКСТ(F9;”0.0000”);””).
9. Протащить их вниз по столбцам до тех пор, пока не будет найден корень

Функция ТЕКСТ преобразует число в текстовую строку по указанному формату и имеет следующий синтаксис:

ТЕКСТ(значение; формат)

Аргументы:

Значение – либо числовое значение, либо формула, вычисление которой дает числовое значение, либо ссылка на ячейку, содержащую числовое значение.

Формат – числовой формат вкладки Число диалогового окна Формат ячеек, открываемого командой Формат, Ячейки. Формат не может содержать звездочку (*) и не может быть Общий.