Формулы приведения
учебно-методический материал

Опубликовано 17.10.2021 - 20:54 - Подзорова Татьяна Игнатьевна

Формулы приведения

Скачать:

Вложение	Размер
formuly_privedeniya.docx	420.86 КБ

Предварительный просмотр:

Санкт-Петербургское государственное бюджетное профессиональное учреждение

«Реставрационный колледж «Кировский»

Методическая разработка по теме

«Формулы приведения»

Преподаватель: Подзорова Т И

Март 2020г

Вступление

Данная методическая разработка посвящена изучению темы «Формулы приведения»

Формулы приведения имеют широкое практическое применение. Они позволяют упрощать выражения, находить значения некоторых тригонометрических выражений без использования калькулятора. В данной работе дан полный список формул, показан вывод формул с помощью формул сложения, приведены примеры их использования при решении упражнений.

Дано мнемоническое правило, которое позволяет не запоминать каждую формулу отдельно, а запомнить сам принцип преобразований.

Формулы приведения

Формулы ,позволяющие свести вычисления синуса, косинуса, тангенса и котангенса любого угла к вычислению их значений для острого угла.

Формулы приведения для тригонометрических функций можно доказать с помощью формул сложения.

Например:

Применяя формулу сложения для синуса, получаем =

Таким образом можно доказать все оставшиеся формулы .

Таблица формул приведения

Формул приведения очень много. Таблицей пользоваться не всегда удобно.

Запомнить их трудно, да в этом нет необходимости. Достаточно запомнить одно правило:

1. Если под знаком преобразуемой тригонометрической функции содержится сумма аргументов вида π+t, π−t,2π+t, 2π−t, то наименование тригонометрической функции следует сохранить;

2. если под знаком преобразуемой тригонометрической функции содержится сумма аргументов вида +t,−t, +t, −t, то наименование тригонометрической функции следует изменить (на кофункцию :

3. перед полученной функцией от аргумента t надо поставить тот знак, который имела бы преобразуемая функция при условии, что 0<t<π2.

Как определить знак перед конечной функцией (плюс или минус)?

Какой знак был у исходной функции в исходной четверти, такой знак и нужно ставить перед конечной функцией.

Например, выводим формулу приведения для cos(−)=....

С исходной функцией понятно – косинус, а исходная четверть?

Для того, чтобы ответить на этот вопрос, представим, что

– угол от 0 до π2, т.е. лежит в пределах 0°…90∘ (хотя это может быть не так, но для определения знака данная условность необходима). В какой четверти тригонометрической окружности при таком условии будет находиться точка, обозначающая угол −?

Чтобы ответить на вопрос, надо от точки, обозначающей повернуть в отрицательную сторону на угол a

В какой четверти мы окажемся? В третьей. А какой же знак имеет косинус в третьей четверти? Минус. Поэтому перед итоговой функцией будет стоять минус: cos(−)=.-

Менять ли функцию на кофункцию или оставить прежней?

Здесь правило еще проще:

- если «точка привязки» (90 или (270)

– функция меняется на кофункцию;
- если «точка привязки» π (180 ) или 2 (360)

– функция остается той же.

То есть, при аргументах исходной функции +, −, +

или , мы должны поменять функцию, а при аргументах π+, π−, 2π+ или 2π− - нет

. Для того, чтоб это легче запомнить, вы можете воспользоваться мнемоническим правилом, которое в школе называют «лошадиным правилом»:

Точки, обозначающие (90 или (270)

расположены вертикально, и если вы переводите взгляд с одной на другую и назад, вы киваете головой, как бы говоря «да

Точки же, обозначающие π (180 ) или 2 (360) расположены горизонтально, и если вы переводите взгляд между ними, вы мотаете головой, как бы говоря «нет».

Эти «да» и «нет» - и есть ответ на вопрос: «меняется ли функция?».
Таким образом, согласно правилу, в нашем примере выше cos(3π2−a)=...

косинус будет меняться на синус. В конечном итоге получаем, cos(−)= −sin a

. Примеры с формулами приведения

Пример: Преобразуем cos(+).

Наименование функции изменяется на sin. Далее из того, что 0<<, следует, что +— аргумент из второй четверти, а в ней преобразуемая функция косинус имеет знак «минус». Этот знак надо поставить перед полученной функцией. Таким образом, cos(+)= -

Пример . Угол 120 лежит во второй четверти,значит в качестве «точки привязки» можем взять либо 180, либо 90

I способ:

II способ:

Решение упражнений

Зачем нужны формулы приведения? Ну, например, они позволяют упрощать выражения или находить значения некоторых тригонометрических выражений без использования калькулятора.

Пример. (Задание из ЕГЭ) Найдите значение выражения 18cos41: sin49∘

Решение:

18cos41sin49=

Углы 41и 49 нестандартные, поэтому «в лоб» без калькулятора вычислить непросто. Однако, используя формулы приведения, мы легко найдем правильный ответ.
Прежде всего, обратите внимание на один важный момент: 49=90−41. Поэтому мы можем заменить на 49 на 90−41

=18cos41sin(90−41)=

Теперь применим к синусу формулу приведения:

90−41

 – это первая четверть, синус в ней положителен. Значит, знак будет плюс;

90- находится на «вертикали» - функция меняется на кофункцию.

sin(90−41)=cos41

=18cos41cos41=


=18

Ответ: 18

Пример. Вычислите при помощи формул приведения а) sin600, б) tg480, в) cos330, г) sin240

.Решение: а) sin600=sin(360+240)=-=−

б) tg480=tg(360+120)=tg120==

в) cos330=cos(360−30)=cos30=

г) sin24=sin(270−30)=−cos30=−

Задача Упростить выражение:

Решение:

Ответ: 1.

Вычислить

Решение:

Ответ:

Решить уравнение:

Решение:

Задача 6. Решите уравнение:

Решение:

3) при любом действительном

Ответ:

Самостоятельная работа

1)№№525, 526,527- учебник алгебры Алимова

2) «Учи.ру»- Карточки по теме «Формулы приведения

рмулы сложения углов:

$Sin (\alpha + \beta)=Sin(\alpha)Cos(\beta)+Cos(\alpha)Sin(\beta)$

$Sin (\alpha - \beta)=Sin(\alpha)Cos(\beta)-Cos(\alpha)Sin(\beta)$

$Cos (\alpha + \beta)=Cos(\alpha)Cos(\beta)-Sin(\alpha)Sin(\beta)$

$Cos (\alpha - \beta)=Cos(\alpha)Cos(\beta)+Sin(\alpha)Sin(\beta)$

Формулы двойного угла:

$1+Cos2x=2Cos^2x , Cos^2x=\dfrac{1+Cos2x}{2}$

$1-Cosx2x=2Sin^2x , Sin^2x= \dfrac{1-Cos2x}{2}$

$tg2x=\dfrac{2tgx}{1-tg^2x}$

$ctg2x=\dfrac{ctg^2x-1}{2ctgx}$

Формулы сложения тригонометрических функций:

$Sin\alpha+Sin\beta=2Sin\left (\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)Cos\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)$

$Sin\alpha-Sin\beta=2Sin\left (\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)Cos\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)$

$Cos\alpha+Cos\beta=2Cos\left (\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)Cos\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)$

$Cos\alpha-Cos\beta=-2Sin\left (\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)Sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)$

Простейшие тригонометрические уравнения:

1) Уравнения вида

Уравнения вида ,
$a \in [-1;1]$
Частные формулы:
$x_1=arcSin(a)+2\pi n$
$x_2=\pi - arcSin(a)+2\pi n$
где $n \in Z$
Общая формула:
$x=(-1)^n arcsin(a) + \pi n$ ,
где $n \in Z$
Удобные случаи

2) Уравнения вида

Уравнения вида ,
$a \in [-1;1]$
Частные формулы:
$x_1=arccos(a)+2\pi n$
$x_2= - arccos(a)+2\pi n$
где $n \in Z$
Общая формула:
$x=\pm arccosa+2\pi n$ ,
где $n \in Z$
Удобные случаи

1) Уравнения вида

Уравнения вида
,
$a \in (- \infty; + \infty )$
Частные формулы:
$x_1=arctg(a)+2\pi n$
$x_2=arctg(a)+\pi+2\pi n$
где $n \in Z$
Общая формула:
$x=arctg(a) + \pi n$ ,
где $n \in Z$
Решение на круге.

1) Уравнения вида

Уравнения вида
,
$a \in (- \infty; + \infty )$
Частные формулы:
$x_1=arcctg(a)+2\pi n$
$x_2=arcctg(a)+\pi+2\pi n$
где $n \in Z$
Общая формула:
$x=arcctg(a) + \pi n$ ,
где $n \in Z$
Решение на круге.

Линия синусов	Область значений	Знаки по четвертям	Четность – нечетность

	\|sin t\| ≤ 1		sin(–t) = –sin t

Линия косинусов	Область значений	Знаки по четвертям	Четность – нечетность

	\|cos t\| ≤ 1		cos(–t) = cos t

Область определения
D(sin) = R	D(cos) = R
Область значений
E(sin) = [–1; 1]	E(cos) = [–1; 1]
Четность – нечетность
нечетная функция	четная функция
Периодичность
sin(x ± 2π) = sin x	cos(x ± 2π) = cos x