Методическая разработка занятия по дисциплине «Математика» на тему: «Неопределенный интеграл и его свойства»
методическая разработка на тему
Теоретический материал методической разработки по «Математике» на тему «Неопределенный интеграл и его свойства» соответствует требованиям программы, методы способствуют усвоению материала, развитию аналитических способностей, активизации внимания, воспитанию ответственного отношения к заданию.
Данное занятие является занятием изучения нового материала, поэтому будет носить теоретический характер. Цель занятия сформировать представления об интегральном исчислении, понять его сущность, развивать навыки при нахождении первообразных и неопределенного интеграла.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 142 КБ |
Предварительный просмотр:
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ВОЛГОГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
НАЧАЛЬНОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ УЧИЛИЩЕ №55»
Методическая разработка занятия по дисциплине «Математика»
на тему: «Неопределенный интеграл и его свойства»
Выполнила: преподаватель математики
Куличкова А.Г.
п. Школьный
2015 г.
Пояснительная записка.
Теоретический материал методической разработки по «Математике» на тему «Неопределенный интеграл и его свойства» соответствует требованиям программы, методы способствуют усвоению материала, развитию аналитических способностей, активизации внимания, воспитанию ответственного отношения к заданию.
Данное занятие является занятием изучения нового материала, поэтому будет носить теоретический характер. Цель занятия сформировать представления об интегральном исчислении, понять его сущность, развивать навыки при нахождении первообразных и неопределенного интеграла.
Методическая разработка открытого занятия по дисциплине «Математика»
Тема занятия: Неопределенный интеграл и его свойства.
Цели занятия:
Образовательная: Сформировать представления об интегральном исчислении, уяснить его суть. Выработать навыки нахождения неопределенного интеграла и первообразных, умения пользоваться свойствами и методами интегрирования.
Развивающая: Развивать математически грамотную речь, внимание, сознательное восприятие учебного материала.
Воспитательная: Воспитывать познавательную активность, сообразительность и мышление, благодарность к достижению великих математиков в области интегрирования.
Вид занятия: урок
Тип занятия: сообщения новых знаний
Метод проведения: словесный, наглядный, самостоятельная работа.
Квалификационные требования:
Ученики должны:
В ходе изучения темы «Неопределенный интеграл и его свойства» студентам предстоит усвоить основные понятия и утверждения, иметь представления о возможностях применения средств интегрального исчисления в геометрических, физических и др. прикладных задачах.
Знать:
• определение первообразной функции и неопределенного интеграла;
• свойства и методы нахождения интегралов
• формулы простейших интегралов.
Уметь:
∆ вычислять первообразные и неопределенный интеграл, используя основные свойства и методы нахождения.
Междисциплинарные связи: физика, история математики.
Внутридисциплинарные связи: «Нахождение производной», «Вычисление объемов тел», «Вычисление определенного интеграла».
Обеспечение занятия:
-Мультимедийное оборудование и программное обеспечение для показа презентации и видео;
- Наглядные пособия: портреты великих математиков, имеющих представление к интегральному исчислению;
-Раздаточный материал: таблица простейших интегралов (на этапе закрепления).
Структура занятия.
1. Организационный момент (1 мин.)
- Мотивация учебной деятельности. (3 мин.)
- Изложение нового материала. (55 мин.)
- Закрепление изученного материала. (15 мин.)
- Подведение итогов занятия. Рефлексия. (5 мин.)
- Сообщение домашнего задания. (1мин.)
Ход занятия.
| |
Приемы преподавания | Приемы учения |
Преподаватель приветствует студентов, проверяет присутствующих в аудитории. | Учащиеся готовятся к работе. Староста заполняет рапортичку. Дежурные раздают раздаточный материал. |
| |
Приемы преподавания | Приемы учения |
Тема сегодняшнего занятия «Неопределенный интеграл и его свойства». Знания по данной теме нами будет использоваться на следующих уроках при нахождении определенных интегралов, площадей плоских фигур. Большое внимание уделяется интегральному исчислению в разделах высшей математики в высших учебных заведениях при решении прикладных задач. Наше сегодняшнее занятие является занятием изучения нового материала, по этому будет носить теоретический характер. Цель занятия сформировать представления об интегральном и-+счислении, понять его сущность, развивать навыки при нахождении первообразных и неопределенного интеграла. | Учащиеся записывают дату и тему занятия. |
3.Изложение нового материала (55 мин) |
Приемы преподавания | Приемы учения |
1. История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачами, которые мы сейчас относим к задачам на вычисление площадей. Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении таких задач связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским. С помощью этого метода Евдокс доказал: 1. Площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров. 2. Объём конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же высоту и основание. Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом и были доказаны такие вещи: 1. Вывод формулы площади круга. 2. Объем шара равен 2/3 объема цилиндра. Все достижения были доказаны великими математиками с применением интегралов. |
Операция интегрирования обратная операции дифференцирования т.е. для того, чтобы проверить правильность нахождения интеграла необходимо продифференцировать ответ и получить подынтегральную функцию. Другими словами интегральное исчисление решает задачу: по заданной производной или дифференциалу неизвестной функции требуется определить эту функцию. Отсюда можно сделать вывод, который мы запишем в виде определения. Определение 1: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на отрезке [a;b], если во всех точках этого отрезка выполняется равенство = f(x) или dF(x)=f(x)dx Так, функция F(x) = xm является первообразной для f(x)=mxm-1, так как (xm)’=mxm-1. Точно также функция F(x) =ln x есть первообразная для f(х)=, так как (ln x)’=. Признак постоянства функции: Если F’(x)=0 на некотором промежутке I, то функция F – постоянна на этом промежутке, т.е. F(x)=C. Все первообразные функции f можно записать в одну формулу, которую называют общим видом первообразных для функции f. Запишем это в виде теоремы. Теорема: Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде F(x)+C, где F(x) – одна из первообразных для функции f(x) на промежутке I, C – произвольная постоянная. Этому свойству можно придать геометрический смысл: графики любых двух первообразных для функции f получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Oy. у x х 0 | Учащиеся записывают фамилии великих математиков и их достижения в области интегрального исчисления. Учащиеся записывают лекцию, используя раздаточный материал и объяснения преподавателя. При доказательствах свойств первообразных и интегралов, используют знания по теме дифференцирования. | |
Три правила нахождения первообразных Правило №1: Если F есть первообразная для функции f, а G – первообразная для g, то F+G – есть первообразная для f+g. (F(x) + G(x))’ = F’(x) + G’(x) = f + g Правило №2: Если F – первообразная для f, а k – постоянная, то функция kF – первообразная для kf. (kF)’ = kF’ = kf Правило №3: Если F – первообразная для f, а k и b– постоянные (), то функция - первообразная для f(kx+b). Вернемся к теореме 1 и выведем новое определение. Определение 2: Выражение F(x) + C, где C - произвольная постоянная, называют неопределенным интегралом и обозначают символом Из определения имеем: (1) Неопределенный интеграл функции f(x), таким образом, представляет собой множество всех первообразных функций для f(x). В равенстве (1) функцию f(x) называется подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx– подынтегральным выражением, переменную x – переменной интегрирования, слагаемое C - постоянной интегрирования. Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию. Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию. Свойства неопределенного интеграла. Опираясь на определение первообразной, легко доказать следующие свойства неопределенного интеграла
| ||
4. Таблица простейших интегралов 1. ,(n -1) 2. 3. 4. 5. 6. Интегралы, содержащиеся в этой таблице, принято называть табличными. Отметим частный случай формулы 1:
Приведем еще одну очевидную формулу: , т. е. первообразная от функции, тождественно равной нулю, есть постоянная. | ||
4.Закрепление изученного материала.(15 мин) |
Пример 1 Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку. Решение: . Сначала я приведу полное решение, комментарии будут ниже. (1) Используем старую - добрую формулу квадрата суммы , избавляясь от степени. (2) Вносим в скобку, избавляясь от произведения. (3) Используем свойства линейности интеграла (оба правила сразу). (4) Превращаем интегралы по табличной формуле . (5) Упрощаем ответ. Здесь следует обратить внимание на обыкновенную неправильную дробь – она несократима и в ответ входит именно в таком виде. Не нужно делить на калькуляторе! Не нужно представлять ее в виде ! Проверка: Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно. В ходе проверки функцию всегда желательно «упаковать» до первоначального вида, вынося в данном случае за скобки и применяя формулу сокращенного умножения в обратном направлении: Пример 2 Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку. В данном примере подынтегральная функция представляет собой дробь. Когда мы видим в подынтегральном выражении дробь, то первой мыслью должен быть вопрос: А нельзя ли как-нибудь от этой дроби избавиться, или хотя бы её упростить? Замечаем, что в знаменателе находится одинокий корень из «икс». Один в поле – не воин, а значит, можно почленно разделить числитель на знаменатель: Действия с дробными степенями я не комментирую, так как о них неоднократно шла речь в статьях о производной функции. Если Вас все-таки ставит в тупик такой пример, как , и ни в какую не получается правильный ответ , то рекомендую обратиться к школьным учебникам. В высшей математике дроби и действия с ними встречаются на каждом шагу. Также обратите внимание, что в решении пропущен один шаг, а именно, применение правил , . Обычно при определенном опыте решения интегралов данные правила считают очевидным фактом и не расписывают подробно. | Учащиеся записывают решение в тетрадь. |
5.Подведение итогов занятия. Рефлексия.(5 мин.) | |
Итак, получилось слово «интеграл», т.е. тема нашего сегодняшнего занятия. Какие понятия и примеры вызвали у вас больше всего вопросов? Применяя знания по новому материалу, вы справились с данной задачей. Преподаватель сообщает оценки за урок. | Участвуют в беседе по подведению итогов. |
6.Домашнее задание (1 мин.) | |
Преподаватель сообщает домашнее задание: 1) Выучить конспект. 3) Назвать фамилии великих математиков, имеющих отношение к теме «Интегральное исчисление». 4) Решить задачи: Пример 1 Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку. Пример 2 Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку. | Записывают домашнее задание |
Литература
- «Алгебра и начала анализа» - учебник, А.Н. Колмогоров и др. - 19-е изд. - М.:Просвещение, 2010 г.
- Пехлецкий И.Д. Математика. Учеб. для студентов образовательных учреждений сред. проф. образования. – М: «Академия», 2010 г.
- Филимонова Е.В. Математика для средних спец. учебных заведений: уч. пособие. – Ростов н/Д: «Феникс», 2008 г.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Методическая разработка занятия по дисциплине «Основы права» Тема занятия «Формы (источники) права»
Формирование новых знаний по основным правовым понятиям и категориям, характеристика основных черт правовой системы России, порядок принятия и вступления в силу законов, поиска, первичного анализа и и...
![](/sites/default/files/pictures/2015/04/17/picture-552964-1429254346.jpg)
Методическая разработка по учебной дисциплине Математика» по теме "Определенный интеграл" ( для преподавателя)
Методическая разработка посвящена изучению понятия «определенный интеграл», являющегося важной составной частью практически любого курса математики. Актуальность данной тематики связана, в частности, ...
Методическая разработка занятия по дисциплине «Гостиничная индустрия» Тема: «Формы управления гостиницами: франчайзинг»
Методическая разработка составления для проведения одного из занятий Раздела 6 "Организационная структура управления гостиничным предприятием" дисциплины "Гостиничная индустрия" на тему "Формы управ...
![](/sites/default/files/pictures/2016/03/24/picture-761675-1458812688.jpg)
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА УРОКА Учебная дисциплина: «ОСНОВЫ ФИЛОСОФИИ» Тема: «Культура, как родовое свойство человека»
Методическая разработка...
![](/sites/default/files/pictures/2019/01/01/picture-1097909-1546353351.jpg)
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА урока по дисциплине «Математика» на тему «Решение тригонометрических уравнений»
Данная методическая разработка рассчитана на обучающихся по специальности «Строительство и эксплуатация зданий и сооружений» среднего профессионального образования. Будущий специалист, кро...
![](/sites/default/files/pictures/2020/02/25/picture-1214344-1582653253.jpg)
Методическая разработка занятия по дисциплине «Право» на тему : "Трудовые споры"
Методическая разработка занятия по дисциплине Право составлена с учетом современных образовательных технологий применяемых на данном уроке: информационно-коммуникативная, личностно-ориентированная, иг...
![](/sites/default/files/pictures/2021/12/02/picture-1368695-1638446714.png)
Методическая разработка занятия по дисциплине "Экология" на тему "Особо охраняемые природные территории"
Интерес студентов к учебной дисциплине зависит от огромного множества различных факторов - от способа подачи и содержания материала, от образности восприятия его ребятами и их базовыми знаниями, и без...