Формулы приведения
методическая разработка
Предварительный просмотр:
Санкт-Петербургское государственное бюджетное профессиональное учреждение
«Реставрационный колледж «Кировский»
Методическая разработка по теме
«Формулы приведения»
Преподаватель: Подзорова Т И
Март 2020г
Вступление
Данная методическая разработка посвящена изучению темы «Формулы приведения»
Формулы приведения имеют широкое практическое применение. Они позволяют упрощать выражения, находить значения некоторых тригонометрических выражений без использования калькулятора. В данной работе дан полный список формул, показан вывод формул с помощью формул сложения, приведены примеры их использования при решении упражнений.
Дано мнемоническое правило, которое позволяет не запоминать каждую формулу отдельно, а запомнить сам принцип преобразований.
Формулы приведения
Формулы ,позволяющие свести вычисления синуса, косинуса, тангенса и котангенса любого угла к вычислению их значений для острого угла.
Формулы приведения для тригонометрических функций можно доказать с помощью формул сложения.
Например:
Применяя формулу сложения для синуса, получаем =
=
Таким образом можно доказать все оставшиеся формулы .
Таблица формул приведения
Формул приведения очень много. Таблицей пользоваться не всегда удобно.
Запомнить их трудно, да в этом нет необходимости. Достаточно запомнить одно правило:
1. Если под знаком преобразуемой тригонометрической функции содержится сумма аргументов вида π+t, π−t,2π+t, 2π−t, то наименование тригонометрической функции следует сохранить;
2. если под знаком преобразуемой тригонометрической функции содержится сумма аргументов вида +t,−t, +t, −t, то наименование тригонометрической функции следует изменить (на кофункцию :
3. перед полученной функцией от аргумента t надо поставить тот знак, который имела бы преобразуемая функция при условии, что 0<t<π2.
Как определить знак перед конечной функцией (плюс или минус)?
Какой знак был у исходной функции в исходной четверти, такой знак и нужно ставить перед конечной функцией.
Например, выводим формулу приведения для cos(−)=....
С исходной функцией понятно – косинус, а исходная четверть?
Для того, чтобы ответить на этот вопрос, представим, что
– угол от 0 до π2, т.е. лежит в пределах 0°…90∘ (хотя это может быть не так, но для определения знака данная условность необходима). В какой четверти тригонометрической окружности при таком условии будет находиться точка, обозначающая угол −?
Чтобы ответить на вопрос, надо от точки, обозначающей повернуть в отрицательную сторону на угол a
.
В какой четверти мы окажемся? В третьей. А какой же знак имеет косинус в третьей четверти? Минус. Поэтому перед итоговой функцией будет стоять минус: cos(−)=.-
Менять ли функцию на кофункцию или оставить прежней?
Здесь правило еще проще:
- если «точка привязки» (90 или (270)
– функция меняется на кофункцию;
- если «точка привязки» π (180 ) или 2 (360)
– функция остается той же.
То есть, при аргументах исходной функции +, −, +
или , мы должны поменять функцию, а при аргументах π+, π−, 2π+ или 2π− - нет
. Для того, чтоб это легче запомнить, вы можете воспользоваться мнемоническим правилом, которое в школе называют «лошадиным правилом»:
Точки, обозначающие (90 или (270)
расположены вертикально, и если вы переводите взгляд с одной на другую и назад, вы киваете головой, как бы говоря «да
Точки же, обозначающие π (180 ) или 2 (360) расположены горизонтально, и если вы переводите взгляд между ними, вы мотаете головой, как бы говоря «нет».
Эти «да» и «нет» - и есть ответ на вопрос: «меняется ли функция?».
Таким образом, согласно правилу, в нашем примере выше cos(3π2−a)=...
косинус будет меняться на синус. В конечном итоге получаем, cos(−)= −sin a
. Примеры с формулами приведения
Пример: Преобразуем cos(+).
Наименование функции изменяется на sin. Далее из того, что 0<<, следует, что +— аргумент из второй четверти, а в ней преобразуемая функция косинус имеет знак «минус». Этот знак надо поставить перед полученной функцией. Таким образом, cos(+)= -
Пример . Угол 120 лежит во второй четверти,значит в качестве «точки привязки» можем взять либо 180, либо 90
I способ:
II способ:
Решение упражнений
Зачем нужны формулы приведения? Ну, например, они позволяют упрощать выражения или находить значения некоторых тригонометрических выражений без использования калькулятора.
Пример. (Задание из ЕГЭ) Найдите значение выражения 18cos41: sin49∘
Решение:
18cos41sin49= |
Углы 41и 49 нестандартные, поэтому «в лоб» без калькулятора вычислить непросто. Однако, используя формулы приведения, мы легко найдем правильный ответ.
Прежде всего, обратите внимание на один важный момент: 49=90−41. Поэтому мы можем заменить на 49 на 90−41
. |
=18cos41sin(90−41)= |
| Теперь применим к синусу формулу приведения:
|
– это первая четверть, синус в ней положителен. Значит, знак будет плюс;
- 90- находится на «вертикали» - функция меняется на кофункцию.
sin(90−41)=cos41 |
=18cos41cos41= |
| ||
=18 |
Ответ: 18
Пример. Вычислите при помощи формул приведения а) sin600, б) tg480, в) cos330, г) sin240
.Решение: а) sin600=sin(360+240)=-=−
б) tg480=tg(360+120)=tg120==
в) cos330=cos(360−30)=cos30=
г) sin24=sin(270−30)=−cos30=−
Задача Упростить выражение:
Решение:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Ответ: 1.
Вычислить
Решение:
1.
2
3.
Ответ:
Решить уравнение:
Решение:
Задача 6. Решите уравнение:
Решение:
1)
2)
3) при любом действительном
Ответ:
Самостоятельная работа
1)№№525, 526,527- учебник алгебры Алимова
2) «Учи.ру»- Карточки по теме «Формулы приведения
рмулы сложения углов:
Формулы двойного угла:
Формулы сложения тригонометрических функций:
Простейшие тригонометрические уравнения:
1) Уравнения вида
Уравнения вида ,
Частные формулы:
где
Общая формула:
,
где
Удобные случаи
2) Уравнения вида
Уравнения вида ,
Частные формулы:
где
Общая формула:
,
где
Удобные случаи
1) Уравнения вида
Уравнения вида
,
Частные формулы:
где
Общая формула:
,
где
Решение на круге.
1) Уравнения вида
Уравнения вида
,
Частные формулы:
где
Общая формула:
,
где
Решение на круге.
Линия синусов | Область значений | Знаки по четвертям | Четность – нечетность |
|sin t| ≤ 1 | sin(–t) = –sin t |
Линия косинусов | Область значений | Знаки по четвертям | Четность – нечетность |
|cos t| ≤ 1 | cos(–t) = cos t |
Область определения | |
D(sin) = R | D(cos) = R |
Область значений | |
E(sin) = [–1; 1] | E(cos) = [–1; 1] |
Четность – нечетность | |
нечетная функция | четная функция |
Периодичность | |
sin(x ± 2π) = sin x | cos(x ± 2π) = cos x |
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Конспект учебного занятия по теме: "Формулы приведения". Тригонометрия.
Коспект и технологическая карта учебного занятия по теме: "Формулы приведения" 10 класс. Тригонометрия....
Презентация учебного занятия по теме "Формулы приведения". Тригонометрия.
Презентация на открытое учебное занятие по теме: "Формулы приведения" 10 класс. Тригонометрия....
Конспект урока:"Формулы приведения"
ОТКРЫТЫЙ УРОК по дисциплине «Математика» Преподаватель: ЛАКУНОВА Елена Александровна Дата проведения: 05.02.2013 г.Группа: 1 курс, гр. 112, спец. 080114 «Экономика и бухгалтерски...
Формулы приведения
Тригонометрия просто!...
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ ДИСЦИПЛИНА: МАТЕМАТИКА ТЕМА «Формулы приведения»
Данная методическая разработка представляет собой конспект занятия по дисциплине «Математика» на тему «Формулы приведения », проводимого со студентами 1 курса,ориентирова...
Формулы приведения
Материалы по математике...
Формулы приведения
Материалы по математике...