Взаимно обратные функции, основные определения, свойства, графики
план-конспект занятия

Взаимно обратные функции, основные определения, свойства, графики.

• Обратная функция - определение и примеры нахождения.
• Свойства взаимно обратных функций.
• Графики основных элементарных взаимно обратных функций.

Обратная функция - определение и примеры нахождения.

Определение обратной функции.

Пусть функция  строго монотонная (возрастающая или убывающая) и непрерывная на области определения , область значений этой функции , тогда на интервале  определена непрерывная строго монотонная функция  с областью значений , которая является обратной для .

Другими словами, об обратной функции  для функции  на конкретном промежутке имеет смысл говорить, если на этом интервале  либо возрастает, либо убывает.

Функции f и g называют взаимно обратными.

Зачем вообще рассматривать понятие обратных функций?

Это вызвано задачей решения уравнений . Решения как раз и записываются через обратные функции.

Примеры нахождения взаимнообратных функций.

Например, требуется решить уравнение .

Решениями являются точки .

Функции косинус и арккосинус как раз являются обратными на области определения.

Рассмотрим несколько примеров нахождения обратных функций.

Начнем с линейных взаимнообратных функций.

Пример.

Найти функцию обратную для .

Решение.

Областью определения и областью значений этой функции является все множество действительных чисел. Выразим x через y (другими словами, решим уравнение  относительно x ).

 - это и есть обратная функция, правда здесь y – аргумент, а x – функция этого аргумента. Чтобы не нарушать привычки в обозначениях (это не имеет принципиального значения), переставив буквы x и y , будем писать .

Таким образом,  и  - взаимно обратные функции.

Приведем графическую иллюстрацию взаимно обратных линейных функций.

Очевидно, что графики симметричны относительно прямой y=x (биссектрисы первого и третьего квадрантов). Это одно из свойств взаимно обратных функций, о которых речь пойдет ниже.

Теперь рассмотрим пример нахождения логарифмической функции, обратной к заданной показательной функции.

Пример.

Найти функцию обратную для .

Решение.

Областью определения этой функции является все множество действительных чисел, областью значений является интервал . Выразим x через y (другими словами, решим уравнение  относительно x).

 - это и есть обратная функция. Переставив буквы x и y , имеем .

Таким образом,  и  - показательная и логарифмическая функции есть взаимно обратные функции на области определения.

График взаимно обратных показательной и логарифмической функций.

Свойства взаимно обратных функций.

Перечислим свойства взаимно обратных функций  и .

•  и .
• Из первого свойства видно, что область определения функции  совпадает с областью значений функции  и наоборот.
• Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y=x.
• Если  возрастает, то и  возрастает, если  убывает, то и  убывает.

Замечание по свойству 1).

Рекомендуем ОЧЕНЬ ВНИМАТЕЛЬНО относиться к области определения и области значений функций.

Например:  и  - взаимно обратные функции. По первому свойству имеем . Это равенство верно только для положительных y , для отрицательных y логарифм не определен. Так что не спешите с записями вида , а если уж так написали, то следует добавить фразу «при положительных y».

Равенство  в свою очередь верно для любых действительных x.

Надеемся, Вы уловили этот тонкий момент.

Особенно аккуратными надо быть с тригонометрическими и обратными тригонометрическими функциями.

К примеру, , так как область значений арксинуса , а  в нее не попадает.

Правильно будет

В свою очередь  есть верное равенство.

То есть  при  и  при .

Еще раз подчеркнем: БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ С ОБЛАСТЬЮ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБЛАСТЬЮ ЗНАЧЕНИЙ!

Графики основных элементарных взаимно обратных функций.

• Взаимно обратные степенные функции, графики.

Для степенной функции  при  обратной является также степенная функция  Если заменить буквы, то получим пару взаимно обратных функций  и 

Графики для положительных а и отрицательных а.

• Взаимно обратные показательная и логарифмическая функции  и , графики.

Подразумеваем, что а положительное и не равное единице число.

Графики для  и для 

• Взаимно обратные тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

График главной ветви синуса и арксинуса (светлая область).

График главной ветви косинуса и арккосинуса (светлая область).

График главной ветви тангенса и арктангенса (светлая область).

График главной ветви котангенса и арккотангенса (светлая область).

Если Вам потребуются обратные функции для ветвей тригонометрических функций, отличных от главных, то соответствующую обратную тригонометрическую функцию нужно будет сдвинуть вдоль оси ординат на необходимое количество периодов.

Например, если Вам потребуется обратная функция для ветви тангенса на промежутке  (эта ветвь получается из главной ветви сдвигом на величину  вдоль оси ох ), то ей будет являться ветвь арктангенса, сдвинутая вдоль оси oy на .