Подходы к введению понятия производной в курсе математики для обучающихся СПО
статья

Подходы к введению понятия производной в курсе математики для обучающихся СПО

Жан Жак Руссо, говоря о процессе обучения, напоминает о творческой составляющей профессии педагога. Его высказывание и сегодня не потеряло актуальность: «Прежде всего, вы должны хорошо помнить, что лишь в редких случаях вашею задачей будет указывать, что он должен изучать: это его дело – желать, искать, находить… Ваше дело – сделать учение доступным для него, искусно зародить в нем желание и дать ему средства удовлетворить его».

Доступность, полезность получаемых сведений, создание на каждом уроке ситуации успеха поможет усилить мотивацию к учению и будет способствовать дальнейшему самообразованию и саморазвитию обучающихся.

При изучении темы «Производная» у многих обучающихся возникают затруднения. Они связаны, прежде всего, с неумением применять определение производной для её нахождения. Целью написания данной работы является попытка осмысления этого понятия с физической и геометрической точки зрения. Надеемся, что правильное понимание производной поможет обучающимся в дальнейшем применять её при решении задач физики, химии, биологии, экономики, географии.

Представьте себе, что вы с друзьями отправляетесь в поездку на велосипедах. Вам предстоит проделать длинный путь из города. Перед началом движения посмотрим на спидометр, он показывает счётчик километража. Начав движение, вы в любой момент времени сможете увидеть, сколько километров проехали и с какой скоростью, кроме того, максимальную скорость, с которой вы двигались. Мы говорим с вами о двух величинах – пути S и скорости V, которые связаны с движением велосипеда, автомобиля, человека, то есть любой материальной точки. Эти величины – скорость и путь - есть функции времени t, они связаны между собой количественными характеристиками. В 17 веке великий английский учёный Исаак Ньютон сформулировал основные законы динамики и закон всемирного тяготения, используя количественный подход к описанию движения. Под физическими событиями Ньютон понимает движение материальных точек в пространстве, управляемое неизменными законами. Материальная точка мыслится как подвижное тело, имеющее инерцию и обладающее свойством перемещения.

Законы Ньютона позволили решить многие задачи механики. Благодаря разработке Ньютоном и немецким математиком Готфридом Вильгельмом Лейбницем нового для того времени математического аппарата – дифференциального и интегрального исчисления - стало возможным определять мгновенную скорость как производную от пути по времени движения, и – ускорения как производную от скорости по времени. Построенная Ньютоном модель механического движения помогла увидеть ученым других наук - физики, химии, биологии аналог связи пути и скорости с количественными характеристиками процессов, изучаемых в этих областях знаний.

 Труды Исаака Ньютона оказали огромное влияние на развитие естествознания вплоть до XX века, он, изучая законы механики, раскрыл механический смысл производной. Производная – это скорость изменения функции.

В учебных пособиях производной функции f(x) в данной точке х называется предел отношения приращения  функции в этой точке к приращению аргумента  

f

Нам следует здесь ввести понятие предела, используя примеры простых задач.

Пример из темы «Числовая последовательность» и сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, изучаемой в 9 классе.

Пусть нам дан треугольник со сторонами, равными 1 см. Построим следующий треугольник с вершинами в серединах сторон первого треугольника.

По теореме о средней линии треугольника – сторона второго треугольника равна половине стороны первого, сторона третьего – половине стороны второго и так далее. Получаем последовательность длин сторон треугольников.

Вычислим предел, к которому стремится сумма всех членов этой сходящейся последовательности, составляющих бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. По рисунку видим, что сумма чисел  в целом даёт длину 1 см, так как если сложить все отрезки одной стороны каждого нового треугольника, то получится длина стороны наибольшего треугольника. Таким образом, предел, к которому стремится сумма всех данных дробей, при бесконечно возрастающем знаменателе есть число 1.

На таких наглядных примерах обучающиеся вполне хорошо усваивают тему «Числовая последовательность».

Пример из физики. Пусть заяц движется по дорожке из норки. Нору будем считать точкой отсчёта и обозначим её точкой O. Укажем направление движения зайца. Закон движения зайца задан формулой S = s(t) (в метрах), t – время (в секундах), S(t) – координата движущегося зайца в момент времени t по отношению к началу отсчёта. Найдём скорость движения зайца в момент времени t в м/с. Заяц в нашем примере – материальная точка.

Предположим, что в момент времени t заяц находился в точке M, тогда OM = S(t). Дадим аргументу t приращение и рассмотрим, где же окажется заяц в момент времени t + Δt. Заяц переместится из точки M, например, в точку К. Тогда отрезок OК = S (t + Δt).

Если за Δt секунд заяц переместился из точки M в точку К, то отрезок MК равен OК – OM, то есть разности S (t +Δt) – S(t). МК=ОК – ОМ= S (t + Δt) – S(t). Отсюда, MК = ΔS метров, при этом перемещение из точки M в точку К произошло за Δ t секунд. Вычислим среднюю скорость движения зайца за промежуток времени от t до t + Δt.

Vср=

V(t)=

А теперь попробуем определить, что же такое мгновенная скорость, то есть скорость в момент времени t. Можно сказать, что мгновенная скорость – это предел средней скорости движения за промежуток времени от t до +  при условии, что  выбирается все меньше и меньше. Другими словами,  стремится к нулю. Значит, мгновенная скорость v от t равна пределу средней скорости при , стремящимся к нулю. Заменим среднюю скорость формулой и получим, что мгновенная скорость

V(t)==

Готфрид Вильгельм Лейбниц объяснил геометрический смысл производной. Он подошёл к понятию производной через решение задачи проведения касательной к произвольной линии.

Для начала посмотрим, что такое касательная.

На рисунке изобразим кривую L, на ней выберем точку M, затем отметим на ней кривой L ещё одну точку P. Проведём секущую MP. Теперь мысленно будем приближать точку P к точке M по кривой L. Секущая MP будет менять своё положение, как бы поворачиваясь вокруг точки M. Приближая все больше точку P к точке M, мы достигнем такого положения прямой MP, которое будет предельным, эту прямую, которая является предельным положением секущей, и называют касательной к кривой L в точке M.

Теперь давайте рассмотрим задачу.

Пусть данная кривая является графиком некоторой функции y = f(x). На нем выбрана точка M (a; f(a)) и в этой точке к графику функции проведена касательная. Давайте найдём угловой коэффициент касательной, для этого дадим аргументу приращение Δx и рассмотрим на графике точку P(a + Δx; f(a + Δx)). Угол φ– угол наклона секущей к положительному направлению оси Ох. Угол α — угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох. И секущая, и касательная являются прямыми линиями, уравнение которых в общем виде записывается как у = kх + b, где k — угловой коэффициент к прямой равный тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси Ох. Из Δ РМК имеем k = φ=  

Поскольку предельное положение секущей – это касательная, то получим, что угловой коэффициент касательной к графику функции равен пределу углового коэффициента секущей:

;

Мы рассмотрели две различные, на первый взгляд, задачи, но при их решении мы пришли к одной и той же математической формуле - пределу разностного отношения функции и аргумента при условии, что разность аргументов стремится к нулю. Решение задач из других областей науки, например, экономики, химии также приводит к вычислению предела выражения вида  при стремлении x1 к x.

Предел данного отношения называется производной функции, а предельный переход – дифференцирование функции. Нахождение производной в данной точке происходит с помощью рассмотрения небольшого участка изменения аргумента вблизи этой точки. С позиции механики производная приближённо будет равна средней скорости на этом промежутке или угловому коэффициенту секущей к положительному направлению оси абсцисс с точки зрения геометрии. В случае необходимости точного вычисления производной отрезок изменения аргумента сжимаем в точку, тогда скорость из средней станет мгновенной, а секущая перейдет в касательную.

Список источников

1. Богомолов, Н. В. Математика: учебник для среднего профессионального образования / Н. В. Богомолов, П. И. Самойленко. — 5-е изд., перераб. и доп. — М.: Издательство Юрайт, 2020. — 401 с. — (Профессиональное образование). — ISBN 978-5-534-07878-7. — Текст: электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/449006 (дата обращения: 29.12.2021).
2. Далингер В. А. Начала математического анализа. — Омск: ООО «Издательство Полиграфист», 2002. – 158 с.
3. Жуманова, Г. Т. Некоторые пути изучения понятия производной в школьном курсе математики / Г. Т. Жуманова, А. М. Аликова. — Текст: непосредственный // Молодой ученый. — 2017. — № 4.1 (138.1). — С. 50-55. — URL: https://moluch.ru/archive/138/39426/ (дата обращения: 27.12.2021).
4. Ньютоновская концепция абсолютного пространства и времени. Законы движения https://www.gumer.info/bibliotek_Buks/Science/mihail/03.php  (дата обращения 27.12.2021)