Предел функции и непрерывность
учебно-методическое пособие

Предел функции и непрерывность

Учебное пособие по предмету

ЕН.01 Математика

Введение.

Теория пределов – одна из древнейших в истории математики, на протяжении многих веков занимавшая умы ученых. Знакомство с ней произошло еще в древности. Еще в 3 в. до н.э. Архимед вычислял площади криволинейных фигур с помощью метода «исчерпывания». Впоследствии ею интересовались такие ученые, как  Г.  Галилей, И. Кеплер, Ф. Паскаль, И. Ньютон. Но только сравнительно недавно, в 19 веке, эта теория приобрела стройность и форму, тот вид, с которым мы с ней знакомы по сей день.

Данное учебное пособие поможет читателю узнать суть и понятие пределов, их свойства и специфику, понятие непрерывности, а так же методы вычисления пределов.

2

Оглавление:

Введение…………………………………………………………………………2

Глава 1. Теория пределов……………………………………………………….4

             Предел переменной и функции…………………………………...…...4

             Односторонние пределы…………………………………………….....5

             Непрерывные функции и точки разрыва…………………………..…7

 Глава 2. Вычисление пределов……………………………………………..…11

             Вычисление пределов в точке и на бесконечности при наличии неопределенностей…………………………………………………………..….11

             Замечательные пределы…………………………………………….….13

Тест «Проверь себя»…………………………………………………………….15

Список литературы……………………………………………………………...17

3

Глава  1. Теория пределов.

1. Предел переменной и функции.      

Опр.1. Пусть х – переменная величина. Будем говорить, что х стремится к а или предел х равен а, если модуль разности |x-a| сколь угодно мал.

Обозн.   или  .

Замечание.   или   означает, что, какое бы мы ни выбрали положительное число, значение х всегда будет больше этого числа.

Опр.2. Пусть дана функция y=f(x). Говорят, что предел функции в точке а равен числу b, если при всех х, достаточно близких к а, значения функции сколь угодно близки к b.

Обозн. .

Свойства пределов функций.  

А. Если предел функции существует, то он единственный.

Б. Предел суммы двух и более функций в точке а равен сумме пределов этих функций в точке а, если они существуют.    

4

В. Предел произведения двух и более функций в точке а равен произведению  пределов этих функций в точке а, если они существуют.    

Г. Предел частного функций в точке а равен частному пределов этих функций в точке а, если они существуют и если предел знаменателя не равен нулю.    , при

Д. Правило сжатой переменной: Если   и   и дана функция , т.ч. , то

Задание 1.1.1.  По рисункам определить значение предела в точке а.

2. Односторонние пределы.

Пусть дана функция y=f(x), область определения которой обозначим , и точка .

Обозначим множества  и  .

5

Опр.3. Предел функции в точке на множестве  назовем пределом функции в точке   справа, а предел функции в точке на множестве  назовем пределом функции в точке  слева.

Пределы справа и слева называются односторонними пределами.

Обозн.  и    .

Теорема1 (б/д). Если существуют оба односторонних предела в точке  и они равны, то существует предел функции в точке , равный их общему значению.

Теорема2 (б/д). Если хоть один из односторонних пределов функции в точке  не существует, или же односторонние пределы функции в точке  не равны, то предел функции в точке  не существует.

1. Примеры

1. , ,
2. , ,
3. , , не существует.

6

4. , , не существует.
5. , , не существует.
6. , ,

3. Непрерывные функции и точки разрыва.

Опр.4. Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если существует предел функции в этой точке, равный значению функции в ней.

Опр.5. Функция f(x) называется непрерывной на множестве (отрезок, интервал, луч, прямая), если она непрерывна  в каждой точке этого множества.

Свойства непрерывных функций.

А.Сумма двух и более функций, непрерывных в точке а  – непрерывная в точке а  функция.

Б.Произведение функций, непрерывных в точке а  – непрерывная в точке а  функция.

В.Частное функций, непрерывных в точке а  – непрерывная в точке а функция при условии, что  значение функции-знаменателя в точке а  не равно нулю.

7

Опр.6. Говорят, что функция f(x) разрывна в точке а , если она не является непрерывной в ней.

Функция разрывна в точке а, если:

- Хоть один из односторонних пределов в точке а  не существует;

-Существуют оба односторонних предела в точке а , не равные между собой;

- Существуют оба односторонних предела в точке а , равные между собой, но не равные  значению функции  в точке а .

Разрывные функции бывают двух видов.

1. Разрыв 1 рода. (Если существуют оба односторонних предела в  точке а). Этот вид разрыва делится на

1. Устранимый (существуют конечные односторонние пределы в точке а , равные друг другу)
2. Неустранимый (существуют конечные односторонние пределы в точке а , не равные друг другу или хоть один из односторонних пределов функции в точке а бесконечен)

2. Разрыв 2 рода( хоть один из односторонних пределов функции в точке а не существует).

2. Примеры

8

1.       Разрыв 1 рода, устранимый.

2.    Разрыв 1 рода, неустранимый.

3.     Разрыв 1 рода, неустранимый.

9

1.3.2.Задание

Построить графики функций и указать вид разрыва.

2.      Замечание. Данная функция называется (знак х).

10

Глава 2. Вычисление пределов.

2.1.Вычисление пределов в точке и на бесконечности при наличии неопределенностей.

Задание  2.1.1.  Вычислить предел  

Замечание. Положим  . В самом деле, если х стремится к бесконечности, знаменатель неограниченно растет, а значит, дробь неограниченно уменьшается, т.е. приближается к нулю.

Решение. Если необходимо вычислить предел частного двух многочленов, выносим из числителя и знаменателя  переменную в наибольшей общей степени.

.  Далее, сокращая вынесенные множители и полагая по предыдущему замечанию,  , получаем  

Задание 2.1.2. Вычислить предел  .

Подставляя вместо  х число 2, получаем неопределенность  . Разложим числитель и знаменатель на множители.

11

Задание 2.1.3. Вычислить предел

Подставляя вместо  х число -1, получаем неопределенность  . Домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное иррациональности.

=

2.1.4. Задания  для самостоятельной  работы.

12

2.2. Замечательные пределы.

Существуют пределы, значение которых помогает решать широкий спектр задач. Приведем некоторые из них.

Положим без  доказательства:

Задание 2.2.1. Вычислить предел  . По свойствам пределов и приведенным выше формулам, получаем  

Задание 2.2.2. Вычислить предел

2.2.3. Задания для самостоятельной работы:

13

14

2.3. Тест «Проверь себя»:

1. Какая из перечисленных функций не является непрерывной?

        А. 1 и 3    Б. 2 и 4      В. 2   Г. Все непрерывны

2. Среди данных указать функцию, имеющую разрыв 1 рода, устранимый.

          А. 1 и 5   Б.  2 и 5    В. только 5    Г. Только 1    Д. 3 и 5

3. Вычислить предел последовательности:  

А.  -1     Б.      В. 1     Г. 0

4. Про какую (какие) из функций известно:   , ,

15

А.  1   Б.  2.   В. 1 и 2   Г. 1 и 3    Д. 3 и 5   Е. 2 и 5

5. У каких из функций есть неустранимый разрыв?             

А. 2  Б.  3    В.   4   Г. 1 и 4    Д. 2 и 4    Е.  1, 2, 4    Ж. У всех.

6. Предел  равен…

А. 3/5   Б.5/3    В. 9/25    Г. 25/9

16

Список используемой литературы:

Основные источники:

1. Балдин К.В., Башлыков В.Н., Рукосуев А.В. Высшая математика, Москва, 2010.
2. Шамолин М.В. Высшая математика, М., 2008
3. Кремер Б.А. Высшая маематика, М., 2007
4. Баврин И.И. Высшая математика, М, 2010
5. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. М.:Айрис-пресс, 2006
6. Абчук  В. А. Математика для менеджеров и экономистов: Учебник/ В. А. Абчук ; Соот. ГОСТУ. -СПб: Изд-во Михайлова В. А. , 2002. (Высшее профессиональное  образование)
7. Лисичкин В. Т. Математика : учебник/ Лисичкин В. Т.; Рек. Мин. образования РФ. -М: Высшая школа, 2003
8. Общий курс высшей математики для экономистов. Учебник : рекомендовано Мин.образования/ ред.  Ермаков В. И.. -М, 2004.
9. Сборник задач по высшей математике для экономистов. Учебное пособие. : рекомендовано Мин.образования/ ред.  Ермаков В. И.. -М, 2004.
10. Солодовников А. С.Солодовников А. С. Математика в экономике: Учебник.: в 2-х т. Ч 1.2/ Солодовников А. С., Бабайцев В. А.; Рек. Мин. образования РФ. - М, 2001.

Дополнительные источники:

1. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980
2. Математика для техникумов. Алгебра и начало анализа, под ред. Яковлева Т.Н., ч. 1 и 2, М., 1987 г.

17