Методическая разработка занятия по дисциплине «Математика» на тему: «Неопределенный интеграл и его свойства»
методическая разработка на тему

1. Организационный момент. (1 мин.)

Приемы преподавания

Приемы учения

Преподаватель приветствует студентов, проверяет присутствующих в аудитории.

Учащиеся готовятся к работе. Староста заполняет рапортичку. Дежурные раздают раздаточный материал.

2. Мотивация учебной деятельности.(3 мин.)

  Приемы преподавания

Приемы учения

Тема сегодняшнего занятия «Неопределенный интеграл и его свойства». Знания по данной теме нами будет использоваться на следующих уроках при нахождении определенных интегралов, площадей плоских фигур. Большое внимание уделяется интегральному исчислению в разделах высшей математики в высших учебных заведениях при решении прикладных задач.

Наше сегодняшнее занятие является занятием изучения нового материала, по этому будет носить теоретический характер. Цель занятия сформировать представления об интегральном и-+счислении, понять его сущность, развивать навыки при нахождении первообразных и неопределенного интеграла.

Учащиеся записывают дату и тему занятия.

3.Изложение нового материала (55 мин)

Приемы преподавания

Приемы учения

1. История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачами, которые мы сейчас относим к задачам на вычисление площадей. Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении таких задач связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским. С помощью этого метода Евдокс доказал:

1. Площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров.

2. Объём конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же высоту и основание.

Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом и были доказаны такие вещи:

1. Вывод формулы площади круга.

2. Объем шара равен 2/3 объема цилиндра.

Все достижения были доказаны великими математиками с применением интегралов.

Презентация «Немного истории»

Операция интегрирования обратная операции дифференцирования т.е. для того, чтобы проверить правильность нахождения интеграла необходимо продифференцировать ответ и получить подынтегральную функцию. Другими словами интегральное исчисление решает задачу: по заданной производной или дифференциалу неизвестной функции требуется определить эту функцию. Отсюда можно сделать вывод, который мы запишем в виде определения.

Определение 1: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на отрезке [a;b], если во  всех точках этого отрезка выполняется равенство  = f(x) или dF(x)=f(x)dx

   Так, функция F(x) = xm является первообразной для f(x)=mxm-1, так как (xm)’=mxm-1.

   Точно также функция F(x) =ln x есть первообразная для f(х)=, так как (ln x)’=.

Признак постоянства функции:

    Если F’(x)=0 на некотором промежутке I, то функция F – постоянна на этом промежутке, т.е. F(x)=C.

Все первообразные функции f можно записать в одну формулу, которую называют общим видом первообразных для функции f. Запишем это в виде теоремы.

  Теорема: Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде F(x)+C, где F(x) – одна из первообразных для функции f(x)  на промежутке I, C – произвольная постоянная.

   Этому свойству можно придать геометрический смысл: графики любых двух первообразных для функции f получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Oy.      

                                  у                                            

                x

        х

                              0  

Учащиеся записывают фамилии великих математиков и их достижения в области интегрального исчисления.

Учащиеся записывают лекцию, используя раздаточный материал и объяснения преподавателя. При доказательствах свойств первообразных и интегралов, используют знания по теме дифференцирования.

Три правила нахождения первообразных

Правило №1: Если F есть первообразная для функции f, а G – первообразная для g, то                F+G – есть первообразная для f+g.

(F(x) + G(x))’ = F’(x) + G’(x) = f + g

Правило №2: Если F – первообразная для f, а k – постоянная, то функция kF –                         первообразная для kf.

(kF)’ = kF’ = kf

Правило №3: Если F – первообразная для f, а k и b– постоянные (), то функция

 - первообразная для f(kx+b).

Вернемся к теореме 1 и выведем новое определение.

   Определение 2:  Выражение F(x) + C, где C - произвольная постоянная, называют неопределенным интегралом и обозначают символом

   Из определения имеем:

             (1)

   Неопределенный интеграл функции f(x), таким образом, представляет собой множество всех первообразных функций для f(x).

    В равенстве (1) функцию f(x) называется подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx– подынтегральным выражением, переменную x – переменной интегрирования, слагаемое C - постоянной интегрирования.

    Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию. Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

 Свойства неопределенного интеграла.

   Опираясь на определение первообразной, легко доказать следующие свойства неопределенного интеграла

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, то есть если  = f(x), то

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов

5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть если a=const, то

4.    Таблица простейших интегралов

1. ,(n -1)                                                             2.

3.                                                                            4.

5.                                                                        6.

    Интегралы, содержащиеся в этой таблице, принято называть табличными. Отметим частный случай формулы 1:

    Приведем еще одну очевидную формулу:

,

    т. е. первообразная от функции, тождественно равной нулю, есть постоянная.

4.Закрепление изученного материала.(15 мин)

Пример 1

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Решение:

. Сначала я приведу полное решение, комментарии будут ниже.

(1) Используем старую - добрую формулу квадрата суммы , избавляясь от степени.

(2) Вносим  в скобку, избавляясь от произведения.

(3) Используем свойства линейности интеграла (оба правила сразу).

(4) Превращаем интегралы по табличной формуле .

(5) Упрощаем ответ. Здесь следует обратить внимание на обыкновенную неправильную дробь – она несократима и в ответ входит именно в таком виде. Не нужно делить на калькуляторе! Не нужно представлять ее в виде !

Проверка: 

Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.

В ходе проверки функцию всегда желательно «упаковать» до первоначального вида, вынося в данном случае  за скобки и применяя формулу сокращенного умножения в обратном направлении: 

Пример 2

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

В данном примере подынтегральная функция представляет собой дробь. Когда мы видим в подынтегральном выражении дробь, то первой мыслью должен быть вопрос: А нельзя ли как-нибудь от этой дроби избавиться, или хотя бы её упростить?

Замечаем, что в знаменателе находится одинокий корень из «икс». Один в поле – не воин, а значит, можно почленно разделить числитель на знаменатель:

Действия с дробными степенями я не комментирую, так как о них неоднократно шла речь в статьях о производной функции. Если Вас все-таки ставит в тупик такой пример, как , и ни в какую не получается правильный ответ , то рекомендую обратиться к школьным учебникам. В высшей математике дроби и действия с ними встречаются на каждом шагу.

Также обратите внимание, что в решении пропущен один шаг, а именно, применение правил , . Обычно при определенном опыте решения интегралов данные правила считают очевидным фактом и не расписывают подробно.

Учащиеся записывают решение в тетрадь.

5.Подведение итогов занятия. Рефлексия.(5 мин.)

Итак, получилось слово «интеграл», т.е. тема нашего сегодняшнего занятия. Какие понятия и примеры вызвали у вас больше всего вопросов?

Применяя знания по новому материалу, вы справились с данной задачей. Преподаватель сообщает  оценки за урок.

Участвуют в беседе по подведению итогов.

6.Домашнее задание (1 мин.)

  Преподаватель сообщает домашнее задание:

1) Выучить конспект.

3) Назвать фамилии великих математиков, имеющих отношение к теме «Интегральное исчисление».

4) Решить задачи:

Пример 1

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Пример 2

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Записывают домашнее задание