Методическая разработка по учебной дисциплине Математика» по теме "Определенный интеграл" ( для преподавателя)
методическая разработка на тему

ОБЛАСТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

 НИЖНЕУДИНСКОЕ МЕДИЦИНСКОЕ УЧИЛИЩЕ

Цикловая методическая комиссия

гуманитарных, социально-экономических и общих естественнонаучных дисциплин

Специальность 060101.52 Лечебное дело

Методическая разработка 

по учебной дисциплине

«Математика»

для преподавателя

 Определенный интеграл

Составила: Быкова Н.Г.

Нижнеудинск, 2013 г.

Содержание методической разработки:

Содержание методической разработки:

Выписка из приказа № 472

от «12» ноября 2009 г.

ОБ УТВЕРЖДЕНИИ И ВВЕДЕНИИ В ДЕЙСТВИЕ

ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА

СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ 060101 ЛЕЧЕБНОЕ ДЕЛО

ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ОСНОВНОЙ

ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ Математика

Общие компетенции

5.1. Фельдшер должен обладать общими компетенциями, включающими в себя способность (по углубленной подготовке):

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения возложенных на него профессиональных задач, а также для своего профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 12. Организовывать рабочее место с соблюдением требований охраны труда, производственной санитарии, инфекционной и противопожарной безопасности.

ОК 14. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).

Профессиональные компетенции, соответствующие основным видам профессиональной деятельности (по углубленной подготовке):

5.2.1. Диагностическая деятельность.

ПК 1.1. Планировать обследование пациентов различных возрастных групп.

ПК 1.2. Проводить диагностические исследования.

ПК 1.3. Проводить диагностику острых и хронических заболеваний.

ПК 1.4. Проводить диагностику беременности.

ПК 1.5. Проводить диагностику комплексного состояния здоровья ребёнка.

ПК 1.7. Оформлять медицинскую документацию.

5.2.2. Лечебная деятельность.

ПК 2.1. Определять программу лечения пациентов различных возрастных групп.

ПК 2.2. Определять тактику ведения пациента.

ПК 2.3. Выполнять лечебные вмешательства.

ПК 2.4. Проводить контроль эффективности лечения.

ПК 2.5. Осуществлять контроль состояния пациента.

ПК 2.8. Оформлять медицинскую документацию.

5.2.3. Неотложная медицинская помощь на догоспитальном этапе.

ПК 3.1. Проводить диагностику неотложных состояний.

ПК 3.2. Определять тактику ведения пациента.

ПК 3.3. Выполнять лечебные вмешательства по оказанию медицинской помощи на догоспитальном этапе.

ПК 3.4. Проводить контроль эффективности проводимых мероприятий.

ПК 3.5. Осуществлять контроль состояния пациента.

ПК 3.7. Оформлять медицинскую документацию.

5.2.4. Профилактическая деятельность.

ПК 4.1. Организовывать диспансеризацию населения и участвовать в ее проведении.

ПК 4.2. Проводить санитарно-противоэпидемические мероприятия на закрепленном участке.

ПК 4.3. Проводить санитарно-гигиеническое просвещение населения.

ПК 4.4. Проводить диагностику групп здоровья.

ПК 4.5. Проводить иммунопрофилактику.

ПК 4.6. Проводить мероприятия по сохранению и укреплению здоровья различных возрастных групп населения.

ПК 4.9. Оформлять медицинскую документацию.

5.2.6. Организационно-аналитическая деятельность.

ПК 6.1. Рационально организовывать деятельность персонала с соблюдением психологических и этических аспектов работы в команде.

ПК 6.2. Планировать свою деятельность на ФАПе, в здравпункте промышленных предприятий, детских дошкольных учреждениях, центрах, общей врачебной (семейной) практики и анализировать ее эффективность.

ПК 6.3. Вести медицинскую документацию.

ПК 6.4. Организовывать и контролировать выполнение требований противопожарной безопасности, техники безопасности и охраны труда на ФАПе, в здравпункте промышленных предприятий, детских дошкольных учреждениях, центрах офисе общей врачебной (семейной) практики.

В результате изучения обязательной части цикла обучающийся должен:

уметь:

решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;

знать:

значение математики в профессиональной деятельности и при освоении профессиональной образовательной программы;

основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;

основные понятия и методы теории вероятностей и математической статистики;

основы интегрального и дифференциального исчисления

В результате изучения темы «Определенный интеграл».

Студент должен знать:

• Определение определенного интеграла;
• Основные свойства определенного интеграла;
• Формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенных интегралов;

• Методы вычисления определенных интегралов.
• Применение определенного интеграла к решению прикладных задач.

Обучающийся должен уметь:

• Находить неопределенный интеграл различными методами;
• Применять формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенных интегралов;

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА УРОКА ПО ДИСЦИПЛИНЕ: МАТЕМАТИКА.

ЛИТЕРАТУРА:

1.Филимонова Е.В. Математика: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. / Е.В. Филимонова. – 2-е изд., доп. и перераб. – Ростов-на- Дону.: Феникс, 2008.

2. Михеев В.С., Стяжкина О.В., Шведова О.М. Математика: Учебное пособие для среднего профессионального образования. /  В.С.Михеев. – Ростов-на-Дону.: Феникс, 2009.

Дополнительные источники:

1. Богомолов Н. В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних учебных заведений. /  Н.В. Богомолов. – 7-е изд. М.: Высшая школа, 2004.- 495 с.

2. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике./ Д.Т. Письменный . 1 часть. – 4-е изд., испр.- Д.Т. Письменный. - М.: Айрис-пресс, 2004.

3. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика. – Форум, 2011. – 240 с.

СТРУКТУРА УРОКА

Конспект теоретического занятия по теме: «Определенный интеграл».

План лекции:

1. Определенный интеграл.

1.1. Понятие определенного интеграла;

1.2. Свойства определенного интеграла;

1.3.Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенных интегралов;

1.4. Приложение определенного интеграла к решению прикладных задач»: вычисление площадей плоских фигур, длины дуги кривой, объемов тел.

1.4.1.Вычисление площадей плоских фигур

1.4.2. Вычисление объёмов тел вращения

1. Определенный интеграл.

1.1. Понятие определенного интеграла;

Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [a,b], а<в. Разобьем этот отрезок на n произвольных частей точками: а=х0<х1<х2<…<хi-1<хi<хn=b.

Обозначим это разбиение через τ, a точки x0, x1,…,xn будем называть точками разбиения. В каждом из полученных частичных отрезков [xi-1,xi] выберем произвольную точку ξi (xi-1ξixi). Через Δxi обозначим разность xi-xi-1, которую условимся называть длиной частичного отрезка [xi-1, xi].

Образуем сумму: ,  которую назовем интегральной суммой для функции f(x) на [a,b], соответствующее данному разбиению [a,b] на частичные отрезки и данному выбору промежуточных точек ξi. Геометрический смысл суммы σ очевиден: это сумма площадей прямоугольников с основаниями Δx1, Δx2, … , Δxn и высотами f(ξi), f(ξ2), … , f(ξn) (см рисунок) (если f(x)0).

Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка разбиения τ:  

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если существует конечный предел I интегральной суммы (1) при λ→0, то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [a, b] и обозначается следующим образом:

В этом случае функция f(x) называется интегрируемой на [a, b]. Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f(x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования.

1.2. Свойства определенного интеграла;

1. , где с – число

2.

Свойство 2 справедливо для любого конечного числа слагаемых.

3.

4. , где a

Свойство 4 позволяет разбивать отрезок интегрирования на части. Свойство 4 называют аддитивностью определённого интеграла. Свойство применяют при вычислении площадей фигур.

Определённый интеграл применяют для решения геометрических и физических задач. Например, вычисление площадей фигур, объёмов тел вращения, работы переменной силы, расстояния при прямолинейном перемещении, длины дуги плоской кривой, объёма тел, площади поверхности вращения, статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой и многие другие прикладные задачи.

1.3.Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенных интегралов;

Основной формулой интегрального исчисления является так называемая формула Ньютона-Лейбница.

ТЕОРЕМА. Пусть функция у = f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) – любая первообразная для f(x) на [a,b]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на [a,b] равен приращению первообразной F(x) на этом отрезке, т.е.

Нахождение определенных интегралов с использованием формулы Ньютона–Лейбница (2) осуществляется в два шага: на первом шаге, используя технику нахождения неопределенного интеграла, находят некоторую первообразную F(x) для подынтегральной функции f(x); на втором применяется собственно формула Ньютона-Лейбница – находится приращение первообразной, равное искомому интегралу. В связи с этим, введем обозначение для приращения первообразной, которое удобно использовать при записи решений. По определению положим

 (3)

Следует подчеркнуть, что при применении формулы Ньютона – Лейбница можно использовать любую первообразную F(x) для подынтегральной функции f(x), например имеющую наиболее простой вид при С=0.

Пример: Вычислить определенный интеграл 

Произвольная первообразная для функции f(x)=x2 имеет вид . Для нахождения интеграла по формуле Ньютона – Лейбница возьмем такую первообразную, у которой С=0. Тогда 

Пример 17. 

Пример 18. Вычислить 

1.4. Приложение определенного интеграла к решению прикладных задач»: вычисление площадей плоских фигур, длины дуги кривой, объемов тел.

1.4.1.Вычисление площадей плоских фигур

Геометрический смысл определённого интеграла: определённый интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.

Определим криволинейные трапеции с основаниями на оси ох и оси оу и соответствующие формулы для вычисления их площадей.

Определение. Фигура, ограниченная графиком непрерывной функции , прямыми ,  и осью ох, называется криволинейной трапецией (с основанием на оси ох).

Площадь криволинейной трапеции с основанием на оси ох вычисляется по формуле

Если , т.е. криволинейная трапеция расположена ниже оси ОХ, то её площадь вычисляется по формуле

Если для всех выполняется условие , т.е. , то площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций ,  и прямыми , ,  вычисляется по формуле

Заметим, что одна из прямых (или обе) могут «стягиваться» в точку.

Определение. Фигура, ограниченная графиком непрерывной функции , прямыми , , , и осью ОУ, называется криволинейной трапецией (с основанием на оси оу).

Площадь криволинейной трапеции с основанием на оси оу вычисляется по формуле:

Если , т.е. криволинейная трапеция расположена левее оси ОУ, то её площадь вычисляют по формуле

Если для всех выполняется условие , т.е. , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиками непрерывных функций ,  и прямыми , , , вычисляется по формуле

Заметим, что одна из прямых (или обе) могут «стягиваться» в точку.

Если плоская фигура не является криволинейной трапецией указанных видов, то её разбивают на криволинейные трапеции прямыми, параллельными оси оу или ох и применяют соответствующие формулы.

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Построим линии, ограничивающие фигуру.

– парабола, симметричная относительно оси оу, вершина (0;1).

 – прямая, проходящая через точку (2;0), параллельная оси оу.

 – аналитическое выражение оси ох.

 – аналитическое выражение оси оу.

Построенная фигура является криволинейной трапецией с основанием на оси ох, поэтому её площадь вычисляется по формуле

.

, , .

Тогда  (кв. ед.).

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Построим линии ограничивающие фигуру. – прямая; если , то , если , то .

Прямая проходит через точки (0; 4), (8; 0).

 – прямая, параллельная оси ох.

 – прямая, параллельная оси ох.

 – ось оу.

Тогда (ед2).

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

.

Построим линии ограничивающие фигуру.

 - парабола, симметричная относительно оси OY. Т.к. , то вершина .

Найдем координаты точек пересечения графиков функций.

                Т.о. , на этом отрезке функция , поэтому .

.

Тогда    (ед2).

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Построим линии, ограничивающие фигуру.

 – парабола, симметричная относительно оси оу, вершина (0;0).

 – прямая, если , то ,

                         если , то .

Найдём точки пересечения линий:

 Т.о.

(ед2).

1.4.2. Вычисление объёмов тел вращения

Объём тела, образованного вращением вокруг оси ох криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной линией , отрезком оси абсцисс  и прямыми , вычисляется по формуле

.

Объём тела, образованного вращением вокруг оси оу криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной линией , отрезком оси ординат  и прямыми , вычисляется по формуле

.

Пример. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной линиями

Построим ограничивающие линии.

 - ветвь параболы, расположенная выше оси OX, т.к. ;

 - прямая, параллельная оси OY;

 - ось OX.

При вращении криволинейной трапеции вокруг оси ох образуется тело вращения.

Т. к. по условию криволинейная трапеция вращается вокруг оси ох, то объём тела вращения вычислим по формуле .

По условию , т.е. , тогда  При этом , т.е.  Тогда (ед3.)

Пример. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси оу фигуры, ограниченной линиями

Построим ограничивающие линии.

 - гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных углах;

 - прямая, параллельная оси OX;

 - прямая, параллельная оси OX;

 - ось OY.

При вращении криволинейной трапеции вокруг оси оу образуется тело вращения.

Т.к. по условию криволинейная трапеция вращается вокруг оси оу, то объём тела вращения вычислим по формуле .

По условию , т.е. , тогда .

При этом , т.е. .

Тогда (ед3.)

Пример. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной линиями

Построим ограничивающие линии.

 - парабола с вершиной в точке , симметрична относительно оси OY;

 - парабола с вершиной в точке , симметрична относительно оси OX.

 - прямая, параллельная оси OX;

 - ось OY.

При вращении криволинейной трапеции вокруг оси OX образуется тело вращения.

По условию фигура вращается вокруг оси OX. Тогда искомый объём равен разности двух объёмов: объёма Vx1, полученного от вращения вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями  и объёма Vx2, полученного от вращения вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями  Т.о.

Вычислим .

Для Vx1: , при этом . Тогда (ед3.)

Вычислим .

Для Vx2: ,т. е  Тогда (ед3.)

Т.о. (ед3.)

Контрольные вопросы

1. Что называется определѐнным интегралом от функции y =f (x) на отрезке [a; b]?
2. Какими свойствами обладает определѐнный интеграл?
3. Запишите формулу Ньютона-Лейбница. Поясните еѐ смысл.
4. Каково применение определенного интеграла?