степень числа с рациональным показателем
методическая разработка на тему

Тема урока : СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ.

ВВЕДЕНИЕ

Действие -  «возведение в степень» вызвана потребностями практической жизни. Мы очень часто сталкиваемся с ним в  реальной действительности. Вспомним о случаях вычисления площадей и объемов, где обычно приходится возводить числа во вторую и третью степени. Далее: сила всемирного тяготения, электростатическое и магнитное взаимодействия, свет, звук ослабевают пропорционально второй степени расстояния. Продолжительность обращения планет вокруг Солнца ( и  спутников вокруг планет) связана с расстояниями от центра обращения также степенной зависимостью: вторые степени времен обращения относятся между собою, как третьи степени расстояний.

Не надо думать, что практика сталкивает нас только со вторыми и третьими степенями, а более высокие показатели существуют только в алгебраических задачниках. Инженер, производя расчеты на прочность, сплошь и рядом имеет дело с четвертыми степенями; исследуя силу, с какой текучая вода увлекает камни, гидротехник наталкивается на зависимость шестой степени; возведением в степень пользуются астрономы, химики, метеорологи, микробиологи, агрономы и так далее. С усложнением и ростом числа математических задач появилась необходимость появления в степени числа рациональных показателей.

Тема  «Степень с рациональным показателем» играет в математике важную роль.   Она учит обобщать понятия математического действия, какие совершаются в математике постоянно; простейшим обобщением такого рода является обобщение действия умножения при  дробных  множителях. Можно было вовсе не вводить ни дробных, ни отрицательных степеней. Но только тогда пришлось бы задачи одного и того же рода решать не по одному правилу, а с помощью множества различных правил. Такие задачи почти все принадлежат к высшей математике и не рассматриваются нами, но есть задачи, которые подробно изучаются в пределах изучаемой нами программы – это решение иррациональных  и показательных уравнений,  а также логарифмирование. Для овладения таких задач нам совершенно необходимо на  возможно большем числе упражнений четко усвоить смысл дробных и отрицательных показателей

 Цели урока: 1  Повторить и закрепить изученный материал по теме урока в процессе решения

                          упражнений.  

                      2. Развивать теоретическое мышление, прививать умение планировать учебную работу

                          в команде.

                      3. Вызвать чувство интереса к предмету.

Тип урока :      Повторительно- обобщающий.

Вид урока :      Урок- КВН.

Оборудование : 1. Тесты по формулам « Степень числа»

                            2.Карточки – задания.

                            3. Часы.

                            4.Доска, мел.

                            5. Табло для занесения результатов конкурсов  на доске.

                            6. Кроссворд по теме « Степень»

                            7. Буквы с магнитными держателями ( 20 штук)

                            8. Номера для жеребьевки.

                            9. Каждому проверяющему  табло для своей команды.

ХОД УРОКА

1. Вступительное слово преподавателя.( 2 минуты)

2. Разминка – тесты по формулам ( 5 минут ).

3. Блиц – турнир ( 7 минут )

4. Домашнее задание – оценка. (3 минуты )

5. Конкурс  « кто кого» ( 14 минут )

6. Конкурс капитанов ( 5 минут)

7. Суперигра. ( 2 минуты)

8. Подведение итогов.( 2 минуты )                                            

Подготовка к КВНу.

Группа разделена на три команды, в каждой выбраны капитаны. Капитаны организуют свои команды; представляют домашнее задание и самостоятельные работы, выполненные на уроке, на проверку судьям( проверяющим); участвуют в конкурсе капитанов; назначают выступающих в блиц – турнире и в конкурсе « Вот так мы!», лучших игроков команды, для участия в супер – игре.

За каждой командой закреплен проверяющий, которые приглашаются из групп  II  или III  курса. У  проверяющих  есть свое мини – табло, куда заносятся результаты работы каждого члена команды.

На доске или на плакате составляется табло, которое заполняют проверяющие.

ХОД УРОКА

1 Вступительное слова преподавателя.

   К умножению равных сомножителей приводит решение многих задач. Понятие о степени с натуральным показателем возникло уже в Древней Греции, выражение квадрат  числа возникло при вычислении площади квадрата, а куб числа – при нахождении объёма куба. Современные обозначения типа а5 в XVII  в. Ввел Р. Декарт. Дробные показатели степени и наиболее простые правила действий над степенями с дробными показателями встречаются в XIV в. У французского математика  Н. Орема . Но систематически рациональные показатели первым стал употреблять        И. Ньютон.

Данная тема играет важную роль в математике. Она поможет нам лучше понять решение иррациональных  и показательных уравнений, а так же тему логарифмирование. Теория логарифмов неразрывно связана с  обобщением понятия степени, поэтому для овладения логарифмическими

вычислениями совершенно необходимо четко усвоить смысл дробных показателей степени.

2. Разминка ( тесты по формулам)

При выполнении данного задания учащиеся повторяют свойства степени, которые необходимо знать при решении упражнений.

 Учащиеся выполняют тесты на листках.

Результаты конкурса подводят проверяющие во время следующего этапа игры. Каждое верно выполненное задание оценивается в 1 балл. Проверяющий суммирует баллы, набранные каждым игроком и всей командой.

                    I  вариант                                                                     II вариант

Ответы к тестам:

I вариант:    1 –в, 2—с, 3 - в, 4 - а, 5 – в, 6 – а, 7 – с, 8 – а, 9 – с,10 –в.

II  вариант:  1 – с, 2 –а, 3 – в,4 – с, 5 – с,6 – в, 7 –а, 8 – в, 9 –а, 10 –в.

3.Блиц – турнир.

 При выполнении данного задания учащиеся демонстрируют применение свойств  степени при решении упражнений, а также знание формул сокращенного умножения.

  На  доске написаны три задания. Капитаны команд вытягивают номер задания которое будет выполнять команда . Верный ответ оценивается в 5 баллов. Если ответ неверный или неполный, то слово передается другой команде, и баллы  отвечающей команде уменьшаются, а дополняющей  команде ставятся баллы  за дополнение.

Задание 1. Найдите ошибку:

 =  =  = 25.

Задание 2. Почему так получилось?

Докажем, что 7 = 3.

От обеих частей этого равенства  отнимем по 5 и результаты возведем в квадрат: (7-5)2 = (3-5)2.

Получили: 4 = 4. Это равенство верное. Значит и исходное равенство также верное, т.е. 7 = 3.

Задание 3. Что бы это значило?

(а+b)3 = ? + 3a  + 3  + b.

Ответы к заданиям блиц-турнира:

1).     =  =  = 215.·

2).Когда от обеих частей исходного равенства отняли 5, то получили  2 = -2. Это равенство не верное, следовательно, исходное равенство также не верное. В заблуждение нас ввело следующее действие – возведение в квадрат.

3). Это формула  куб суммы, вместо знака вопроса должно быть написано а

4. Домашнее задание.

Домашнее задание -  5 примеров из учебника  А. Н. Колмогорова № 437 а,б, в ; № 434 б,г  на применение свойств степени,  учащиеся получили на предыдущем уроке. Считаю, что выполнение посильного домашнего задания, позволяет закрепить знания, полученные на уроке.

Все тетради заранее собираются и проверяются. На уроке проверяющие докладывают о результатах. Каждое полностью  и правильно выполненное задание оценивается в 1 балл. Общий результат определяется суммой баллов, полученных за все работы.

5.  Конкурс «Вот так мы!».

Конкурс показывает, насколько глубоко  учащиеся усвоили материал и научились применять его при решении уравнений. 

После жеребьевки команды выступают в установленном порядке. От команды выступает один участник. Каждый из них, выйдя к доске, вытаскивает билет с заданием, которое он выполняет на доске и одновременно объясняет свои действия.

Учащиеся из команд соперников «разыгрывают» непонимание и задают вопросы.

Задания:

1. Решите уравнение: 4 3х-6 = 1.

2. Решите уравнение:   = 36.

3. Упростите выражение .

Решения к заданиям:

1)  43х-6= 1;  43х-6 = 40 ; 3х -6 = 0; 3х = 6;  х = 2.

2)   = 36 ; (2·3) = 36 ; 6 = 62;  = 2 ; х = 4.

3)  =  = а

6.Конкурс капитанов.

На доске написан кроссворд по теме «Степень». Капитаны выходят к доске, разыгрывают порядок в котором они будут отвечать на вопросы. Каждый правильный ответ оценивается в 2 балла. Если ответа нет, то отвечает капитан,  вызвавшийся первым. Каждому капитану задают три вопроса, на десятый  вопрос отвечает капитан, вызвавшийся первый

ПО ГОРИЗОНТАЛИ:1. Действие, с помощью которого вычисляется значение степени.

                                     2. Произведение, состоящее из одинаковых множителей.

                                     3. Действие показателей степени при возведении степени в степень.

                                     4. Действие степеней, при которых показатели степеней вычитаются.

                                     5. Немецкий математик, который ввел термин «показатель степени».

ПО ВЕРТИКАЛИ:     6. Число всех одинаковых множителей.

                                    7. Степень с нулевым показателем.

                                    8. Повторяющийся множитель.

                                    9. Значение выражения  25 · 2 - 3.

                                   10. Показатель степени, который обычно не пишут.

   Ответы:

По горизонтали: 1. Возведение.  2. Степень.   3. Произведение.   4. Деление.   5. Штифель.

По вертикали:  6. Показатель.  7. Единица.  8. Основание.  9. Четыре.  10. Единица.

7. Суперигра.

По два лучших игрока из команды  отгадывают крылатую математическую фразу. Можно открыть по две буквы каждого слова. На обдумывание дается одна минута.

7. Подведение итогов КВНа.

 Проверяющие суммируют результаты всех конкурсов и объявляют победителя.

После урока преподаватель  еще раз  просматривает самостоятельные и домашние работы учащихся, определяет качество работы проверяющих, всем участникам выставляет оценки за работу с учетом участия каждого в проведенных  конкурсах.

                                                     ПОКАЗАТЕЛЬ                                            

                                                     ЧИСЛИТЕЛЬ

                                                      МНОЖИТЕЛИ

.

ЛИТЕРАТУРА

Методическая литература :1. Учебники  « Алгебра и начала анализа 10-11 класс» А.Г. Мордкович.                                          

                                                   2007г.

                                              2. « Алгебра и начала анализа 10-11 класс»  А.Н.Колмогоров. 2006г.

                                              3.  Газета « Математика» 2003 г.№42.

                                              4. Газета « Математика» 2000,  №15.

                                        5. Газета « Математика»  2005, № 8.

                                        6. М.Я. Выгодский « Справочник по элементарной математике», Москва,

                                           «Наука» 1998