Понятие производной
презентация к уроку

Слайд 1

СПб ГБПОУ Политехнический колледж городского хозяйства Тема : Производная и ее применение Преподаватель : Безрукавникова Л.А. 2021 г.

Слайд 2

Определение производной Производной функции называется предел отношения приращения функции f к приращению аргумента x , когда приращение аргумента x стремится к нулю.

Слайд 3

Основные формулы

Слайд 4

Геометрический смысл производной Геометрический смысл производной состоит в том ,что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке. f  ( x ) = tg 

Слайд 5

ПРИМЕР

Слайд 6

Геометрический смысл производной f  ( x ) = tg 

Слайд 7

Уравнение касательной Уравнение касательной к графику дифференцируемой функции y = f ( x ) в точке (х 0 ; f (х 0 )): у= f ( x 0 )+ f  ( x 0 )  ( x - x 0 )

Слайд 8

Возрастающая функция

Слайд 9

Возрастание функции Если f '( х ) > 0 на промежутке, то функция f ( х ) возрастает на этом промежутке. f  ( x ) = tg 

Слайд 10

Возрастание функции Если f '( х ) > 0 на промежутке, то функция f ( х ) возрастает на этом промежутке. f  ( x ) = tg 

Слайд 11

Убывающая функция

Слайд 12

У бывание функции Если f '( х ) < О на промежутке, то функция f ( х ) убывает на этом промежутке. f  ( x ) = tg 

Слайд 13

У бывание функции Если f '( х ) < О на промежутке, то функция f ( х ) убывает на этом промежутке. f  ( x ) = tg 

Слайд 14

Промежутки возрастания и убывания функции называют промежутками монотонности этой функции.

Слайд 15

Задача . Найти интервалы монотонности функции f (х) = х 3 - Зх 2 .

Слайд 16

Задача . Найти интервалы монотонности функции f (х) = х 3 - Зх 2 . Найдем производную: f '(х) =3х 2 - 6х. Решая неравенство f '(х) > 0, т. е. неравенство Зх 2 - 6х > 0, находим интервалы возрастания: х < 0, х > 2. Решая неравенство f '(х) < 0, т, е. неравенство Зх 2 - 6х < 0, находим интервал убывания 0 < x < 2 График функции у = х 3 - Зх 2 изображен на рисунке. Из этого рисунка видно, что функция у = х 3 - Зх 2 возрастает не только на интервалах х < 0 и х > 2, но и на промежутках х 0 и х 2; убывает не только на интервале 0 < x < 2, но и на отрезке 0 x 2.

Слайд 17

Экстремумы функции Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума.

Слайд 18

Точка x 0 называется точкой максимума функции f (х), если существует такая окрестность точки x 0 , что для всех x  x 0 из этой окрестности выполняется неравенство f (х) < f ( x 0 ). Т очк а максимум функции

Слайд 19

Точка x 0 называется точкой минимума функции f (х), если существует такая окрестность точки x 0, что для всех x  x 0 из этой окрестности выполняется неравенство f (х) > f (х 0 ). Т очк а минимум функции

Слайд 20

Пьер Ферма (1601-1665)

Слайд 21

Биография Пьер Ферма Пьер Ферма родился 17 августа 1601 года в гасконском городке Бомон-де-Ломань (Франция). Его отец, Доминик Ферма, был зажиточным торговцем, вторым городским консулом; мать, Клер де Лонг — преподавательница математики. В семье, кроме Пьера, были ещё один сын и две дочери. Получил юридическое образование — сначала в Тулузе, а затем в Бордо и Орлеане. В 1631 году, успешно закончив обучение, Ферма выкупил должность королевского советника парламента (другими словами, члена высшего суда) в Тулузе. В этом же году он женился на дальней родственнице матери, Луизе де Лонг. У них было пятеро детей .

Слайд 22

Около 1652 года Ферма пришлось опровергать сообщение о своей кончине во время эпидемии чумы; он действительно заразился, но выжил. В 1660 году планировалась его встреча с Паскалем, но из-за плохого здоровья обоих учёных встреча не состоялась . Пьер де Ферма умер 12 января 1665 года в городе Кастр, во время выездной сессии суда. Первоначально его похоронили там же, в Кастре, но вскоре (1675) прах перенесли в семейную усыпальницу Ферма, в церкви августинцев (Тулуза). Старший сын, Клеман-Самуэль, издал посмертное собрание его трудов, из которого современники и узнали о замечательных открытиях Пьера Ферма.

Слайд 23

Теорема Ферма Теорема. Если x 0 — точка экстремума д ифференцируемой функции f ( x ), то f ' ( x 0 ) = 0.

Слайд 24

Теорема Ферма имеет наглядный геометрический смысл : касательная к графику функции у = f (х) в точке ( x 0 ; f ( x 0 )), где x 0 — точка экстремума функции у = f (х), параллельна оси абсцисс, и поэтому ее угловой коэффициент f ' ( x 0 ) равен нулю

Слайд 25

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ