Презентация к занятию на тему "Предел последовательности, предел функции"
презентация к уроку

Слайд 1

Слайд 2

Применение символов:  - множество всех натуральных чисел  - множество всех целых чисел R - множество всех вещественных чисел ; R = (-  , +  )  a , b  - отрезок - множество всех вещественных чисел, удовлетворяющих условию a  х  b  a , b  - интервал - a  х  b  a , b  - полуинтервал a  х  b ,  a , b  - полуинтервал a  х  b

Слайд 3

Применение символов:  - квантор существования («существует»)  - квантор всеобщности («для любого»)  - квантор принадлежности («принадлежит»)  - квантор объединения («и»)  - квантор следования («следовательно») ПРИМЕР :  М  R  х  Х : х  М

Слайд 4

Применение символов: ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 : Пусть х - числовая переменная величина, Х - область ее изменения. Если каждому числу х  Х поставлено в соответствии некоторое число y , то говорят, что на множестве Х определена функция , и пишут y = f ( x ). х - независимая переменная (аргумент функции) Х - область определении функции f ( x ) y - частное значение функции в точке х Y - совокупность всех частных значении функции - множество значений функции f ( x )

Слайд 5

ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Слайд 6

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функцию вида у= f (х), х  N называют числовой последовательностью (функция натурального аргумента). Обозначение : у = f ( n ) или (у n ): у 1 , у 2 ,у 3 ,… Примеры. 2,3,5,7,9,11,13,15,17,…; арифметические и геометрические прогрессии, 5,5,5,…-постоянная или стационарная

Слайд 7

Способы задания последовательностей ● Словесный (описывается словами правило) последовательность четных чисел: 2,4,6,8,… ● Реккурентный (последующий член выражается через предыдущий) арифметическая прогрессия: a 1 , a n+1 = a n + d , где d - разность геометрическая прогрессия: b 1 , b n+1 = b n · q , где q - знаменатель ● Аналитический (формулой n -го члена) у n = n 2 у n = C , где С= const у n = 2 n

Слайд 8

Ограниченная последовательность-ограничена и сверху и снизу Пример: -2,3,-2,3,… М=3 или 4, m =-2 или -3 Ограниченная снизу : все ее члены не меньше некоторого числа, т.е. у n ≥ m , m - нижняя граница Пример. 1,4,9,16,… n 2 ,… ограничена снизу m =1, ½ , … Ограниченная сверху : все ее члены не больше некоторого числа, т. е. у n ≤ М, М- верхняя граница Пример. -1,-4,-9,-16,… - n 2 ,… ограничена сверху, М=-1,0,…

Слайд 9

МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ каждый последующий член больше предыдущего, т.е. у n+1 > у n Пример. 1,4,9,16,… n 2 ,… ВОЗРАСТАЮЩАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ: УБЫВАЮЩАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ: каждый последующий член меньше предыдущего, т.е. у n+1 < у n Пример. -1,-4,-9,-16,…- n 2 ,…

Слайд 10

Свойство 1 . Если q> 1, то у = q n - возрастает Свойство 2 . Если 0

Слайд 11

(х n ): 1,1/2,1/3,1/4,1/5,…1/ n ,.. Сходится Точка сгущения-0 Предел последовательности-0 (у n ): 1,3,5,7,9,…,(2 n -1),... Расходится Нет точки сгущения Нет предела ПОНЯТИЕ СХОДЯЩЕЙСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Слайд 12

интервал ( a-r , a+r ) –окрестность точки a радиуса r . Пример (5,9;6,1)-окрестность точки 6 радиуса 0,1 (-0,1;0,1)- окрестность точки ? ОКРЕСТНОСТЬ ТОЧКИ

Слайд 13

Число b -предел последовательности ( у n ), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера. Обозначение: 1) lim у n = b или n →∞ 2) у n →b ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Слайд 14

(у n ):1,1/2,1/3,1/4,…,в любой окрестности 0 содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера, то у n =1/ n →0 ● (у n ): ½,1/4,1/8,1/16,1/32,…; в любой окрестности 0 содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера, то y n =(1/2) n →0 ● (у n ): 2,4,8,16,32,…- нет точки около которой находятся все члены последовательности,начиная с некоторого номера, то y n =2 n → нет ● (у n ): 5,5,5,…, в любой окрестности 5 содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера, то y n = 5 → 5 ПРИМЕРЫ

Слайд 15

1) lim 1/ n = 0 n→∞ 2) lim q n = 0 , если 0 <|q|< 1 n→∞ Если q> 1, то lim q n не существует. n→∞ 3) lim С = С n→∞ 4) lim ( к/ n m) = 0 n→∞ ФОРМУЛЫ

Слайд 16

Если последовательность сходится, то только к одному пределу. Если последовательность сходится , то она ограничена. Обратное-неверно:1,2,3,1,2,3,…-ограниченная последовательность, но она не сходится Теорема Вейерштрасса (19 век, немецкий математик):Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится. СВОЙСТВА

Слайд 17

Если lim х n = b и lim у n =c , то n→∞ n→∞ 1) Предел суммы равен сумме пределов: lim (х n + у n ) = b + c n→∞ 2) Предел произведения равен произведению пределов: lim (х n · у n ) = b·c n→∞ 3) Предел частного равен частному пределов: lim (х n : у n ) = b:c n→∞ 4) Постоянный множитель можно вынести за знак предела: lim ( k· х n ) = k·b n→∞ ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ

Слайд 18

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Слайд 19

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 : Точка а ( а  Х или а  Х) называется предельной точкой множества Х , если в любой окрестности точки а имеются точки множества Х , отличные от а . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 : Число b называется пределом функции y=f ( x ) в точке a , если любая последовательность чисел x n , для которой и соответствующая последовательность значений функции f ( x n ) имеет пределом число b , то есть . ОБОЗНАЧЕНИЕ:

Слайд 20

ТЕОРЕМА 1 : Пусть функции f (х) и g ( x ) определены и , , тогда 3. 4. из теоремы следует: